Onde-Oscillazioni-Acustica

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CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 46 rappresentazioni. Figura 4.2: Perturbazione di posizione, pressione e densità. Consideriamo ora un elementino della colonna di sezione S e lunghezza dx tale che dx ≪ λ e dx ≫ s(x, t) dove s è lo spostamento causato dalla perturbazione. Figura 4.3: Elementino di una colonna di gas sottoposto a perturbazione. Al passaggio della perturbazione varia il volumetto, perché varia la distanza tra le sue facce. Di conseguenza varia anche al densità, ma non la
CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 47 massa dm in esso contenuta. Da questa constatazione ricaviamo che δρ(x, t) = −ρ 0 ∂s(x, t) ∂x Vediamo come ricaviamo questa relazione. La massa dell'elementino la scriviamo come [ ] ρ (x + dx, t) + ρ (x, t) dm = ρ 0 Sdx = S [x + dx + s (x + dx, t) − (x + s(x, t))] 2 La densità la possiamo scrivere come ρ(x, t) = ρ 0 + δρ(x, t) e sostituendo nell'espressione della massa dell'elementino otteniamo: ρ 0 + δρ(x, t) + ∂δρ ∂x dx + (ρ 0 + δρ(x, t)) 2 = ρ 0 + δρ(x, t) per il primo fattore e per il secondo possiamo scrivere ( ∂s(x, t) dx + s(x, t) + ∂x dx − s(x, t) = dx 1 + ∂s ) ∂x La massa dell'elementino la possiamo scrivere quindi come ( dm = ρ 0 Sdx = Sdx (ρ 0 + δρ(x, t)) 1 + e quindi si ottiene = Sdx ρ 0 = ρ 0 + δρ(x, t) + ρ 0 ∂s(x, t) ∂x come si voleva dimostrare. Equilibrio dinamico dell'elementino dm ( ρ 0 + δρ + ρ 0 ∂s ∂x + 0 ) ∂s(x, t) ∂x ) =⇒ δρ(x, t) = −ρ 0 ∂s(x, t) ∂x dF = −F (x + dx, t) + F (x, t) = −S [p(x + dx, t) − p(x, t)] = −S [δp(x + dx, t) − δp(x, t)] [ = −S δp(x, t) + ∂δp ] ∂x dx − δp(x, t) = −S ∂δp(x, t) dx ∂x
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