Appunti di relatività ristretta

Fù Einstein che riuscì a chiarire che le proprietà di simmetria dell’elettrodinamica erano quelle corrette. Egliconcluse che occorreva modificare la meccanica di Galileo e Newton in una meccanica relativistica per renderla compatibilecon l’elettrodinamica e quindi con le corrette leggi di trasformazione che collegano i vari sistemi di riferimentoinerziali.I punti chiave su cui si basa la meccanica relativistica sono:• Le leggi fisiche sono identiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali.• La “velocità della luce” è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.Queste due proprietà fondamentali della meccanica relativistica sono state e continuano ad essere verificate sperimentalmentee possono essere usate per derivare le trasformazioni di Lorentz e le loro proprietà generali. (N.B. “velocitàdella luce” = velocità limite di propagazione delle interazioni).2 Trasformazioni di Lorentz e spazio-tempo di MinkowskiLa trasformazione di Lorentz in eq. (2) mostra che il tempo non è più assoluto, ma deve essere considerato unparametro relativo al sistema di riferimento scelto, come le coordinate spaziali. Un esercizio utile è quello di verificareche in effetti la luce ha la stessa velocità nei due sistemi di riferimento K e K ′ . Per comodità è utile riportare anchele trasformazioni inverse derivabili immediatamente dalla (2) (evidentemente per ottenerle è sufficiente scambiare lecoordinate di K con quelle di K ′ e cambiare v → −v)Ricordiamo anche la seguenti definizioni usate molto spessot = t′ + v cx ′√2 1 − v2c 2x = x′ + vt ′√1 − v2c 2y = y ′z = z ′ (3)β ≡ v c , γ ≡ 1√ = 1√(4)1 − β21 − v2c 2che possono assumere i valori 0 ≤ β < 1 e 1 ≤ γ < ∞.Esercizio 1: Un lampo di luce emesso al tempo t = 0 nel punto x = y = z = 0 del sistema K descrive un fronte d’onda sfericodi coordinate (t, x, y, z) identificato dalla relazione −c 2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 0. Verificare, usando le trasformazioni di Lorentz,che nel sistema K ′ il fronte di onda sferico assume la forma −c 2 t ′2 + x ′2 + y ′2 + z ′2 = 0, per cui la luce si propaga con la stessavelocità c.L’esercizio ci fà apprezzare come “ct” sia essenzialmente una nuova coordinata del sistema di riferimento ed abbiale dimensioni di una lunghezza(ct, x, y, z, ) = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 0 , ⃗x) = x µ . (5)Le quattro coordinate x µ costituiscono le coordinate dello spazio-tempo relativistico, detto spazio di Minkowski, e x µè talvolta chiamato quadrivettore posizione. Si dice anche che un quadrivettore posizione identifica un “evento” dellospazio-tempo. L’esercizio precedente ci fà anche apprezzare come la quantitàs 2 ≡ −c 2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2 (6)sia invariante per trasformazioni di Lorentz (l’esercizio chiedeva di mostrarlo per s 2 = 0, ma la dimostrazione è identicaanche per s 2 ≠ 0). La grandezza s 2 è uno scalare: significa che è un invariante per trasformazioni di Lorentz e dunquepuò essere calcolato a scelta con le coordinate x µ o con le coordinate x µ′ (proprio come il modulo quadrato di unvettore tridimensionale che può essere calcolato con il teorema di Pitagora usando le componenti del vettore lungo gliassi cartesiani oppure usando le componenti del vettore lungo assi cartesiani ruotati rispetto a quelli precedenti). Nelcaso di punti dello spazio-tempo collegati dalla propagazione della luce si ha che s 2 = 0, come si vede dall’esercizio 1.In generale si può avere la seguente classificaziones 2 < 0 (distanze di tipo tempo)s 2 = 0 (distanze di tipo luce)s 2 > 0 (distanze di tipo spazio). (7)Questa classificazione è utile perché non dipende dalla scelta del sistema di riferimento inerziale: è una classificazioneinvariante.2

