Matematica e didattica della matematica

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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca Anche la risoluzione dei problemi, che formava parte tradizionalmente della matematica scolastica, sembrava destinata a scomparire oppure a subire una profonda trasformazione. Tuttavia, nella scuola la matematica moderna o “insiemistica” provocò enormi difficoltà per gli studenti e polemiche e discussioni fra genitori, educatori e teorici. Quindi, a partire dagli anni Novanta si tornò a difendere i problemi tradizionali e a rivalutare la geometria elementare e i suoi problemi. A questo punto, però, dei problemi tradizionali sono stati sottolineati due aspetti: – il primo è il valore pratico dei problemi, non già nelle attività tecniche e pratiche, ma nella vita quotidiana del cittadino. Secondo i difensori di questo punto di vista, i problemi danno un senso all’insegnamento della matematica nella scuola dell’obbligo il cui scopo è soltanto quello di fornire gli strumenti necessari al futuro cittadino, per leggere i giornali, per capire i meccanismi elettorali, per valutare l’interesse e le spese del conto in banca, per pagare le tasse, per interpretare una cartina, per giocare consapevolmente la schedina e così via. Questa è la matematica del cittadino, la matematica delle percentuali (un tipico gruppo dei problemi di proporzionalità) dei cui limiti ci siamo occupati nella lezione 2. Nel corso di questa lezione abbiamo visto che il ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica va ben oltre il loro aspetto utilitario. – il loro valore “cognitivo” dei problemi, ossia il suo ruolo per sviluppare presunte abilità cognitive pure (le competenze), le quali sarebbe il nucleo dell’educazione, la quale deve girare attorno alle competenze e non attorno alle delimitazioni tradizionali delle discipline. Secondo questo punto di vista, si risolvono problemi di matematica non per assimilare i concetti basilari della matematica, come numero, frazione, divisione, retta, intersezione e così via, ma per sviluppare le competenze che ruotano attorno al cosiddetto “problem solving”. La matematica, quindi, non è una delle discipline che contribuiscono alla formazione della mente, ma si deve dissolvere in formazione della mente, insieme alle altre discipline. Queste oscillazioni nella visione dell’insegnamento della matematica, e soprattutto i rischi che la distorsione della tradizione e della perdita del buon senso comportano per la qualità dell’istruzione, sono ben illustrate, in chiave di humour, da una vecchia storia, che è circolata anche in Francia nel passato, e che è stata rispolverata fra gli insegnanti spagnoli, e anche ripresa dal giornale «ABC» nel suo ABC de la educación (“El problema de las patatas”, ABC, martedì 31/10/95, p. 77). Con questa storiella concludiamo la lezione: essa presenta varie “formulazioni” di uno stesso problema matematico elementare negli anni 1965-75, che corrispondono alle varie sollecitazioni di cui abbiamo parlato, alcune interne alla matematica (l’introduzione del linguaggio matematico “moderno”) e altre culturali, derivate anche dall’influsso delle tendenze nella pedagogia e nelle scienze umane (la tendenza a sostituire il vecchio insegnamento selettivo con quello comprensivo, allungando la scolarizzazione obbligatoria, e la conseguente trasformazione della matematica scolastica in matematica del cittadino) le conoscenze acquisite possano essere utilizzate effettivamente nelle circostanze reali della vita dello studente — e politiche. 16
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca Nel 1960 Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione ammontano ai 4/5 del prezzo di vendita. Qual'è il suo guadagno Nel 1970, insegnamento “tradizionale” Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione ammontano ai 4/5 del prezzo di vendita, e cioè a 800 pesetas. Qual'è il suo guadagno Nel 1970, insegnamento “moderno” (LGE) Un contadino scambia un insieme P di patate contro un insieme M di monete. La cardinalità dell'insieme M è uguale a 1000 pesetas, e ogni elemento PM vale una peseta. Disegna 1000 grossi punti che rappresentino gli elementi dell'insieme M. L'insieme F delle spese di produzione è formato da 200 grossi punti in meno di quello dell'insieme M. Rappresenta l'insieme F come sottoinsieme dell'insieme M e rispondi alla questione seguente: Qual'è la cardinalità dell'insieme B dei benefici Disegnare B in colore rosso. Nel 1980, insegnamento “rinnovato” Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione ammontano a 800 pesetas e il suo guadagno è di 200 pesetas. Sottolinea la parola «patata» e discutine con il tuo compagno. Tentativi sperimentali della riforma Un borghese di campagna, capitalista senza spirito di solidarietà, si è arricchito con 200 pesetas nel vendere speculando un sacco di patate. Analizza il testo e di seguito dì quel che pensi di questo abuso antidemocratico. Nel 1990, insegnamento riformato (LOGSE) Dopo l'ingresso della Spagna nel Mercato Comune Europeo, gli agricoltori non possono fissare liberamente il prezzo di vendita delle patate. Supponendo che vogliano vendere un sacco di patate per 1000 pesetas, fai un sondaggio per determinare il volume della domanda potenziale di patate nel nostro paese e l'opinione sulla qualità delle nostre patate in rapporto a quelle importate da altri paesi, e come tutto il processo di vendita sarebbe soggetto ad alterazioni se i sindacati convocassero uno sciopero generale. Completa questa ricerca analizzando gli elementi del problema, mettendo in rapporto gli elementi fra di loro e cercando il principio del rapporto fra questi elementi. Per finire, fai un quadro di doppio ingresso, indicando in orizzontale, in alto, i nomi dei gruppi citati, e, sotto, in verticale, diversi modi di cucinare le patate. Nota: LGE significa Legge generale di educazione: si tratta di una riforma della scuola risalente all’anno 1970, ancora in epoca franchista, che impose un rinnovamento di tipo insiemistico molto astratto (questi eccessi sono stati per lo più addolciti dalla pratica e dal buon senso degli insegnanti). Nel 1990 fu promulgata dal governo socialista una nuova legge generale di educazione (LOGSE), la prima dell'epoca democratica, concentrata sull’idea della matematica del cittadino. 17
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