Onde-Oscillazioni-Acustica

Capitolo 4
Onde Acustiche
4.1 Onde acustiche in una colonna di gas
Supponiamo di avere una colonna innita di gas e di applicare una perturbazione
(onda) con un pistone. Questa perturbazione si propaga nel tubo
e genera un'onda acustica. Le molecole del gas subiscono un moto oscillatorio
attorno alla loro posizione di equilibrio.
Figura 4.1: Perturbazione in una colonna di gas.
La perturbazione sarà di: posizione (spostamento), di pressione e di densità.
Quindi possiamo descrivere la perturbazione con una delle dierenti
45

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 46
rappresentazioni.
Figura 4.2: Perturbazione di posizione, pressione e densità.
Consideriamo ora un elementino della colonna di sezione S e lunghezza
dx tale che dx ≪ λ e dx ≫ s(x, t) dove s è lo spostamento causato dalla
perturbazione.
Figura 4.3: Elementino di una colonna di gas sottoposto a perturbazione.
Al passaggio della perturbazione varia il volumetto, perché varia la distanza
tra le sue facce. Di conseguenza varia anche al densità, ma non la

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 47
massa dm in esso contenuta. Da questa constatazione ricaviamo che
δρ(x, t) = −ρ 0
∂s(x, t)
∂x
Vediamo come ricaviamo questa relazione. La massa dell'elementino la
scriviamo come
[ ]
ρ (x + dx, t) + ρ (x, t)
dm = ρ 0 Sdx =
S [x + dx + s (x + dx, t) − (x + s(x, t))]
2
La densità la possiamo scrivere come
ρ(x, t) = ρ 0 + δρ(x, t)
e sostituendo nell'espressione della massa dell'elementino otteniamo:
ρ 0 + δρ(x, t) + ∂δρ
∂x dx + (ρ 0 + δρ(x, t))
2
= ρ 0 + δρ(x, t)
per il primo fattore e per il secondo possiamo scrivere
(
∂s(x, t)
dx + s(x, t) +
∂x dx − s(x, t) = dx 1 + ∂s )
∂x
La massa dell'elementino la possiamo scrivere quindi come
(
dm = ρ 0 Sdx = Sdx (ρ 0 + δρ(x, t)) 1 +
e quindi si ottiene
= Sdx
ρ 0 = ρ 0 + δρ(x, t) + ρ 0
∂s(x, t)
∂x
come si voleva dimostrare.
Equilibrio dinamico dell'elementino dm
(
ρ 0 + δρ + ρ 0
∂s
∂x + 0 )
∂s(x, t)
∂x
)
=⇒ δρ(x, t) = −ρ 0
∂s(x, t)
∂x
dF = −F (x + dx, t) + F (x, t) = −S [p(x + dx, t) − p(x, t)]
= −S [δp(x + dx, t) − δp(x, t)]
[
= −S δp(x, t) + ∂δp
]
∂x dx − δp(x, t)
= −S
∂δp(x, t)
dx
∂x

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 48
ma in x vale la legge di elastictà e nell'intorno di x si ha anche ρV = cost e
quindi
ρV = cost =⇒ d (ρV ) = 0 =⇒ dρV + ρdV = 0 =⇒ dρ
ρ = −dV V
−β dV V
La costante di comprimibilità è denita da β = − dp
dV
V
= β dρ = β δρ
ρ ρ 0
= −β ρ 0 ∂s(x,t)
ρ 0
da cui segue
∂x
dove δρ(x, t) e δp(x, t) sono in fase.
Sostituendo si ottiene
∂s(x, t)
δp = −β
∂x
dF = βS ∂
∂x
∂s(x, t)
∂x
dx
= βS ∂ 2 s(x, t)
dx
∂x 2
= dm ∂ 2 s(x, t)
∂t 2
= ρ 0 S ∂ 2 s(x, t)
dx
∂t 2
Eliminando da entrambe i membri dx e S si ottiene
∂ 2 s(x, t)
∂x 2 =
1
β ∂ 2 s(x,t)
ρ 0 ∂t 2
= 1 v 2 ∂ 2 s(x, t)
∂t 2 con v =
e quindi dp = δp =
√
β
Oltre all'onda di spostamento s(x, t) abbiamo anche le onde di pressione
δp(x, t) e di densità δρ(x, t), ovviamente co-propaganti con la stessa velocità:
∂ 2 δp(x, t)
= 1 ∂ 2 δp(x, t)
∂x 2 v 2 ∂t 2
∂ 2 δρ(x, t)
= 1 ∂ 2 δρ(x, t)
∂x 2 v 2 ∂t 2
Dimostriamo per la pressione:
∂ 2 δp
∂x = ∂ (
2
−β ∂s )
= −β ∂ ( ) ∂ 2 s
2 ∂x 2 ∂x ∂x ∂x 2
1 ∂ 2 δp
= 1 (
∂ 2
−β ∂s )
= −β ∂ ( ) 1 ∂ 2 s
= −β ∂ ( ) ∂ 2 s
v 2 ∂t 2 v 2 ∂t 2 ∂x ∂x v 2 ∂t 2 ∂x ∂x 2
ρ 0