cts^20 distanza tipo spaziopassatoFigure 2: Spazio di Minkowski: sono mostrate le coordinate (ct, x) mentre le coordinate y e z non sonoriportate in figura. È evidente il cono di luce rispetto all’origine (0, 0): la parte superiore internaal cono di luce descrive il futuro del punto (0, 0), mentre la parte inferiore ne descrive il suo passato.Inoltre sono riportati dei segmenti le cui lunghezze Minkowskiane sono di tipo tempo, luce e spazio.3 Alcune conseguenzeStudiamo alcune conseguenze della teoria della relatività ristretta: i) somma delle velocità, ii) contrazione dellelunghezze, iii) dilatazione dei tempi.i) Somma delle velocitàyy’t Vx t ’vxx’zz’Figure 3: Particella con velocità v x nel sistema K.Consideriamo una particella con velocità v x diretta lungo x nel sistema di riferimento K, come in figura 3. Dalladefinizione di velocità nei sistemi K e K ′ sappiamo chev x = dxdt ,v′ x = dx′dt ′ . (8)3

Dalla trasformazione di Lorentz (2) segue cheda cuidx ′ = γ(dx − vdt) , dt ′ = γ(dt − v dx) (9)c2 v ′ x = dx′dt ′N.B. Se v x = c allora si trova che anche v ′ x = c.=γ(dx − vdt)γ(dt − v c 2 dx) = v x − v1 − vvxc 2 . (10)yy’t t ’vVyxx’zz’Figure 4: Particella con velocità v y nel sistema K.Si può procedere in modo simile anche nel caso di una particella con velocità diretta lungo l’asse y, come in figura4. Infatti per definizione v y = dydt e v′ y = dy′dt. Dalla trasformazione di Lorentz (2) segue che′da cuiv ′ y = dy′dt ′ =dy ′ = dy , dt ′ = γ(dt − v dt) (11)c2 dyγ(dt − v c 2 dx) =v yγ(1 − vvxc) = v y1 − vvx2 c 2√1 − v2c 2 . (12)ii) Contrazione delle lunghezzeSupponiamo che nel sistema K ′ ci sia un regolo di lunghezza L 0 = x ′ 2 − x ′ 1 in quiete, vedi figura 5. Quindi la sualunghezza vista nel sistema di riferimento a riposo con il regolo stesso è L 0 . Nel sistema K il regolo si muove convelocità v, per cui occorrerà misurare la posizione degli estremi del regolo in modo simultaneo ad un tempo fissato tper calcolare la lunghezza LL = x 2 (t) − x 1 (t). (13)Si ricordi infatti che la simultaneità è un concetto relativo al sistema di riferimento poiché il tempo lo è. Ora possiamochiederci: come sono collegate L ed L 0 ? Dalle trasformazioni di Lorentz (2) si ottieneL 0 = x ′ 2 − x ′ 1 = x 2(t) − vt√1 − v2c 2− x 1(t) − vt√1 − v2c 2= x 2(t) − x 1 (t)√ =1 − v2c 2L√ . (14)1 − v2c 2Dunque la lunghezza vista nel sistema di riferimento in cui l’oggetto è in moto con velocità v risulta contratta√L = L 0 1 − v2c 2 . (15)Infatti in generale v ≤ c per cui√1 − v2c 2 ≤ 1 ⇒ L ≤ L 0 . (16)ii) Dilatazione dei tempi4

yy’t t ’vxLox’zz’Figure 5: Un oggetto di lunghezza L 0 posizionato lungo l’asse x ′ del sistema K ′ .Consideriamo due eventi nel sistema K ′ che accadono nello stesso punto, E 1 = (t ′ 1, x ′ , y ′ , z ′ ) ed E 2 = (t ′ 2, x ′ , y ′ , z ′ ).Questi due eventi sono separti da un intervallo temporale T 0 = t ′ 2 − t ′ 1. Ora l’intervallo di tempo misurato nel sistemaK è dato daT = t 2 − t 1 = γ(t ′ 2 + v c 2 x′ ) − γ(t ′ 1 + v c 2 x′ ) = γ(t ′ 2 − t ′ 1) = γT 0 . (17)Dunque T ≥ T 0 per cui si parla di dilatazione dei tempi. Il tempo che scorre nel sistema di riferimento in quiete conl’oggetto in