Equazioni d'onda relativistiche

Equazioni d’onda relativistiche(Appunti per il corso di Teoria dei Campi 1 - 2010/11)Fiorenzo Bastianelli1 Spin 0: il campo scalare di Klein GordonL’equazione di Klein-Gordon può essere ottenuta dalla prima quantizzazione di una particella relativistica. Peròil campo di Klein-Gordon non ammette una interpretazione probabilistica come nel caso della funzione d’ondadell’equazione di Schroedinger. La consistenza con la meccanica quantistica è recuperata trattando il campo diKlein-Gordon come campo classico descrivente un numero infinito di gradi di libertà (che successivamente dovrà esserequantizzato, esattamente come nel caso del campo elettromagnetico che storicamente fu il primo esempio di campoquantizzato) e non come una funzione d’onda quantistica. Spesso ci si riferisce alla quantizzazione del campo come allaseconda quantizzazione. Con la seconda quantizzazione il campo di Klein-Gordon permette di descrivere un numeroarbitrario di particelle ed antiparticelle identiche di spin zero.AzioneL’equazione di Klein-Gordon per un campo scalare complesso φ(x) (in unità di misura con = c = 1) è data da(□ − m 2 )φ(x) = 0 (1)dove □ ≡ ∂ µ ∂ µ è l’operatore differenziale di d’Alembert. Questa equazione può essere convenientemente ottenuta daun principio d’azione∫ ()S[φ, φ ∗ ] = d 4 x − ∂ µ φ ∗ ∂ µ φ − m 2 φ ∗ φ . (2)Variando indipendentemente φ e φ ∗ ed imponendo il principio di minima azione si ottengono le equazioni del moto:δS[φ, φ ∗ ]δφ ∗ (x)= (□ − m 2 )φ(x) = 0 ,δS[φ, φ ∗ ]δφ(x)= (□ − m 2 )φ ∗ (x) = 0 . (3)Per un campo scalare reale φ ∗ = φ, l’azione è data da∫ (S[φ] = d 4 x − 1 )2 ∂µ φ∂ µ φ − m22 φφ(4)da cuiδS[φ]δφ(x) = (□ − m2 )φ(x) = 0 . (5)SoluzioniSi possono cercare soluzioni di onda piana del tipoche inserita in (1) produceφ(x) ∼ e ipνxν (6)−(p µ p µ + m 2 ) e ipνxν = 0 (7)L’onda piana è una soluzione se il quadrimomento p µ soddisfa la condizione di mass-shellche è risolta dap µ p µ = −m 2 , (8)√(p 0 ) 2 = ⃗p 2 + m 2 =⇒ p 0 = ± ⃗p 2 + m 2 = ±E p (9)} {{ }E p(se si cerca di interpretare φ(x) come una funzione d’onda, oltre alle soluzioni con energia positiva p 0 = E p sono presentianche soluzioni con energia negativa p 0 = −E p , che saranno poi reinterpretate come dovute alle antiparticelle). Tutte1

le soluzioni sono quindi indicizzate dal valore del momento spaziale ⃗p ∈ R 3 , oltre che dal segno di p 0 = ±E p . Unasoluzione generale si può quindi scrivere come combinazione lineare di onde piane∫φ(x) =d 3 p 1((2π) 3 a(⃗p) e −iEpt+i⃗p·⃗x + b ∗ (⃗p) e iEpt−i⃗p·⃗x) (10)2E pe relativo complesso coniugato∫φ ∗ (x) =d 3 p 1((2π) 3 b(⃗p) e −iEpt+i⃗p·⃗x + a ∗ (⃗p) e iEpt−i⃗p·⃗x) (11)2E pPer campi reali (φ ∗ = φ) i coefficienti di Fourier a(⃗p) e b(⃗p) coincidono, a(⃗p) = b(⃗p).SimmetrieIl campo complesso di Klein-Gordon libero (cioè senza interazioni) possiede simmetrie rigide generate dal gruppo diPoincaré (simmetrie di spazio-tempo) e simmetrie rigide per trasformazioni di fase generate dal gruppo U(1) (simmetrieinterne).La simmetria U(1) è data daφ(x) −→ φ ′ (x) = e iα φ(x)ed è facile vedere che l’azione (2) è invariante. Per trasformazioni infinitesimeConsiderando il parametro locale, α → α(x), si calcola∫δS[φ, φ ∗ ] =φ ∗ (x) −→ φ ∗′ (x) = e −iα φ ∗ (x) (12)δφ(x) = iαφ(x)δφ ∗ (x) = −iαφ ∗ (x) . (13)(d 4 x ∂ µ α)iφ ∗ ∂ µ φ − i(∂ µ φ ∗ )φ(14)} {{ }J µda cui verifichiamo di nuovo la simmetria U(1) (per α costante), ottenendo allo stesso tempo la relativa corrente diNoetherJ µ = iφ ∗ ∂ µ φ − i(∂ µ φ ∗ )φ ≡ iφ ∗ ↔ ∂ µ φ (15)che soddisfa un’equazione di continuità, ∂ µ J µ = 0. La corrispondente carica conservata∫ ∫Q ≡ d 3 x J 0 = d 3 x iφ ∗ ∂ ↔ 0 φ (16)non è definita positiva: non può essere interpretata come una probabilità come nel caso delle soluzioni dell’equazionedi Schroedinger. Più in generale si può definire un prodotto scalare tra due soluzioni dell’equazione di Klein-Gordonχ e φ come∫〈χ|φ〉 ≡ d 3 x iχ ∗ ∂ ↔ 0 φ . (17)Questo prodotto scalare è conservato grazie alle equazioni del moto, ma non è interpretabile come ampiezza di probabilità.Le trasformazioni generate dal gruppo di Poincaréx µ −→ x µ′ = Λ µ νx ν + a µφ(x) −→ φ ′ (x ′ ) = φ(x)φ ∗ (x) −→ φ ∗′ (x ′ ) = φ ∗ (x) (18)trattano il campo di Klein-Gordon come uno scalare. È facile verificare l’invarianza dell’azione sotto queste trasformazionifinite. Consideriamo in particolare il caso di traslazioni spazio-temporali infinitesime, che possiamo scriverecomeδφ(x) = φ ′ (x) − φ ′ (x) = −a µ ∂ µ φ(x) (19)2