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Siccomei secondi termini sono uguali, allora lo sono anche i primi.
La stessa dimostrazione la possiamo fare per la densità.
Abbiamo visto che anche la potenza trasferita dall'onda si propaga e rispetta
l'equazione delle onde. Nel caso specico, siccome abbiamo l'onda
di pressione δp(x, t), possiamo subito scrivere l'onda di potenza P (x, t) =
δp(x, t)S ∂s
∂s
istantanea notando che δp(x, t) S è la forza e è lo spostamento
∂t ∂t
nell'unità di tempo cioè la velocità. Espressa in s(x, t):
∂s(x, t) ∂s(x, t)
P (x, t) = −βS
∂x ∂t
Se consideriamo un'onda armonica s(x, t) = s m sin(kx − ωt) ricaviamo
δp(x, t) = −β ∂s
(
∂x = −βks m cos (kx − ωt) = βks m sin kx − ωt − π )
2
∂s
(
δρ(x, t) = −ρ 0
∂x = −ρ 0ks m cos (kx − ωt) = ρ 0 ks m sin kx − ωt − π )
2
dalle quali possiamo denire
δp m = βks m
δρ m = ρ 0 ks m
Le onde di pressione e densità sono in fase tra di loro e in anticipo di π 2
rispetto all'onda di spostamento. L'onda di potenza diventa:
P (x, t) = −βS (s m k cos(kx − ωt)) (−ωs m cos(kx − ωt))
= βSs 2 ω 2
m
v cos2 (kx − ωt) =
= βSs 2 mk 2 v cos 2 (kx − ωt)
= ρ 0 Ssm 2 ω 2 v cos 2 (kx − ωt)
Possiamo calcolare anche la potenza media:
¯P = 1 2 ρ 0Ss 2 mω 2 v
= 1 2 βSs2 mk 2 v
= (δp m) 2
2ρ 0 v S
L'intesità dell'onda acustica è quindi data da
I = ¯P
S = (δp m) 2 [ ] W
2ρ 0 v m 2
L'orecchio umano percepisce come suono la frequenza tra 20 Hz e 20 kHz
di intensità compresa (a 1 kHz) tra la soglia di udibilità I = 10 −12 W/m 2 e la
soglia del dolore I = 1W/m 2 .

