I modelli matematici dinamici - Scienze Zootecniche
I modelli matematici dinamici - Scienze Zootecniche
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Università di Sassari<br />
LAUEREA SPECIALISTICA IN<br />
PRODUZIONI ANIMALI IN AMBIENTE MEDITERRANEO<br />
MODELLI MATEMATICI E STATISTICI<br />
[1 – La <strong>modelli</strong>zzazione]<br />
Prof. Giuseppe Pulina; dr. corrado Diauro
LAUEREA SPECIALISTICA IN<br />
PRODUZIONI ANIMALI IN AMBIENTE MEDITERRANEO<br />
PROGRAMMA DEL CORSO DI MODELLI MATEMATICI E STATISTICI<br />
(docente Prof. Giuseppe Pulina; collaborazione dr. DiMauro) CFU 5<br />
1. Introduzione alla <strong>modelli</strong>zzazione (0,5 CFU)<br />
2. Le <strong>modelli</strong>zzazione dinamica e le equazioni differenziali (0,5 CFU)<br />
3. I principali <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> impiegati in zootecnica: crescita esponenziale,<br />
equazione monomolecolare, modello logistico, modello di Gompertz, modello di<br />
Richards, modello di Chanters, modello allometrico ; la curva normale(1 CFU)<br />
4. Il modello matematico della curva di lattazione (0,25 CFU)<br />
5. Il modello matematico dell’accrescimento ponderale; il modello della degradazione<br />
ruminale e del transito degli alimenti nel rumine (0,25 CFU)<br />
6. I <strong>modelli</strong> statistici: la regressione multipla e l’analisi dei risultati (1 CFU)<br />
ESERCITAZIONI: l’impiego del software Stella nella <strong>modelli</strong>zzazione dinamica in<br />
zootecnica (1 CFU); l’impiego del software Minitab nell’analisi della regressione.<br />
Testi consigliati: I <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> nella biologia [disponibile in PDF sul sito del<br />
Dipartimento di <strong>Scienze</strong> <strong>Zootecniche</strong>]; Appunti di Statistica (G. Pulina) [disponibile<br />
in PDF sul sito del Dipartimento di <strong>Scienze</strong> <strong>Zootecniche</strong>]<br />
Modalità di esame: prova pratica sull’uso dei software e discussione orale dei risultati.
I <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> e statistici nelle scienze zootecniche<br />
I <strong>modelli</strong> sono strumenti fisici o concettuali che permettono<br />
a) di comprendere meglio b) di prevedere l’evoluzione di un<br />
sistema<br />
Un sistema è un insieme di diversi elementi fra loro<br />
interconnessi in qualche modo [la disciplina che studia i<br />
sistemi è la “sistemica”]<br />
I <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> e statistici applicati alle scienze<br />
zootecniche hanno il compito si spiegare e di prevedere i<br />
fenomeni biologici di interesse per la zootecnia.
Il modello è, necessariamente, diverso dalla realtà<br />
<strong>modelli</strong>zzata.<br />
Il primo passo nello sviluppo di un modello è sempre un<br />
processo di astrazione, tramite il quale alcune proprietà e<br />
relazioni di un settore della realtà vengono isolate come<br />
fondamentali mentre altri aspetti sono giudicati come non<br />
essenziali, almeno riguardo al contesto prescelto, e<br />
conseguentemente trascurati dal modello
Il <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> e statistici nelle scienze zootecniche<br />
possono essere utilizzati:<br />
1. Per la progettazione e la programmazione di aziende<br />
zootecniche e di territori di interesse zootecnico<br />
2. Per la descrizione di andamenti di particolari produzioni<br />
[latte, carne, erba, ecc]<br />
3. Per la comprensione degli algoritmi sui quali si fondano i<br />
software di alimentazione<br />
4. Per l’elaborazione di dati aziendali
I <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> sono un sottoinsieme proprio dei<br />
<strong>modelli</strong> teorici<br />
Non può esistere un modello matematico senza un<br />
modello teorico che lo sostenga.<br />
I <strong>modelli</strong> sono un’immagine del sistema reale<br />
<strong>modelli</strong>zzato:<br />
1. In quanto lo rappresentano parzialmente<br />
2. In quanto i dati a disposizione sono una parte<br />
infinitesima di quelli che la realtà produce
Un modello non è più vero di un altro.<br />
L’unico criterio di valutazione di un modello è la sua utilità<br />
Una prima differenziazione separa i cosiddetti <strong>modelli</strong> statici<br />
dai <strong>modelli</strong> <strong>dinamici</strong>.<br />
I valori delle grandezze sviluppate nei <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong><br />
sono sempre, in qualche modo e in qualche scala, dipendenti<br />
dal tempo; ma non sempre un modello tematizza<br />
esplicitamente la relazione fra le variabili che interessano e<br />
la variabile tempo.
I Modelli Matematici Statici.<br />
Uno studioso di alimentazione potrebbe essere interessato a<br />
costruire un modello capace di collegare la quantità di<br />
sostanza secca di erba (Y) ingerita da un gregge di pecore alla<br />
quantità di erba presente in campo (X1), all’altezza dell’erba<br />
(X2), alla proporzione delle leguminose (X3), al contenuto in<br />
proteine (X4) e a quello in fibra (X5) dell’erba. Il modello, se<br />
riesce, si presenta nella forma del tipo:<br />
Y= f(X1 , X 2 , X3 , X4 , X5 ,)<br />
Dove f è il simbolo coerente di funzione , cioè<br />
dell’equivalente matematico del concetto logico di relazione o<br />
legame.
