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數 學 傳 播 33 卷 1 期 , pp. 49-56
一 個 困 擾 牛 頓 的 積 分 問 題
張 海 潮
2006 年 9 月 , 項 武 義 先 生 在 臺 大 數 學 系 演 講 「 三 體 問 題 」。 演 講 開 始 時 , 項 先 生 先 提 到 密 度
均 勻 的 球 體 對 球 體 外 一 點 P 的 ( 萬 有 ) 引 力 可 以 看 成 是 質 量 全 部 集 中 在 球 心 後 , 球 心 對 P 點
的 引 力 。 眾 所 周 知 , 這 是 一 個 有 相 當 難 度 的 積 分 問 題 , 並 且 是 一 個 當 年 困 擾 牛 頓 的 問 題 。 許 多
文 獻 都 談 到 這 是 牛 頓 遲 遲 不 願 發 表 萬 有 引 力 原 理 的 原 因 之 一 。 舉 例 言 之 , 1962 年 出 版 , 由 D.
Halliday 和 R. Resnick 合 著 的 物 理 教 科 書 在 319 頁 有 這 樣 一 段 評 論 :
His results were not published until 1687, however, when his Principia Mathematica(
註 一 )appeared. The reason is thought to be that he was not satistied at first
that he could prove his basic assumption about the earth’s acting as a mass particle
for objects outside it. Before he could solve this problem exactly, Newton had to
invent calculus.
這 一 段 話 除 了 說 明 牛 頓 延 遲 出 版 Principia 的 原 因 , 更 明 言 牛 頓 必 須 發 明 微 積 分 才 能 精 準
解 決 這 個 微 量 求 和 的 積 分 問 題 。
Halliday 和 Resnick 緊 接 著 在 同 書 331 頁 處 理 這 個 積 分 問 題 , 處 理 的 方 式 與 曹 亮 吉 教 授
在 所 著 的 微 積 分 教 科 書 ( 台 北 歐 亞 出 版 社 1990) 中 呈 現 的 一 樣 , 有 興 趣 的 讀 者 請 參 考 ( 註 二 )。
1. 項 武 義 提 出 的 證 明
項 先 生 在 演 講 當 天 對 牛 頓 的 結 論 給 了 一 個 有 別 於 曹 先 生 書 中 的 證 明 。 但 是 由 於 項 先 生 的 目
的 只 是 先 行 ? 明 為 什 麼 在 討 論 二 體 、 三 體 或 多 體 問 題 時 可 以 把 星 球 看 成 一 點 , 所 以 證 明 有 些 簡
略 。 項 先 生 所 言 大 抵 如 下 :
49

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圖 一
如 圖 , 不 妨 假 設 只 積 一 個 半 徑 為 1 的 球 面 ( 或 球 殼 ), 剖 面 是 一 個 圓 OP = p, 另 取 p ′ 點 , 使
OP ′ = 1 p , 不 難 看 出 △OPQ 和 △OQP ′ 相 似 , 因 此 ∠OQP ′ = ∠OPQ = α。
現 考 慮 在 Q 點 的 面 積 元 素 dA, dA 對 P 的 引 力 是 ( 差 一 個 常 數 ) dA/r 2 , 又 因 球 對 稱 ,
只 需 考 慮 沿 OP 的 向 心 方 向 , 所 以 是 dA cosα/r 2 。
由 於 ∠OQP ′ = α, 由 ( 微 觀 的 ) 投 影 關 係 dA cosα 可 以 看 成 是 以 P ′ 為 心 , 沿 P ′ Q 方
向 的 面 積 元 素 , 因 此 有
dA cosα = dσ · P ′ Q 2
式 中 dσ 代 表 半 徑 為 1 的 球 面 面 積 元 素 。 又 由 相 似 三 角 形 的 比 例 關 係 而 有
或
P ′ Q/r = 1
OP
P ′ Q 2 /r 2 = 1 p 2
因 此
dA cosα/r 2 = dσ · P ′ Q 2 /r 2 = dσ/p 2
所 以
∫
∫
dA cosα/r 2 =
dσ/p 2 = 1 p 2 ∫
dσ = 1 p 2 · 4π
定 理 證 畢 。
項 先 生 的 證 明 雖 然 簡 略 , 但 是 因 為 從 幾 何 入 手 , 直 觀 上 比 較 自 然 , 唯 一 需 要 多 所 著 墨 的 是
從 微 觀 投 影 關 係 得 出 的 等 式
dA cosα = dσ · P ′ Q 2