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 50
Accenni di termodinamica
L'equazione da cui partiamo è quella dei gas perfetti
pV = nRT
[J]
La costante R = kN A = 8.31 [Jk −1 mol −1 ] è detta costante di gas.
La trasformazione che avviene nel volumetto di massa dm al passaggio
della perturbazione ondosa è, in senso termodinamico, adiabatica, cioè avviene
senza scambio di energia con il mondo esterno. Per le trasformazioni
adiabatiche la relazione tra p e V è data da
pV γ = cost =⇒ d (pV γ ) = 0 =⇒ dp = −γp dV V = −β dV V
e quindi la relazione tra la costante di comprimibilità e la pressione è data
da
β = γP 0
e quindi
√ γp0
v =
Applicando la legge dei gas perfetti e notando che la massa M, associata la
volume V , è nA˙10 ˙ −3 1 e che vale sempre la relazione ρ = M si ha:
V
√ √ √
γnRT γnRT γR
v = =
V M nA10 = −3 A 103√ T = α √ T
V
ρ 0
La costante α per l'aria in condizioni standard 2 è 20.055.
Riportiamo ora le velocità di propagazione del segnale sonoro in diversi
gas
α N2 = 20.28 A N2 = 28 v 0C = 337m/s
α O2 = 19.07 A O2 = 32 v 0C = 315m/s
α H2 = 76.3 A H2 = 2 v 0C = 1260m/s
α He = 58.9 A He = 4 v 0C = 970m/s
α aria = 20.055 A aria = 28.926 v 0C = 331m/s
α aria = 20.055 A aria = 28.926 v 20C = 343m/s
1 le moli sono denite in grammi e la massa in kg
2
T = 0 deg C = 273.15K
p = 1.0132510 5 P a
ρ = 1.29kg/m 3
α = 1.4

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4.2 Onde sferiche
Il fronte d'onda è una sfera centrata sulla sorgente (puntiforme).
Figura 4.4: Onda sferica centrata su una sorgente puntiforme.
La scelta tra onde piane o sferiche dipende dalla distanza della sorgente e
dalla zona di osservazione. Per noi sulla terra le onde luminose che ci arrivano
dal sole sono piane! Nel caso sferico
rξ(r, t) = r 0 ξ 0 sin(kr − ωt)
e soddisfa un'equazione delle onde in coordinate sferiche
in cui
∂ 2 ξ (rξ(r, t))
∂r 2
= 1 v 2 ∂ 2 ξ (rξ(r, t))
∂t 2
ξ(r, t) = r 0ξ 0 (r 0 )
sin(kr − ωt) ξ 0 (r) = ξ 0 (r 0 ) r 0
r
r
L'intensità della perturbazione dipende dal quadrato dell'ampiezza della
perturbazione I(r) ∝ ξ0(r) 2 e quindi
I(r) = r2 0
r 2 I(r 0)
Per ricordarlo basta pensare che la potenza media che attraversa un fronte
d'onda (sferico) è la stessa qualunque sia il fronte d'onda che consideriamo
(supponendo nulla l'attenuazione). Vediamo ora la potenza media
da cui l'intensità diventa
¯P = I(r 1 )4πr 2 1 = I(r 2 )4πr 2 2
I(r 2 ) = 4πr2 1
4πr 2 2
I(r 1 ) = r2 1
I(r
r2
2 1 )

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 52
Figura 4.5: Potenza media di un'onda sferica.
La potenza che si propaga in un certo angolo solido si conserva (a meno
dell'attenuazione). Se l'angolo solido è tutto lo spazio (sfera) esso vale 4π.
Se c'è attenuazione essa si scrive come e −αr e moltiplica l'intensità. α è
la costante di attenuazione α[m −1 ]. Nota l'intensità in r = r 0 , o la ¯P della
sorgente puntiforme si scrive, con l'attenuazione:
avendo posto
I(r) = r2 o
I(r) =
r 2 I(r)e−α(r−r 0)
¯P
4πr 2 e−αr
¯P = 4πr 2 0I(r 0 )
con r 0 → 0 se la sorgente è puntiforme
In generale, se la sorgente emette una potenza media
solido Σ [sterad] ≠ 4π si ha:
¯P in un angolo
I(r) =
¯ P Σ
Σr 2 e−αr
Nelle onde acustiche l'intensità si esprime in rapporto ad una intensità
di riferimento, che convenzionalmente, coincide con la soglia di udibilità del
suono ed è pari a I 0
def
= 10 −12 W/m 2 .