Esempio di modello matematico di ingestione di SS al pascolo per<br />
capre (Avondo et al., 2006)<br />
I SS (g/d) = 822,11 – 6,188 SPG + 0,138 LN + 9,131 PC<br />
SPG<br />
LN<br />
PC<br />
Supplemento, g PG/d<br />
Latte normalizzato al 5% di grasso<br />
Peso corporeo, kg<br />
Limite di applicazione: SS erba < 30%
Anche i <strong>modelli</strong> statistici appartengono alla classe dei <strong>modelli</strong><br />
<strong>matematici</strong> statici<br />
Se si dovesse verificare la differenza fra il peso corporeo di<br />
bovini maschi e femmine ai 12 mesi si utilizza la relazione:<br />
ˆ<br />
hij<br />
= µ +<br />
α<br />
i<br />
la quale ci dice che il peso stimato del j-mo individuo di sesso<br />
i (i = 1 per i maschi e i = 2 per le femmine) è dato dalla somma<br />
della media generale µ più il contributo specifico (a 1 o a 2 ) del<br />
sesso dell’individuo in esame
Ovviamente il peso reale del singolo individuo è dato dalla<br />
relazione<br />
h = h ˆ +<br />
ij<br />
ij<br />
e<br />
ij<br />
peso indiv sesso media Alfa scarto<br />
235 m 207,75 19,25 8<br />
240 m 207,75 19,25 13<br />
189 f 207,75 -19,25 0,5<br />
210 f 207,75 -19,25 21,5<br />
155 f 207,75 -19,25 -33,5<br />
213 m 207,75 19,25 -14<br />
220 m 207,75 19,25 -7<br />
200 f 207,75 -19,25 11,5
I <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> <strong>dinamici</strong><br />
Un modello dinamico rappresenta in termini <strong>matematici</strong><br />
l’evoluzione temporale di una o più grandezze ritenute<br />
essenziali per la descrizione del fenomeno oggetto di studio<br />
Il risultato della <strong>modelli</strong>zzazione è allora, per ciascuna<br />
grandezza, una funzione continua e regolare del tempo, vale<br />
a dire una funzione del tipo y = f(t), nella quale compaiono,<br />
oltre al tempo, uno o più parametriche debbono essere<br />
determinati nei modi di cui diremo.
I MODELLI DINAMICI<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25<br />
tempo<br />
Meccanismi che regolano il fenomeno<br />
Condizioni iniziali
Immaginiamo, ad esempio, di aver misurato dieci valori<br />
compresi nell’intervallo di crescita di una popolazione<br />
naturale, e che tali valori siano rappresentati dai dieci punti<br />
della figura seguente<br />
100<br />
W (scala arbitraria)<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 5 10 15<br />
W(t) = W 0 e kt<br />
Tempo (scala arbitraria)
I <strong>modelli</strong> <strong>matematici</strong> posso essere classificati in :<br />
1. Empirici, se non spiegano il fenomeno, ma<br />
semplicemente lo descrivono<br />
2. Meccanici, se spiegano il fenomeno
Sistema reale osservazioni<br />
…..,<br />
Input output<br />
Modello<br />
regressione e<br />
correlazione<br />
Input<br />
output<br />
MODELLI MATEMATICI EMPIRICI
MODELLI MATEMATICI DINAMICI<br />
Sistema reale<br />
input<br />
output<br />
Modello<br />
Input<br />
output
Costruzione di un modello di simulazione<br />
1. Scelta del sistema<br />
2. Definizione chiara ed esauriente dei limiti del sistema da<br />
<strong>modelli</strong>zzare<br />
3. Descrizione delle componenti del sistema [variabili di stato]<br />
e delle relazioni fra esse<br />
4. Formalizzazione del sistema in equazioni differenziali [o nei<br />
<strong>modelli</strong> analogici, nei grafi di sistema]<br />
5. Definizione dei valori iniziali delle variabili di stato [livelli al<br />
tempo t=0) e dei tassi (rates) con cui tali variabili mutano<br />
nell’unità di tempo<br />
6. Simulazione e risultati<br />
7. Calibrazione dei parametri del modello<br />
8. Verifica del modello [validazione]
La complessità<br />
Un sistema è detto “complesso” se il suo comportamento non è<br />
la semplice somma del comportamento delle parti che lo<br />
compongono<br />
Il tutto è più della somma delle sue parti<br />
In un sistema complesso “emergono” comportamenti [leggi]<br />
nuovi, non spiegabili [riducibili] al comportamento dei singoli<br />
elementi<br />
I sistemi biologici sono sistemi complessi e le leggi che li<br />
governano sono “emergenti”. Lo studio di queste leggi è<br />
l’emergetica
Un sistema complesso - formalizzabile che conduce a<br />
soluzioni stabili è detto “deterministico”.<br />
Un sistema complesso, deterministico [= formalizzabile in<br />
un modello matematico] il cui comportamento [soluzioni]<br />
è altamente sensibile alle condizioni iniziali è detto<br />
“caotico”.<br />
Un sistema complesso il cui comportamento dipenda in larga<br />
misura dal caso, è detto “stocastico”<br />
I sistemi in parte deterministici e in parte stocastici sono detti<br />
“misti”.