Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI1. Calcolare la traccia di A T A.2. Determinare la fattorizzazione LU della matrice A secondo Crout (U con diagonale unitaria) ecalcolare il valore del determinante di A −3 .3. Calcolare la soluzione x mediante sostituzioni in avanti e all’indietro.Es. 54 — (appello del 5 luglio 2011) Data la matrice seguente:⎛A = ⎝16 −8 −6−8 29 13−6 13 42.25⎞⎠1. Dopo aver provato che A è simmetrica e definita positiva, fattorizzarla secondo Cholesky: A = LL T2. impiegare la fattorizzazione per calcolare det(A −1 ) e risolvere il sistema lineare Ax = b con b =(−4,97,111.5) T ;3. dopo aver provato che lo schema iterativo di Jacobi converge, eseguire due iterazioni con tale schema,partendo da x 0 = (0,0,0) T . Questo punto è da svolgere dopo aver studiato i metodi iterativi per sistemilineari.Es. 55 — (appello del 16 febbraio 2011) Data la matrice seguente:⎛20.25 6.75⎞11.25A = ⎝ 6.75 27.25 13.75⎠11.25 13.75 26.251. provare che la matrice A è simmetrica definita positiva;2. determinare la fattorizzazione di Cholesky di A = LL T .3. impiegare la fattorizzazione trovata per calcolare det(A −1 ) e per risolvere il sistema lineare Ax = b oveb = (24.75, 123.25, 123.75) T .Es. 56 — (appello del 7 luglio 2010) È dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛25 −12.5⎞−7.5⎛ ⎞−12.5A = ⎝−12.5 42.25 0.75⎠ b = ⎝63.25⎠−7.5 0.75 11.5441. Provare che la matrice A è simmetrica definita positiva.2. Fattorizzare la matrice A secondo Cholesky: A = LL T .3. Usare la fattorizzazione trovata per risolvere il sistema Ax = b e per calcolare det(A −2 ).Es. 57 — (appello del 2 luglio 2009) Si consideri il fattore triangolare basso di Cholesky L:⎛α 0⎞0L = ⎝−1 2 0⎠0 −1 3della matrice simmetrica e definita positiva A = LL T .1. Calcolare α in modo tale che det(A 3 ) = 34012224.2. Con il valore di α del punto precedente, risolvere mediante sostituzioni in avanti e all’indietro ilsistema lineare Ax = b con b = (12,−14,32) T .14