Onde-Oscillazioni-Acustica

CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 48
ma in x vale la legge di elastictà e nell'intorno di x si ha anche ρV = cost e
quindi
ρV = cost =⇒ d (ρV ) = 0 =⇒ dρV + ρdV = 0 =⇒ dρ
ρ = −dV V
−β dV V
La costante di comprimibilità è denita da β = − dp
dV
V
= β dρ = β δρ
ρ ρ 0
= −β ρ 0 ∂s(x,t)
ρ 0
da cui segue
∂x
dove δρ(x, t) e δp(x, t) sono in fase.
Sostituendo si ottiene
∂s(x, t)
δp = −β
∂x
dF = βS ∂
∂x
∂s(x, t)
∂x
dx
= βS ∂ 2 s(x, t)
dx
∂x 2
= dm ∂ 2 s(x, t)
∂t 2
= ρ 0 S ∂ 2 s(x, t)
dx
∂t 2
Eliminando da entrambe i membri dx e S si ottiene
∂ 2 s(x, t)
∂x 2 =
1
β ∂ 2 s(x,t)
ρ 0 ∂t 2
= 1 v 2 ∂ 2 s(x, t)
∂t 2 con v =
e quindi dp = δp =
√
β
Oltre all'onda di spostamento s(x, t) abbiamo anche le onde di pressione
δp(x, t) e di densità δρ(x, t), ovviamente co-propaganti con la stessa velocità:
∂ 2 δp(x, t)
= 1 ∂ 2 δp(x, t)
∂x 2 v 2 ∂t 2
∂ 2 δρ(x, t)
= 1 ∂ 2 δρ(x, t)
∂x 2 v 2 ∂t 2
Dimostriamo per la pressione:
∂ 2 δp
∂x = ∂ (
2
−β ∂s )
= −β ∂ ( ) ∂ 2 s
2 ∂x 2 ∂x ∂x ∂x 2
1 ∂ 2 δp
= 1 (
∂ 2
−β ∂s )
= −β ∂ ( ) 1 ∂ 2 s
= −β ∂ ( ) ∂ 2 s
v 2 ∂t 2 v 2 ∂t 2 ∂x ∂x v 2 ∂t 2 ∂x ∂x 2
ρ 0