questione è detto tempo proprio ed è spesso anche indicato con τ. È il tempo più breve possible per ilfenomeno in questione, poiché in tutti gli altri sistemi di riferimento questo tempo risulta necessariamente dilatato.In generale possiamo riscrivere il tempo proprio infinitesimo per un’oggetto solidale con il sistema di riferimentoK ′ (cioè a riposo nel sistema K ′ ) in modo invariante nel seguente mododτ ≡ dt ′ = dt√1 − v2c 2 = √dt 2 − dx2 + dy 2 + dz 2c 2 =√− ds2c 2 (18)dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la definizione già introdotta di lunghezza minkowskiana quadrata che infattiè negativa per distanze di tipo tempo. Questa lunghezza è un invariante di Lorentz, e quindi facilmente calcolabile inqualunque sistema di riferimento. Dalla relazione (18) risulta che anche il tempo proprio è un invariante relativistico.4 Formalismo tensorialePossiamo scrivere la trasformazione di Lorentz (2) comedove⎛ct ′ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞γ −βγ 0 0 ct⎜ x ′ ⎟ ⎜ −βγ γ 0 0 ⎟ ⎜ x ⎟⎝y ′ ⎠ = ⎝⎠ ⎝ ⎠ (19)0 0 1 0 yz ′ 0 0 0 1 zβ ≡ v c , γ ≡ 1√ = 1√ . (20)1 − β21 − v2c 2Si noti che per sistemi di riferimento fisicamente realizzabili si ha 0 ≤ β < 1 e 1 ≤ γ < ∞. Queste trasformazionipossono essere riscritte in modo compatto usando varie notazionix µ′ =3∑Λ µ νx ν (21)ν=0x µ′ = Λ µ νx ν (22)x ′ = Λx (23)dove Λ indica la matrice della trasformazione di Lorentz riportata in (19) e Λ µ ν i corrispondenti elementi di matrice.Si noti che in (22) è stata usata la convenzione di Einstein, per cui indici ripetuti sono considerati automaticamente5

sommati su tutti i loro possibili valori (in questo caso l’indice ν = 0, 1, 2, 3). La notazione matriciale (23) è comodaper fare velocemente dei calcoli quando si hanno solo vettori e matrici.Il quadrato della distanza minkowskiana s 2 , che come abbiamo visto è un invariante di Lorentz, può essere scrittonei modi seguenti⎛⎞ ⎛ ⎞−1 0 0 0 cts 2 = −c 2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2 ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ x ⎟= ( ct x y z ) ⎝⎠ ⎝ ⎠ =0 0 1 0 y0 0 0 1 z3∑ 3∑= x T η x = x µ η µν x ν = x µ η µν x ν = η µν x µ x ν (24)µ=0 ν=0dove si è introdotta la metrica di Minkowski, cioè la matrice η µν definita sopra, che ci permette di valutare il moduloquadro dei quadrivettori. Questo quadrato della lunghezza minkowskiana generalizza il concetto di modulo quadro diun vettore in spazi euclidei.In generale le trasformazioni di Lorentz sono tutte quelle che lasciano invariata la distanza minkowskiana. Vediamodi esprimere questa definizione in equazioni. Usando la notazione matricialeper cuis 2 = x T η x (definizione del quadrato della distanza)x ′ = Λ x (trasformazione di Lorentz arbitraria) (25)s 2 = s ′2 ⇒ x T η x = x ′T η x ′ = x T Λ T η Λ x ⇒ Λ T η Λ = η. (26)Dunque tutte le trasformazioni di Lorentz possibili sono quelle definite da matrici Λ tali cheΛ T η Λ = η (27)dove η è la metrica di Minkowski. In notazione tensoriale questa equazione si scrive comeEsercizio 2: Verifcare che la matrice in (19) soddisfa la relazione (27).