Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

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3. ESERCIZI SU METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARIdeterminare la fattorizzazione di Cholesky di A = LL T . Sfruttare la fattorizzazione per calcolare det(A −1 ) eper risolvere il sistema lineare assegnato.Es. 63 — (appello 23 giugno 2006) Data la matrice⎛5 −20⎞10A = ⎝−4 19 7 ⎠2 −2 36fattorizzare la matrice A secondo Crout: A = LU (u i i = 1); usando i fattori L e U , calcolare det(A −3 ) e risolvereil sistema lineare Ax = b ove b = (−50,79,62) T .Es. 64 — (primo compitino del 24 maggio 2006) Data la matrice⎛25 7.5⎞2.5A = ⎝7.5 22.5 12 ⎠2.5 12 15.51. calcolare |A| ∞ (norma massima per righe), |A| 1 (norma massima per colonne), e N (A) (normaeuclidea);2. dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T(prendendo i valori positivi delle radici);3. utilizzando la fattorizzazione trovata, risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (95,91.5,62.5) T ,calcolare quindi il determinante di A −1 .Es. 65 — (appello del 30 giugno 2004) È data la matrice⎛25 −5⎞10A = ⎝−5 65 −26⎠10 −26 941. Dopo aver provato che A è definita positiva, fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T(prendendo i valori positivi delle radici).2. Usare la fattorizzazione per calcolare det(A −2 ) e per risolvere il sistema lineare Ax = b con b =(30,138,120) T .Es. 66 — (primo compitino del 23 aprile 2002) Data la matrice⎛24 − δ 8⎞4A = ⎝ 8 4δ + 21 37⎠4 37 90con δ parametro reale1. determinare δ in modo che Tr (A) = 159;2. verificare che A è definita positiva;3. fattorizzare secondo Cholesky A = LL T (prendendo i valori positivi delle radici);4. usare la fattorizzazione per calcolare det(A −2 );5. usare la fattorizzazione per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (68,167,176) T .Es. 67 — (appello del 12 settembre 2001) Data la matrice⎛4 2⎞8A = ⎝2 10 19⎠8 19 4516
verificare che A è definita positiva e trovare il suo fattore triangolare basso di Cholesky L (prendendo i valoripositivi delle radici). Utilizzarlo per1. calcolare il determinante di A −12. risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (6,−6,−3) T .17
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