一 個 困 擾 牛 頓 的 積 分 問 題 51
2. 嚴 格 的 證 明
如 圖 ( 單 位 球 面 )
圖 二
要 計 算 的 積 分 是 (ϕ, θ 是 球 面 坐 標 0 ≤ ϕ ≤ π, θ 省 略 , 0 ≤ θ ≤ 2π, OP = p, OP ′ = 1 p ,
PQ = r, OQ = 1)
∫ 2π ∫ π
θ=0
ϕ=0
cosα
r 2
∫ π
cosα
sin ϕ dϕ dθ = 2π sin ϕ dϕ
ϕ=0 r 2
因 為
積 分 式 變 成
r
P ′ Q = OP
1 = p
∫
2π π
p 2
ϕ=0
cosα
P ′ 2
sin ϕ dϕ
Q
在 被 積 分 的 式 子 裡 , 不 難 看 出 sin ϕ = P ′ Q sin ω, 因 此 如 果 能 夠 證 明
cosα dϕ = P ′ Qdω

52 數 學 傳 播 33 卷 1 期 民 98 年 3 月
再 將 此 代 入 積 分 , 就 可 以 得 到
∫
2π π
P ′ Q 2 sin ω dω
p 2 ϕ=0 P ′ Q 2
= 2π
p 2 ∫ π
ϕ=0
sin ω dω = 4π
p 2
此 處 注 意 到 cosα dϕ = P ′ Qdω 其 實 是 說 明 以 P ′ Q 為 半 徑 對 應 的 弧 長 P ′ Qdω 和 dϕ 之 間 的
微 觀 投 影 關 係 , 易 見 此 一 等 式 和 上 一 節 中 的 微 觀 面 積 投 影 關 係 dA cosα = dσP ′ Q 2 等 價 。( 註
三 )
上 述 一 維 的 微 觀 投 影 關 係 cosα dϕ = P ′ Qdω 如 果 要 嚴 格 的 證 明 , 必 須 利 用 極 限 求 出
dω/dϕ = cos α
P ′ Q 。
現 在 , 在 圖 二 中 , 作 ∆ϕ 和 ∆ω 的 對 應 圖
圖 三
並 由 Q 向 P ′ Q ′ 作 垂 線 段 , 垂 足 為 A, 則
當 Q ′ → Q 時 ,
P ′ Q∆ω
∆ϕ
= P ′ Q∆ω
QA
QA QQ ′
QQ ′ ∆ϕ
(1) 注 意 到 OQ ′ 是 半 徑 , Q ′ → Q 時 , α ′ + ∠QQ ′ A → π 2 , α′ → α, 所 以 QA/QQ ′ =
sin ∠QQ ′ A → cosα。
(2) QQ ′ /∆ϕ → 1, 因 為 OQ ′ = OQ = 半 徑 = 1。
(3) P ′ Q∆ω
QA = P ′ Q∆ω
P ′ Q sin ∆ω → 1。
(1) (2) (3) 相 乘 得 到
P ′ Q∆ω
∆ϕ
→ cosα, 亦 即 P ′ Qdω = cosα dϕ.

一 個 困 擾 牛 頓 的 積 分 問 題 53
3. 《 原 理 》 的 幾 何 證 明
前 文 提 到 Halliday 和 Resnick 對 牛 頓 積 分 問 題 的 評 論 , 評 論 指 出 只 有 利 用 微 積 分 , 才 能
嚴 格 證 明 「 密 度 均 勻 的 球 體 對 球 體 外 一 點 的 ( 萬 有 ) 引 力 可 以 看 成 是 質 量 全 部 集 中 在 球 心 」。
回 到 1687 年 出 版 的 《 自 然 哲 學 之 數 學 原 理 》, 在 第 十 二 章 的 命 題 71, 牛 頓 談 到 :
《 在 相 同 的 條 件 下 , 球 面 外 的 小 球 受 到 指 向 球 面 中 心 的 吸 引 力 反 比 於 小 球 到 該 中 心 距
離 的 平 方 》( 中 譯 本 182 頁 )。
本 命 題 只 論 球 面 , 因 為 球 面 的 情 形 比 球 體 的 情 形 更 為 基 本 ; 奇 妙 的 是 , 牛 頓 在 證 明 本 命 題 的 時 候 ,
大 部 分 的 想 法 均 源 自 幾 何 , 只 有 在 討 論 某 些 微 量 之 間 的 比 例 時 , 才 隱 約 用 到 求 極 限 的 方 法 ; 想 來
牛 頓 之 所 以 避 免 使 用 微 積 分 可 能 是 因 為 在 《 原 理 》 出 版 的 時 代 , 微 積 分 並 非 顯 學 。 身 為 微 積 分 發
明 人 之 一 的 牛 頓 , 為 了 提 高 《 原 理 》 一 書 的 可 讀 性 , 採 取 了 當 時 科 學 家 共 通 的 語 言 — 歐 氏 幾 何 。
本 文 在 此 不 擬 複 製 《 原 理 》 命 題 71 的 證 明 , 但 是 願 意 以 微 積 分 的 語 言 重 現 牛 頓 的 幾 何 想 法 ,
請 看 圖 四 ( 圖 中 , PQ = r, OQ = 1, OR⊥QS, OR = l, OP = p, ∠QOR = β)。
圖 四
積 分 的 式 子 如 前 :
∫ cosα sin ϕ dϕ
牛 頓 的 想 法 是 將 α, ϕ, r 以 l 表 達 , 並 找 出 相 關 的 微 量 關 係 , 因 此 必 須 先 將 l 變 化 到 l + ∆l,
如 圖 五 。( 圖 中 OR ′ ⊥Q ′ S ′ , OR ′ = l + ∆l, OR ′ 和 QS 交 於 F)
r 2

