I modelli matematici dinamici - Scienze Zootecniche

Università di Sassari
LAUEREA SPECIALISTICA IN
PRODUZIONI ZOOTECNICHE MEDITERRANEE
MODELLI MATEMATICI E STATISTICI
[1 – La modellizzazione]
Prof. Giuseppe Pulina; dr. Corrado Dimauro

LAUEREA SPECIALISTICA IN
PRODUZIONI ANIMALI MEDITERRANEE
PROGRAMMA DEL CORSO DI MODELLI MATEMATICI E STATISTICI
(docente Prof. Giuseppe Pulina; collaborazione dr. Dimauro) CFU 5
1. Introduzione alla modellizzazione (0,5 CFU)
2. Le modellizzazione dinamica e le equazioni differenziali (0,5 CFU)
3. I principali modelli matematici impiegati in zootecnica: crescita esponenziale,
equazione monomolecolare, modello logistico, modello di Gompertz, modello di
Richards, modello di Chanters, modello allometrico ; la curva normale(1 CFU)
4. Il modello matematico della curva di lattazione (0,25 CFU)
5. Il modello matematico dell’accrescimento ponderale; il modello della degradazione
ruminale e del transito degli alimenti nel rumine (0,25 CFU)
6. I modelli statistici: la regressione multipla e l’analisi dei risultati (1 CFU)
ESERCITAZIONI: l’impiego del software Stella nella modellizzazione dinamica in
zootecnica (1 CFU); l’impiego del software Minitab nell’analisi della regressione.
Testi consigliati: I modelli matematici nella biologia [disponibile in PDF sul sito del
Dipartimento di Scienze Zootecniche]; Appunti di Statistica (G. Pulina) [disponibile
in PDF sul sito del Dipartimento di Scienze Zootecniche]
Modalità di esame: prova pratica sull’uso dei software e discussione orale dei risultati.

I modelli matematici e statistici nelle scienze zootecniche
I modelli sono strumenti fisici o concettuali che permettono
a) di comprendere meglio b) di prevedere l’evoluzione di un
sistema
Un sistema è un insieme di diversi elementi fra loro
interconnessi in qualche modo [la disciplina che studia i
sistemi è la “sistemica”]
I modelli matematici e statistici applicati alle scienze
zootecniche hanno il compito si spiegare e di prevedere i
fenomeni biologici di interesse per la zootecnia.

Il modello è, necessariamente, diverso dalla realtà
modellizzata.
Il primo passo nello sviluppo di un modello è sempre un
processo di astrazione, tramite il quale alcune proprietà e
relazioni di un settore della realtà vengono isolate come
fondamentali mentre altri aspetti sono giudicati come non
essenziali, almeno riguardo al contesto prescelto, e
conseguentemente trascurati dal modello

Il modelli matematici e statistici nelle scienze zootecniche
possono essere utilizzati:
1. Per la progettazione e la programmazione di aziende
zootecniche e di territori di interesse zootecnico
2. Per la descrizione di andamenti di particolari produzioni
[latte, carne, erba, ecc]
3. Per la comprensione degli algoritmi sui quali si fondano i
software di alimentazione
4. Per l’elaborazione di dati aziendali

I modelli matematici sono un sottoinsieme proprio dei
modelli teorici
Non può esistere un modello matematico senza un
modello teorico che lo sostenga.
I modelli sono un’immagine del sistema reale
modellizzato:
1. In quanto lo rappresentano parzialmente
2. In quanto i dati a disposizione sono una parte
infinitesima di quelli che la realtà produce

Un modello non è più vero di un altro.
L’unico criterio di valutazione di un modello è la sua utilità
Una prima differenziazione separa i cosiddetti modelli statici
dai modelli dinamici.
I valori delle grandezze sviluppate nei modelli matematici
sono sempre, in qualche modo e in qualche scala, dipendenti
dal tempo; ma non sempre un modello tematizza
esplicitamente la relazione fra le variabili che interessano e
la variabile tempo.

I Modelli Matematici Statici.
Uno studioso di alimentazione potrebbe essere interessato a
costruire un modello capace di collegare la quantità di
sostanza secca di erba (Y) ingerita da un gregge di pecore alla
quantità di erba presente in campo (X1), all’altezza dell’erba
(X2), alla proporzione delle leguminose (X3), al contenuto in
proteine (X4) e a quello in fibra (X5) dell’erba. Il modello, se
riesce, si presenta nella forma del tipo:
Y= f(X1 , X 2 , X3 , X4 , X5 ,)
Dove f è il simbolo coerente di funzione , cioè
dell’equivalente matematico del concetto logico di relazione o
legame.