η µν Λ µ αΛ ν β = η αβ . (28)L’analisi della proprietà fondamentale (27) che caratterizza il gruppo di Lorentz permette di dedurre che talegruppo, cioè l’insieme di tutte le matrici che definiscono trasformazioni di Lorentz (si dimostri che tale insiemesoddisfa agli assiomi di definizione di un gruppo), può essere parametrizzato da 6 variabili: 3 angoli che definisconola rotazione degli assi cartesiani spaziali più le 3 componenti della velocità ⃗v relativa tra i due sistemi di riferimentoinerziali.La posizione degli indici in alto o in basso non è arbitraria, ma ha un significato ben preciso. Il quadrivettoreposizione x µ ha l’indice in alto, la metrica di Minkowski ha due indici in basso η µν , gli elementi di matrice di unatrasformazione di Lorentz sui quadrivettori x µ ha l’indice di riga in alto e l’indice di colonna in basso, Λ µ ν. Partendoda queste definizioni, risulta poi utile definire un quadrivettore con l’indice in basso (“quadrivettore covariante”) comex µ ≡ η µν x ν ,da cui segue che si può riottenere il quadrivettore con l’indice in alto (“quadrivettore controvariante”) comeQueste definizioni sono autoconsistentix µ = η µν x ν , η µν ≡ (η −1 ) µν (29)x µ = η µν x ν = η µν (η νλ x λ ) = (η µν η νλ )x λ = δ µ λx λ = x µ (30)dove nel calcolo si è usata la delta di Kronecker δ µ λ che corrisponde alle componenti della matrice identità (ricordarela convenzione di sommatoria di Einstein e notare che l’equazione matriciale η −1 η = I, dove I è la matrice identità,si scrive in componenti come η µλ η λν = δ µ ν. Similmente Ix = x si scrive in componenti come δ µ νx ν = x µ ). Usando ladefinizione di x µ si può anche riscrivere la (24) comes 2 = x µ x µ . (31)6

L’operatore di derivata ∂ µ ≡∂∂xsi comporta come un 4-vettore con l’indice in basso. Questo si può facilmenteµverificare calcolando la derivata dell’invariante s 2 ∂ µ s 2 ≡ ∂s2∂x µ = 2x µ . (32)In generale si definiscono scalari, quadrivettori e quadritensori (o più brevemente vettori e tensori) quantità che sitrasformano in modo ben preciso per trasformazioni di Lorentzs ′ = s (scalare)x µ′ = Λ µ νx ν (quadrivettore)F µν ′ = Λ µ λΛ ν ρF λρ (quadritensore di rango due) (33)Esempio di uno scalare è la distanza Minkowskiana, di un vettore il quadrivettore coordinata o come vedremo piùavanti il quadrimpulso, di un tensore a due indici il tensore campo elettromagnetico F µν (in unità gaussiane o in quelledi Heaviside–Lorentz)⎛⎞0 E x E y E zF µν ⎜ −E= x 0 B z −B y ⎟⎝⎠ . (34)−E y −B z 0 B x−E z B y −B x 0Un modo di interpretare la (31) è dire che la trasformazione del quadrivettore x µ è compensata dalla trasformazionedel quadrivettore x µ , per cui la “contrazione” degli indici in x µ x µ produce uno scalare. Similmente dati vettori etensori si deduce facilmente che ad esempio A µ B ν F µν è uno scalare, B ν F µν è uno quadrivettore controvariante, etc.In generale le posizioni degli indici in grandezze tensoriali indicano le proprietà di trasformazione sotto trasformazionidi Lorentz, ed indici contratti possono essere ignorati in quanto si comportano come uno scalare.Esercizio 3: Verificare che le equazioni di Maxwell si possono scrivere come (∂ µ ≡∂∂x µ )∂ µF µν = −J ν (35)∂ µF νλ + ∂ νF λµ + ∂ λ F µν = 0 (36)Si noti che se la sorgente J µ si trasforma come un quadrivettore, allora è immediato verificare l’invarianza relativistica delleequazioni di Maxwell scritte in questa forma. Verificare inoltre che il secondo set di equazioni di Maxwell, cioè le equazionisenza sorgenti in (36), sono risolte automaticamente dall’introduzione di un quadripotenziale vettore A µ definendoF µν = ∂ µA ν − ∂ νA µ.Calcolare infine il valore dello scalare F µν F µν. Perchè è uno scalare?.Le proprietà geometriche dettate dalla metrica di Minkowski definiscono lo spazio-tempo di Minkowski, che rappresentaappunto un modello del nostro spazio-tempo