Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense

C A P I T O L O2ESERCIZI SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEEs. 26 — (appello del 18 settembre 2013) È data la seguente tabella di dati sperimentalix i 0 1 2 3 4 5 6y i 1 2.7 5.8 6.6 7.5 9.9 12.5dove i valori y i approssimano il valore di una certa funzione f nei punti x i .1. Trovare la retta di approssimazione ai minimi quadrati y = a 0 + a 1 x che minimizza gli scarti verticali.2. Trovare la parabola di approssimazione ai minimi quadrati y = a + bx 2 che minimizza gli scartiverticali.3. Calcolare il valore approssimato di I = ∫ 60f (x)d x impiegando la formula di Cavalieri-Simpson compostaapplicata su tutti i valori della tabella (vale a dire considerando le n = 3 suddivisioni dell’intervallo[0,6] individuate dalla tabella). (punto da svolgere dopo aver studiato le formule di quadratura)Es. 27 — (appello del 3 settembre 2013)1. Trovare il polinomio di terzo grado che interpola i dati seguenti:f (0) = 2, f ′ (0) = −1.5, f ′′ (0) = 10, f (1) = 32. Trovare il polinomio di quarto grado che interpola i dati precedenti e inoltre f ′ (1) = 6; dare una stimadi f (0.3).Es. 28 — (appello del 25 giugno 2013) Si vuole interpolare la funzione f (x) = e x cos(x) nell’intervallo I =[a,b] = [−6.3,0] utilizzando punti di appoggio equispaziati.1. Qual’è il grado minimo del polinomio interpolatore per avere un andamento qualitativamente similealla funzione da interpolare (ad esempio, avere lo stesso numero di massimi/minimi o lo stessonumero di zeri)?2. Siano dati i seguenti punti di appoggio: x 0 = −6.3, x 1 = −4.2; x 2 = −2.1 ; x 3 = 0. Scrivere la tabella delledifferenze divise di Newton e il corrispondente polinomio di grado 3;3. sapendo che nell’intervallo I si ha |F (x)| ≤ 20, si dia una stima dell’errore massimo che si commetteusando il polinomio interpolatore;4. calcolare l’errore vero commesso nel punto x = −1.1.7