Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

1. ESERCIZI SU ZERI DI FUNZIONEEs. 4 — (appello del 18 settembre 2012) Data l’equazione non lineare x + cos(x) − 1.2 = 01. dimostrare esistenza e unicità della soluzione ξ nell’intervallo I = [0.2,1.57].2. A partire dal punto iniziale x 0 = 1.57 trovare x 1 con il metodo di Newton-Raphson. Giustificare,graficamente o in altro modo, le ragioni della iniziale divergenza del metodo.3. Si consideri ora il metodo di punto fisso x k+1 = 1.2−cos(x). Dimostrare che tale metodo converge allasoluzione ξ in I . A partire dal punto iniziale x 0 = 1.57 si eseguano 5 iterazioni con tale metodo. Si dicaqual è l’ordine di convergenza del metodo e se ne stimi la costante asintotica.Es. 5 — (appello del 26 giugno 2012) Sia data l’equazione non lineare x 3 −5x+4 = 0 di cui è nota una soluzioneξ = 1.1. Si dimostri che i seguenti due metodi iterativi di punto fisso x k+1 = g 1 (x k ) dove g 1 (x) = x3 + 4e5x k+1 = g 2 (x k ) dove g 2 (x) = 2x3 − 43x 2 convergono localmente a ξ. Per entrambi si calcoli l’ordine di− 5convergenza.2. A partire dal punto iniziale x 0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema x k+1 = g 1 (x k ) ; usando glierrori si stimi il fattore di convergenza M 1 .3. A partire dal punto iniziale x 0 = 0.5 si calcolino 3 iterazioni con lo schema x k+1 = g 2 (x k ) ; usando glierrori si stimi il fattore di convergenza M 2 .Es. 6 — (appello del 1 o settembre 2011) Data l’equazione f (x) = 0 ove:f (x) = (2 + x)e −x − x 2provare che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [0.5,1.5].1. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 0.5. Dare unamaggiorazione dell’errore e una stima del fattore di convergenza M 1 .2. Utilizzando ξ ≈ x 3 si dica se lo schema di punto fissox n+1 = √ (2 + x n )e −x nconverge a ξ; in caso affermatico calcolarne il fattore di convergenza M 2 .(Usare almeno 7 cifre decimali.)Es. 7 — (appello del 21 giugno 2011) Data l’equazione e −x2 (6x 2 + 18) − 5 = 0, si provi che ammette un’unicasoluzione ξ nell’intervallo I = [0,4].1. Si calcoli il punto iniziale x 0 effettuando due iterazioni del metodo delle bisezioni (o dicotomico), apartire dall’intervallo assegnato.2. A partire dal valore x 0 calcolato al punto precedente, si calcolino tre iterazioni del metodo di Newton-Raphson e si stimi il fattore di convergenza M. (Esprimere i risultati in virgola mobile normalizzatacon almeno 7 cifre decimali)Es. 8 — (primo compitino del 28 aprile 2011) Data l’equazione f (x) = 0 ove:f (x) = x/4 − arctan(6 − x)provare (analiticamente o graficamente) che ammette un’unica soluzione ξ nell’intervallo I = [4,5].1. Dire quante iterazioni sono necessarie col metodo di bisezione per ottenere la soluzione ξ con unerrore minore di 10 −4 .2. Eseguire tre iterazioni con lo schema di Newton-Raphson partendo da x 0 = 5. Dare una maggiorazionedell’errore e una stima del fattore di convergenza M 1 .2