fisico. Una scelta di quattro assi ”cartesiani” lungo cui misurarele distanze x µ dello spazio-tempo rappresenta un sistema di riferimento inerziale. Alcune definizioni e proprietà dellospazio-tempo di Minkowski sono descritte e riportate nella figura 2.Oltre alla possibilità di cambiare il sistema di riferimento con trasformazioni di Lorentz è possibile fare una diversascelta dell’ origine del sistema di riferimento. Ciò corrisponde alla possibilità di operare 3 traslazioni spaziali ed 1traslazione temporale. Quando si aggiunge questa ulteriore invarianza alle trasformazioni di Lorentz si ottiene ungruppo totale di trasformazioni a dieci parametri detto gruppo di Poincarè, sotto cui un punto dello spazio tempo sitrasforma nel modo seguentex µ′ = Λ µ νx ν + a µ (37)I dieci parametri corrispondono ai 4 parametri a µ che definiscono una traslazione spazio-temporale più i 6 parametri delgruppo di Lorentz contenuti in una Λ µ ν generica. Si può dimostarre che l’invarianza per traslazioni spazio-temporali ècollegata alla conservazione dell’impulso e dell’energia. Similmente l’invarianza per trasformazioni di Lorentz comportala conservazione di 6 quantità (che includono le 3 componenti del momento angolare).5 Definizione relativistica di energia e momento: il quadrimomentoNel paragrafo precedente abbiamo analizzato il concetto di tempo proprio. In un sistema di riferimento inerzialearbitrario un tempo proprio infinitesimo di un oggetto può essere scritto come√dτ = dt 1 − v2c 2 (38)dove v è la velocità dell’oggetto. Utilizzeremo questo parametro scalare per introdurre il concetto di quadrimomento(detto anche quadrimpulso) per particelle massive.7

5.1 Particelle massiveUna particella nel suo moto descrive una traiettoria nello spazio-tempo. A questa traiettoria si dà il nome di linea dimondo (o linea d’universo), vedi figura 6. Possiamo parametrizzare questa linea di mondo utilizzando il tempo proprioτ.ctlinea d’universo di una particella massivaxFigure 6: La linea di universo di una particella massiva è contenuta all’interno del cono di luce.Nel caso di una particella massiva che si muove di moto a velocità costante la linea d’universo è una linea rettache indichiamo con x µ (τ). La quadrivelocità è per definizione il seguente quadrivettore(u µ (τ) ≡ dxµ (τ) cdt(τ)= , d⃗x(τ) ) ()c ⃗v= √ , √(39)dτ dτ dτ1 − v2c1 − v22 c 2dove si è fatto uso dell’equazione (38). Questa quantità è un quadrivettore poichè dτ è uno scalare e dx µ un quadrivettore.È immediato calcolarne il modulo quadratou µ u µ = −(u 0 ) 2 + ⃗u · ⃗u = −c 2 (40)Poichè u µ u µ è un invariante di Lorentz, per semplicità si sarebbe potuto effettuare il calcolo nel sistema di riferimentoa riposo con la particella, in cui u µ = (c, 0) come si evince dalla (39), e dunque u µ u µ = −c 2 .Il quadrimomento della particella è definito dap µ = mu µ (41)dove m è la massa della particella. Questa massa è per definizione una proprietà scalare assegnata alla particella ed avolte è detta massa invariante, massa a riposo o massa propria per differenziarla da eventuali altre definizioni. Dunqueanche p µ è un quadrivettore ed il suo modulo quadro è facilmente calcolabilep µ p µ = m 2 u µ u µ = −m 2 c 2 (42)Familiarizziamo un pò con questa definizione relativistica per vedere come le note definizioni non-relativistichesono generalizzate nella meccanica relativistica(p µ = m dxµ (τ)= mc dt(τ) ) ( ) ( )mcdτdτ, md⃗x(τ)m⃗v E= √ , √ =dτ1 − v2c1 −c , ⃗p . (43)v22 c 28

