Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

Annamaria MazziaRaccolta di esercizi di Calcolo NumericoDipartimento di Ingegneria Civile Edile e AmbientaleUniversità degli Studi di PadovaCreative Commons Attribuzione-Non commerciale-Non opere derivate 3.0 Italy Licensea.a. 2013/2014

INDICEIndiceii1 Esercizi su zeri di funzione 12 Esercizi su interpolazione e approssimazione 73 Esercizi su metodi diretti per sistemi lineari 134 Esercizi su metodi iterativi per sistemi lineari 195 Esercizi su formule di quadratura 256 Domande di teoria 31Gli esercizi di questa raccolta sono tratti da testi d’esame di Calcolo Numerico (anche se questo corso haavuto nomi diversi a seconda dei vari ordinamenti di studio, da Metodi Numerici per l’Ingegneria I a CalcoloNumerico a Calcolo Numerico e Programmazione) per gli studenti di diversi corsi di laurea in Ingegneria dell’Universitàdi Padova i cui docenti sono stati o sono tuttora G. Gambolati, G. Pini, M. Putti, L. Bergamaschi,M. Ferronato, A. Mazzia.Non sono una raccolta completa ed esaustiva di tutti i compiti assegnati nel corso degli ultimi dieci e piùanni. Ma il numero e la varietà degli esercizi proposti offrono un’ampia prospettiva sugli esercizi dei compitiscritti affinchè lo studente possa prepararsi adeguatamente alla prova scritta.Annamaria Mazziaii

C A P I T O L O1ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONEEs. 1 — (appello del 18 settembre 2013) Si vuole risolvere l’equazione x 3 + 2x 2 − 5 = 0.1. Provare che ammette un’unica soluzione nell’intervallo [0,2].2. Eseguire tre iterazioni con il metodo di Newton-Raphson partendo da x 0 = 2.3. Eseguire tre iterazioni con lo schema della Regula Falsi, partendo da x 0 = 2 e x 1 ottenuto al puntoprecedente.4. Stimare i fattori di convergenza dei due metodi applicati.Es. 2 — (appello del 10 luglio 2013) È data l’equazione non lineare ln(x + 2) − e −x/4 = 0.1. Dimostrare esistenza e unicità della soluzione ξ nell’intervallo [−1,1].2. A partire dal punto iniziale x 0 = 1, si applichi il metodo di Newton-Raphson arrestando le iterazioniquando lo scarto tra due approssimazioni successive è minore della tolleranza tol l = 5×10 −4 . Si stimipoi la costante asintotica del metodo.3. Considerando lo schema di punto fisso x k+1 = ln(x k + 2)−e −x k /4 + x k , si dica se tale metodo convergealla soluzione ξ e, in caso affermativo, si dica qual è l’ordine di convergenza del metodo e se ne stimila costante asintotica. Non si esegua nessuna iterazione con lo schema di punto fisso.Es. 3 — (appello del 13 febbraio 2013) Sia data l’equazione non lineare f (x) = 0 dove√f (x) = x 2 + 1 − cos(x) − x1. Mostrare che l’equazione data ammette almeno due soluzioni (ξ 1 ,ξ 2 ) in [−1,2] (suggerimento:calcolare f (−1), f (0.5), f (2)).2. Per approssimare ξ 1 si parta dal punto iniziale x 0 = 2 e si eseguano 3 iterazioni con il metodo diNewton-Raphson. Stimare la costante asintotica dell’errore M 1 e l’errore al passo 3.3. Per approssimare ξ 2 si parta dal punto iniziale x 0 = −1 e si eseguano 3 iterazioni con il metodo diNewton-Raphson. Stimare la costante asintotica dell’errore M 2 e l’errore al passo 3.4. Senza eseguire ulteriori iterazioni,√ma giustificando la risposta, si dica a quale delle due soluzioniil metodo di punto fisso x k+1 = x 2 k + 1 − cos(x k) può convergere localmente. Nel caso in cui c’èconvergenza, si calcoli l’ordine p del metodo.1

1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONEEs. 4 — (appello del 18 settembre 2012) Data l’equazione non lineare x + cos(x) − 1.2 = 01. dimostrare esistenza e unicità della soluzione ξ nell’intervallo I = [0.2,1.57].2. A partire dal punto iniziale x 0 = 1.57 trovare x 1 con il metodo di Newton-Raphson. Giustificare,graficamente o in altro modo, le ragioni della iniziale divergenza del metodo.3. Si consideri ora il metodo di punto fisso x k+1 = 1.2−cos(x). Dimostrare che tale metodo converge allasoluzione ξ in I . A partire dal punto iniziale x 0 = 1.57 si eseguano 5 iterazioni con tale metodo. Si dicaqual è l’ordine di convergenza del metodo e se ne stimi la costante asintotica.Es. 5 — (appello del 26 giugno 2012) Sia data l’equazione non lineare x 3 −5x+4 = 0 di cui è nota una soluzioneξ = 1.1. Si dimostri che i seguenti due metodi iterativi di punto fisso x k+1 = g 1 (x k ) dove g 1 (x) = x3 + 4e5x k+1 = g 2 (x k ) dove g 2 (x) = 2x3 − 43x 2 convergono localmente a ξ. Per entrambi si calcoli l’ordine di− 5convergenza.2. A partire dal punto iniziale x 0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema x k+1 = g 1 (x k ) ; usando glierrori si stimi il fattore di convergenza M 1 .3. A partire dal punto iniziale x 0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema x k+1 = g 2 (x k ) ; usando glierrori si stimi il fattore di convergenza M 2 .Es. 6 — (appello del 1 o settembre 2011) Data l’equazione f (x) = 0 ove:f (x) = (2 + x)e −x − x 2provare che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [0.5,1.5].1. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 0.5. Dare unamaggiorazione dell’errore e una stima del fattore di convergenza M 1 .2. Utilizzando ξ ≈ x 3 si dica se lo schema di punto fissox n+1 = √ (2 + x n )e −x nconverge a ξ; in caso affermatico calcolarne il fattore di convergenza M 2 .(Usare almeno 7 cifre decimali.)Es. 7 — (appello del 21 giugno 2011) Data l’equazione e −x2 (6x 2 + 18) − 5 = 0, si provi che ammette un’unicasoluzione ξ nell’intervallo I = [0,4].1. Si calcoli il punto iniziale x 0 effettuando due iterazioni del metodo delle bisezioni (o dicotomico), apartire dall’intervallo assegnato.2. A partire dal valore x 0 calcolato al punto precedente, si calcolino tre iterazioni del metodo di Newton-Raphson e si stimi il fattore di convergenza M. (Esprimere i risultati in virgola mobile normalizzatacon almeno 7 cifre decimali)Es. 8 — (primo compitino del 28 aprile 2011) Data l’equazione f (x) = 0 ove:f (x) = x/4 − arctan(6 − x)provare (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [4,5].1. Dire quante iterazioni sono necessarie col metodo di bisezione per ottenere la soluzione ξ con unerrore minore di 10 −4 .2. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 5. Dare una maggiorazionedell’errore e una stima del fattore di convergenza M 1 .2

