Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIEs. 71 — (appello del 26 giugno 2012) Si consideri la seguente matrice dipendente da un parametro realeγ > −1 :⎛4 −2⎞0A = ⎝−2 3 γ⎠0 2 21. Si dica per quali valori di γ il metodo di Jacobi converge.2. Si consideri ora γ = 0. Per tale valore di γ si stimi il numero di iterazioni necessario per ridurre l’erroreiniziale di un fattore 10 −10 con il metodo di Jacobi.3. Sempre considerando γ = 0, si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove b = (0,4,10) T medianteil metodo di Gauss-Seidel. Si giustifichi che tale metodo converge e, partendo dal vettore inizialex (0) = (0,0,0) T , calcolare x (1) ,x (2) ,x (3) .Es. 72 — (appello del 15 settembre 2011) È dato il sistema lineare Ax = b dove⎛15 0⎞3⎛ ⎞48A = ⎝ 0 9 −2⎠ b = ⎝ 34 ⎠3 −6 4 −111. Senza calcolare la relativa matrice di iterazione, provare che lo schema di Seidel converge e trovarnela velocità asintotica di convergenza.2. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , calcolare le prime tre iterazioni dello schema di Seidel.(Riportare i risultati utilizzando almeno 7 cifre decimali )Es. 73 — (appello del 21 giugno 2011) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 −4⎞2⎛ ⎞5A = ⎝−4 10 0⎠ b = ⎝18⎠2 0 4 10provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza senza calcolare larelativa matrice di iterazione. Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1,1,1) T , calcolare x 1 , x 2 , x 3 con il metodo diSeidel e stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matrice di iterazione) impiegando la normaeuclidea degli scarti.Es. 74 — (appello del 2 settembre 2010) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛2 −4⎞0⎛8⎞A = ⎝−4 12 1⎠ b = ⎝−18⎠0 1 59senza calcolare la matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintoticadi convergenza. Prendendo x 0 = (1,1,1) T , calcolare le approssimazioni x 1 , x 2 e x 3 ottenute con il metododi Seidel.Es. 75 — (appello del 16 giugno 2010) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛−4 0⎞7⎛ ⎞3A = ⎝ 0 5 2 ⎠ b = ⎝7⎠1 4 −3 2provare che gli schemi di Jacobi e di Seidel convergono e trovare le corrispondenti velocità asintotiche diconvergenza. Prendendo x 0 = (0,0,0) T , calcolare le approssimazioni x 1 e x 2 ottenute prima col metodo diJacobi e poi con quello di Seidel.20