Abbiamo identificato la componente p 0 con l’energia E associata alla particella (diviso c per immediate considerazionidimensionali), mentre le componenti spaziali sono identificate con la definizione relativistica del momento spaziale.Giustifichiamo queste identificazioni analizzando il limite non-relativistico v ≪ c.Energia E: dalla (43) si ottieneE =mc2 √1 − v2c 2 . (44)Per v = 0 si vede che la teoria della relatività assegna in modo naturale una energia a riposo proporzionale alla massaE = mc 2 . Per v ≪ c possiamo sviluppare in serie di v cche è un numero piccolo rispetto ad 1( ) − 1 (E = mc 2 1 − v2 2= mc2c 2 1 + 1 v 2 )2 c 2 + ... = mc 2 + 1 2 mv2 + ... (45)Questo ci fà vedere come la definizione non-relativistica di energia cinetica venga riprodotta nel limite di velocità basserispetto a quella della luce. Alla luce di questo calcolo si può intuire la definizione appropriata di energia cinetica Tnel caso relativisticoT = E − mc 2 . (46)Momento ⃗p: dalla (43) si vede che nel limite v ≪ c si riottiene la definizione non-relativistica di momento lineare⃗p =m⃗v√ → ⃗p = m⃗v. (47)1 − v2c 2Si noti che particelle massive non possono raggiungere la velocità della luce: dovrebbero avere energia e momentoinfiniti! Dunque la velocità v = c è una velocità limite teoricamente irraggiungibile per particelle massive, poichènessun fenomeno fisico è in grado di cedere un’energia infinita ad una particella.Queste definizioni relativistiche possono essere giustificate in maniera più rigorosa e derivate partendo da unprincipio d’azione che descriva la dinamica relativistica. L’azione corretta per una particella libera è proporzionale altempo proprio integrato sulla linea di mondo della particella (così da garantire l’invarianza relativistica)√∫S[⃗x(t)] = −mc 2 dt 1 − ˙⃗x · ˙⃗xc 2 (48)dove naturalmente ⃗v = ˙⃗x descrive la velocità della particella. Poiché la corrispondente lagrangiana L = −mc 2 √1 −non dipende dalla posizione ⃗x, ma solo dalla velocità ˙⃗x, il momento coniugato⃗p ≡ ∂L∂ ˙⃗x = m√˙⃗x(49)1 − v2c 2è conservato (come conseguenza delle equazioni di Eulero-Lagrange). Inoltre anche l’hamiltonianache coincide con l’energia è conservata.5.2 Particelle con massa nullaH = ⃗p · ˙⃗x − L =mc2 √1 − v2c 2 (50)Abbiamo visto che particelle massive non possono raggiungere esattamente la velocità della luce. Però possono esistereparticelle che viaggino alla velocità della luce purchè abbiano massa nulla. Questa interpretazione è consistente conla relatività ristretta. Infatti la relatività ristretta prevede che particelle che vanno alla velocità della luce sianocostrette a viaggiare sempre a quella velocità, che infatti è necessariamente la stessa in tutti i sistemi di riferimentoinerziali. Questa proprietà ci dice che non si può trovare un sistema di riferimento a riposo con particelle di massanulla, e quindi non esiste il concetto di tempo proprio per tali particelle. Infatti dalla (18) si vede che il presuntotempo proprio dovrebbe essere nullo, e quindi sarebbe un tempo che non può scorrere e non può essere utilizzatoper parametrizzare la linea d’universo di queste particelle. Infatti questa linea d’universo è una linea di tipo luce˙⃗x· ˙⃗xc 29

