1 Spin : l'equazione di Dirac

1 Spin 1 2: l’equazione di DiracStoricamente Dirac trovò la corretta equazione per descrivere particelle di spin 1 2 cercandoun’equazione relativistica che potesse avere un’interpretazione probabilistica per essere consistentecon i principi della meccanica quantistica, a differenza dell’ equazione di Klein-Gordon che non ammette questa interpretazione. Sebbene un’interpretazione probabilisticanon sarà tenibile in presenza di interazioni, e la funzione d’onda di Dirac dovrà essere trattatacome un campo classico da quantizzare (seconda quantizzazione), è utile ripercorrerela deduzione che portò Dirac alla formulazione di un’equazione del primo ordine nel tempo,l’equazione di Dirac(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 (1)dove la funzione d’onda ψ(x) ha quattro componenti (spinore di Dirac) e le γ µ sono matrici4 × 4. Poichè le quattro componenti del campo di Dirac ψ(x) non sono componenti diun quadrivettore, ma sono di natura spinoriale e si trasformano in modo differente pertrasformazioni di Lorentz, occorre usare indici diversi per indicarne le componenti senzaambiguità. In questo contesto usiamo indici µ,ν,.. = 0, 1, 2, 3 per indicare le componenti diun quadrivettore ed indici α,β,.. = 1, 2, 3, 4 per indicare le componenti di uno spinore diDirac. l’equazione (1) si scrive in modo più esplicito come()(γ µ ) β βα ∂ µ + m δ α ψ β (x) = 0 . (2)e contiene quattro equazioni distinte (α = 1,.., 4).Equazione di DiracLa relazione relativistica tra energia ed impulso di una particella liberacon le sostituzionip µ p µ = −m 2 c 2 ⇐⇒ E 2 = c 2 ⃗p 2 + m 2 c 4 (3)p 0 = E i ∂ ∂t ,∂⃗p −i∂⃗x⇐⇒ p µ −i∂ µ (4)porta all’equazione di Klein Gordon che è del secondo ordine nelle derivate temporali: comeconseguenza la corrente conservata U(1) associata non ha una densità di carica definitapositiva che possa essere intepretata come densità di probabilità. Dirac allora propose unarelazione lineare della formaE = c⃗p · ⃗α + mc 2 β (5)assumendo che ⃗α,β siano matrici unitarie tali che questa relazione lineare sia consistente conla (3). Elevandola al quadrato si ottieneE 2 = (cp i α i + mc 2 β)(cp j α j + mc 2 β)= c 2 p i p j α i α j + m 2 c 4 β 2 + mc 3 p i (α i β + βα i )= 1 2 c2 p i p j (α i α j + α j α i ) + m 2 c 4 β 2 + mc 3 p i (α i β + βα i ) (6)1

e la consistenza con (3) per momenti arbitrari p i produce le relazioniα i α j + α j α i = 2δ ij , β 2 = 1 , α i β + βα i = 0 (7)dove, come di consuetudine, la matrice identità è sottintesa nel lato destro di queste equazioni.Dirac ottenne una soluzione minimale con matrici 4 × 4. Una soluzione esplicita in terminidi blocchi 2 × 2 è data da( ) ( )0 σα i i1 0=σ i , β =(8)00 −1dove le matrici σ i sono le matrici di Pauli. Quantizzando la relazione (5) con le (4) si ottienel’equazione di Dirac nella forma “hamiltoniana”i∂ t ψ = (−ic ⃗α · ⃗∇ + mc 2 β} {{ }H D)ψ (9)dove l’hamiltoniana H D è una matrice 4 × 4 di operatori differenziali. La hermiticità dellematrici α i e β garantisce la hermiticità della hamiltoniana H D (e quindi una evoluzione temporaleunitaria). Moltiplicando questa equazione con la matrice invertibile 1 c β e definendole matrici gammaγ 0 ≡ −iβ , γ i ≡ −iβα i (10)si ottiene l’equazione di Dirac nella forma “covariante”(γ µ ∂ µ + µ)ψ = 0 (11)con µ = mc inverso della lunghezza d’onda Compton associata alla massa m. Le relazionifondamentali che definiscono le matrici gamma sono facilmente ottenibili dalle relazioni (7)e si possono scrivere usando gli anticommutatori ({A,B} ≡ AB + BA) nella seguente forma{γ µ ,γ ν } = 2η µν . (12)In seguito useremo unità di misura con = c = 1, per cui µ = m e l’equazione di Dirac èscritta come in (1). Una notazione molto in uso impega la definizione introdotta da Feynman∂/ ≡ γ µ ∂ µ per cui l’equazione di Dirac si scrive come(∂/ + m)ψ = 0 . (13)SoluzioniL’equazione libera ammette soluzioni di onda piana, che oltre alla fase e ipµxµ che descrivel’onda che si propaga nello spaziotempo possiedono anche una polarizzazione w(p) collegataallo spin. Infatti immettendo un’onda piana della formaψ(x) ∼ w(p)e ipµxµ , w(p) =2⎛⎜⎝w 1 (p)w 2 (p)w 3 (p)w 4 (p)⎞⎟⎠ (14)