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 53
Figura 4.6: Livello sonoro per l'orecchio umano.
L'intensità in rapporto alla soglia convenzionale di udibilità si chiama
livello sonoro L quando è espresso in dB
L def
= I I 0
[dB] def
= 10log 10
( I
I 0
)
I 0
def
= 10 −12 W/m 2
4.3 Interferenza di onde sferiche armoniche
Abbiamo visto il fenomeno nel caso dele onde piane e notato che non è
altro che uno degli eetti della linearità (sovrapposizione degli eetti)
ξ(x, t) = ξ 1 (x, t) + ξ 2 (x, t)
= ξ 0 sin(kx − ωt − ϕ 1 ) + ξ 0 sin(kx − ωt − ϕ 2 )
= 2ξ 0 cos( ∆ϕ
2 ) sin(kx − ωt − ϕ′ )
ϕ 2 > ϕ 1
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1
ϕ ′ = ϕ 1+ϕ 2
2
A = 2ξ 0 cos( ∆ϕ ) 2
La somma è un'onda con ampiezza che dipende dalla dierenza di fase
tra le onde co-propaganti ed in particolare
{ 0 per ∆ϕ = (2m + 1)π =⇒ onde in oppos. di fase: interf. distruttiva
A =
2ξ 0 per ∆ϕ = 2mπ =⇒ onde in fase: interf. costruttiva

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 54
Se le ampiezza non sono uguali, l'ampiezza dell'onda di interferenza non
varierà più da 0 a 2ξ 0 ma :
∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ∣∣ξ01 ∣∣
∣ξ 01 − ξ 02 ≤ A(∆ϕ) ≤ + ξ 02
con il minimo e il massimo agli stessi ∆ϕ.
Nel caso delle onde sferiche è lo stesso ,basta pensare ai fronti d'onda
sferici, che rappresentano le superci di propagazione sulle quali la fase dell'onda
è costante. Per semplici considerazioni geometriche ci saranno punti
dello spazio in cui l'intensità è costruttiva e altri in cui è distruttiva.
Figura 4.7: Interferenza di onde sferiche. Nei punti P c le onde sono in fase
mentre nei punti P d sono in opposizione di fase.
Preso un punto P , la dierenza di cammino percorso dalle due onde è
∆L = |r 1 − r 2 |
e la dierenza di fase ∆ϕ tra le onde dipende da ∆L. Infatti:
∆ϕ
2π = ∆L { ∆L = mλ interferenza costruttiva
λ =⇒ ∆L = 2m+1 λ interferenza distruttiva
2

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4.4 Onde Stazionarie
Come nel caso della corda, due onde armoniche simili contropropaganti
danno origine a onde stazionarie. Nel caso delle canne oltre alle condizioni di
nodo-nodo è possibile anche la congurazione nodo-ventre (vd. Figura 4.8).
Figura 4.8: Onde stazionarie in una canna. A sinistra è rappresentata l'onda
di pressione nel caso di nodo-nodo (a) e nodo ventre(b). A destra l'onda
di spostamento nel caso ventre-ventre (a) e ventre-nodo (b). Si noti che la
canna aperta presenta una condizione di nodo per l'onda di pressione e di
ventre per l'onda di spostamento. Viceversa per la canna chiusa.
4.5 Battimenti
I battimenti sono l'eetto sonoro che si percepisce nel caso di onde copropaganti
di frequenza molto simile. Consideriamo due onde piane di questo
tipo, di eguale ampiezza, e vediamo cosa percepisce un osservatore che si
trovi in un punto sso P. In un punto P qualunque ma ssato, l'ampiezza
dell'onda varia secondo la legge dell'oscillatore armonico ξ(t)| x=cost = ξ 0 sin ωt
con opportuna scelta di t = 0 per non avere una fase aggiuntiva.
Consideriamo ora due onde di ampiezza uguale e frequenza diversa ma
simile, ω 1 e ω 2 . Siccome l'eetto è sonoro, prendiamo per esempio due onde