dove p indica il quadrimomento trasportato della particella che scorre lungo la linea.Si noti che conoscendo la funzione di Green G(x, y), si può ottenere una soluzione dell’equazione non omogenea(−□ + m 2 )φ(x) = J(x) (25)con J(x) sorgente arbitraria come∫φ(x) =d 4 y G(x, y)J(y) . (26)Questo si verifica facilmente inserendo (26) in (25) ed usando la proprietà (23).Più esattamente il propagatore (o funzione di correlazione a due punti) è dato da∫〈φ(x)φ ∗ (y)〉 = −iG(x − y) =d 4 p(2π) 4−ip 2 + m 2 − iɛ eip·(x−y) . (27)Questo propagatore descrive la propagazione dei quanti del campo scalare complesso che sono identificate con particelleed antiparticelle di massa m e spin 0. Queste particelle possono propagarsi a distanze macroscopiche solo se vale larelazione p 2 = −m 2 (il polo che compare nell’integrando compensa gli effetti di interferenza distruttiva dell’integraledi Fourier sulle onde piane) e sono dette “particelle reali”. Gli effetti quantistici dovuti alle fluttuazioni con p 2 ≠−m 2 sono invece considerati come dovuti a “particelle virtuali” che non sono visibili some stati asintotici (cioè sudistanze macroscopiche e sono “nascoste” dal principio di indeterminazione). La prescrizione iɛ per spostare i polidell’integrando (prescrizione di Feynman-Stuckelberg) corrisponde ad una scelta ben precisa delle condizioni al contornoda dare alla funzione di Green: corrisponde a propagare in avanti nel tempo le onde piane con energia positiva(p 0 = E p ), mentre propaga indietro nel tempo le fluttuazioni con energia negativa (p 0 = −E p ). Questa prescrizione èanche detta causale, perchè non permette la propagazione nel futuro di stati ad energia negativa. Tali particelle conenergia negativa che si propagano indietro nel tempo sono interpretate come antiparticelle con energia positiva che sipropagano avanti nel tempo. Vediamo esplicitamente come questo emerge matematicamente dal calcolo dell’integralein p 0 del propagatore, che mostra anche come il campo libero si possa interpretare come una collezione di oscillatoriarmonici:〈φ(x)φ ∗ (y)〉 ====∫d 4 p(2π) 4−ip 2 + m 2 − iɛ eip·(x−y)∫d 3 ∫pdp ei⃗p·(⃗x−⃗y) 0(x 0 −y 0 )i(2π) 3 2π e−ip0 (p 0 − E p + iɛ ′ )(p 0 + E p − iɛ ′ )∫[]d 3 pei⃗p·(⃗x−⃗y)(2π) 3 θ(x 0 − y 0 −y 0 )) e−iEp(x0 + θ(y 0 − x 0 −x 0 )) e−iEp(y02E p 2E p∫d 3 pei⃗p·(⃗x−⃗y) −y 0 |e−iEp|x0(2π) 3 (28)2E p√dove E p = ⃗p 2 + m 2 ed ɛ ∼ ɛ ′ → 0 + . Gli integrali sono stati fatti usando l’integrazione su un circuito del pianocomplesso p 0 , scegliendo di chiudere il circuito sul semicerchio di raggio infinito che dà un contributo nullo e valutandol’integrale col teorema dei residui). Ricordando la forma del propagatore dell’oscillatore armonico si vede come ilcampo possa essere interpretato come una collezione infinita di oscillatori armonici con frequenza E p .Potenziale di YukawaConsideriamo per comodità il caso di un campo scalare reale, dove particelle ed antiparticelle sono indistinguibili.Usando il propagatore per descrivere gli effetti di sorgenti esterne, indicate con J(x), che possono emettere o assorbirequanti d’onda del campo scalare φ, possiamo descrivere una azione efficace della formaW [J] = 1 ∫d 4 x d 4 y J(x)G(x − y)J(y) (29)2Scegliamo la sorgente esterna J(x) come data dalla somma di due “cariche” statiche, di carica g 1 e g 2 poste nei punti⃗x = ⃗r e ⃗x = 0J(x) = g 1 δ 3 (⃗x − ⃗r) + g 2 δ 3 (⃗x) . (30)4