come ansatz nell’equazione di Dirac, si vede che la polarizzazione deve soddisfare un’equazionealgebrica, (iγ µ p µ +m)w(p) = 0, e che il momento deve essere on-shell, p µ p µ = −m 2 . Ci sonoquattro soluzioni, due ad “energia positiva” (elettrone con spin su e spin giù) e due ad “energianegativa” (positrone con spin su e spin giù). Più in dettaglio, inserendo l’ansatz dionda piana nell’equazione di Dirac si ottiene (p/ = γ µ p µ )da cui moltiplicando per (−ip/ + m)(ip/ + m)w(p) = 0 (15)(−ip/ + m)(ip/ + m)w(p) = (p/ 2 + m 2 )w(p) = (p µ p µ + m 2 )w(p) = 0 (16)che implica che p µ p µ + m 2 = 0. Con un pò più di sforzo si possono ottenere le espressioniesplicite delle quattro polarizzazioni indipendenti w(p).Per sviluppare un pò d’intuizione consideriamo il caso semplice di particella a riposop µ = (E, 0, 0, 0). La (15) diventaed esplicitando la matrice β⎛0 = (iγ 0 p 0 + m)w(p) = (−iγ 0 E + m)w(p) = (−βE + m)w(p) (17)⎜⎝E 0 0 00 E 0 00 0 −E 00 0 0 −E⎞⎟⎠w(p) = m w(p) (18)Vediamo quindi che esistono due soluzioni ad energia positiva E = m⎛ ⎞⎛ ⎞10ψ 1 (x) ∼ ⎜ 0⎟⎝ 0 ⎠ e−imt , ψ 2 (x) ∼ ⎜ 1⎟⎝ 0 ⎠ e−imt (19)00e due soluzioni ad energia negativa E = −m⎛ ⎞0ψ 3 (x) ∼ ⎜ 0⎟⎝ 1 ⎠ eimt ,0ψ 4 (x) ∼⎛⎜⎝0001⎞⎟⎠ eimt . (20)Queste ultime sono reintepretate come descriventi una antiparticella. Il caso generale conmomento arbitrario può essere derivato con calcoli simili.CovarianzaDescriviamo ora la covarianza dell’ equazione di Dirac sotto trasformazioni di Lorentz.Le trasformazioni di Lorentz sono definite dax µ −→ x µ′ = Λ µ νx νψ(x) −→ ψ ′ (x ′ ) = D(Λ)ψ(x) (21)3

dove le matrici D(Λ) costituiscono una rappresentazione (spinoriale) del gruppo di Lorentz.Questa rappresentazione si può costruire usando le matrici gamma. Per trasformazioni infinitesimeΛ µ ν = δ µ ν + ω µ νD(Λ) = 1 + i 2 ω µνM µν (22)dove i generatori infinitesimi sono costruiti con le matrici gammaM µν = − i 4 [γµ ,γ ν ] (23)che difatti realizzano correttamente l’algebra del gruppo di Lorentz[M µν ,M λρ ] = −iη νλ M µρ + iη µλ M νρ + iη νρ M µλ − iη µρ M νλ . (24)Come esercizio si può verificare un caso particolare, ad esempio [M 01 ,M 12 ] = −iM 02 . Possiamoesplicitare M 01 = − i 4 [γ0 ,γ 1 ] = − i 2 γ0 γ 1 , e similmente M 12 = − i 2 γ1 γ 2 , M 02 = − i 2 γ0 γ 2 ,e calcolare([M 01 ,M 12 ] = − i ) 2[γ 0 γ 1 ,γ 1 γ 2 ] = − 1 )24(γ 0 γ 1 γ 1 γ 2 − γ 1 γ 2 γ 0 γ 1= − 1 ) (γ 0 γ 2 − γ 2 γ 0 = − 1 42 γ0 γ 2 = −iM 02 . (25)Inoltre si può mostrare che le matrici gamma sono tensori invariantiγ µ −→ γ µ′ = Λ µ νD(Λ)γ ν D −1 (Λ) = γ µ (26)proprio come la metrica η µν (è relativamente semplice vederlo per trasformazioni infinitesime).Con queste proprietà gruppali è facile mostrare l’invarianza in forma dell’equazione diDirac(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 ⇐⇒ (γ µ ∂ ′ µ + m)ψ ′ (x ′ ) = 0 . (27)Infatti, usando il fatto che le matrici gamma sono tensori invarianti, possiamo scrivere il latosinistro della seconda equazione con γ µ′ per cui(γ µ ∂ µ ′ + m)ψ ′ (x ′ ) = (γ µ′ ∂ µ ′ + m)ψ ′ (x ′ )()= Λ µ νD(Λ)γ ν D −1 (Λ)Λ λ µ ∂ λ + m D(Λ)ψ(x)= D(Λ)(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) (28)da cui segue la (27).Oltre alle trasformazioni di Lorentz connesse all’identità, si può mostare l’invarianzadell’equazione di Dirac libera per trasformazioni discrete quali la riflessione spaziale (o parità)P, la riflessione temporale T e la coniugazione di carica C che scambia particelle con antiparticelle.Discutiamo esplicitamente la trasformazione di parità(29)4