3. Utilizzando ξ ≃ x 3 si dica se il metodo di punto fisso:x n+1 = 6 − tan(x n /4)converge a ξ; in caso affermativo calcolare il fattore di convergenza M 2 . (Esprimere i risultati in virgolamobile normalizzata con almeno 7 cifre decimali).Es. 9 — (appello del 16 settembre 2010) Si vuole risolvere l’equazione x = g (x) con lo schema del punto fisso.Sapendo che g (x) = x 2 − 6x + 12.25 calcolarne analiticamente il punto fisso e determinare:1. il fattore di convergenza M 1 dello schema del punto fisso e successivamente le approssimanti x 1 , x 2 , x 3usando prima x 0 = 3 e poi x 0 = 4.5, giustificandone il diverso comportamento.Risolvere quindi f (x) = 0 ove f (x) = g (x) − x con lo schema di Newton-Raphson; calcolare2. il fattore di convergenza M 2 dello schema di Newton-Raphson e le approssimanti x 1 , x 2 , x 3 ottenutecon lo schema partendo da x 0 = 33. le approssimanti x 1 , x 2 , x 3 ottenute con lo schema di Newton-Rapshon modificato e x 0 = 3.Es. 10 — (appello del 7 luglio 2010) Sia data la funzione seguente:f (x) = e −8x2 − x 31. Dimostrare che l’equazione f (x) = 0 ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [0,0.8].2. Fissato x 0 = 0, si dica perchè non si può applicare il metodo di Newton-Raphson.3. Partendo da x 0 = 0, x 1 = 0.8, si trovino x 2 , x 3 , x 4 con il metodo della Regula Falsi. Stimare il fattore diconvergenza M 1 .4. Utilizzando ξ ≈ x 4 ottenuto al punto precedente, si dica se il metodo di punto fissox n+1 = (e −8x2 n) 1/3converge a ξ. In caso affermativo stimare il fattore di convergenza M 2 .Es. 11 — (appello del 2 settembre 2009) Sia data la funzione seguentef (x) = ln(x − 1) − e −x21. Provare, analiticamente o graficamente, che l’equazione f (x) = 0 ammette un’unica soluzione ξ nell’intervalloI = [1.5,2.5].Partendo da x 0 = 1.5 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazionix 1 , x 2 , x 3 ; stimare il fattore di convergenza M 1 (ξ ≈ x 3 ).∫ 2.52. Approssimare con la formula di estrapolazione di Richardson il seguente integrale:1.5 f (x) d x(Punto da svolgere dopo aver studiato le formule di integrazione numerica).Es. 12 — (appello 2 luglio 2009) È data l’equazione non lineare f (x) = 0 conf (x) = 1 − x − e −xche ammette una soluzione in ξ = 0.1. Partendo da x 0 = 0.5, calcolare la prima approssimazione x 1 di ξ con lo schema di Newton-Raphson.2. Utilizzando x 0 e x 1 del punto precedente, calcolare le prime 3 approssimazioni x 2 , x 3 e x 4 con loschema della Regula Falsi.3. Dire qual è in questo caso l’ordine di convergenza p della Regula Falsi e stimare il fattore diconvergenza M.3

1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONEEs. 13 — (primo compitino - 14 maggio 2008) Data l’equazione f (x) = 0f (x) = e −x − sin(πx)provare, analiticamente o graficamente, che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [0,1/2].1. Partendo da x 0 = 0 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazioni x 1 , x 2 , x 3 ;stimare l’errore e il fattore di convergenza M 1 (ξ ≈ x 3 ).2. Osservando che ξ è punto fisso delle funzioni seguenti:g 1 (x) = −ln(sin(πx)), g 2 (x) = (1/π)arcsin(e −x ),si dica se lo schema del punto fisso applicato a tali funzioni converge, trovando, in caso affermativo, ilcorrispondente fattore di convergenza M 2 (ξ ≈ x 3 , ottenuto in (1)).Es. 14 — (appello 13 settembre 2007) Data l’equazione f (x) = 0f (x) = e −x + x 2 − 3provare, analiticamente o graficamente, che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [− 3,0].1. Partendo da x 0 = −1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazionix 1 , x 2 , x 3 ; stimare l’errore e il fattore di convergenza M 1 (ξ ≈ x 3 ).2. Osservando che ξ è anche punto fisso della funzione seguente: g (x) = −log(3−x 2 ); si dica se lo schemadel punto fisso applicato a tale funzione converge, trovando, in caso affermativo, il corrispondentefattore di convergenza M 2 (ξ ≈ x 3 ).Es. 15 — (appello 4 luglio 2007) Sia data l’equazione x 2 + x − 6 − cos(x/2) = 0.1. Si dimostri che ammette una sola soluzione ξ in [2,2.4].2. Fissato x 0 = 2, si dica perchè il metodo di Newton-Raphson non si può applicare.3. Partendo da x 0 = 2, x 1 = 2.4, si trovino x 2 , x 3 , x 4 , x 5 con il metodo della Regula Falsi. Stimare il fattoredi convergenza M 1 .4. Utilizzando ξ ≈ x 5 si dica se il metodo di punto fisso√x n+1 = cos 2 ( x n2 ) − x n + 6converge a ξ. In caso affermativo stimare il fattore di convergenza M 2 .Es. 16 — (primo compitino 23 maggio 2007) Data l’equazione f (x) = 0f (x) = cos(x) − ln(x + 1)provare, analiticamente o graficamente, che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [0,π/2].1. Dire quante iterazioni sono necessarie per trovare col metodo dicotomico la radice ξ dell’equazionenell’intervallo I con un errore massimo ɛ ≤ 10 −8 .2. Partendo da x 0 = 0.1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare le approssimazionix 1 , x 2 , x 3 , x 4 : stimare l’errore e il fattore di convergenza M 1 (ξ ≈ x 4 ).3. Osservando che ξ è anche punto fisso della funzione g (x) = e cos(x) − 1, si dica se lo schema del puntofisso applicato a tale funzione converge, trovando, in caso affermativo, il corrispondente fattore diconvergenza M 2 (ξ ≈ x 4 ).Es. 17 — (appello 13 dicembre 2006) La funzione f (x) = x 4 + x log(x) − 1 possiede un minimo nell’intervallo[0.1,0.5]. Usare il metodo di Newton-Raphson per approssimare tale punto di minimo con un errore inferiorea 10 −4 (si utilizzi come punto iniziale x 0 = 0.5). Si stimi la costante asintotica dello schema utilizzato.4

Es. 18 — (appello del 31 agosto 2006) Dato lo schema iterativo di punto fissox n+1 = ln(4 + x n ), x 0 = 21. provare esistenza e unicità del punto fisso ξ nell’intervallo [1,2] e dire se il metodo converge in I .Calcolare un’approssimazione di ξ eseguendo 4 iterazioni;2. trovare l’ordine di convergenza, una stima del fattore di convergenza e una maggiorazione dell’errore.Es. 19 — (primo compitino 24 maggio 2006) Data l’equazione f (x) = 0f (x) = arctan(−x) + x 2 − 1provare (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [−1,0].1. Partendo da x 0 = −1 applicare lo schema di Newton-Raphson per calcolare leapprossimazionix 1 , x 2 , x 3 ; stimare il fattore di convergenza M 1 (ξ ≈ x 3 ).2. Osservando che ξ è anche punto fisso delle funzioni seguenti: g 1 (x) = −tan(1 − x 2 ), g 2 (x) =1 − arctan(−x), si dica se lo schema del punto fisso applicato a tali funzioni converge trovando, incaso affermativo, il corrispondente fattore di convergenza M 2 (ξ ≈ x 3 ).Es. 20 — (appello del 22 giugno 2005) Data l’equazioneln(1 + x) − e −x = 0provare (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione nell’intervallo [0,1].1. Eseguire tre iterazioni con la Regula Falsi, partendo da x 0 = 1 e x 1 = 0.9.2. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 0.3. Stimare i fattori di convergenza di Newton-Raphson e della Regula Falsi.Es. 21 — (appello 22 settembre 2004) Data l’equazione f (x) = 0 conf (x) = e −x2 cos(x) − 0.51. Si provi (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione nell’intervallo [0,1].2. Usando x 0 = 0.1 calcolare con il metodo di Newton-Raphson le approssimazioni x 1 , x 2 , x 3 .3. Si calcoli una nuova approssimazione x0 ′ con due iterazioni del metodo dicotomico a partiredall’intervallo dato.4. A partire da x ′ 0 , calcolare x 1, x 2 , x 3 con il metodo di Newton-Raphson e stimare la costante asintoticadi convergenza .5. (Facoltativo) Spiegare perchè il metodo di Newton-Raphson diverge nel primo caso e non nel secondo.Es. 22 — (primo compitino 30 aprile 2003)1. Si vuole risolvere l’equazione x = g (x) con lo schema del punto fisso; sapendo che g (x) = x 2 − 7x + 16determinare:a) Il fattore di convergenza M 1 dello schema del punto fisso e inoltre le approssimanti x 1 , x 2 , x 3usando prima x 0 = 3.5 e poi x 0 = 5, giustificandone il diverso comportamento.2. Risolvere quindi f (x) = 0 ove f (x) = g (x) − x con gli schemi di Newton-Raphson e della Regula Falsi;calcolarea) il fattore di convergenza M 2 dello schema di Newton-Raphson e l’approssimante x 1 ottenuta conlo schema partendo da x 0 = 55

