Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

5. ESERCIZI SU FORMULE DI QUADRATURA2. Utilizzando i valori noti della funzione si approssimi l’integrale mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta. Chiamare tale approssimazione I S .3. Sapendo che la funzione integranda è f (x) = e x−3 + x 3 − 1, maggiorare gli errori che si commettononei due casi.4. Dopo aver calcolato il valore esatto dell’integrale, calcolare gli errori E T = |I − I T |, E S = |I − I S |.Es. 96 — (appello del 15 febbraio 2012) È dato l’integrale I = ∫ 0 x−1/2 d x.1 − x21. Si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tuttol’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali.2. Si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson.3. Dopo aver calcolato analiticamente il valore esatto di I determinare l’errore esatto commesso conl’estrapolazione di Richardson.Es. 97 — (appello del 1 o settembre 2011) Calcolare l’integrale seguente:I =∫ 32ln(x + x 2 )d x1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell’intervallo [2,3].2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo [2,3].3. con il metodo di estrapolazione di Richardson;4. con il metodo di Gauss e tre punti di appoggio (x 1 = − 3/5, x 2 = 0, x 3 = 3/5; B 1 = B 3 = 5/9, B 2 = 8/9).(Usare almeno 7 cifre decimali.)Es. 98 — (appello del 21 giugno 2011) Dato l’integraleI =∫ 42(x + cos 2 (x))d x1. Calcolare il numero di intervalli n in cui si deve suddividere l’intervallo [2,4] in modo da approssimareI mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta con un errore inferiore a 4 × 10 −4 .(Suggerimento: si ricordi la relazione cos 2 (x) = 1 + cos(2x) ).22. Approssimare I mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta utilizzando il valore di n ottenutoal punto precedente. Chiamare I S tale approssimazione.3. Dopo aver calcolare il valore “vero” di I , calcolare l’errore vero E = I − I S .Es. 99 — (appello del 16 febbraio 2011) Calcolare:I =∫ 21ln 2 x d x1. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 1 suddivisione dell’intervallo [1,2];2. con il metodo di Cavalieri-Simpson e n = 2 suddivisioni dell’intervallo [1,2];3. con il metodo di estrapolazione di Richardson;4. dopo aver calcolato il valore esatto dell’integrale I , calcolare l’errore esatto commesso nei tre (punti)precedenti.26