L’azione efficace che descrive l’interazione tra la carica g 1 e la carica g 2 mediata dal campo scalare φ corrisponde alseguente termine contenuto in (29)∫W [g 1 , g 2 ] = d 4 x d 4 y g 1 δ 3 (⃗x − ⃗r)G(x − y)g 2 δ 3 (⃗y)∫= dx 0 dy 0 g 1 g 2 G(x 0 − y 0 ; ⃗r)==∫∫dx 0 g 1 g 2∫dt g 1 g 2e −mr4πrd 3 p(2π) 3e i⃗p·⃗r⃗p 2 + m 2(31)che corrisponde ad un potenziale d’interazione V tra le due cariche (L = T − V ) detto potenziale di YukawaV (r) = − g 1g 24πe −mrr(32)Questo è un potenziale attrattivo tra cariche dello stesso segno, con raggio d’azione λ = 1 mcorrispondente allalunghezza d’onda Compton di una particella di massa m. Questo processo può essere descritto dal seguente diagrammadi Feynmang 1£φg 2Nel 1935 Yukawa introdusse una simile particella scalare per descrivere le forze nucleari e la chiamò mesone. Conuna stima dell’ordine di λ ∼ 1 3 fm si ottiene una massa m ∼ 150 MeV, ed infatti il mesone π0 (detto anche pione),che fù successivamente scoperto studiando le interazioni dei raggi cosmici, ha una massa di questo ordine di grandezzam π 0 ∼ 135 MeV.2 Spin 1 2: l’equazione di DiracStoricamente Dirac trovò la corretta equazione per descrivere particelle di spin 1 2cercando un’equazione relativisticache potesse avere un’interpretazione probabilistica per essere consistente con i principi della meccanica quantistica,a differenza dell’ equazione di Klein-Gordon che non ammette questa interpretazione. Sebbene un’interpretazioneprobabilistica non sarà tenibile in presenza di interazioni, e la funzione d’onda di Dirac dovrà essere trattata comeun campo classico da quantizzare (seconda quantizzazione), è utile ripercorrere la deduzione che portò Dirac allaformulazione di un’equazione del primo ordine nel tempo, l’equazione di Dirac(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 (33)dove la funzione d’onda ψ(x) ha quattro componenti (spinore di Dirac) e le γ µ sono matrici 4 × 4. Poichè le quattrocomponenti del campo di Dirac ψ(x) non sono componenti di un quadrivettore, ma sono di natura spinoriale e sitrasformano in modo differente per trasformazioni di Lorentz, occorre usare indici diversi per indicarne le componentisenza ambiguità. In questo contesto usiamo indici µ, ν, .. = 0, 1, 2, 3 per indicare le componenti di un quadrivettoreed indici α, β, .. = 1, 2, 3, 4 per indicare le componenti di uno spinore di Dirac. L’equazione (33) si scrive in modo piùesplicito come ((γ µ ) α β ∂ µ + m δ αβ ) ψ β (x) = 0 . (34)5

e contiene quattro equazioni distinte (α = 1, .., 4).Equazione di DiracLa relazione relativistica tra energia ed impulso di una particella liberap µ p µ = −m 2 c 2 ⇐⇒ E 2 = c 2 ⃗p 2 + m 2 c 4 (35)con le sostituzionip 0 = E i ∂ ∂t ,∂⃗p −i ⇐⇒ p µ −i∂ µ (36)∂⃗xporta all’equazione di Klein Gordon che è del secondo ordine nelle derivate temporali: come conseguenza la correnteconservata U(1) associata non ha una densità di carica definita positiva che possa essere interpretata come densità diprobabilità. Dirac allora propose una relazione lineare della formaE = c⃗p · ⃗α + mc 2 β (37)assumendo che ⃗α, β siano matrici unitarie tali che questa relazione lineare sia consistente con la (35). Elevandola alquadrato si ottieneE 2 = (cp i α i + mc 2 β)(cp j α j + mc 2 β)= c 2 p i p j α i α j + m 2 c 4 β 2 + mc 3 p i (α i β + βα i )= 1 2 c2 p i p j (α i α j + α j α i ) + m 2 c 4 β 2 + mc 3 p i (α i β + βα i ) (38)e la consistenza con (35) per momenti arbitrari p i produce le relazioniα i α j + α j α i = 2δ ij , β 2 = 1 , α i β + βα i = 0 (39)dove, come di consuetudine, la matrice identità è sottintesa nel lato destro di queste equazioni. Dirac ottenne unasoluzione minimale con matrici 4 × 4. Una soluzione esplicita in termini di blocchi 2 × 2 è data da( ) ( )α i 0 σi1 0=σ i , β =(40)00 −1dove le matrici σ i sono le matrici di Pauli. Quantizzando la relazione (37) con le (36) si ottiene l’equazione di Diracnella forma “hamiltoniana”i∂ t ψ = (−ic ⃗α · ⃗∇ + mc 2 β)ψ (41)} {{ }H Ddove l’hamiltoniana H D è una matrice 4 × 4 di operatori differenziali. La hermiticità delle matrici α i e β garantisce lahermiticità della hamiltoniana H D (e quindi una evoluzione temporale unitaria). Moltiplicando questa equazione conla matrice invertibile 1 cβ e definendo le matrici gammasi