Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

Es. 76 — (appello del 18 settembre 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛25 −5 0⎞ ⎛ ⎞20A = ⎝−5 20 −12⎠ b = ⎝ 3 ⎠0 −12 40 281. senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel;3. notando che la soluzione vera è il vettore x = (1,1,1) T , si usi la norma massima dell’errore per dare unastima numerica dell’autovalore massimo della matrice di iterazione di Seidel e determinare il valoredi ω optEs. 77 — (appello del 2 settembre 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛40 −15⎞−11.5⎛ ⎞13.5A = ⎝−10 25 8 ⎠ b = ⎝ 23 ⎠−6 8 2022senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge; partendo dal vettoreiniziale x 0 = (0,0,0) T calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel.Es. 78 — (appello del 6 febbraio 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 2⎞1A = ⎝2 10 −3⎠1 −3 8e b = (8,9,6) T , provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Partendo dalla soluzione inizialex 0 = (0,0,0) T calcolare le approssimazioni x 1 ,x 2 ottenute applicando prima lo schema di Jacobi e poi quellodi Seidel.Es. 79 — (appello del 17 giugno 2009) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 0⎞−4⎛ ⎞1A = ⎝ 0 4 5 ⎠ b = ⎝ 9 ⎠−4 5 10 111. senza calcolare la relativa matrice di iterazione provare che lo schema di Seidel converge e trovarne lavelocità asintotica di convergenza;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T , calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel;3. stimare il fattore di convergenza (raggio spettrale della matrice di Seidel) impiegando la normaeuclidea degli scarti.Es. 80 — (appello del 18 giugno 2008) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛5 1⎞0⎛ ⎞17A = ⎝3 2 1⎠ b = ⎝14⎠0 2 4 81. senza calcolare la relativa matrice di iterazione dire se lo schema di Seidel converge; trovare la velocitàasintotica di convergenza di Seidel e il fattore ottimo di rilassamento;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (1,1,1) T , calcolare x 1 ,x 2 ,x 3 con lo schema di Seidel.21