1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONEb) le approssimanti x 2 e x 3 ottenute con lo schema della Regula Falsi usando x 0 = 5 e x 1 calcolato alpunto (2.a).c) le approssimanti x 1 , x 2 , x 3 ottenute con lo schema di Newton-Rapshon modificato e x 0 = 5.Es. 23 — (appello del 27 novembre 2002) Si vuole risolvere l’equazionex = −ln(x)con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 1 e con la Regula Falsi usando x 0 = 1 e x 1 ottenuto conNewton-Raphson. Calcolare:1. x 3 con lo schema di Newton-Raphson e con quello della Regula Falsi;2. i fattori di convergenza M 1 e M 2 degli schemi anzidetti usando le soluzioni approssimate trovate.Es. 24 — (appello 28 giugno 2002) Data la funzione seguenteg (x) = 3x + 22x + 3provare, anche solo per via grafica, che esiste un solo punto fisso ξ nell’intervallo I = [0.55,1.5]; provare inoltreche lo schema di punto fisso converge in I . Preso x 0 = 0.55 calcolare un’approssimazione di ξ eseguendo treiterazioni. Trovare ordine di convergenza assumento ξ ≈ x 3 . Dare una maggiorazione dell’errore.Es. 25 — (appello del 29 agosto 2001) Si vuole trovare la radice ξ = 2 della funzionef (x) = x 2 −4x +4 con lo schema della Regula Falsi a partire da x 0 = 0 e x 1 calcolato con lo schema di Newton-Raphson.1. Trovare x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 72. Trovare, empiricamente, l’ordine p (che in questo caso non è 1.618) ed il fattore M di convergenzadello schema della Regula Falsi applicata alla soluzione del presente esercizio.6

C A P I T O L O2ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEEs. 26 — (appello del 18 settembre 2013) È data la seguente tabella di dati sperimentalix i 0 1 2 3 4 5 6y i 1 2.7 5.8 6.6 7.5 9.9 12.5dove i valori y i approssimano il valore di una certa funzione f nei punti x i .1. Trovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x che minimizza gli scarti verticali.2. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati y = a + bx 2 che minimizza gli scartiverticali.3. Calcolare il valore approssimato di I = ∫ 60f (x)d x impiegando la formula di Cavalieri-Simpson compostaapplicata su tutti i valori della tabella (vale a dire considerando le n = 3 suddivisioni dell’intervallo[0,6] individuate dalla tabella). (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di quadratura)Es. 27 — (appello del 3 settembre 2013)1. Trovare il polinomio di terzo grado che interpola i dati seguenti:f (0) = 2, f ′ (0) = −1.5, f ′′ (0) = 10, f (1) = 32. Trovare il polinomio di quarto grado che interpola i dati precedenti e inoltre f ′ (1) = 6; dare una stimadi f (0.3).Es. 28 — (appello del 25 giugno 2013) Si vuole interpolare la funzione f (x) = e x cos(x) nell’intervallo I =[a,b] = [−6.3,0] utilizzando punti di appoggio equispaziati.1. Qual’è il grado minimo del polinomio interpolatore per avere un andamento qualitativamente similealla funzione da interpolare (ad esempio, avere lo stesso numero di massimi/minimi o lo stessonumero di zeri)?2. Siano dati i seguenti punti di appoggio: x 0 = −6.3, x 1 = −4.2; x 2 = −2.1 ; x 3 = 0. Scrivere la tabella delledifferenze divise di Newton e il corrispondente polinomio di grado 3;3. sapendo che nell’intervallo I si ha |F (x)| ≤ 20, si dia una stima dell’errore massimo che si commetteusando il polinomio interpolatore;4. calcolare l’errore vero commesso nel punto x = −1.1.7

2. ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEEs. 29 — (appello del 18 settembre 2012) Sia data la seguente tabella di dati sperimentali relativi alla funzionef (x) = x − x ln(x).x i 1 1.5 2 2.5 3f (x i ) 1. 0.89180 0.61371 0.20927 -0.295841. G Usando i primi 4 punti della tabella si costruisca la tabella delle differenze divise.G Si calcoli il polinomio di Newton p 3 (x) che iterpola i primi quattro dati della tabellaG Si calcoli P 3 (3), l’errore E(3) = f (3) − p 3 (3) e una maggiorazione di |E(3)| mediante la formula delresto di Lagrange.2. Trovare la retta y = a 0 + a 1 x che approssima tutti i dati della tabella nel senso dei minimi quadrati.3. G Calcolare il valore approssimato di I = ∫ 3f (x)d x impiegando la formula di Cavalieri-Simpson1composta su tutti i valori della tabella (n = 2).G Si dia una maggiorazione dell’errore commesso.G Sapendo che il valore vero dell’integrale è I = 1.0562, si calcoli l’errore “vero” commesso.Si usino, dove necessario, 5 cifre significative.Es. 30 — (appello del 10 luglio 2012) Sia data la tabella di dati sperimentali:x i -1 -0.6 0 0.6 1y i 1.194 0.430 0.052 0.422 1.0341. Si calcoli la tabella delle differenze divise di Newton.2. y = a 0 +a 1 x che minimizza gli scarti verticali. Si calcoli la somma dei quadrati degli scarti e la si denoticon il simbolo S 1 .3. Si approssimino i dati utilizzando il modello y = β 0 +β 1 x 2 . Si determinino i coefficienti β 0 e β 1 secondoi minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. Si calcoli la somma dei quadrati degli scarti ela si denoti con il simbolo S 2 .4. Dal confronto di S 1 e S 2 , si dica quale dei due modelli approssima meglio i dati sperimentali.Es. 31 — (appello del 15 settembre 2011) Dato α ∈ R, si consideri il seguente insieme di valori della funzionef (x):f (0) = 1 f ′ (0) = α f (1) = −3 f (2) = 21. Costruire la tabella delle differenze divise e determinare α in modo che il grado minimo del polinomioP(x) che interpola i dati assegnati sia 2; calcolare P(x).2. Posto α = −4 e sapendo che f ′′ (0) = 3, calcolare il polinomio Q(x) di grado non superiore a 4 cheinterpola tutti i dati assegnati.Es. 32 — (appello del 5 luglio 2011) Sia data la tabella seguente:x i -1 0 1 2f (x i ) -20.5 -2.5 -0.5 -20.51. Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza gli scarti orizzontali;2. facendo uso delle differenze divise trovare il polinomio di grado non superiore a 3 che interpola i datidella tabella;3. trovare il polinomio di grado non superiore a 5 che interpola i dati della tabella e inoltre i seguentidati: f ′ (2) = −39, f ′′ (2) = −38.Es. 33 — (primo compitino del 28 aprile 2011) Sia data la tabella seguente di dati sperimentalix i 0.4 1 2.5 3y i -2.932 -1 17.375 338