ottiene l’equazione di Dirac nella forma “covariante”γ 0 ≡ −iβ , γ i ≡ −iβα i (42)(γ µ ∂ µ + µ)ψ = 0 (43)con µ = mcinverso della lunghezza d’onda Compton associata alla massa m. Le relazioni fondamentali che definisconole matrici gamma sono facilmente ottenibili dalle relazioni (39) e si possono scrivere usando gli anticommutatori({A, B} ≡ AB + BA) nella seguente forma{γ µ , γ ν } = 2η µν . (44)In seguito useremo unità di misura con = c = 1, per cui µ = m e l’equazione di Dirac è scritta come in (33). Unanotazione molto in uso impega la definizione introdotta da Feynman ∂/ ≡ γ µ ∂ µ per cui l’equazione di Dirac si scrivecome(∂/ + m)ψ = 0 . (45)6

SoluzioniL’equazione libera ammette soluzioni di onda piana, che oltre alla fase e ipµxµ che descrive l’onda che si propaganello spaziotempo possiedono anche una polarizzazione w(p) collegata allo spin. Infatti immettendo un’onda pianadella forma⎛ ⎞w 1 (p)ψ(x) ∼ w(p)e ipµxµ , w(p) = ⎜ w 2 (p)⎟⎝ w 3 (p) ⎠ (46)w 4 (p)come ansatz nell’equazione di Dirac, si vede che la polarizzazione deve soddisfare un’equazione algebrica, (iγ µ p µ +m)w(p) = 0, e che il momento deve essere on-shell, p µ p µ = −m 2 . Ci sono quattro soluzioni, due ad “energia positiva”(elettrone con spin su e spin giù) e due ad “energia negativa” (positrone con spin su e spin giù). Più in dettaglio,inserendo l’ansatz di onda piana nell’equazione di Dirac si ottiene (p/ = γ µ p µ )da cui moltiplicando per (−ip/ + m)(ip/ + m)w(p) = 0 (47)(−ip/ + m)(ip/ + m)w(p) = (p/ 2 + m 2 )w(p) = (p µ p µ + m 2 )w(p) = 0 (48)che implica che p µ p µ + m 2 = 0. Con un pò più di sforzo si possono ottenere le espressioni esplicite delle quattropolarizzazioni indipendenti w(p).Per sviluppare un pò d’intuizione consideriamo il caso semplice di particella a riposo p µ = (E, 0, 0, 0). La (47)diventa0 = (iγ 0 p 0 + m)w(p) = (−iγ 0 E + m)w(p) = (−βE + m)w(p) (49)ed esplicitando la matrice β⎛⎜⎝E 0 0 00 E 0 00 0 −E 00 0 0 −EVediamo quindi che esistono due soluzioni ad energia positiva E = m⎛ ⎞1ψ 1 (x) ∼ ⎜ 0⎟⎝ 0 ⎠ e−imt , ψ 2 (x) ∼0⎞⎟⎠ w(p) = m w(p) (50)⎛⎜⎝0100⎞⎟⎠ e−imt (51)e due soluzioni ad energia negativa E = −m⎛ψ 3 (x) ∼⎜⎝0010⎞⎟⎠ eimt ,ψ 4 (x) ∼⎛⎜⎝0001⎞⎟⎠ eimt . (52)Queste ultime sono reintepretate come descriventi una antiparticella. Il caso generale con momento arbitrario puòessere derivato con calcoli simili.CovarianzaDescriviamo ora la covarianza dell’ equazione di Dirac sotto trasformazioni di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentzsono definite dax µ −→ x µ′ = Λ µ νx νψ(x) −→ ψ ′ (x ′ ) = D(Λ)ψ(x) (53)dove le matrici D(Λ) costituiscono una rappresentazione (spinoriale) del gruppo di Lorentz. Questa rappresentazionesi può costruire usando le matrici gamma. Per trasformazioni infinitesime Λ µ ν = δ µ ν + ω µ νD(Λ) = 1 + i 2 ω µνM µν (54)7

dove i generatori infinitesimi sono costruiti con le matrici gammache difatti realizzano correttamente l’algebra del gruppo di LorentzM µν = − i 4 [γµ , γ ν ] (55)[M µν , M λρ ] = −iη νλ M µρ + iη µλ M νρ + iη νρ M µλ − iη µρ M νλ . (56)Come esercizio si può verificare un caso particolare, ad esempio [M 01 , M 12 ] = −iM 02 . Possiamo esplicitare M 01 =− i 4 [γ0 , γ 1 ] = − i 2 γ0 γ 1 , e similmente M 12 = − i 2 γ1 γ 2 , M 02 = − i 2 γ0 γ 2 , e calcolare([M 01 , M 12 ] = − i ) 2[γ 0 γ 1 , γ 1 γ 2 ] = − 1 24(γ 0 γ 1 γ 1 γ 2 − γ 1 γ 2 γ 0 γ 1)= − 1 (γ 0 γ 2 − γ 2 γ 0) = − 1 42 γ0 γ 2 = −iM 02 . (57)Inoltre si può mostrare che le matrici gamma sono tensori invariantiγ µ −→ γ µ′ = Λ µ νD(Λ)γ ν D −1 (Λ) = γ µ (58)proprio come la metrica η µν (è relativamente semplice vederlo per trasformazioni infinitesime). Con queste proprietàgruppali è facile mostrare l’invarianza in forma dell’equazione di Dirac(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 ⇐⇒ (γ µ ∂ ′ µ + m)ψ ′ (x ′ ) = 0 . (59)Infatti, usando il fatto che le matrici gamma sono tensori invarianti, possiamo scrivere il lato sinistro della secondaequazione con γ µ′ per cui(γ µ ∂ µ ′ + m)ψ ′ (x ′ ) = (γ µ′ ∂ µ ′ + m)ψ ′ (x ′ )()= Λ µ νD(Λ)γ ν D −1 (Λ)Λ λ µ ∂ λ + m D(Λ)ψ(x)= D(Λ)(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) (60)da cui segue la (59).Oltre alle trasformazioni di Lorentz connesse all’identità, si può mostare l’invarianza dell’equazione di Dirac liberaper trasformazioni discrete quali la riflessione spaziale (o parità) P , la riflessione temporale T e la coniugazione dicarica C che scambia particelle con antiparticelle. Discutiamo esplicitamente la trasformazione di paritàx µ −→ ˜x µ = P µ νx ν , P µ ν =⎛⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1ψ(x) −→ ˜ψ(˜x) = D(P )ψ(x) , D(P ) = e iφ γ 0 (62)dove la rappresentazione sugli spinori della trasformazione di parità, D(P ) = e iφ γ 0 , può contenere una fase arbitrariaφ. Mostriamo che con queste trasformazioni l’equazione è invariante in formaInfatti possiamo calcolare(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 ⇐⇒ (γ µ ˜∂µ + m) ˜ψ(˜x) = 0 . (63)(γ µ ˜∂µ + m) ˜ψ(˜x) = (γ 0 ∂ 0 − γ i ∂ i + m)e iφ γ 0 ψ(x) = e iφ γ 0 (γ 0 ∂ 0 + γ i ∂ i + m)ψ(x)⎞⎟⎠(61)= e iφ γ 0 (γ µ ∂ µ + m)ψ(x) (64)per cui un’equazione in un sistema di riferimento implica l’altra nel sistema di riferimento con assi spaziali riflessi.8

Molte delle proprietà degli spinori seguono dalle proprietà algebriche delle matrici gamma e per convenienza neelenchiamo qui alcuneγ µ† = γ 0 γ µ γ 0(γ i hermitiane, γ 0 antihermitiana)γ 5 ≡ −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =⇒ {γ 5 , γ µ } = 0 , (γ 5 ) 2 = 1 , γ 5 † = γ 5 . (65)AzionePer scrivere l’azione conviene introdurre il coniugato di Dirac ¯ψ del campo ψ, definito come¯ψ ≡ ψ † β = ψ † iγ 0 (66)che ha la proprietà di trasformarsi in modo tale da rendere il prodotto ¯ψψ uno scalare. Infatti dalla trasformazioneinfinitesima di Lorentz su uno spinore ψ (trascurando la dipendenza dalle coordinate dello spazio-tempo) si ottienequella del suo coniugato di Diracδψ = i 2 ω µνM µν ψ −→ δ ¯ψ = − i 2 ω µν ¯ψM µν (67)da cui si deduce che ¯ψψ è uno scalare. L’azione è uno scalare ed è data da∫S[ψ, ¯ψ] = d 4 x L(ψ, ¯ψ) , L(ψ, ¯ψ) = − ¯ψ(γ µ ∂ µ + m)ψ . (68)Variando ¯ψ e ψ ed usando il principio di minima azione si ottengono l’equazione di Dirac e la sua coniugata(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 , ¯ψ(x)(γµ ← ∂ µ −m) = 0 . (69)Come esercizio verifichiamo esplicitamente le trasformazioni di Lorentz di ¯ψ:δ ¯ψ( i †iγ ( 1) †iγ= δψ † iγ 0 =2 ω µνM ψ) µν 0 =4 ω µνγ µ γ ν ψ0 = 1 4 ω µν ψ † γ ν† γ µ† iγ 0= 1 4 ω µν ψ † γ 0 γ 0 γ ν† γ 0 γ 0 γ µ† iγ 0 = 1 4 ω µν (ψ † iγ 0 )(γ 0 γ ν† γ 0 )(γ 0 γ µ† γ 0 ) = 1 4 ω µν ¯ψγ ν γ µ= − 1 4 ω µν ¯ψγ µ γ ν = − i 2 ω µν ¯ψM µν . (70)SimmetrieLe simmetrie sotto il gruppo di Lorentz sono state già descritte sopra, mentre quelle addizionali per traslazionispazio temporali sono immediate considerando il campo come uno scalare (x → x ′ = x+a con ψ(x) → ψ ′ (x ′ ) = ψ(x)).Da questa ultima si può ottenere il tensore energia-impulso come corrente di Noether.Consideriamo in dettaglio la simmetria interna generata dalle trasformazioni di fase del gruppo U(1)È facile vedere che l’azione (68) è invariante. Per trasformazioni infinitesimeψ(x) −→ ψ ′ (x) = e iα ψ(x)¯ψ(x) −→ ¯ψ′ (x) = e −iα ¯ψ(x) . (71)δψ(x) = iα ψ(x)δ ¯ψ(x) = −iα ¯ψ(x) (72)considerando un parametro locale α(x) si calcola∫δS[ψ, ¯ψ] =d 4 x ∂ µ α(−i ¯ψγ µ ψ} {{ }−J µ ) (73)da cui si verifica di nuovo la simmetria U(1) (per α costante) e si ottiene la relativa corrente di NoetherJ µ = i ¯ψγ µ ψ (74)9

che è conservata ∂ µ J µ = 0. In particolare la densità di carica conservata è definita positivae fù originariamente considerata da Dirac come una densità di probabilità.J 0 = i ¯ψγ 0 ψ = iψ † iγ 0 γ 0 ψ = ψ † ψ ≥ 0 (75)Proprietà chiraliAnalizziamo infine la riducibilità dello spinore di Dirac sotto il gruppo di Lorentz proprio ed ortocrono SO + (3, 1).Costruendo i proiettoriP L = 1 − γ 52, P R = 1 + γ 52(sono proiettori poiché P L + P R = 1, P 2 L = P L, P 2 R = P R, P L P R = 0) possiamo dividere lo spinore di Dirac nelle suecomponenti sinistrorse e destrorse (spinori di Weyl)ψ = ψ L + ψ R , ψ L ≡ 1 − γ 52(76)ψ , ψ R ≡ 1 + γ 5ψ (77)2che sono le due rappresentazioni irriducibili del gruppo di Lorentz proprio ed ortocrono (nella teoria delle rappresentazioniabbiamo anticipato la presenza delle rappresentazioni irriducibili inequivalenti ( 1 2 , 0) e (0, 1 2) che corrispondonoagli spinori di Weyl, e descritto lo spinore di Dirac come la rappresentazione riducibile data dalla somma diretta( 1 2 , 0)⊕(0, 1 2 )). Infatti i generatori infinitesimi delle trasformazioni di Lorentz M µν commutano con i proiettori P L , P RP L/R M µν = 1 ∓ γ (5− i ) (2 4 [γµ , γ ν ] = − i ) 1 ∓4 [γµ , γ ν γ5] = M µν P L/R (78)2e questo indica come lo spinore di Dirac sia riducibile nella sue parti destrorse e sinistrorse. L’operazione di parità(riflessione degli assi spaziali) trasforma un fermione sinistrorso in un fermione destrorso e viceversa. Infattiψ LP−→ (ψL ) ′ =( 1 − γ5) ′ψ = e iφ γ 0 1 − γ 522ψ = 1 + γ 52È interessante scrivere l’azione in termini di queste componenti chirali irriducibili∫ (S[ψ L , ψ R ] = d 4 x − ¯ψ L ∂/ψ L − ¯ψ R ∂/ψ R − m( ¯ψ L ψ R + ¯ψ)R ψ L )e iφ γ 0 ψ = 1 + γ 5ψ ′ = (ψ ′ ) R . (79)2(80)che mostra come una massa di Dirac m non possa essere presente per fermioni chirali (i.e. fermoni puramente sinistrorsiper cui ψ R = 0 o puramente destrorsi per cui ψ L = 0). I fermioni che entrano nel modello standard sono chirali e nonpossono avere masse di Dirac (per ragioni collegate all’invarianza di gauge). Masse di Dirac possono emergere comeconseguenza del meccanismo di Higgs per la rottura spontanea della simmetria di gauge.PropagatoreQuantizzando il campo di Dirac libero si ottiene il propagatore. Come nel caso del campo di Klein Gordon, ilpropagatore è collegato alla funzione di Green S(x − y) dell’operatore differenziale descrivente l’equazione del motolibera ((∂/ x + m)S(x − y) = δ 4 (x − y)). Il propagatore ha quindi la seguente forma∫〈ψ(x) ¯ψ(y)〉 d 4 p= −iS(x − y) = −i eip·(x−y) −ip/ + m(2π) 4 p 2 + m 2 (81)− iɛda cui segue, grazie alla prescrizione causale di Feynman (−iɛ), la corretta interpretazione di fluttuazioni di particelleed antiparticelle con energie positive che si propagano dal passato al futuro, proprio come nel caso delle particellescalari.3 Spin 1: equazioni di Maxwell e ProcaProcaParticelle di spin 1 possono essere descritte da un campo vettoriale A µ (x). Nel caso di particelle massive di massam le equazioni libere sono conosciute come equazioni di Proca e sono derivabili dalla seguente azione∫ (S P ro [A µ ] = d 4 x − 1 4 F µνF µν − 1 2 m2 A µ A µ) (82)10

dove si è usata la definizioneF µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (83)Un’integrazione per parti permette di ottenere una forma alternativa dell’azione∫ (S P ro [A µ ] = d 4 x − 1 2 ∂ νA µ ∂ ν A µ + 1 2 (∂ µA µ ) 2 − 1 2 m2 A µ A µ) (84)simile all’azione di quattro campi di Klein Gordon (primo e terzo termine) ma con l’aggiunta cruciale del termine(∂ µ A µ ) 2 . Variando A µ si ottengono le equazioni del motoδS P ro [A]δA ν (x)≡ ∂ µ F µν − m 2 A ν (x) = 0 . (85)Queste sono le equazioni di Proca. Possono essere scritte in una forma equivalente notando l’indentità ∂ µ ∂ ν F µν = 0che implica∂ µ ∂ ν F µν = m 2 ∂ ν A ν (x) = 0 . (86)Quindi per m ≠ 0 si ha il vincolo∂ µ A µ = 0 . (87)Utilizzando questa relazione si possono scrivere le equazioni di Proca come quattro equazioni di Klein-Gordon con inpiù un vincolo(□ − m 2 )A µ = 0∂ µ A µ = 0 . (88)Questo ci dice che dei quattro campi A µ solo tre di essi sono indipendenti, e descrivono in modo covariante le tre polarizzazioniassociate ad una particella di spin 1. L’invarianza dell’azione e delle equazioni del moto per trasformazionidi Lorentzx µ −→ x µ′ = Λ µ νx νA µ (x) −→ A µ ′ (x ′ ) = (D(Λ)) µ ν A ν (x) = Λ µ ν A ν (x) (89)è manifesta: basta trasformare il campo A µ nella rappresentazione quadrivettoriale come indicato dal suo indice.SoluzioniÈ facile trovare soluzioni di onda piana dell’equazione di Proca. Inserendo in (88) l’ansatzA µ = ε µ (p)e ip·x (90)si trova che: (i) il momento p µ deve soddisfare alla condizione di “mass