x µ −→ ˜x µ = P µ νx ν , P µ ν =⎛⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1ψ(x) −→ ˜ψ(˜x) = D(P)ψ(x) , D(P) = e iφ γ 0 (30)dove la rappresentazione sugli spinori della trasformazione di parità, D(P) = e iφ γ 0 , puòcontenere una fase arbitraria φ. Mostriamo che con queste trasformazioni l’equazione èinvariante in formaInfatti possiamo calcolare(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 ⇐⇒ (γ µ ˜∂µ + m) ˜ψ(˜x) = 0 . (31)(γ µ ˜∂µ + m) ˜ψ(˜x) = (γ 0 ∂ 0 − γ i ∂ i + m)e iφ γ 0 ψ(x) = e iφ γ 0 (γ 0 ∂ 0 + γ i ∂ i + m)ψ(x)= e iφ γ 0 (γ µ ∂ µ + m)ψ(x) (32)per cui un’equazione in un sistema di riferimento implica l’altra nel sistema di riferimentocon assi spaziali riflessi.Molte delle proprietà degli spinori seguono dalle proprietà algebriche delle matrici gammae per convenienza ne elenchiamo qui alcuneγ µ† = γ 0 γ µ γ 0(γ i hermitiane, γ 0 antihermitiana)γ 5 ≡ −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =⇒ {γ 5 ,γ µ } = 0 , (γ 5 ) 2 = 1 , γ 5 † = γ 5 . (33)⎞⎟⎠AzionePer scrivere l’azione conviene introdurre il coniugato di Dirac ¯ψ del campo ψ, definitocome¯ψ ≡ ψ † β = ψ † iγ 0 (34)che ha la proprietà di trasformarsi in modo tale da rendere il prodotto ¯ψψ uno scalare. Infattidalla trasformazione infinitesima di Lorentz su uno spinore ψ (trascurando la dipendenzadalle coordinate dello spazio-tempo) si ottiene quella del suo coniugato di Diracδψ = i 2 ω µνM µν ψ −→ δ ¯ψ = − i 2 ω µν ¯ψM µν (35)da cui si deduce che ¯ψψ è uno scalare. L’azione è uno scalare ed è data da∫S[ψ, ¯ψ] = d 4 x L(ψ, ¯ψ) , L(ψ, ¯ψ) = − ¯ψ(γ µ ∂ µ + m)ψ . (36)Variando ¯ψ e ψ ed usando il principio di minima azione si ottengono l’equazione di Dirac ela sua coniugata(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 , ¯ψ(x)(γµ ← ∂ µ −m) = 0 . (37)5

Come esercizio verifichiamo esplicitamente le trasformazioni di Lorentz di ¯ψ:δ ¯ψ( i †iγ ( 1) †iγ= δψ † iγ 0 =2 ω µνM ψ) µν 0 =4 ω µνγ µ γ ν ψ0 = 1 4 ω µν ψ † γ ν† γ µ† iγ 0= 1 4 ω µν ψ † γ 0 γ 0 γ ν† γ 0 γ 0 γ µ† iγ 0 = 1 4 ω µν (ψ † iγ 0 )(γ 0 γ ν† γ 0 )(γ 0 γ µ† γ 0 ) = 1 4 ω µν ¯ψγ ν γ µ= − 1 4 ω µν ¯ψγ µ γ ν = − i 2 ω µν ¯ψM µν . (38)SimmetrieLe simmetrie sotto il gruppo di Lorentz sono state già descritte sopra, mentre quelleaddizionali per traslazioni spazio temporali sono immediate considerando il campo comeuno scalare (x → x ′ = x + a con ψ(x) → ψ ′ (x ′ ) = ψ(x)). Da questa ultima si può ottenereil tensore energia-impulso come corrente di Noether.Consideriamo in dettaglio la simmetria interna generata dalle trasformazioni di fase delgruppo U(1)ψ(x) −→ ψ ′ (x) = e iα ψ(x)¯ψ(x) −→ ¯ψ′ (x) = e −iα ¯ψ(x) . (39)È facile vedere che l’azione (36) è invariante. Per trasformazioni infinitesimeδψ(x) = iα ψ(x)δ ¯ψ(x) = −iα ¯ψ(x) (40)considerando un parametro locale α(x) si calcola∫δS[ψ, ¯ψ] = d 4 x∂ µ α(−i ¯ψγ µ ψ) (41)} {{ }−J µda cui si verifica di nuovo la simmetria U(1) (per α costante) e si ottiene la relativa correntedi NoetherJ µ = i ¯ψγ µ ψ (42)che è conservata ∂ µ J µ = 0. In particolare la densità di carica conservata è definita positivaJ 0 = i ¯ψγ 0 ψ = iψ † iγ 0 γ 0 ψ = ψ † ψ ≥ 0 (43)e fù originariamente considerata da Dirac come una densità di probabilità.Proprietà chiraliAnalizziamo infine la riducibilità dello spinore di Dirac sotto il gruppo di Lorentz proprioed ortocrono SO + (3, 1). Costruendo i proiettoriP L = 1 − γ 52, P R = 1 + γ 52(44)6

(sono proiettori poiché P L + P R = 1, P 2 L = P L, P 2 R = P R, P L P R = 0) possiamo dividere lospinore di Dirac nelle sue componenti sinistrorse e destrorse (spinori di Weyl)ψ = ψ L + ψ R , ψ L ≡ 1 − γ 52ψ , ψ R ≡ 1 + γ 5ψ (45)2che sono le due rappresentazioni irriducibili del gruppo di Lorentz proprio ed ortocrono (nellateoria delle rappresentazioni abbiamo anticipato la presenza delle rappresentazioni irriducibiliinequivalenti ( 1, 0) e (0, 1 ) che corrispondono agli spinori di Weyl, e descritto lo spinore di2 2Dirac come la rappresentazione riducibile data dalla somma diretta ( 1, 0) ⊕ (0, 1 )). Infatti2 2i generatori infinitesimi delle trasformazioni di Lorentz M µν commutano con i proiettoriP L ,P RP L/R M µν = 1 ∓ γ (5− i ) (2 4 [γµ ,γ ν ] = − i ) 1 ∓4 [γµ ,γ ν γ5] = M µν P L/R (46)2e questo indica come lo spinore di Dirac sia riducibile nella sue parti destrorse e sinistrorse.L’operazione di parità (riflessione degli assi spaziali) trasforma un fermione sinistrorso in unfermione destrorso e viceversa. Infattiψ LP−→ (ψ L ) ′ =( 1 − γ5) ′ψ = e iφ γ 01 − γ 522ψ = 1 + γ 52e iφ γ 0 ψ = 1 + γ 5ψ ′ = (ψ ′ ) R . (47)2È interessante scrivere l’azione in termini di queste componenti chirali irriducibili∫ (S[ψ L ,ψ R ] = d 4 x − ¯ψ L ∂/ψ L − ¯ψ R ∂/ψ R − m( ¯ψ L ψ R + ¯ψ)R ψ L )(48)che mostra come una massa di Dirac m non possa essere presente per fermioni chirali (i.e. fermonipuramente sinistrorsi per cui ψ R = 0 o puramente destrorsi per cui ψ L = 0). I fermioniche entrano nel modello standard sono chirali e non possono avere masse di Dirac (per ragionicollegate all’invarianza di gauge). Masse di Dirac possono emergere come conseguenza delmeccanismo di Higgs per la rottura spontanea della simmetria di gauge.PropagatoreQuantizzando il campo di Dirac libero si ottiene il propagatore. Come nel caso del campodi Klein Gordon, il propagatore è collegato alla funzione di Green S(x − y) dell’operatoredifferenziale descrivente l’equazione del moto libera ((∂/ x + m)S(x − y) = δ 4 (x − y)). Ilpropagatore ha quindi la seguente forma∫〈ψ(x) ¯ψ(y)〉d 4 p= −iS(x − y) = −i eip·(x−y) −ip/ + m(49)(2π) 4 p 2 + m 2 − iǫda cui segue, grazie alla prescrizione causale di Feynman (−iǫ), la corretta interpretazione difluttuazioni di particelle ed antiparticelle con energie positive che si propagano dal passatoal futuro, proprio come nel caso delle particelle scalari.7