1. Dopo aver costruito la tabella delle differenze divise trovare il polinomio di terzo grado che interpolai dati assegnati.2. Trovare la curva di approssimazione ai minimi quadrati y = b 0 + b 1 x che minimizza gli scartiverticali.Es. 34 — (appello del 2 settembre 2010) Data la seguente tabellax i -2 -1 0 1y i -17 5.5 6 2.51. trovare il polinomio di grado non superiore a tre che interpola i dati riportati in tabella;2. trovare la retta di approssimazione y = a o + a 1 x che minimizza la somma dei quadrati degli scartiverticali;3. trovare la curva y = b o + b 1 x 2 che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali.Es. 35 — (appello del 16 giugno 2010) Trovare il polinomio P 3 (x) di grado non superiore a tre che interpola idati seguenti:f (−2) = −1 f (−1) = 3 f ′ (−1) = −3 f (1) = 5e stimare f ′ (−2) e f ′′ (−1). Calcolare quindi il polinomio P 4 (x) di grado non superiore a 4 che, oltre ai puntiprecedenti, interpola anche il valore f ′′ (−1) = −8Es. 36 — (appello del 18 settembre 2009) Sia data la tabella di dati sperimentali:x iy i-1.0 0.503417-0.2 1.1526310.1 1.5323900.7 2.8204181.0 3.7836681. Si determinino i coefficienti della retta di approssimazione y = α+βx che minimizza gli scarti verticali.In corrispondenza di tali valori calcolare la somma dei quadrati degli scartii S 1 .2. Si vogliono ora approssimare i dati con un modello non lineare y = ae bx . Si determinino i coefficientia e b secondo i minimi quadrati, minimizzando gli scarti verticali. In corrispondenza di tali valoricalcolare la somma dei quadrati degli scarti S 2 .3. Si dica quale dei due modelli è più accurato confrontando i valori S 1 e S 2 .Es. 37 — (appello del 6 febbraio 2009) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali:x i 1 2 3 4y i 0.5 2 4.5 81. determinare la retta di regressione ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x che minimizza gli scarti verticali;2. determinare la funzione potenza y = ax b (a>0) che approssima i dati; impiegando un’opportuna trasformazionedeterminare i coefficienti a e b minimizzando gli scarti verticali con il metodo dei minimiquadrati.Es. 38 — (appello del 18 giugno 2008) Sia data la tabella seguente di dati sperimentali:x i -0.5 1 5.5 13y i 0 1 2 31. Trovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati x = b 0 +b 1 y che minimizza gli scarti orizzontali.2. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati x = a + by 2 che minimizza gli scartiorizzontali.9

2. ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE3. Calcolare il valore approssimato di I = ∫ 13−0.5f (x)d x impiegando la formula dei trapezi applicata aciascuno dei tre sottointervalli. (Punto dell’esercizio da risolvere dopo aver studiato le formule diquadratura.)Es. 39 — (appello del 30 agosto 2007)1. Trovare il polinomio P 3 (x) di grado non superiore a tre che interpola i dati seguenti: f (−1) = −15,f (0) = −3, f (1) = 1, f (2) = 15.2. Trovare il polinomio P 4 (x) di grado non superiore a quattro che interpola gli stessi dati del punto (1) einoltre interpola il dato seguente: f ′ (2) = 37.Es. 40 — (appello del 4 luglio 2007) Sia data la tabella seguentex i -0.5 0 0.5 1.5 3f (x i ) -2.9375 -3 0.5625 35.0625 4141. Scrivere la tabella delle differenze divise2. Trovare il polinomio di grado non superiore a quattro che interpola i dati assegnati; stimare f (1.2) ef ′ (1.2).3. Trovare la retta ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x che minimizza gli scarti verticali.Es. 41 — (appello del 13 dicembre 2006) Sia data la tabella di dati sperimentalix i 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5y i 0.597367 0.723130 1.23040 2.04979 3.148521. Si ricavino le rette ai minimi quadrati che minimizzano gli scarti verticali e quelli orizzontali.2. Si dica quale delle due rette è più adatta ad approssimare i punti.Es. 42 — (appello del 7 luglio 2006) Sia data la tabella seguentex i 1 3 4 5y i 6 30 67.5 1301. Scrivere la tabella delle differenze divise2. Trovare il polinomio di grado non superiore a tre che interpola i dati assegnati3. Trovare le due rette ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x, x = b 0 + b 1 y, ottenute minimizzando gli scartiverticali e orizzontali, rispettivamente.Es. 43 — (appello del 31 agosto 2005) Trovare il polinomio di grado non superiore a 4 che interpola i datiseguenti:f (0) = 4, f ′ (0) = 7, f ′′ (0) = 16, f (1) = 27, f ′ (1) = 52Stimare f (0.5) e f ′ (0.5).Es. 44 — (appello del 22 giugno 2005) Sia data la tabella seguente di dati sperimentalix i 1 3 5 7 10y i 0.25 0.35 0.42 0.51 0.63Trovare le due rette ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x, x = b 0 + b 1 y ottenute minimizzando gli scarti verticali eorizzontali, rispettivamente. Trovare il punto di intersezione delle due rette.Es. 45 — (appello del 30 giugno 2004) Sia data la tabella seguentex i 0 1 2 3f (x i ) 4 2 2 161. Scrivere la tabella delle differenze divise.2. Trovare il polinomio interpolatore (di Newton) di grado non superiore a 3.10

3. Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali.Es. 46 — (appello del 22 settembre 2004) Siano dati i seguenti valori relativi alla funzione f (x) = x:f (1/4) = 1/2, f (1/9) = 1/3, f (4/9) = 2/31. Si costruisca la tabella delle differenze divise di Newton.2. Si determini il polinomio P 2 (x) di grado 2 che interpola tali valori.3. Si approssimi il valore di f (0.2).4. (Facoltativo) Si dia una stima dell’errore massimo che si può commettere utilizzando P 2 (x) al posto dif (x) nell’intervallo [1/9,4/9].Es. 47 — (appello del 23 settembre 2003) Trovare il polinomio P(x) di grado non superiore a 3 che interpolai dati seguenti:f (0) = 4, f ′ (0) = 7, f (1) = 8, f (2) = 18. Stimare P(0.5) e P ′ (0.5).Es. 48 — (appello dell’1 luglio 2003) Sia data la tabella seguente:x i 1 2 4 8f (x i ) 2 1 29 2051. Scrivere la tabella delle differenze divise.2. Usando i 4 punti in successione, scrivere i polinomi interpolanti (di Newton) P n (x) di grado nonsuperiore a n (n = 0,1,2,3); commentare il risultato.3. Usando P n (x) stimare f (1.6) e f ′ (1.6).4. Scrivere il polinomio P 2 (x) con la formula di Lagrange.Es. 49 — (appello del 15 luglio 2003) Sia data la tabella seguente:x i 1 2 5 6 8f (x i ) 0.2 0.8 1.4 1.9 2.3Scrivere le equazioni delle due rette ai minimi quadrati, che minimizzano rispettivamente gli scarti verticalie orizzontali; trovare il loro punto di intersezione e dire di che punto si tratta.11

C A P I T O L O3ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARIEs. 50 — (appello dell’11 febbraio 2014) Data la matrice seguente:⎛4 0⎞−2A = ⎝ 0 16 12⎠−2 12 γdeterminare γ in modo tale che la somma degli autovalori di A sia uguale a 94. Dopo aver provato che lamatrice è simmetrica e definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky A = LL T . Utilizzare la fattorizzazionetrovata per calcolare il determinante di A −2 e per risolvere il sistema lineare Ax = b ove b = (−14,36,−30) T .Es. 51 — (appello del 10 luglio 2013) È data la matrice⎛16 −4 −8⎞A = ⎝−4 26 9.5 ⎠−8 9.5 42.251. Dopo aver provato che A è simmetrica definita positiva, fattorizzare A secondo Cholesky, sfruttare lafattorizzazione trovata per calcolare il determinante di A −2 .2. Risolvere con il metodo di Seidel il sistema Ax = b dove b = (36,−19,51) T : partendo da x 0 = (1,1,1) Teseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel.(Punto da risolvere dopo aver studiato i metodiiterativi per sistemi lineari.Es. 52 — (appello del 4 settembre 2012) Data la matrice simmetrica A⎛16 8 2⎞A = ⎝ 8 29 1 ⎠2 1 9.25dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky (A = LL T ). Impiegare la fattorizzazionetrovata per calcolare il determinante di A −3 e per risolvere il sistema lineare Ax = b dove:b = (66,83,17.25) T .Es. 53 — (appello del 15 febbraio 2012) È dato il sistema lineare Ax = b dove⎛1 3⎞−1⎛ ⎞−2A = ⎝ 0 −1 −2⎠ b = ⎝−3⎠−2 −5 61113

