Gli sviluppi dell'algebra nel Settecento e l'emergere dei numeri ...

da queste ultimericava facilmenteSe nell’ identitàponiamo x=π si ottiene:.Quest’ultima relazione, considerata una delle più belle di tutta la matematica, vieneora chiamata identità di Eulero, ma in realtà egli non ne fa menzione in alcuno deisuoi scritti.RELAZIONI TRA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONI TRIGONOMETRICHESe x è una variabile reale si haSostituendo nella prima formula ix al posto di x si ottiene tenuto conto che i 2 =-1 sihaQuindix, .da cui segue facilmente ponendo –x al posto diIn una lettera a D’Alembert del 29 dicembre 1746 Eulero chiarisce la questionerelativa ai logaritmi di numeri negativi oggetto di dibattito fin dai tempi di Leibniz eGiovanni Bernoulli. Egli infatti scrive: “ Il logaritmo di ogni numero ha un numeroinfinito di valori, uno solo dei quali è reale quando il numero è positivo. Ma quando ilnumero è negativo tutti i valori sono immaginari ”. Questa affermazione viene poidimostrata in un lavoro pubblicato l’anno successivo sugli Atti della Accademia diBerlino. Le affermazioni di Eulero seguono facilmente dalla considerazione che da9