shell” p µ p µ = −m 2 (prima equazione in (88)),(ii) una combinazione lineare della quattro possibili polarizzazioni deve essere nulla, p µ ε µ (p) = 0 (seconda equazionein (88)). Le tre rimanenti polarizzazioni descrivono i tre gradi di libertà di una particella con spin 1. Soluzioni realipossono facilmente essere ottenute sommando con opportuni coefficienti di Fourier queste onde piane.PropagatoreLa quantizzazione per la teoria libera procede in modo semplice. Infatti la definizione dell’integrale funzionale nonpresenta problemi particolari. È quindi facile ottenere il propagatore〈A µ (x)A ν (y)〉 =∫d 4 ( )p−iG µν (x − y) = −i ηµν + pµpνm 2(2π) 4 p 2 + m 2 − iɛ} {{ }(91)˜G µν(p)dove si è fatto uso della funzione di Green G µν (x − y) dell’operatore differenziale K µν (∂) ≡ (−□ + m 2 )η µν + ∂ µ ∂ ν chesoddisfaK µν (∂ x )G νλ (x − y) = δ µ λ δ4 (x − y) . (92)Tale funzione di Green è facilmente ottenibile in trasformata di Fourier, poichè per simmetria la funzione ˜G(p) in (91)deve avere una struttura della forma˜G µν (p) = A(p)η µν + B(p)p µ p ν (93)11

ed imponendo la (92) si ottiene facilmenteA(p) =1p 2 + m 2 , B(p) = 1 A(p) . (94)m2 Tale propagatore descrive la propagazione di particelle (ed antiparticelle) reali e virtuali, come nel caso delle particelledi spin 0. Si noti che la polarizzazione longitudinale ɛ µ (p) ∼ p µ non si propaga ma genera solo effetti di contatto (cioèproporzionali ad una delta di Dirac).1)MaxwellPer m → 0 l’azione di Proca si riduce all’azione di Maxwell che descrive particelle di massa nulla e spin 1 (elicità∫S Max [A µ ] =(d 4 x − 1 4 F µνF µν) (95)le equazioni del moto ora sono∂ µ F µν = 0 (96)e corrispondono a metà delle equazioni di Maxwell nel vuoto. L’altra metà delle equazioni di Maxwell sono automaticamentesoddifatte dalla relazioneF µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ (97)che infatti soddisfa alle identità di Bianchi∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0 (98)corrispondenti alle equazioni di Maxwell mancanti. Infatti sostituendo (97) in (98) si vede che tutti i termini ci cancellanodue a due. Questa equazione può essere scritta anche in una forma equivalente usando il tensore completamenteantisimmetrico ɛ µνλρ ɛ µνλρ ∂ ν F λρ = 0 . (99)La novità di questa formulazione di particelle massless di spin 1 è la presenza di una simmetria di gaugeδA µ (x) = ∂ µ λ(x) (100)che implica che l’azione descriva non tre ma solo due gradi di libertà: gli stati di spin massimo e minimo lungo ladirezione del moto (elicità).Equazioni di MaxwellAccoppiando il campo A µ ad una sorgente di carica conservata J µ (∂ µ J µ = 0) si ha l’azione∫ (S Max [A µ ] = d 4 x − 1 4 F µνF µν + A µ J µ) (101)da cui si ottengono le equazioni di Maxwell con sorgente∂ µ F µν = −J ν (102)La conservazione della corrente è necessaria per la consistenza delle equazioni di Maxwell. Infatti∂ µ ∂ ν F µν = 0 =⇒ ∂ ν J ν = 0 . (103)Esplicitiamo queste equazioni separando gli indici in parti spaziali e parti temporali. PonendoA µ = (A 0 , A) ⃗ = (φ, A) ⃗ , A µ = (−φ, A) ⃗J µ = (ρ, J) ⃗ , ∂ µ J µ = ∂ρ∂t + ∇ ⃗ · ⃗J = 0F 0i = ∂ 0 A i − ∂ i A 0 = ∂ t A i + ∂ i φ = −E iF ij = ∂ i A j − ∂ j A i = ɛ ijk B k (104)12

per cui il tensore campo elettromegnetico si può scrivere (in unità di Heaviside-Lorentz) comeInoltre⎛⎞0 −E x −E y −E z⎜ EF µν = x 0 B z −B y ⎟⎝⎠ (105)E y −B z 0 B xE z B y −B x 0∂ µ F µ0 = −J 0 −→ ∂ i F i0 = ρ −→ ⃗ ∇ · ⃗ E = ρ∂ µ F µi = −J i −→ ∂ j F ji + ∂ 0 F 0i = −J i −→ ⃗ ∇ × ⃗ B − ∂ t⃗ E = ⃗ J (106)che riconosciamo come le equazioni di Maxwell con sorgenti. Le altre equazioni di Maxwell (quelle senza sorgenti)sono similmente contenute in (98).