3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI1. Calcolare la traccia di A T A.2. Determinare la fattorizzazione LU della matrice A secondo Crout (U con diagonale unitaria) ecalcolare il valore del determinante di A −3 .3. Calcolare la soluzione x mediante sostituzioni in avanti e all’indietro.Es. 54 — (appello del 5 luglio 2011) Data la matrice seguente:⎛A = ⎝16 −8 −6−8 29 13−6 13 42.25⎞⎠1. Dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky: A = LL T2. impiegare la fattorizzazione per calcolare det(A −1 ) e risolvere il sistema lineare Ax = b con b =(−4,97,111.5) T ;3. dopo aver provato che lo schema iterativo di Jacobi converge, eseguire due iterazioni con tale schema,partendo da x 0 = (0,0,0) T . Questo punto è da svolgere dopo aver studiato i metodi iterativi per sistemilineari.Es. 55 — (appello del 16 febbraio 2011) Data la matrice seguente:⎛20.25 6.75⎞11.25A = ⎝ 6.75 27.25 13.75⎠11.25 13.75 26.251. provare che la matrice A è simmetrica definita positiva;2. determinare la fattorizzazione di Cholesky di A = LL T .3. impiegare la fattorizzazione trovata per calcolare det(A −1 ) e per risolvere il sistema lineare Ax = b oveb = (24.75, 123.25, 123.75) T .Es. 56 — (appello del 7 luglio 2010) È dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛25 −12.5⎞−7.5⎛ ⎞−12.5A = ⎝−12.5 42.25 0.75⎠ b = ⎝63.25⎠−7.5 0.75 11.5441. Provare che la matrice A è simmetrica definita positiva.2. Fattorizzare la matrice A secondo Cholesky: A = LL T .3. Usare la fattorizzazione trovata per risolvere il sistema Ax = b e per calcolare det(A −2 ).Es. 57 — (appello del 2 luglio 2009) Si consideri il fattore triangolare basso di Cholesky L:⎛α 0⎞0L = ⎝−1 2 0⎠0 −1 3della matrice simmetrica e definita positiva A = LL T .1. Calcolare α in modo tale che det(A 3 ) = 34012224.2. Con il valore di α del punto precedente, risolvere mediante sostituzioni in avanti e all’indietro ilsistema lineare Ax = b con b = (12,−14,32) T .14

3. Dopo aver verificato che A è biciclica e coerentemente ordinata, calcolare il fattore ottimo di sovrarilassamentoω opt e stimare il numero di iterazioni con il metodo SOR e ω opt necessarie per abbatterel’errore di 10 ordini di grandezza. (Punto dell’esercizio da risolvere dopo aver studiato i metodiiterativi per la soluzione di sistemi lineari).Es. 58 — (primo compitino del 14 maggio 2008) Data la matrice⎛5 0⎞0A = ⎝0 6 3⎠0 1 41. calcolare |A| ∞ (norma massima per righe), |A| 1 (norma massima per colonne), e N (A) (normaeuclidea);2. senza calcolare A −1 determinare le seguenti tracce: Tr (A −1 ) e Tr (A −5 );3. fattorizzare la matrice A nel prodotto LU (di ag (U ) = I , Crout);4. utilizzando la fattorizzazione calcolare il determinate di A −3 .Es. 59 — (appello del 30 agosto 2007) Data la matrice simmetrica⎛16 −8⎞4A = ⎝−8 68 −2⎠4 −2 261. provare che la matrice A è definita positiva;2. fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T ;3. usare la fattorizzazione trovata per calcolare det(A −1 ) e quindi per risolvere il sistema lineare Ax = bcon b = (8,124,52) T .Es. 60 — (appello 20 giugno 2007) Data la matrice⎛16 4⎞−6A = ⎝ 4 26 −14⎠−6 −14 44.5trovare il fattore triangolare inferiore di Cholesky; utilizzarlo per calcolare det(A −1 ) e per risolvere il sistemalineare Ax = b ove b = (22,18,93.5) T .Es. 61 — (primo compitino 23 maggio 2007) Data la matrice⎛5 0⎞2A = ⎝ 0 1 −1⎠−2 1 81. calcolare norma massima per righe, norma massima per colonne e norma euclidea;2. fattorizzare la matrice A nel prodotto LU (di ag (U ) = I , Crout);3. utilizzando la fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (31,−1,16) T , calcolarequindi il determinante di A −2 .Es. 62 — (appello del 7 luglio 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛25 −10⎞10⎛ ⎞−90A = ⎝−10 40 −22⎠ b = ⎝ 162 ⎠10 −22 38 −12415

3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARIdeterminare la fattorizzazione di Cholesky di A = LL T . Sfruttare la fattorizzazione per calcolare det(A −1 ) eper risolvere il sistema lineare assegnato.Es. 63 — (appello 23 giugno 2006) Data la matrice⎛5 −20⎞10A = ⎝−4 19 7 ⎠2 −2 36fattorizzare la matrice A secondo Crout: A = LU (u i i = 1); usando i fattori L e U , calcolare det(A −3 ) e risolvereil sistema lineare Ax = b ove b = (−50,79,62) T .Es. 64 — (primo compitino del 24 maggio 2006) Data la matrice⎛25 7.5⎞2.5A = ⎝7.5 22.5 12 ⎠2.5 12 15.51. calcolare |A| ∞ (norma massima per righe), |A| 1 (norma massima per colonne), e N (A) (normaeuclidea);2. dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T(prendendo i valori positivi delle radici);3. utilizzando la fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (95,91.5,62.5) T ,calcolare quindi il determinante di A −1 .Es. 65 — (appello del 30 giugno 2004) È data la matrice⎛25 −5⎞10A = ⎝−5 65 −26⎠10 −26 941. Dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T(prendendo i valori positivi delle radici).2. Usare la fattorizzazione per calcolare det(A −2 ) e per risolvere il sistema lineare Ax = b con b =(30,138,120) T .Es. 66 — (primo compitino del 23 aprile 2002) Data la matrice⎛24 − δ 8⎞4A = ⎝ 8 4δ + 21 37⎠4 37 90con δ parametro reale1. determinare δ in modo che Tr (A) = 159;2. verificare che A è definita positiva;3. fattorizzare secondo Cholesky A = LL T (prendendo i valori positivi delle radici);4. usare la fattorizzazione per calcolare det(A −2 );5. usare la fattorizzazione per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (68,167,176) T .Es. 67 — (appello del 12 settembre 2001) Data la matrice⎛4 2⎞8A = ⎝2 10 19⎠8 19 4516

verificare che A è definita positiva e trovare il suo fattore triangolare basso di Cholesky L (prendendo i valoripositivi delle radici). Utilizzarlo per1. calcolare il determinante di A −12. risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (6,−6,−3) T .17

