1 Spin 1: equazioni di Maxwell e Proca

1 Spin 1: equazioni di Maxwell e ProcaProcaParticelle di spin 1 possono essere descritte da un campo vettoriale A µ (x). Nel caso diparticelle massive di massa m le equazioni libere sono conosciute come equazioni di Proca esono derivabili dalla seguente azione∫S Pro [A µ ] =dove si è usata la definizione(d 4 x − 1 4 F µνF µν − 1 )2 m2 A µ A µ(1)F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (2)Un’integrazione per parti permette di ottenere una forma alternativa dell’azione∫ (S Pro [A µ ] = d 4 x − 1 2 ∂ νA µ ∂ ν A µ + 1 2 (∂ µA µ ) 2 − 1 )2 m2 A µ A µsimile all’azione di quattro campi di Klein Gordon (primo e terzo termine) ma con l’aggiuntacruciale del termine (∂ µ A µ ) 2 . Variando A µ si ottengono le equazioni del motoδS Pro [A]δA ν (x) ≡ ∂µ F µν − m 2 A ν (x) = 0 . (4)Queste sono le equazioni di Proca. Possono essere scritte in una forma equivalente notandol’indentità ∂ µ ∂ ν F µν = 0 che implicaQuindi per m ≠ 0 si ha il vincolo∂ µ ∂ ν F µν = m 2 ∂ ν A ν (x) = 0 . (5)(3)∂ µ A µ = 0 . (6)Utilizzando questa relazione si possono scrivere le equazioni di Proca come quattro equazionidi Klein-Gordon con in più un vincolo(□ − m 2 )A µ = 0∂ µ A µ = 0 . (7)Questo ci dice che dei quattro campi A µ solo tre di essi sono indipendenti, e descrivonoin modo covariante le tre polarizzazioni associate ad una particella di spin 1. L’invarianzadell’azione e delle equazioni del moto per trasformazioni di Lorentzx µ −→ x µ′ = Λ µ νx νA µ (x) −→ A µ ′ (x ′ ) = (D(Λ)) µ ν A ν (x) = Λ µ ν A ν (x) (8)è manifesta: basta trasformare il campo A µ nella rappresentazione quadrivettoriale comeindicato dal suo indice.1

SoluzioniÈ facile trovare soluzioni di onda piana dell’equazione di Proca. Inserendo in (7) l’ansatzA µ = ε µ (p)e ip·x (9)si trova che: (i) il momento p µ deve soddisfare alla condizione di “mass shell” p µ p µ = −m 2(prima equazione in (7)), (ii) una combinazione lineare della quattro possibili polarizzazionideve essere nulla, p µ ε µ (p) = 0 (seconda equazione in (7)). Le tre rimanenti polarizzazionidescrivono i tre gradi di libertà di una particella con spin 1. Soluzioni reali possono facilmenteessere ottenute sommando con opportuni coefficienti di Fourier queste onde piane.MaxwellPer m → 0 l’azione di Proca si riduce all’azione di Maxwell che descrive particelle dimassa nulla e spin 1 (elicità 1)le equazioni del moto ora sono∫S Max [A µ ] =(d 4 x − 1 )4 F µνF µν(10)∂ µ F µν = 0 (11)e corrispondono a metà delle equazioni di Maxwell nel vuoto. L’altra metà delle equazionidi Maxwell sono automaticamente soddifatte dalla relazioneche infatti soddisfa alle identità di BianchiF µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ (12)∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0 (13)corrispondenti alle equazioni di Maxwell mancanti. Infatti sostituendo (12) in (13) si vedeche tutti i termini ci cancellano due a due. Questa equazione può essere scritta anche in unaforma equivalente usando il tensore completamente antisimmetrico ǫ µνλρǫ µνλρ ∂ ν F λρ = 0 . (14)La novità di questa formulazione di particelle massless di spin 1 è la presenza di unasimmetria di gaugeδA µ (x) = ∂ µ λ(x) (15)che implica che l’azione descriva non tre ma solo due gradi di libertà: gli stati di spin massimoe minimo lungo la direzione del moto (elicità).Equazioni di MaxwellAccoppiando il campo A µ ad una sorgente di carica conservata J µ (∂ µ J µ = 0) si hal’azione∫ (S Max [A µ ] = d 4 x − 1 )4 F µνF µν + A µ J µ (16)2

da cui si ottengono le equazioni di Maxwell con sorgente∂ µ F µν = −J ν (17)La conservazione della corrente è necessaria per la consistenza delle equazioni di Maxwell.Infatti∂ µ ∂ ν F µν = 0 =⇒ ∂ ν J ν = 0 . (18)Esplicitiamo queste equazioni separando gli indici in parti spaziali e parti temporali.PonendoA µ = (A 0 , A) ⃗ = (φ, A) ⃗ , A µ = (−φ, A) ⃗J µ = (ρ, J) ⃗ , ∂ µ J µ = ∂ρ∂t + ∇ ⃗ · ⃗J = 0F 0i = ∂ 0 A i − ∂ i A 0 = ∂ t A i + ∂ i φ = −E iF ij = ∂ i A j − ∂ j A i = ǫ ijk B k (19)per cui il tensore campo elettromegnetico si può scrivere (in unità di Heaviside-Lorentz)come⎛⎞0 −E x −E y −E zF µν = ⎜ E x 0 B z −B y⎟⎝ E y −B z 0 B x⎠ (20)E z B y −B x 0Inoltre∂ µ F µ0 = −J 0 −→ ∂ i F i0 = ρ −→ ⃗ ∇ · ⃗ E = ρ∂ µ F µi = −J i −→ ∂ j F ji + ∂ 0 F 0i = −J i −→ ⃗ ∇ × ⃗ B − ∂ t⃗ E = ⃗ J (21)che riconosciamo come le equazioni di Maxwell con sorgenti. Le altre equazioni di Maxwell(quelle senza sorgenti)sono similmente contenute in (13).⃗∇ · ⃗B = 0⃗∇ × ⃗ E + ∂ t⃗ B = 0 (22)SoluzioniLe equazioni del moto non hanno una soluzione univoca (anche fissando opportune condizioniiniziali) a causa della simmetria di gauge. Si può utilizzare l’invarianza di gaugeper fissare delle condizioni (condizioni di gauge fixing) che permettono di trovare soluzioniinequivalenti per trasformazioni di gauge.Scegliamo di fissare il gauge imponendo la condizione di Lorenz∂ µ A µ = 0 (23)che può essere sempre imposta. Con questo vincolo le equazioni del moto si semplificano ediventano□A µ = 0 (24)3

le cui soluzioni di onda piana sonoA µ (x) = ε µ (p)e ip·x , p µ p µ = 0 , p µ ε µ (p) = 0 (25)e contiene 3 polarizzazioni indipendenti. Di queste tre polarizzazioni, quella longitudinale(ε µ (p) = p µ ) può essere rimossa usando le trasformazioni di gauge residue, cioè quelle trasformazionidi gauge che lasciano invariata la condizione di Lorenz (23). Rimangono quindi solodue polarizzazioni fisiche indipendenti che corrispondono alle due possibili elicità del fotone(elicità = proiezione dello spin lungo la direzione del moto).4