Matematica e didattica della matematica

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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca ESEMPIO 7.6 Abbiamo pagato con una carta da 40 euro 12 menu da McDonalds Quanto costa ogni menu Quale è il resto ESEMPIO 7.7 In un giardino rettangolare di 25 m di larghezza e 16 di lunghezza si vuole piantare erba nella metà della superficie, fiori in un quarto e piante aromatiche nel resto. Che superficie occupa ogni coltivazione ESEMPIO 7.8 Vogliamo mettere 24 fiori in vasi con lo stesso numero di fiori. Quante possibilità abbiamo ESEMPIO 7.9 Una città ha 238.700 abitanti, la quinta parte ha una bicicletta. Quanti abitanti non hanno la bicicletta ESEMPIO 7.10 Un commerciante compra 100 paia di pantofole a 32 euro il paio. Vende le prime 80 paia a 45 euro, e il resto a 40 euro. Quale è stato il guadagno ottenuto ESEMPIO 7.11 La superficie di un triangolo misura 126 cm 2 e l’altezza è 4/7 della base. Determina la base e l’altezza del triangolo. ESEMPIO 7.12 Si hanno 14 soldati in fila: la distanza tra un soldato e l’altro è 3 m. Quale è la distanza dal primo all’ultimo ESEMPIO 7.13 Un bambino ha 8 anni, e la sorellina la metà dei suoi. Quanti avrà lei quando lui ne avrà 10 ESEMPIO 7.14 In un cortile vi sono galline e conigli. In tutto 40 teste e 100 gambe. Quante galline e quanti conigli ESEMPIO 7.15 Trovare tutti i numeri che si possono rappresentare in un abaco di tre posizioni usando due gettoni. ESEMPIO 7.16 «Ho comprato due fazzoletti e due paia di calzini con trecento ottanta yen. L’altro giorno avevo comprato due fazzoletti e cinque paia di calzini con settecento dieci yen Quanto vale un fazzoletto e un paio di calzini» (tratto da Yoko Ogawa, La formula preferita del professore (2003)) La risoluzione dei problemi secondo Polya In un famoso libro pubblicato da George Polya (1887-1985) nel 1945 intitolato How to solve it (tradotto in italiano con il titolo Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed euristica nel metodo matematico, Feltrinelli, 1° ed. italiana 1967), questo matematico nato a Budapest ed emigrato nel seguito negli Stati Uniti ripropose con forza il ruolo dei problemi nella formazione intellettuale dei giovani. Il libro si apre con le seguenti parole (p. 7): «Un’idea geniale risolve spesso un grande problema, ma nella risoluzione di tutti i problemi interviene un pizzico di genialità. Può trattarsi di un problema modesto; tuttavia, se esso stuzzica la nostra curiosità ed eccita le nostre facoltà mentali e, soprattutto, se si riesce a risolverlo da soli, si scoprirà l’ansia della ricerca e la gioia della scoperta. Simile esperienze, fatte a tempo opportuno, possono rappresentare un vero e proprio esercizio dello spirito e lasciare un’impronta nell’animo e nel carattere per tutta la vita.» Questo saggio, diventato molto famoso, raccoglie in modo molto efficace i principi di una lunga tradizione di risoluzione dei problemi matematici, che però raramente era stata esposta in forma scritta, poiché essa apparteneva alla tradizione orale dell’insegnamento della matematica. Attraverso molti esempi, Polya provò a fornire una descrizione del modo di procedere tipico della risoluzione dei problemi matematici, ossia dei ragionamenti euristici, intendendo “ogni argomentazioni che non pretenda di essere né definitiva né rigorosa, ma si presenti semplicemente come provvisoria e plausibile, con il solo scopo di scoprire la risoluzione di un determinato problema” (p. 120). Il libro si apre con uno schema di risoluzione dei problemi diviso in quattro fasi: capire il problema; elaborare un piano; attuare il piano; verificare. Per ogni fase vi sono diverse domande da porsi o suggerimenti di azione. Questo piano è rivolto all’alunno, ed è illustrato attraverso molti esempi. Inoltre, prendendo spunto dagli stessi esempi, l’autore si rivolge all’insegnante, esortandolo a non ridurre le ore di matematica a semplici esecuzioni di calcoli, e sottolineando l’importanza di – scegliere i problemi adeguati alle conoscenze degli alunni e in grado di sollevare il loro interesse – proporre i problemi scegliendo i tempi e il modo, all’interno delle ore di matematica 10
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca – e intervenire discretamente attraverso le sue domande (ispirandosi alle domande proposte da Polya per corredare il suo schema di risoluzione), coadiuvandolo nella risoluzione. Anche se gli esempi considerati da Polya riguardano i problemi della scuola secondaria, il suo schema di risoluzione è valido anche nella scuola primaria. Anzi, possiamo riconoscere in un enunciato un problema genuino e non un esercizio di calcolo nella misura in cui esso sollecita nell’alunno l’applicazione dello schema di risoluzione di Polya. Proponiamo una versione abbreviata e adattata alla scuola primaria dello schema di Polya (si veda Come risolvere i problemi di matematica, pp. 11-13) LE QUATTRO FASI NELLA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI (ADATTAMENTO DELLO SCHEMA DI RISOLUZIONE DI GEORGE POLYA) Prima fase: Capire il problema (Understanding the problem) Cosa si deve trovare Quali sono i dati Alcune volte bisogna reperire i dati in immagini o tabelle. Quali sono le condizioni Sapresti porre il problema con le tue parole È possibile soddisfare le condizioni Prova a dare una stima del risultato Disegna una figura. Prepara uno schema o diagramma. Introduci una notazione appropriata. Seconda fase: Elaborare un piano (Devising a plan) Esiste un problema analogo al tuo e già risolto in precedenza Puoi formulare il problema in un modo diverso Puoi risolvere un problema più semplice connesso con questo Puoi risolvere una parte del problema Puoi suddividere il problema in parti, preparando alcune domande intermedie Riflette alle operazioni che risolvono alcune delle domande intermedie. Hai usato tutti i dati Terza fase: Mettere in pratica il piano (Carrying out the plan) Procedi con pazienza e precisione: il piano fornisce un abbozzo generale; ci si deve convincere che i dettagli rientrano necessariamente in tale traccia, in modo tale che non resti nessun punto oscuro dove possa celarsi qualche errore. Sei capace di spiegare il tuo piano e come lo hai attuato Elenca tutte le soluzioni possibili Quarta fase: Verificare (Looking back) Puoi pensare a un piano alternativo Se ottieni una soluzione diversa forse vi è qualche errore nel piano, oppure nell’esecuzione del piano. Puoi confrontare il tuo piano con quello di altri colleghi Valuta il risultato: se non è verosimile forse hai fatto qualche errore. 11
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