⃗∇ · ⃗B = 0⃗∇ × ⃗ E + ∂ t⃗ B = 0 (107)SoluzioniLe equazioni del moto non hanno una soluzione univoca (anche fissando opportune condizioni iniziali) a causa dellasimmetria di gauge. Si può utilizzare l’invarianza di gauge per fissare delle condizioni (condizioni di gauge fixing) chepermettono di trovare soluzioni inequivalenti per trasformazioni di gauge.Scegliamo di fissare il gauge imponendo la condizione di Lorenz∂ µ A µ = 0 (108)che può essere sempre imposta. Con questo vincolo le equazioni del moto libere si semplificano e diventanole cui soluzioni di onda piana sono□A µ = 0 (109)A µ (x) = ε µ (p)e ip·x , p µ p µ = 0 , p µ ε µ (p) = 0 (110)e contiene 3 polarizzazioni indipendenti. Di queste tre polarizzazioni, quella longitudinale (ε µ (p) = p µ ) può essererimossa usando le trasformazioni di gauge residue, cioè quelle trasformazioni di gauge che lasciano invariata la condizionedi Lorenz (108). Rimangono quindi solo due polarizzazioni fisiche indipendenti che corrispondono alle duepossibili elicità del fotone (elicità = proiezione dello spin lungo la direzione del moto).Si potrebbero discutere anche le soluzioni in presenza di sorgenti esterne prefissate J µ . Anche qui c’è la complicazionedovuta alla simmetria di gauge. In assenza di simmetrie di gauge la soluzione formale può essere ottenutausando la corrispondente funzione di Green (ritardata, anticipata o con le condizione causali di Feynman, sceltache dipende delle condizioni al contorno imposte al problema): infatti la funzione di Green rappresenta la soluzioneelementare corrispondente ad una sorgente puntiforme localizzata nel tempo e nello spazio (delta di Dirac):D(∂ x )φ(x) = J(x) (eq. del moto)D(∂ x )G(x − y) = δ 4 (x − y) (funz. di Green)∫φ(x) = d 4 y G(x − y)J(y) (soluzione formale)La complicazione dovuta alle simmetrie di gauge è associata la fatto che la funzione di Green non è univoca, infattile equazioni del moto anche in presenza di condizioni al contorno non sono univocamente risolte (infatti si possonofare trasformazioni di gauge dipendenti dal tempo che non modificano gli osservabili fisici). Abbiamo già visto che lasimmetria di gauge implica un vincolo sulle correnti esterne J µ (devono necessariamente essere conservate ∂ µ J µ = 0).In genere occorre fissare un gauge, cioè imporre delle condizioni aggiuntive sulle variabili dinamiche, in modo tale chela soluzione sia unica una volta fissate le condizioni al contorno. Qui sopra abbiamo brevemente discusso il gauge diLorenz ∂ µ A µ = 0 che ha la proprietá di essere manifestamente Lorentz invariante, però non fissa completamente ilgauge. Una condizione piú restrittiva è il gauge di Coulomb ⃗ ∇ · ⃗A = 0 che fissa completamente il gauge ma non èinvariante di Lorentz (in altri sistemi inerziali i potenziali di gauge soddifano relazioni di gauge fixing diverse, anche13

se il campo elettromagnetico F µν rimane sempre come un tensore di rango due). Ricordiamo brevemente alcuneconseguenze del gauge di Coulomb (∂ i A i = 0):{ {□A µ − ∂ µ (∂ ν A ν ) = −J µ □A→0 − ∂ 0 (∂ 0 A 0 ) = −J 0∇□A i − ∂ i (∂ 0 A 0 ) = −J i →2 A 0 = −ρ□A i = −J i + ∂ i ∂ 0 A 0 (111)da cui{A 0 (t, ⃗x) = ∫ d 3 y ρ(t,y)4π |⃗x−⃗y|□A i (t, ⃗x) = −J i (t, ⃗x) + ∂ i (x)∫ d 3 y4π∂ tρ(t,y)|⃗x−⃗y|(112)(si noti che abbiamo usato la relazione ∇ 2 (x) |⃗x−⃗y| = −4πδ3 (⃗x − ⃗y)).1Potenziale dovuto allo scambio di una particella di spin 1Generalizziamo il potenziale di Yukawa al caso in cui la particella scambiata che genera il potenziale abbia spin 1e sia massiva. L’azione efficace in presenza di sorgenti esterne J µ è data daW [J µ ] = 1 ∫d 4 x d 4 y J µ (x)G µν (x − y)J ν (y) (113)2che generalizza il caso scalare descritto precedentemente in eq. (29). Consideriamo sorgenti statiche con J µ =(J 0 , 0, 0, 0) eJ 0 (x) = e 1 δ 3 (⃗x − ⃗r) + e 2 δ 3 (⃗x) . (114)Calcolando l’azione efficace che descrive l’interazione tra la carica e 1 e la carica e 2 mediata dal campo massivo di spin1 A µ otteniamo∫W [e 1 , e 2 ] = d 4 x d 4 y e 1 δ 3 (⃗x − ⃗r)G 00 (x − y)e 2 δ 3 (⃗y)∫= −dt e 1 e 2e −mr4πr(115)dove abbiamo usato la funzione di Green in (91). Si noti la differenza di segno rispetto al caso scalare che è dovutaad η 00 = −1. Il risultato finale corrisponde al seguente potenziale d’interazione tra le due cariche (L = T − V )V (r) = e 1e 24πe −mrr. (116)Questo è un potenziale repulsivo tra cariche dello stesso segno. Il limite m → 0 corrisponde al potenziale di Coulomb.14