Esempio di modello matematico di ingestione di SS al pascolo per
capre (Avondo et al., 2006)
I SS (g/d) = 822,11 – 6,188 SPG + 0,138 LN + 9,131 PC
SPG
LN
PC
Supplemento, g PG/d
Latte normalizzato al 5% di grasso
Peso corporeo, kg
Limite di applicazione: SS erba < 30%

Anche i modelli statistici appartengono alla classe dei modelli
matematici statici
Se si dovesse verificare la differenza fra il peso corporeo di
bovini maschi e femmine ai 12 mesi si utilizza la relazione:
ˆ
hij
= µ +
α
i
la quale ci dice che il peso stimato del j-mo individuo di sesso
i (i = 1 per i maschi e i = 2 per le femmine) è dato dalla somma
della media generale µ più il contributo specifico (a 1 o a 2 ) del
sesso dell’individuo in esame

Ovviamente il peso reale del singolo individuo è dato dalla
relazione
h = h ˆ +
ij
ij
e
ij
peso indiv sesso media Alfa scarto
235 m 207,75 19,25 8
240 m 207,75 19,25 13
189 f 207,75 -19,25 0,5
210 f 207,75 -19,25 21,5
155 f 207,75 -19,25 -33,5
213 m 207,75 19,25 -14
220 m 207,75 19,25 -7
200 f 207,75 -19,25 11,5

I modelli matematici dinamici
Un modello dinamico rappresenta in termini matematici
l’evoluzione temporale di una o più grandezze ritenute
essenziali per la descrizione del fenomeno oggetto di studio
Il risultato della modellizzazione è allora, per ciascuna
grandezza, una funzione continua e regolare del tempo, vale
a dire una funzione del tipo y = f(t), nella quale compaiono,
oltre al tempo, uno o più parametriche debbono essere
determinati nei modi di cui diremo.

I MODELLI DINAMICI
12
10
8
6
4
2
0
0 5 10 15 20 25
tempo
Meccanismi che regolano il fenomeno
Condizioni iniziali

Immaginiamo, ad esempio, di aver misurato dieci valori
compresi nell’intervallo di crescita di una popolazione
naturale, e che tali valori siano rappresentati dai dieci punti
della figura seguente
100
W (scala arbitraria)
80
60
40
20
0
0 5 10 15
W(t) = W 0 e kt
Tempo (scala arbitraria)

I modelli matematici posso essere classificati in :
1. Empirici, se non spiegano il fenomeno, ma
semplicemente lo descrivono
2. Meccanici, se spiegano il fenomeno

Sistema reale osservazioni
…..,
Input output
Modello
regressione e
correlazione
Input
output
MODELLI MATEMATICI EMPIRICI

MODELLI MATEMATICI DINAMICI
Sistema reale
input
output
Modello
Input
output

Costruzione di un modello di simulazione
1. Scelta del sistema
2. Definizione chiara ed esauriente dei limiti del sistema da
modellizzare
3. Descrizione delle componenti del sistema [variabili di stato]
e delle relazioni fra esse
4. Formalizzazione del sistema in equazioni differenziali [o nei
modelli analogici, nei grafi di sistema]
5. Definizione dei valori iniziali delle variabili di stato [livelli al
tempo t=0) e dei tassi (rates) con cui tali variabili mutano
nell’unità di tempo
6. Simulazione e risultati
7. Calibrazione dei parametri del modello
8. Verifica del modello [validazione]

La complessità
Un sistema è detto “complesso” se il suo comportamento non è
la semplice somma del comportamento delle parti che lo
compongono
Il tutto è più della somma delle sue parti
In un sistema complesso “emergono” comportamenti [leggi]
nuovi, non spiegabili [riducibili] al comportamento dei singoli
elementi
I sistemi biologici sono sistemi complessi e le leggi che li
governano sono “emergenti”. Lo studio di queste leggi è
l’emergetica

Un sistema complesso - formalizzabile che conduce a
soluzioni stabili è detto “deterministico”.
Un sistema complesso, deterministico [= formalizzabile in
un modello matematico] il cui comportamento [soluzioni]
è altamente sensibile alle condizioni iniziali è detto
“caotico”.
Un sistema complesso il cui comportamento dipenda in larga
misura dal caso, è detto “stocastico”
I sistemi in parte deterministici e in parte stocastici sono detti
“misti”.