Onde-Oscillazioni-Acustica

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 47
massa dm in esso contenuta. Da questa constatazione ricaviamo che
δρ(x, t) = −ρ 0
∂s(x, t)
∂x
Vediamo come ricaviamo questa relazione. La massa dell'elementino la
scriviamo come
[ ]
ρ (x + dx, t) + ρ (x, t)
dm = ρ 0 Sdx =
S [x + dx + s (x + dx, t) − (x + s(x, t))]
2
La densità la possiamo scrivere come
ρ(x, t) = ρ 0 + δρ(x, t)
e sostituendo nell'espressione della massa dell'elementino otteniamo:
ρ 0 + δρ(x, t) + ∂δρ
∂x dx + (ρ 0 + δρ(x, t))
2
= ρ 0 + δρ(x, t)
per il primo fattore e per il secondo possiamo scrivere
(
∂s(x, t)
dx + s(x, t) +
∂x dx − s(x, t) = dx 1 + ∂s )
∂x
La massa dell'elementino la possiamo scrivere quindi come
(
dm = ρ 0 Sdx = Sdx (ρ 0 + δρ(x, t)) 1 +
e quindi si ottiene
= Sdx
ρ 0 = ρ 0 + δρ(x, t) + ρ 0
∂s(x, t)
∂x
come si voleva dimostrare.
Equilibrio dinamico dell'elementino dm
(
ρ 0 + δρ + ρ 0
∂s
∂x + 0 )
∂s(x, t)
∂x
)
=⇒ δρ(x, t) = −ρ 0
∂s(x, t)
∂x
dF = −F (x + dx, t) + F (x, t) = −S [p(x + dx, t) − p(x, t)]
= −S [δp(x + dx, t) − δp(x, t)]
[
= −S δp(x, t) + ∂δp
]
∂x dx − δp(x, t)
= −S
∂δp(x, t)
dx
∂x