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圖 五
作 QT ′ 垂 直 PQ ′ , 垂 足 為 T ′ 。 以 下 的 論 證 多 從 比 例 入 手 ; 論 證 中 涉 及 取 極 限 Q ′ → Q 之 後 方
能 成 立 的 等 式 皆 以 近 似 等 號 ≈ 表 示 ; 論 證 分 為 五 個 步 驟 。
( 一 ) ∠QQ ′ T ′ 在 近 似 之 下 是 一 個 弦 切 角 , 因 此 ∠QQ ′ T ′ = π − ∠QQ ′ O − ∠OQ ′ R ′ ≈
π − π 2 − ∠OQF = π 2 − (α + ϕ) = β( 圖 四 )
所 以 有 QT ′ = QQ ′ sin ∠QQ ′ T ′ ≈ QQ ′ sin β ≈ ∆ϕ sin β( 圖 五 ), 或 ∆ϕ ≈ QT ′ / sin β。
( 二 ) QT ′ /FR ′ = PQ/PF, 但 是 因 為 FR ′ ≈ ∆l, PF ≈ PR
所 以 有 QT ′ = FR ′ (PQ/PF) ≈ PQ ∆l = PR
( 三 ) sin ϕ = r sin α = rl/p( 圖 四 )。
( 四 ) sin β = √ 1 − l 2 ( 圖 四 )。
( 五 ) 將 ( 一 ), ( 二 ), ( 三 ), ( 四 ) 的 結 果 代 入 積 分 式 , 得 到
cosα sin ϕ dϕ
r 2
≈ l cosα
rp
≈ l cosα
rp
從 ( 一 ) 至 ( 五 ) 的 討 論 可 知
分 與 p 2 成 反 比 ( 註 四 )。
≈
最 後 補 充 一 點 , 上 式 的 右 邊
∫
2 1
二 對 一 的 緣 故 ; 計 算
p 2 0
可 以 看 成 「 質 量 全 部 集 中 在 球 心 」。( 註 五 )
cos α ∆ϕ rl
r 2 p ( 根 據 ( 三 ) )
r
pcos α ∆l( 圖 五 )。
QT ′
sin β ( 根 據 ( 一 ))
r ∆l
p cosα sin β ( 根 據 ( 二 )) = 1 l∆l
p 2 sin β = 1 p 2
∫ cos α sinϕ dϕ
∫
= 1 l dl
r 2 p 2 √
1−l 2
易 見
∫
√ l dl
∫ 1
1−l 2
應 該 解 釋 為
0
√l dl 2
1−l 2, 得 值 , 所 以 2π ∫ cos α sinϕ dϕ
p 2 r 2
l∆l
√
1 − l
2 ( 根 據 ( 四 ))。
∫ l dl √
1−l 2
是 一 個 定 值 , 所 以 積
√l dl
1−l 2
的 兩 倍 , 這 是 因 為 ϕ 對 到 l 是
= 4π
p 2 , 表 示 球 面 的 引 力 確