C A P I T O L O4ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIEs. 68 — (appello del 3 settembre 2013) È dato il sistema lineare Ax = b ove:⎛5 −1⎞2A = ⎝−1 10 −5⎠2 −5 8e b = (26,−34,34) T . Dopo aver provato che i metodi iterativi di Jacobi e di Seidel convergono, eseguire primadue iterazioni col metodo di Jacobi e poi tre iterazioni col metodo di Seidel partendo in entrambi i casi colvettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , dare inoltre una stima del raggio spettrale della matrice di iterazione di Seidel.Es. 69 — (appello del 25 giugno 2013) Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove:⎛⎞⎛ ⎞4 −2 0 02A = ⎜−1 4 −1 0⎟⎝ 0 0 4 −1⎠ b = ⎜2⎟⎝3⎠0 0 0 331. Verificare la convergenza del metodo di Seidel;2. in caso di convergenza, effettuare 3 iterazioni con tale metodo a partire dal vettore inziale x 0 nullo;3. assumendo A biciclica e coerentemente ordinata, dire se il metodo SOR converge, e calcolare il valoredella velocità di convergenza del metodo SOR con parametro ω ottimale.Es. 70 — (appello del 10 luglio 2012) Sia α un numero reale positivo e sia dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛2 0⎞5⎛ ⎞18A = ⎝0 4 1⎠ b = ⎝14⎠5 1 α911. Senza calcolare la matrice di iterazione di Seidel determinare α in modo tale che il suo raggio spettralesia uguale a 3/8; trovare il fattore ω opt di rilassamento e la corrispondente velocità asintotica diconvergenza.2. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1,1,1) T , calcolare x 1 , x 2 , x 3 con lo schema di Seidel. (esprimere irisultati in virgola fissa con almeno 7 cifre decimali ove presenti)19

4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIEs. 71 — (appello del 26 giugno 2012) Si consideri la seguente matrice dipendente da un parametro realeγ > −1 :⎛4 −2⎞0A = ⎝−2 3 γ⎠0 2 21. Si dica per quali valori di γ il metodo di Jacobi converge.2. Si consideri ora γ = 0. Per tale valore di γ si stimi il numero di iterazioni necessario per ridurre l’erroreiniziale di un fattore 10 −10 con il metodo di Jacobi.3. Sempre considerando γ = 0, si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove b = (0,4,10) T medianteil metodo di Gauss-Seidel. Si giustifichi che tale metodo converge e, partendo dal vettore inizialex (0) = (0,0,0) T , calcolare x (1) ,x (2) ,x (3) .Es. 72 — (appello del 15 settembre 2011) È dato il sistema lineare Ax = b dove⎛15 0⎞3⎛ ⎞48A = ⎝ 0 9 −2⎠ b = ⎝ 34 ⎠3 −6 4 −111. Senza calcolare la relativa matrice di iterazione, provare che lo schema di Seidel converge e trovarnela velocità asintotica di convergenza.2. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , calcolare le prime tre iterazioni dello schema di Seidel.(Riportare i risultati utilizzando almeno 7 cifre decimali )Es. 73 — (appello del 21 giugno 2011) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 −4⎞2⎛ ⎞5A = ⎝−4 10 0⎠ b = ⎝18⎠2 0 4 10provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza senza calcolare larelativa matrice di iterazione. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1,1,1) T , calcolare x 1 , x 2 , x 3 con il metodo diSeidel e stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matrice di iterazione) impiegando la normaeuclidea degli scarti.Es. 74 — (appello del 2 settembre 2010) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛2 −4⎞0⎛8⎞A = ⎝−4 12 1⎠ b = ⎝−18⎠0 1 59senza calcolare la matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintoticadi convergenza. Prendendo x 0 = (1,1,1) T , calcolare le approssimazioni x 1 , x 2 e x 3 ottenute con il metododi Seidel.Es. 75 — (appello del 16 giugno 2010) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛−4 0⎞7⎛ ⎞3A = ⎝ 0 5 2 ⎠ b = ⎝7⎠1 4 −3 2provare che gli schemi di Jacobi e di Seidel convergono e trovare le corrispondenti velocità asintotiche diconvergenza. Prendendo x 0 = (0,0,0) T , calcolare le approssimazioni x 1 e x 2 ottenute prima col metodo diJacobi e poi con quello di Seidel.20

Es. 76 — (appello del 18 settembre 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛25 −5 0⎞ ⎛ ⎞20A = ⎝−5 20 −12⎠ b = ⎝ 3 ⎠0 −12 40 281. senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel;3. notando che la soluzione vera è il vettore x = (1,1,1) T , si usi la norma massima dell’errore per dare unastima numerica dell’autovalore massimo della matrice di iterazione di Seidel e determinare il valoredi ω optEs. 77 — (appello del 2 settembre 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛40 −15⎞−11.5⎛ ⎞13.5A = ⎝−10 25 8 ⎠ b = ⎝ 23 ⎠−6 8 2022senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge; partendo dal vettoreiniziale x 0 = (0,0,0) T calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel.Es. 78 — (appello del 6 febbraio 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 2⎞1A = ⎝2 10 −3⎠1 −3 8e b = (8,9,6) T , provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Partendo dalla soluzione inizialex 0 = (0,0,0) T calcolare le approssimazioni x 1 ,x 2 ottenute applicando prima lo schema di Jacobi e poi quellodi Seidel.Es. 79 — (appello del 17 giugno 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 0⎞−4⎛ ⎞1A = ⎝ 0 4 5 ⎠ b = ⎝ 9 ⎠−4 5 10 111. senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e trovarne lavelocità asintotica di convergenza;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel;3. stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matrice di Seidel) impiegando la normaeuclidea degli scarti.Es. 80 — (appello del 18 giugno 2008) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 1⎞0⎛ ⎞17A = ⎝3 2 1⎠ b = ⎝14⎠0 2 4 81. senza calcolare la relativa matrice di iterazione dire se lo schema di Seidel converge; trovare la velocitàasintotica di convergenza di Seidel e il fattore ottimo di rilassamento;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (1,1,1) T , calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel.21

4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIEs. 81 — (appello del 13 dicembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛8 4⎞0⎛ ⎞44A = ⎝4 10 5 ⎠ b = ⎝56⎠0 5 15 45Provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza. Partendo dal vettoreiniziale x 0 = (1,1,1) T , trovare le prime due approssimazioni x 1 e x 2 ottenute con lo schema di Seidel.Es. 82 — (appello del 13 settembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛16 −8⎞4⎛8⎞A = ⎝−8 68 −2⎠ b = ⎝124⎠4 −2 26 521. provare che lo schema di Seidel converge;2. partendo dalla soluzione iniziale x 0 = (0,0,0) T eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel per trovarele approssimazioni x 1 ,x 2 e x 3 .Es. 83 — (appello del 31 agosto 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛10 3⎞4⎛ ⎞17A = ⎝ 2 8 5 ⎠ b = ⎝15⎠7 6 15 28provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Prendendo come soluzione iniziale x 0 =(0,0,0) T calcolare1. le prime due approssimazioni x 1 ,x 2 ottenute con lo schema di Jacobi;2. le prime due approssimazioni x 1 ,x 2 ottenute con lo schema di Seidel.Es. 84 — (appello del 23 giugno 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛10 0⎞2⎛ ⎞22A = ⎝ 0 5 3⎠ b = ⎝18⎠3 1 2 111. provare che lo schema di Seidel converge, calcolare quindi la velocità asintotica di convergenza;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel calcolandox 1 ,x 2 e x 3 .Es. 85 — (appello del 31 agosto 2005) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛8 2⎞4⎛ ⎞30A = ⎝2 5 0 ⎠ b = ⎝19⎠4 0 10 28trovare il fattore ottimo di rilassamento ω opt e le velocità asintotiche di convergenza, R J , R S , R ωoptschemi di Jacobi, Seidel e rilassamento.Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1,1,1) T , calcolare x 1 ,x 2 con lo schema di Seidel.degliEs. 86 — (appello del 22 giugno 2005) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛8 4⎞1⎛ ⎞13A = ⎝2 5 2 ⎠ b = ⎝ 9 ⎠5 3 10 18dall’esame della matrice, dire se i metodi di Jacobi e Seidel convergono Partendo dal vettore iniziale x 0 =(0,0,0) T22