e deve necessariamente giacere sul cono di luce della particella stessa. In ogni caso possiamo ugualmente assegnareun quadrimomento alla particella con massa nulla. In tal caso l’invariante relativistico p µ p µ si annulla e può essereutilizzato per ricavare una relazione tra energia ed impulsop µ p µ = 0 ⇒ − E2+ ⃗p · ⃗p = 0 ⇒ E = |⃗p|c. (51)c2 Questa formula è valida approssimativamente anche per particelle che viaggiano a velocità molto vicine a quelladella luce e che di conseguenza hanno energie molto maggiori della loro massa a riposo, E ≫ mc 2 (particelle ultrarelativistiche.Si noti che il concetto di particella ultra-relativistica dipende dal sistema di riferimento scelto). Vediamodi derivare questa affermazione. Abbiamo visto che per una particella di massa m( ) Ep µ =c , ⃗p =( mc√ ,1 − v2c 2)m⃗v√1 − v2c 2(52)da cui si ottiene la relazioneNel limite di v → c si ottiene⃗p = E⃗vc 2 (53)|⃗p| = E c(54)che coincide con quanto ottenuto in eq. (51) per particelle a massa nulla.Concludiamo questa sezione ricordando che non è stato mai possibile interpretare in modo consistente, all’internodi teorie fisiche, i tachioni (ipotetiche particelle che viaggiano a velocità maggiori di c).5.3 Legge di conservazione del quadrimomentoLa definizione data sopra di quadrimomento per particelle massive e particelle senza massa è appropriata in quanto èproprio questa quantità che soddisfa a specifiche leggi di conservazione. Infatti si può dimostare che: per interazionirelativistiche invarianti per traslazioni spaziali e temporali si conserva il quadrimomento totale.In particolare il quadrimomento si conserva per sistemi isolati in cui avvengono processi di urto regolati dalleinterazioni fondamentali. Per descrivere processi di urto tra due particelle che vanno in due particelle, come in figura7, risulta utile l’uso delle variabli di Mandelstams = −(p 1 + p 2 ) 2t = −(p 2 − p 3 ) 2u = −(p 1 − p 3 ) 2 (55)dove nel lato destro si intende il modulo quadrato minkowskiano dei rispettivi quadrivettori. Il quadrivettore p n è ilquadrimomento delle particella n-esima con massa m n ed è orientato come in figura 7. Queste variabili di Mandelstamnon sono indipendenti, poichè si può mostare che (ponendo per semplicità c = 1)s + t + u = m 2 1 + m 2 2 + m 2 3 + m 2 4 (56)dove (p 1 ) 2 = −m 2 1, (p 2 ) 2 = −m 2 2, etc.. Se nel processo di urto sono prodotte ulteriori particelle le variabili t ed uperdono in genere il loro significato immediato, mentre la variabile s continua ad essere utile.Esercizio 4: Un muone di energia E = 10 GeV è prodotto nell’atmosfera dai raggi cosmici. La vita media del muone èτ = 2.2 10 −6 s e la sua massa m = 106 MeV/c 2 . Stimare la distanza che il muone può percorrere (nel sistema di riferimentosolidale con la terra).Esercizio 5: Verifcare l’equazione (56). Suggerimento: utilizzare la conservazione del quadrimpulso totale.Esercizio 6: Verificare che nell’ urto tra una particella e la sua antiparticella √ s rappresenta l’energia massima disponibile nelsistema di riferimento centro di massa per la creazione di nuove particelle.Esercizio 7: Calcolare l’energia cinetica minima che un protone deve avere per interagire con un altro protone fermo e generarenell’urto una coppia protone–antiprotone:p + p → p + p + p + ¯pLa massa del protone (e dell’antiprotone) può essere appossimata a m p = 1 GeV/c 2 .10