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di pressione δp 1 (t) ∣ = δp m sin ω 1 t e δp 2 (t) ∣ = δp m sin ω 2 t allora:
x=cost x=cost
δp(t) = δp m (sin ω 1 t + sin ω 2 t)
( ) ( )
ω1 − ω 2 ω1 + ω 2
= 2δp m cos t sin t
2
2
⎧
⎪⎨ ω = ω 1+ω 2
≈ ω
2 1 ≈ ω 2
∣
= 2δp m cos Ωt sin ωt
ω1 −ω 2
Ω = ⎪⎩
2
A(t) = 2δp m cos Ωt
Figura 4.9: Battimenti di due onde sonore. La risultante ha pulsazione Ω.
L'ampiezza dell'oscillazione di frequenza ω che percepiamo in P varia
2π
nel tempo da 0 a 2δp m come A(t). Siccome il nostro orecchio è sensibile
all'intensità, non facendo nessuna analisi di fase, possiamo scrivere l'intensità
in P come
I = I max cos 2 Ωt poichè I dipende da (δp) 2
Poiché il periodo della funzione cos 2 Ωt è la metà di quello di cos Ωt, la
frequenza con cui varia l'intensità, frequenza di battimento
4.6 Eetto Doppler
ν bat = 2Ω
2π = ∣ ∣∣ν1
− ν 2
∣ ∣∣
Se la sorgente e l'ascoltatore sono in moto tra di loro, cioè la loro distanza
varia con una velocità che è minore di quella di propagazione ma non trascurabile,
la frequenza percepita dall'ascoltatore è diversa da quella che viene
emessa dalla sorgente.

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Figura 4.10: Eetto Doppler.
E' importante ssare le convenzioni di segno. Le formule che si ottengono
dipendono dalle convenzioni di segno!
Usiamo le convenzioni implicitamente usate dal Mazzoldi che prendono
come positive tutte le velocità se congruenti con la velocità di propagazione
v (vd. Figura 4.11). Sia S la sorgente e R il rivelatore (o ascoltatore). Con
Figura 4.11: Convenzioni di segno per le velocità nell'eetto Doppler.
queste convenzioni per v s positiva la distanza tra S e R si riduce mentre per
v R positiva la distanza tra S e R aumenta.
1. R fermo e S si avvicina a R. Allora v r = 0 e v S > 0.
La distanza temporale tra due fonti d'onda emessi da una sorgente
ferma è T 0 , mentre la loro distanza spaziale è λ 0 .Possiamo immaginare

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che R riveli la frequenza contando i fronti d'onda che lo raggiungono
nell'unità di tempo (p.es. 1 s). Se nel tempo T 0 la sorgente si avvicina
di v S T 0 ′ , perché si muove verso R con velocità v s, i due fronti d'onda
successivi arriveranno a R, muovendosi entrambi con velocità v, avendo
una distanza ridotta λ R = λ 0 − v s T 0 e la frequenza percepita da R
quando lo raggiungeranno con velocità v sarà
ν R = v
λ R
=
v
λ 0 − v s T 0
=
v
v
ν 0
− vs
= v ν 0
ν 0
v − v s
Se S si allontana, v s è negativa e la relazione resta la stessa.
2. S ssa e R si allontana (per avere v r > 0 secondo le nostre convenzioni)
allora v s = 0, v R > 0 e v r < v.
Poiché S è ferma, la distanza tra i fronti d'onda non cambia, ma poiché
l'osservatore si allontana da S e quindi dai fronti d'onda che stanno arrivando,
per l'osservatore è come se la velocità di propagazione dell'onda
fosse ridotta di v R e quindi
ν R = v − v R
λ 0
= v − v R
ν 0
v
3. Se si muovono entrambi, sempre secondo le convenzioni di segno applicate,
si scrive la relazione generale
ν R = v − v R
v − v S
ν 0 .
Poiché le onde sono sferiche e si propagano in tutte le direzioni con superci
sferiche di propagazione, è evidente che con v R e v S si intendono
le componenti di ⃗v R e ⃗v S nella direzione della retta congiungente S e R
e con il verso da S a R per le convenzioni di segno prese.
4.7 Velocità di fase e velocità di gruppo
In tutte le nostre ipotesi il mezzo è perfettamente elastico, o meglio non
dispersivo, cioè il comportamento non dipende dalla frequenza dell'onda
e v è la stessa per tutte le frequenze. Se il mezzo è dispersivo e
londa è formata da un pacchetto che, con Fourier, contiene molte frequenze,
allora v p = ω è la velocità di fase che dipende da ω. In generale
k

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si usa scrivere ω = ω(k) con ω(k) = v(k)k. Si deniscono quindi
v p = ω(k)
k
v g = dω(k)
dk
velocità di fase
velocità di gruppo