1. calcolare x 1 ,x 2 con lo schema di Jacobi;2. calcolare x 1 ,x 2 con lo schema di Seidel.Es. 87 — (appello del 20 giugno 2007) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 3⎞0⎛ ⎞13A = ⎝3 10 4⎠ b = ⎝28⎠0 4 8 28trovare il fattore ottimo di rilassamento ω opt e le velocità asintotiche di convergenza, R S , R ωopt degli schemidi Seidel e rilassamento.Partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , calcolare x 1 ,x 2 , x 3 con lo schema di Seidel.Es. 88 — (appello del 15 luglio 2003) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛4 0⎞1⎛ ⎞5A = ⎝0 8 2⎠ b = ⎝10⎠1 2 6 91. Dopo aver provato che lo schema iterativo di Seidel converge, calcolare la sua velocità asintotica diconvergenza.2. Posto x 0 = (0,0,0) T trovare le prime due approssimazioni x 1 e x 2 ottenute applicando il metodo diSeidel.Es. 89 — (appello del 5 febbraio 2003) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛8 2⎞3⎛ ⎞13A = ⎝2 5 1 ⎠ b = ⎝ 8 ⎠3 1 10 141. provare che lo schema iterativo di Seidel converge;2. posto x 0 = (0,0,0) T , calcolare x 1 e x 2 .Es. 90 — (appello del 28 giugno 2002) Data la matrice⎛2 32⎞4⎝ 2 5 0⎠−9 0 3determinare il fattore ottimo di rilassamento e la corrispondente velocità asintotica di convergenza.Calcolare, inoltre, la velocità asintotica di convergenza degli schemi di Jacobi e Seidel.Es. 91 — Prestare molta attenzione!!! (appello di giugno 2000) Sia data la matrice⎛3/4 1/8⎞0A = ⎝1/8 3/4 1/2⎠0 1/2 3/4e il seguente schema iterativo per la soluzione del sistema Ax = b:x k+1 = (I − A)x k + b1. Verificare la convergenza di tale schema.23

4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI2. Calcolare la sua velocità asintotica di convergenza.3. Dati b = (6,25/8,13/4) T e x 0 = (0,0,0) T calcolare x 1 , x 2 e x 3 .Es. 92 — Per i più curiosi! (appello di luglio 1998) Dato il sistema lineare Ax = b con⎛3 β 2 ⎞0⎛ ⎞3A = ⎝1 3 1⎠ b = ⎝2⎠0 1 + β 2 33con β parametro reale, si calcoli:1. l’insieme dei valori di β per cui il metodo di Jacobi converge;2. il valore di β che minimizza il raggio spettrale della matrice di iterazione di Seidel;3. usando tale valore di β, calcolare le prime tre iterazioni di Seidel a partire dal vettore iniziale x 0 =(0,0,0) T .24

C A P I T O L O5ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURAEs. 93 — (appello del 13 febbraio 2013) Sia da calcolare il seguente integrale:I =∫ 105x 4 − 3x 2 + 2 d x1. si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson applicata su n = 1 e n = 2 suddivisioni in partiuguali dell’intervallo di integrazione;2. dare una maggiorazione dell’errore commesso nei due casi confrontandolo poi con l’errore esatto;3. applicare il metodo di estrapolazione di Richardson e spiegare l’errore che si ottiene. (Esprimere irisultati con almeno sette cifre decimali)Es. 94 — (appello del 4 settembre 2012) Sia da calcolare il seguente integrale:∫ 1I = cos(3x) d x1.51. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo diintegrazione;2. dare una maggiorazione dell’errore commesso confrontandolo poi con l’errore esatto;3. determinare il numero n di suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione in modo tale chel’errore stimato con la formula dei trapezi sia minore di 10 −4 .Es. 95 — (appello del 26 giugno 2012) Sia da calcolareI =∫ 30f (x)d xdove il valore della funzione f è noto in sette punti equidistanti dell’intervallo [0,3]:x i 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000f (x i ) -0.9502 -0.7929 0.1353 2.5981 7.3679 15.2315 27.00001. Utilizzando i valori noti della funzione si approssimi l’integrale mediante la formula dei trapezicomposta. Chiamare tale approssimazione I T .25

5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA2. Utilizzando i valori noti della funzione si approssimi l’integrale mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta. Chiamare tale approssimazione I S .3. Sapendo che la funzione integranda è f (x) = e x−3 + x 3 − 1, maggiorare gli errori che si commettononei due casi.4. Dopo aver calcolato il valore esatto dell’integrale, calcolare gli errori E T = |I − I T |, E S = |I − I S |.Es. 96 — (appello del 15 febbraio 2012) È dato l’integrale I = ∫ 0 x−1/2 d x.1 − x21. Si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tuttol’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali.2. Si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson.3. Dopo aver calcolato analiticamente il valore esatto di I determinare l’errore esatto commesso conl’estrapolazione di Richardson.Es. 97 — (appello del 1 o settembre 2011) Calcolare l’integrale seguente:I =∫ 32ln(x + x 2 )d x1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell’intervallo [2,3].2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo [2,3].3. con il metodo di estrapolazione di Richardson;4. con il metodo di Gauss e tre punti di appoggio (x 1 = − 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5; B 1 = B 3 = 5/9, B 2 = 8/9).(Usare almeno 7 cifre decimali.)Es. 98 — (appello del 21 giugno 2011) Dato l’integraleI =∫ 42(x + cos 2 (x))d x1. Calcolare il numero di intervalli n in cui si deve suddividere l’intervallo [2,4] in modo da approssimareI mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta con un errore inferiore a 4 × 10 −4 .(Suggerimento: si ricordi la relazione cos 2 (x) = 1 + cos(2x) ).22. Approssimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta utilizzando il valore di n ottenutoal punto precedente. Chiamare I S tale approssimazione.3. Dopo aver calcolare il valore “vero” di I , calcolare l’errore vero E = I − I S .Es. 99 — (appello del 16 febbraio 2011) Calcolare:I =∫ 21ln 2 x d x1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell’intervallo [1,2];2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo [1,2];3. con il metodo di estrapolazione di Richardson;4. dopo aver calcolato il valore esatto dell’integrale I , calcolare l’errore esatto commesso nei tre (punti)precedenti.26

Es. 100 — (appello del 16 settembre 2010) Dato l’integrale:I =∫ 20( 14 x4 + x 3 − 2x + 3)dx1. stimare I mediante la formula dei trapezi applicata su n = 1, 2 e 4 suddivisioni dell’intervallo [0,2];2. stimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson applicata su n = 1 e 2 suddivisioni dell’intervallo[0,2];3. utilizzando i risultati ottenuti al punto precedente, determinare il valore esatto di I senza calcolarel’integrale analiticamente.Es. 101 — (appello del 16 giugno 2010) Dato l’integraleI =∫ 62ln(x + 3)d x1. si approssimi I con la formula di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo di integrazionein parti uguali;2. si dia una stima dell’errore commesso con la formula di Cavalieri-Simpson;3. calcolare analiticamente l’integrale e l’errore esatto relativo all’approssimazione eseguita conCavalieri-Simpson confrontandolo con la stima precedentemente ottenuta.Es. 102 — (appello del 17 giugno 2009) Dato l’integrale seguenteI =∫ 32(x 2 + xe −2x )d x1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo, si diaquindi una stima dell’errore commesso;2. dire in quanti intervalli uguali (n) si deve suddividere l’intervallo [2,3] in modo da approssimare I conla formula dei trapezi composta con un errore inferiore a 10 −2 ;3. si approssimi I con la formula di Gauss-Legendre e tre punti di appoggio x 1 = − 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5con i pesi B 1 = B 3 = 5/9, B 2 = 8/9;4. (facoltativo) calcolare analiticamente l’integrale e poi l’errore esatto relativo all’approssimazioneottenuta al punto (1) confrontandolo con la stima ottenuta.Es. 103 — ( appello del 13 dicembre 2007) Sia dato l’integraleI =∫ 31ln(x 2 + 1)d xCalcolare il valore approssimato di I , dapprima con la formula dei trapezi e poi con quella di Cavalieri-Simpson, utilizzando quattro suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione. Dopo aver calcolatoanaliticamente il valore dell’integrale, valutare l’errore esatto commesso nei due casi.Es. 104 — (appello del 23 giugno 2006) Dato l’integrale seguenteI =∫ 1.80x 2 e x/2 d x27