一 個 困 擾 牛 頓 的 積 分 問 題 55
註 一 . 牛 頓 在 1687 年 出 版 《 自 然 哲 學 之 數 學 原 理 》(The Mathematical Principles of Natural
Philosophy 或 Principia)。 出 版 時 的 標 題 為 Philosophiae naturalis principia
mathematica.
中 譯 本 於 2005 年 2 月 由 台 北 大 塊 文 化 出 版 , 譯 者 是 王 克 迪 先 生 。 有 關 本 文 談 到 的 問 題 請
見 中 譯 本 第 十 二 章 《 球 體 的 吸 引 力 》。
註 二 . 曹 亮 吉 在 所 著 微 積 分 15.24 ∼ 15.25 呈 現 的 計 算 如 下 ( 圖 中 ρ, ϕ, θ 是 球 坐 標 0 ≤ ϕ ≤
π ,0 ≤ θ ≤ 2π, OP = p, PQ = r, OQ = ρ):
半 徑 為 R, 密 度 為 1, 總 質 量 為 M 的 球 體 對 球 外 一 點 P ( 質 量 m) 的 萬 有 引 力 是 ( 差 上
一 個 萬 有 引 力 常 數 )
∫ R ∫ π ∫ 2π
0
0
0
cos α m r 2ρ2 sin ϕ dθ dϕ dρ = 2πm
∫ R ∫ π
0
0
cosα
ρ 2 sin ϕ dϕ dρ
r 2
由 於 α, r 和 ϕ, ρ 有 關 , 無 法 直 接 積 分 。 利 用 餘 弦 定 律 , 並 且 暫 時 把 ρ 看 成 常 數 ( 也 就
是 說 先 對 一 層 球 殼 積 分 )
由 後 一 式 得
代 入 原 積 分 式 得
cosα = p2 + r 2 − ρ 2
, 及 2pρ cosϕ = p 2 + ρ 2 − r 2
2pr
2pρ sin ϕ dϕ = 2rdr 或 sin ϕ dϕ = r
pρ dr
∫ R ∫ p+ρ
2πm ρ 2 dρ
0 p−ρ
= πm ∫ R
ρ dρ
p 2
0
∫ p+ρ
p 2 + r 2 − ρ 2
p−ρ
2pr
1 r
r 2 pρ dr
p 2 + r 2 − ρ 2
dr
r 2

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= πm
p 2 ∫ R
0
= πm
p 2 ∫ R
註 三 . 如 果 cosα dϕ = P ′ Qdω, 則
0
)
ρ dρ
(r − p2 − ρ 2 ∣∣∣ r=p+ρ
r r=p−ρ
4ρ 2 dρ
= πm
p · 4
2 3 R3 = Mm
p 2
式 中 sin ω dω dθ 就 是 第 二 節 中 的 dσ。
cos α dA = cosαsin ϕ dϕ dθ
= P ′ Q sin ϕ dω dθ
= P ′ Q P ′ Q sin ω dω dθ
= P ′ Q 2 sin ω dω dθ
註 四 . 《 原 理 》 證 明 的 關 鍵 在 於 由 ( 一 )、( 二 ) 兩 個 步 驟 得 出 的 結 論
∆ϕ sin β ≈
r
p cosα ∆l
此 式 相 當 於 微 分 關 係 式 dϕ sinβ =
r dl, 以 下 是 嚴 格 的 證 明 ( 圖 四 )
p cos α
由 l = cosβ = p sin α, 得 dl = − sin β dβ = p cosα dα, 但 因 (α +ϕ) +β = π, 所
2
以 sin β(dϕ+dα) = − sin β dβ = p cosα dα 或 sin β dϕ = (p cosα−sin β)dα =
r dα, 又 因 為
係 式 得 證
r
dl = pcos α
r p cosα dα = r dα, 可 得 sin β dϕ =
pcos α
歡 迎 讀 者 比 較 “ 幾 何 的 ” 證 明 ( 如 ( 一 ) 、( 二 )) 和 “ 微 分 的 ” 證 明 ( 如 本 註 四 )。
註 五 . 積 分 的 目 的 是 要 求 總 量 I, 方 法 是 以 微 量 dI 求 和 而 寫 下 積 分 式
∫
dI
若 要 計 算 上 式 , 必 須 選 擇 適 當 的 參 數 t, 再 將 積 分 式 表 為
∫ dI
dt dt
r dl, 微 分 關
pcos α
dI
亦 即 從 得 回 I, 此 一 過 程 稱 為 微 積 分 基 本 定 理 。 本 文 的 註 二 選 擇 r 為 積 分 參 數 , 但 在
dt
本 文 第 三 節 中 重 現 《 原 理 》 的 計 算 過 程 則 是 選 擇 l 為 積 分 參 數 , 兩 者 各 擅 勝 場 。
— 本 文 作 者 為 台 大 數 學 系 退 休 教 授 —