P2tP3sP1P4Figure 7: Processo di urto. Sono rappresentate le variabili di Mandelstam s e t.Esercizio 8: Una particella di massa M a riposo decade in due particelle di massa m 1 e m 2. Utilizzando la conservazione delquadrimpulso totale calcolare le energie delle particelle finali.Esercizio 9: Utilizzare le leggi di trasformazione (33) per il campo elettromagnetico definito in (72) per derivare le seguentileggi di trasformazione per cambio del sistema di riferimento specificato dalla trasformazione in (19)E ′ x = E xB ′ x = B xE ′ y = γ(E y − βB z) B ′ y = γ(B y + βE z)E ′ z = γ(E z + βB y) B ′ z = γ(B z − βE y).(57)6 AppendiceEquazioni di MaxwellSvolgiamo esplicitamente l’esercizio n.3 facendo uso delle unità di misura di Heaviside-Lorentz con c = 1. Consideriamole quattro equazioni di Maxwell con sorgenti∂ µ F µν = −J ν (58)dove⎛⎞0 E x E y E zF µν ⎜ −E= x 0 B z −B y ⎟⎝⎠ , J µ = (ρ, J)−E y −B z 0 B ⃗ (59)x−E z B y −B x 0e valutiamo l’equazione per i diversi valori dell’indice libero ν = (0, i) con i = (1, 2, 3).Per ν = 0 abbiamo∂ µ F µ0 = ∂ 0 F 00 + ∂ i F i0 = ∂ 1 F 10 + ∂ 2 F 20 + ∂ 3 F 30 = −(∂ 1 E 1 + ∂ 2 E 2 + ∂ 3 E 3 ) = − ⃗ ∇ · ⃗E = −J 0 = −ρ (60)dove naturalmente E 1 ≡ E x , E 2 ≡ E y , etc.. Riconosciamo questa come l’equazione di GaussPer ν = 1 abbiamo⃗∇ · ⃗E = ρ .∂ µ F µ1 = ∂ 0 F 01 + ∂ i F i1 = ∂ 0 E 1 + ∂ 2 F 21 + ∂ 3 F 31 = ∂ t E 1 − ∂ 2 B 3 + ∂ 3 B 2 = (∂ t⃗ E − ⃗ ∇ × ⃗ B) 1 = −J 1 (61)che corrisponde alla prima componente dell’equazione vettoriale⃗∇ × ⃗ B − ∂ t⃗ E = ⃗ J .Un calcolo simile con ν = 2, 3 genera le altre componenti di questa equazione vettoriale.11

Analogamente si può procedere con le equazioni di Maxwell senza sorgentidove, abbassando gli indici con le metrica di Minkowski, si ha∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ + ∂ λ F µν = 0 (62)⎛⎞ ⎛0 −E x −E y −E z 0 −E 1 −E 2 −E 3 ⎞F µν = η µλ η νσ F λσ ⎜ E= x 0 B z −B y ⎟ ⎜ E⎝⎠ =1 0 B 3 −B 2 ⎟⎝E y −B z 0 B x E 2 −B 3 0 B 1 ⎠ . (63)E z B y −B x 0 E 3 B 2 −B 1 0Valutando l’eq. (62) con (µ, ν, λ) = (1, 2, 3) si ha∂ 1 F 23 + ∂ 2 F 31 + ∂ 3 F 12 = ∂ 1 B 1 + ∂ 2 B 2 + ∂ 3 B 3 = 0 (64)ed otteniamo l’equazione⃗∇ · ⃗B = 0 .Similmente con (µ, ν, λ) = (0, 1, 2) si hache corrisponde alla terza componente dell’equazione vettorialee così via.∂ 0 F 12 + ∂ 1 F 20 + ∂ 2 F 01 = ∂ t B 3 + ∂ 1 E 2 − ∂ 2 E 1 = 0 (65)⃗∇ × ⃗ E + ∂ t⃗ B = 0Principio d’azione La soluzione generica delle equazioni omogenee (62) può essere scritta in termini di unpotenziale quadrivettore A µF µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (66)Con il potenziale A µ è possibile introdurre un principio di minima azione per le equazioni del campo elettromagnetico.Infatti dall’azione∫ (S Max [A µ ] = d 4 x − 1 4 F µνF µν + A µ J µ) (67)da cui si ottengono le equazioni di Maxwell con sorgente∂ µ F µν = −J ν . (68)La conservazione della corrente è necessaria per la consistenza delle equazioni di Maxwell. Infatti∂ µ ∂ ν F µν = 0 =⇒ ∂ ν J ν = 0 . (69)Esplicitiamo queste equazioni separando gli indici in parti spaziali e parti temporali. Ponendopossiamo calcolareA µ = (A 0 , ⃗ A) = (φ, ⃗ A) , A µ = (−φ, ⃗ A) , J µ = (ρ, ⃗ J) (70)∂ µ J µ = ∂ρ∂t + ⃗ ∇ · ⃗J = 0F 0i = ∂ 0 A i − ∂ i A 0 = ∂ t A i + ∂ i φ = −E iF ij = ∂ i A j − ∂ j A i = ɛ ijk B k (71)per cui il tensore campo elettromagnetico può essere scritto (in unità di Heaviside-Lorentz) come⎛⎞0 −E x −E y −E z⎜ EF µν = x 0 B z −B y ⎟⎝⎠ (72)E y −B z 0 B xE z B y −B x 012

Inoltre∂ µ F µ0 = −J 0 −→ ∂ i F i0 = ρ −→ ⃗ ∇ · ⃗ E = ρ∂ µ F µi = −J i −→ ∂ j F ji + ∂ 0 F 0i = −J i −→ ⃗ ∇ × ⃗ B − ∂ t⃗ E = ⃗ J (73)che riconosciamo come le equazioni di Maxwell con sorgenti. Le altre equazioni di Maxwell (quelle senza sorgenti)⃗∇ · ⃗B = 0⃗∇ × ⃗ E + ∂ t⃗ B = 0 (74)sono similmente contenute in ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ + ∂ λ F µν = 0, conseguenza della (66) (identità di Bianchi).13