5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA1. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tuttol’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali; si approssimi I usando la formula diestrapolazione di Richardson;2. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 6 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo; si dia unastima dell’errore commesso;3. (facoltativo) calcolare analiticamente l’integrale e l’errore esatto confrontandolo con la stima ottenutaal punto (2).Es. 105 — (appello del 20 giugno 2007) Dato l’integrale I = ∫ 42 x2 ln(x)d x1. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tuttol’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali; si approssimi I usando la formula diestrapolazione di Richardson;2. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 5 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo; si diaquindi una stima dell’errore commesso;3. si approssimi I con la formula di Gauss-Legendre e tre punti di appoggio x 1 = − 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5con i pesi B 1 = B 3 = 5/9, B 2 = 8/9;4. (facoltativo) calcolare analiticamente l’integrale e poi l’errore esatto relativo all’approssimazioneottenuta al punto (2) confrontandolo con la stima ottenuta.Es. 106 — (appello del 30 giugno 2004) Dato l’integraleI =∫ 10ln(4 + x 2 )d x1. si approssimi I con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo [0,1];2. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tuttol’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali;3. si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson;4. (facoltativo) dopo aver calcolato analiticamente il valore di I determinare l’errore esatto commessocon l’estrapolazione di Richardson.Es. 107 — (appello del 23 settembre 2003) CalcolareI =∫ 10e −x d xusando la formula dei trapezi e la formula di Cavalieri-Simpson avendo suddiviso l’intervallo [0,1] in n = 5parti uguali. Dare una maggiorazione degli errori commessi nei due casi.Es. 108 — (appello del 1 luglio 2003) Dato l’integraleI =∫ 200cos( x)d x1. si approssimi I con i valori A 1 e A 2 ottenuti applicando il metodo dei trapezi prima a tutto l’intervalloe poi all’intervallo suddiviso in due parti uguali;2. si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tuttol’intervallo e poi all’intervallo suddiviso in due parti uguali;3. si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson.28

Es. 109 — (appello del 19 settembre 2002) CalcolareI =∫ 62ln(x)d xcon la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali dell’intervallo d’integrazione. Trovare unamaggiorazione dell’errore commesso. Confrontare l’errore esatto con la stima precedentemente trovata.Es. 110 — Per i più attenti!!! (appello del 29 agosto 2001) Si deve calcolare∫ 20e x2 d xcon la formula di Cotes di grado 4, conoscendo i coefficienti di Cotes: C (4)0= 7/90, C (4)1= 32/90.(Suggerimento: tenere conto del valore della somma dei coefficienti di Cotes e della loro simmetria)Es. 111 — (appello del 4 luglio 2001) Si vuole calcolare l’integrale:I =∫ 3−1(x 4 − 2x 3 + 6x 2 + x − 2)d xcon il metodo di Romberg.1. Trovare C 2 .2. Senza calcolare il valore analitico di I , trovare l’errore ottenuto E = |I −C 2 |.Es. 112 — (appello del 22 giugno 2000) Si vuole calcolare I = ∫ 31sin(x)cos(x)d x.1. Calcolare il valore di I utilizzando il metodo di Gauss-Legendre G 3 con 3 punti di appoggio (x 1 =− 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5; B 1 = B 3 = 5/9;B 2 = 8/9).2. Calcolare con la formula di Cavalieri-Simpson il valore I C S2 di I che si ottiene suddividendol’intervallo in due parti uguali.3. Dopo aver calcolato il valore esatto di I valutare gli errori esatti commessi con le approssimazioni G 3e I C S2 .Es. 113 — (appello del 14 settembre 2000) Si vuole calcolare∫ 0I = sin(x)e −x d x−2.5con il metodo di Romberg.1. Calcolare la tabella di Romberg con una suddivisione dell’intervallo [−2.5,0] in 2 m sottointervalli, conm = 0,1,2.2. Sapendo che il valore vero dell’integrale è I = −9.0254053, calcolare la relativa tabella degli errori.3. Indicando con E 1 = I − B 1 e E 2 = I − B 2 , confrontare il rapporto E 1 /E 2 con il valore atteso teorico.29

C A P I T O L O6DOMANDE DI TEORIAEs. 114 — (appello dell’11 febbraio 2014)1. Dati i punti x 0 , x 1 , x 2 , x 3 definire i polinomi di Lagrange L i (x) per i = 0,1,2,3 e fare il grafico delpolinomio L 2 (x).2. Supponendo, ora, di avere n + 1 coppie di punti (x i , y i ) e di voler cercare la retta di regressione aiminimi quadrati sugli scarti verticali, quale funzione occorre minimizzare e in che modo? Spiegarenei dettagli.3. Se, al posto della retta di regressione, si vuole cercare una funzione di approssimazione di tipoesponenziale, y(x) = ae bx , quali passaggi occorre fare per determinare i coefficienti a e b?Es. 115 — (appello del 18 settembre 2013)1. Assegnato uno schema iterativo per la soluzione di sistemi lineari, nella forma x (k+1) = Ex (k) + q,enunciare il teorema di convergenza e dimostrarlo nel caso in cui la matrice di iterazione abbia nautovettori linearmente indipendenti.2. Partendo dal sistema lineare Ax = b, ricavare la formula del metodo di Jacobi.Es. 116 — (appello del 3 settembre 2013) Ricavare (spiegando tutti i passaggi) la formula dei trapezi e lacorrispondente formula dell’errore nel caso semplice.1. Dare il significato geometrico della formula dei trapezi.2. Ricavare (spiegando tutti i passaggi) la formula dell’errore nel caso in cui si applica la formula compostadei trapezi su n suddivisioni in parti uguali dell’intervallo di integrazione. Quanto vale questeformula applicata per risolvere ∫ 20 (4x2 − 2x)d x e n = 2 suddivisioni?3. Cosa succede, in generale, se si fa il rapporto degli errori tra le formule dei trapezi per n e per 2nsuddivisioni? Quali ipotesi devono essere verificate?Es. 117 — (appello del 10 luglio 2013)1. Metodo di estrapolazione di Richardson: spiegare a cosa serve.2. Ricavare, spiegando tutti i passaggi, la formula da applicare per ottenere l’estrapolazione diRichardson.3. Se si vuole applicare l’estrapolazione di Richardson e la funzione integranda è f (x) = 10x 4 + 2x 3 cosasi può dire sull’errore della formula? Spiegare.31

6. DOMANDE DI TEORIAEs. 118 — (appello del 25 giugno 2013)1. Scrivere la formula dello schema di punto fisso per una funzione di punto fisso g .2. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza dello schema.3. Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso generale (g ′ (ξ) ≠ 0).4. Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso in cui (g ′ (ξ) = g ′′ (ξ) = 0 e g ′′′ (ξ) ≠ 0).Es. 119 — (appello del 25 giugno 2013)1. Ricavare il metodo di Newton-Raphson per un’equazione non lineare f (x) = 0.2. Ricavare ordine e fattore di convergenza del metodo nel caso generale (f ′ (ξ) ≠ 0, f ′′ (ξ) ≠ 0).3. Sotto quali condizioni il metodo converge? Dimostrare la convergenza del metodo vedendolo comecaso particolare dell’iterazione di punto fisso.32