Matematica e didattica della matematica

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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca Ecco quanto racconta Hughes (p. 25-26): «Il mio personale interesse per l’addizione e per la sottrazione fu svegliato quasi per caso. Un giorno stavo giocano ad alcuni giochi numerici con un bimbo chiamato Gordon (4 anni e 8 mesi) dell’asilo nido del Dipartimento di Psicologia dell’Università di Edimburgo. Gli portai una scatola contenente mattoncini da contare, ma notai che era più interessato a togliere i mattoncini dalla scatola e rimetterli dentro. Mi apparve evidente che per lui questa situazione era intrinsecamente attrattiva, e decisi quindi di svilupparla oltre. Gordon aveva messo dieci mattoncini nella scatola. Le chiesi quanti mattoncini vi fossero lì. Egli li contò accuratamente, puntando i mattoncini ad uno ad uno. “Vi è dieci”, disse. Presi la scatola, tolsi tre mattoncini in modo tale che egli potesse vedere i mattoni rimossi ma non potesse vedere quanti fossero rimasti nella scatola, e chiusi il coperchio. MH: Ne ho estratto tre, Quanti sono rimasti G: Non lo so. Cinque MH: Dai un’occhiata e vedi (Apre la scatola) G: (Conta i mattoncini) Sette! MH: (Toglie un mattoncino e chiude di nuovo il coperchio) Ne ho estratto un altro. Quanti ne sono rimasti ora G: Non lo so. (Apre la scatola e conta) Sei. Decisi di semplificare il compito, e svuotai la scatola da tutti i mattoncini. Gordon osservava quanto misi due mattoncini di nuovo dentro e chiusi il coperchio. MH: Quanti ora nella scatola G: Due MH: (Aggiunge un mattoncino in modo tale che Gordon lo vede entrare dentro ma non lo può vedere dentro la scatola) Quanti ora G: Tre MH Sto ponendo un altro dentro (Aggiunge un altro ancora, allo stesso modo) G: Quattro. Quattro! MH: E ora sto ponendo dentro ancora due (Lo fa) G: Sei! Sei! MH: (Toglie un mattoncino) Quanti ora G: (Pausa) Cinque. Cinque! MH: (Toglie due ma non deve porre la domanda) G: Tre! MH: Vuoi vedere se avevi ragione (Apre la scatola) G: (Con le braccia spalancate) Guarda! Gordon era ovviamente intrigato dai problemi che gli stavo ponendo, e si eccitava assai quando pensava di aver la risposta giusta. Evidentemente egli accettava come genuino il problema di trovare cosa era nella scatola, e le sue risposte suggerivano che egli era capace di eseguire alcune semplici addizione e sottrazioni. È palese che aveva avuto un po’ di difficoltà con i problemi iniziali, ma egli riuscì facilmente a risolvere i successivi quando i numeri coinvolti erano minori.» Il compito della scatola (the Box task) escogitato da Hughes a partire dalla sua attenzione al bambino presenta tutte le caratteristiche di un problema (egli difatti usa la parola “problema” per riferirsi ai quesiti), seppure estremamente semplice e con un enunciato non scritto, ma proposto in forma orale e legato a oggetti materiali e a gesti fisici: una sfida, che non appare immediatamente raggiungibile, la quale richiede la riflessione sul quesito e lo sviluppo di un piano, di una strategia. Come l’insegnante che segue le indicazioni di Polya, egli ha saputo scegliere un problema “proporzionato alle conoscenze” di Gordon, glielo ha saputo proporre in modo da sollevare il suo interesse e infine lo ha aiutato a risolvere quel problema e altri simili con domande opportune. 14
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca ESERCIZIO 7. 6 Formuli i compiti proposti a Gordon come problemi, individui i concetti matematici coinvolti e confronti la descrizione di Hughes con lo schema di soluzione di Polya. Quale è la sfida, ciò che ostacola il raggiungimento immediato della soluzione Nel seguito Hughes propose compiti analoghi a un gruppo di ventitrè bambini dello stesso asilo nido di età oscillanti fra 2 anni e 9 mesi e 4 anni e 2 mesi, ottenendo reazioni e risposte dello stesso tenore anche fra i più piccoli. I bambini scuotevano la scatola per sentire i mattoncini, amavano aprire la scatola per verificare se la loro risposta alla domanda era giusta, e nel contempo rispondevano alla domanda senza poter vedere i mattoncini. Fra i bambini che mostrarono maggiore capacità, egli cita il caso di Richard (4 anni e 9 mesi) che rispose correttamente ai problemi seguenti: cinque mattoncini e uno in più, sei e due in più, un mattoncino tolto da otto, due tolti da sette, e tre mattoncini tolti da cinque (p. 27): «Ciò lasciò nella scatola due mattoncini. Decisi di premerlo su una sottrazione apparentemente impossibile. MH: Ora voglio togliere dalla scatola tre mattoncini. R: Non puoi, vero MH: Perché no R: Devi giusto metterci uno dentro, vero MH: Mettere uno dentro R: Sì, e allora puoi togliere tre. Richard aveva chiaramente la situazione sotto totale controllo e rifiutava di essere spiazzato dalla richiesta impossibile. Anzi, la sua risposa all’ultima domanda mostrava che egli era capace di eseguire due calcoli mentali in successione: la addizione di un mattone a due mattoni, e la susseguente eliminazione di tutti e tre i mattoni.» Esercizio 7.7 Formuli i compiti proposti a Richard come problemi, individui i concetti matematici coinvolti e confronti la descrizione di Hughes con lo schema di soluzione di Polya. Consideri in particolare la condizione posta dall’ultimo problema formulato da Hughes (suggerimento: È possibile soddisfare le condizioni) 7.5 Tradizione e innovazione didattica nella matematica scolastica: il problema delle patate Abbiamo accennato alla fine della sezione 7.1 al fatto che i problemi “tradizionali” sono stati per un lungo periodo negli anni Settanta e Ottanta, considerati un retaggio del passato da superare, e da sostituire con aspetti della matematica moderna, come gli insiemi oppure l’algebra. Alla fine della sezione 7.2 abbiamo anche accennato al fatto che anche i problemi della geometria, considerati classicamente come la preparazione alla matematica colta, sono stati in quegli stessi anni considerati un retaggio da superare, un’“anticaglia”: si faceva spesso l’esempio dei tanti problemi riguardanti i triangoli e i loro punti e rette notevoli (baricentro, altezza, e così via), che bisognava sostituire con questioni più moderne. Queste esigenze di innovazione erano molto legate alle profonde trasformazioni sperimentate dalla matematica, sia nei contenuti che nei metodi, nella prima metà del Novecento, le quali si erano ormai “cristallizzate” e imponevano un'esigenza di rinnovamento anche ai diversi livelli dell'insegnamento. In quegli anni si fece sentire l'influsso del modo di porsi davanti alla matematica caratteristico del gruppo di matematici francesi “Bourbaki”, nonché dei risultati delle ricerche e dei volumi pubblicati da questo gruppo. La famosa esclamazione di uno di essi, Jean Dieudonné, “abbasso Euclide!”, riflette lo spirito del rinnovamento auspicato. 15
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