Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

4. ESERCIZI SU METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIEs. 81 — (appello del 13 dicembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛8 4⎞0⎛ ⎞44A = ⎝4 10 5 ⎠ b = ⎝56⎠0 5 15 45Provare che lo schema di Seidel converge e trovarne la velocità asintotica di convergenza. Partendo dal vettoreiniziale x 0 = (1,1,1) T , trovare le prime due approssimazioni x 1 e x 2 ottenute con lo schema di Seidel.Es. 82 — (appello del 13 settembre 2007) Sia dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛16 −8⎞4⎛8⎞A = ⎝−8 68 −2⎠ b = ⎝124⎠4 −2 26 521. provare che lo schema di Seidel converge;2. partendo dalla soluzione iniziale x 0 = (0,0,0) T eseguire tre iterazioni col metodo di Seidel per trovarele approssimazioni x 1 ,x 2 e x 3 .Es. 83 — (appello del 31 agosto 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛10 3⎞4⎛ ⎞17A = ⎝ 2 8 5 ⎠ b = ⎝15⎠7 6 15 28provare che gli schemi iterativi di Jacobi e Seidel convergono. Prendendo come soluzione iniziale x 0 =(0,0,0) T calcolare1. le prime due approssimazioni x 1 ,x 2 ottenute con lo schema di Jacobi;2. le prime due approssimazioni x 1 ,x 2 ottenute con lo schema di Seidel.Es. 84 — (appello del 23 giugno 2006) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛10 0⎞2⎛ ⎞22A = ⎝ 0 5 3⎠ b = ⎝18⎠3 1 2 111. provare che lo schema di Seidel converge, calcolare quindi la velocità asintotica di convergenza;2. partendo dal vettore iniziale x 0 = (0,0,0) T eseguire tre iterazioni con il metodo di Seidel calcolandox 1 ,x 2 e x 3 .Es. 85 — (appello del 31 agosto 2005) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛8 2⎞4⎛ ⎞30A = ⎝2 5 0 ⎠ b = ⎝19⎠4 0 10 28trovare il fattore ottimo di rilassamento ω opt e le velocità asintotiche di convergenza, R J , R S , R ωoptschemi di Jacobi, Seidel e rilassamento.Partendo dal vettore iniziale x 0 = (1,1,1) T , calcolare x 1 ,x 2 con lo schema di Seidel.degliEs. 86 — (appello del 22 giugno 2005) Dato il sistema lineare Ax = b dove:⎛8 4⎞1⎛ ⎞13A = ⎝2 5 2 ⎠ b = ⎝ 9 ⎠5 3 10 18dall’esame della matrice, dire se i metodi di Jacobi e Seidel convergono Partendo dal vettore iniziale x 0 =(0,0,0) T22