ทบทวน Schrodinger Equation และ Harmonic Potential - ภาควิชาฟิสิกส์

้ํ่็ัํ้็่่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-11 Reviews of Quantum Mechanicsเนื้อหา1.1 สมการ Time Independent Schrödinger1.2 Harmonic Potentialใน 1 มิติ1.3 Operator, Expectation Value, และ Uncertainty1.4 Hydrogen Atom1.5 แบบฝึกหัดSection 1.1 สมการ Schrödingerเมื่อครังที่กาลังศึกษา ้ ํ classical mechanics เราเริมต้นด้วยการทําค ่ วามรู้จักกบสมการหลักๆที่เป็น ตัวกาหนดพฤติกรรมของระบบทางฟิสิกส์ ซึ ่งกคือ Fnet ma และจากนัน เรากได้เรียนรู้การนําสมการดังกลาวไปใช้งาน ่ ในตัวอยางตางๆหรือในสถานการณ์ตางๆ่ ่ ่ในวิชา quantum mechanics เบืองต้นในระดับปริญญาตรีนี ้ ้ สมการที่สําคัญที่สุดกคือ ็ Schrödingerequation2 2 i ( x, t) ( x, t) V( x) ( x, t)t 2m 2x _____________ สมการ (1.1)สมการข้างต้นมีชื่อเรียกวา่ time-dependent Schrödinger equation ทังนีกเพราะตัวแปรต้นที่ปรากฏอยู้ ้ ็มีทังสวนที่เป็นฟังชันกของตําแหนงและโดยเฉพาะอยางยิง ้ ่ ์ ่ ่ ่ ของเวลาในขันต้น เราจะไมเสียเวลาศึกษาถึงต้นตอและความสําคัญเชิงปรัชญาของสมการดังกลาว ่ ่ แตจะมุง ่ ่ประเด็นไปที่ความหมายของตัวแปรตางๆที่ปรากฏอยูในสมการ่ ่ (1.1) และการนําไปใช้งานเพื่อทํานายและอธิบายปรากฏการณ์ตางๆทางฟิสิกส์ได้สมการ (1.1) เป็นสมการที่กาหนดพฤติกรรมของอนุภาคซึํ ่งมีมวล m และกาลังเคลื่อนที่ใน 1 มิติอยูภายใต้อิทธิพลของพลังงานศักย์ V( x ) ฟังชันกของพลังงานศักย์ ์ V( x ) นันขึนอยูกบระบบทาง้ ้ ่ ัDr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่ั่่้่่่้่้่่็้้้่่่่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-2ฟิสิกส์ที่เรากาลังพิจาร ํ ณา อาทิเชน ่ ในระบบที่มีแรงโน้มถวงเข้ามาเกยวข้อง ่ ี่ V( y)1 2ระบบที่มีมวลผูกติดอยูกบสปริง ่ ั V( x) kx เป็นต้น2 mgy หรือ ( x, t)เป็นฟังชันกของทังตําแหนงและเวลา ์ ้ ่ ซึ ่งมีชื่อเรียกวา ่ wave function ด้วยความที่เป็นฟังชันกของเลขจํานวนเชิงซ้อน ์ โดยตัวมันเองแล้ว ( x, t)ไมมีความหมายที่เป็นรูปธรรม แตมันมีความสัมพันธ์กบความนาจะเป็นที่จะพบอนุภาค ั ่ ณ ตําแหนงใดๆกคือ ่ ็่ ่ ่ x x dx ณ เวลา t ใดๆ___________ สมการ (1.2)2( x, t)dx ความนาจะเป็นที่จะพบอนุภาคอยูภายในชวงเพราะฉะนั ้นแล้ว การที่จะศึกษาพฤติกรรมของอนุภาคด้วย quantum mechanics โดยทัวไปจะเริมด้วยการนิยามพลังงานศักย์ V( x ) จากนันทําการแกสมการอนุพันธ์อันดับสอง ดังแสดงในสมการ(1.1)นอกจากนี ้ เนื่องจาก wave function ไปเกยวโยงกบความนาจะเป็น ี่ั่ ดังนันแล้วเมื่อกลาวถึงความ ่นาจะเป็นที่พบอนุภาค ณ ตําแหนงใดๆกได้็ ยอมมีคาเป็นหนึ่ง เพราะฉะนัน2 dx ( x, t) 1 ____________________ สมการ (1.3)โดยที่สมการข้างต้น มีชื่อเรียกกนทัวไปวา normalization conditionอยางไรกตาม ่ ็ สมการดังกลาวยังมีคว ่ ามซับซ้อนที่เราพอจะลดรูปให้งายลงไปได้อีก ทังนีเพื่อความ ้ ้สะดวกในการหาผลเฉลยของตัวสมการเอง ขันตอนในการลดรูปกคือ การสมมุติให้ผลเฉลยของสมการ ซึ ่งกคือ ็ ( x, t)สามารถเขียนอยูในรูปของ( x, t) ( x) T( t)___________________ สมการ (1.4)นันกคือ ่ ็ เราทําการแยกผลเฉลยของสมการออกเป็นสองสวน ่ คือสวนที่ขึนอยูกบตําแหนงเพียงอ่ ่ ั ่ ยางเดียว ( x)และสวนที่ขึนอยูกบเวลาเพียงอยางเดียว่ ้ ่ ั ่ Tt () เทคนิคลักษณะนี ้ เรียกโดยทัวไปวา ่ ่เทคนิคการแยกตัวแปร หรือ separation of variablesDr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่้้่่่ั่่้Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-3เมื่อแทนรูปแบบของ wave function ( x, t)ดังในสมการ (1.4) เข้าไปในสมการ Schrödinger ดังในสมการ (1.1) จะได้วา่และ2 2 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 n x V x n x En n xm x iE t ( , ) ( ) nn xt n xe_______________ สมการ (1.5)_______________ สมการ (1.6)สมการ (1.5) เรียกวา ่ time-independent Schrödinger equation เพราะไมมี ่ สวนที่ขึนกบเวลา ้ จะสังเกตวาเราใช้ดัชนี ่ n กากบผลเฉลยของสมการ ํ ั เพื่อเป็นการสื่อความหมายวา ่ สมการ (1.5) นัน มีผลเฉลยของสมการได้มากกวาหนึ ่ ่งคําตอบ และเรากาหนดให้ ํ n ( x ) เป็นสัญลักษณ์แทนผลเฉลยนันๆแบบฝึ กหัด 1.1 จงพิสูจน์สมการ (1.5) และ (1.6) เริมด้วยการแทน ่ ( x, t) ( x) T( t)เข้าไปในสมการ (1.1)ด้วยเหตุที่เรามีเซตของผลเฉลย n ( x ) ยอมหมายความวา ่ ่ อนุภาคที่เรากาลังพิจารณา ํ สามารถที่จะมีพฤติกรรมอยูได้ในหลายลักษณะ ่ บางครังเราเรียกผลเฉลย ้ n ( x ) นีวา ้ ่ "สถานะ" หรือ "state"ของอนุภาคการที่จะเข้าใจความหมายของคําอธิบายข้างต้นได้ถองแท้ ทําได้โดยพิจารณากรณีตัวอยางของอนุภาคที่โดนกกั อยูในบอพลังงานศักย์ ่ ่ แบบ harmonic potential ใน 1 มิติ ดังจะได้กลาวถึงในลําดับตอไปนีSection 1.2 Harmonic Potential ใน 1 มิติสมมุติวามีอนุภาค ่ หรือ ระบบทางฟิสิกส์ที่อยูภายใต้อิทธิพลของ ่ พลังงานศักย์แบบ harmonicpotential กลาวคือ1V( x)m x22 2 ___________________ สมการ (1.7)Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

ั่่่่็Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-4โดยที่เราจะยกตัวอยางการนําผลการคํานวณดังกลาวมาประยุกต์ใช้งานจริงในโอกาสตอไป ่ ่ ่ แตใน ่ขันต้นนี ้ ้ เราจะมุงไปที่การแกสมการทางคณิตศาสตร์ของ่ ้ time-independent Schrödinger equationเพื่อที่จะคํานวณเซตของระดับพลังงาน E nเสียกอนเมื่อใช้พลังงานศักย์ดังในสมการ (1.7) จะทําให้สมการ (1.5) อยูในรูปของ ่2 2 1 2 2 ( x) m x ( x) E ( x)2m 2x 2 ___________________ สมการ (1.8)เพื่อความกระชับเราละดัชนี n กากบสถานะตางๆไว้ในถานที่เข้าใจํ ั ่ กอนที่จะทําการหาผลเฉลยของสมการข้างต้น เพื่อลดรูปสมการใช้งายตอการวิเคราะห์ เราใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรy mxซึ ่งจะทําให้สมการ (1.8) เปลี่ยนรูปเป็น222y ( y) y ( y) 0___________________ สมการ (1.9)เมื่อ มีความสัมพันธ์กบพลังงานคือ 2E เทคนิคที่เราจะต้องเรียนรู้กคือการเดาคําตอบหรือประมาณรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของคําตอบอยางคราวๆ ่ ่ โดยการพิจารณาที่ asymptotic limit( y )แบบฝึ กหัด 1.2 จงพิสูจน์สมการ (1.9) เมื่อใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรy mxใน limit ที่ y มีคาสูงมากๆ ่ เราสามารถละเลย โดยไมนํามันมาคิดรวมด้วย ่ ่ เพราะฉะนัน ้22y 2( y) y ( y) 0เมื่อ y ___________________ สมการ (1.10)ในกรณีเชนนี ่ ้ คําตอบของสมการ (1.10) กคือ ็ ( y) y2e 2 เมื่อ y ___________________ สมการ (1.11)Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-6summation ทังสามเทอมดังปรากฏในสมการข้างต้น ้ มีดัชนีที่เริมนับด้วยคาตางๆกน ่ ่ ่ ั คือ 2, 1, และ 0ตามลําดับ จึงเป็นการยากที่จะลดรูปตอไป ่ ดังนันเราทําการเปลี่ยนตัวแปรโดยนิยาม้ k k 2จะได้วา่k2k kk ( 1) aky ( k1)( k2)ak2 yk2 k0ในทางขวามือของสมการ จะเห็นวา ่ summation มี k เป็น index ซึ ่งเราจะเปลี่ยนมาใช้เป็นสัญลักษณ์ k กไมผิดแตอยางใด ็ ่ ่ ่ เพราะเราจะใช้สัญลักษณ์อะไรเป็น index กยอมได้ ็ ่ ทังนีเมื่อรวม ้ ้เทอมดังกลาวเข้าไปในสมการ (1.15) จะทําให้ได้ความสัมพันธ์ k k n k k ak2 y kaky akyk0 k0 k0k k k ak2 kak akyk 0( 1)( 2) 2 ( 1) 0( 1)( 2) 2 ( 1) 0_______ สมการ (1.16)kและเนื่องจาก y เป็นฟังชันกที่เป็นอิสระตอกน ์ ่ ั (linearly independent) สมการข้างต้นจะเป็นศูนย์ได้กตอเมื่อ ็ ่ เทอมในวงเล็บ ทุกๆเทอมจะต้องเป็นศูนย์ นันกคือ ่ ็หรือ( k 1)( k 2) a 2 ka ( 1) a 0ak2k2k k2k1a( k 2)( k 1)k______________ สมการ (1.17)จะสังเกตเป็นวา ่ ตราบใดที่เทอม2k1 0( k 2)( k 1)จะทําให้ a0, a1, a2, มีคาเพิมขึนเรื่อยๆจน ่ ่ ้เป็นอนันต์ ซึ ่งจะทําให้ wave function มีคาเป็น ่ infinity เมื่อ x ทําให้ผิดจากความเป็นจริงเพราะฉะนั ้น จากสมการ (1.17) จะต้องมีคา ่ k อยูคาหนึ ่ ่ ่งที่ทําให้ระบบของสมการสอดคล้องกบความจริงทางฟิสิกส์ั2k1 0( k 2)( k 1)จึงจะทําให้กาหนดให้ ํ เมื่อ k n แล้วจะทําให้จะได้วา่2k1 ( k 2)( k 1) 0โดยที่ n เป็นจํานวนเต็ม 0,1, 2,3, Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่ํ้์Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-72n1 0n หรือ 2n 1เมื่อ 0,1, 2,และเมื่อแทน 2E ทําให้เราทราบวาระดับพลังงานในระบบมีคาเป็น่ ่1En( n ) เมื่อ 0,1, 2,2n ______________ สมการ (1.18)ระดับพลังงาน ของ harmonic potential1E n ( n )2E0 2ภาพ 1.1 ระดับพลังงานของ harmonic potential มีลักษณะพิเศษคือ energy gap มีคาคงที่ ่E กลาวคือ ่จะเห็นวา ่ ระดับพลังงานมีคาตางๆกน ่ ่ ั ขึน ้ อยูกบคา ่ ั ่ n ที่กาหนด เพราะฉะนันเราเขียนฟังชันกh n ( x ) โดยใช้ดัชนี n เป็นตัวกากบเพื่อให้ชัดเจนวา ํ ั ่ มันสัมพันธ์กบระดับพลังงานระดับที่เทาไหรั ่ ่ทังนีเมื่อแทน ้ ้ 2n 1เข้าไปในสมการ (1.17) จะได้วา่ak22( k n)a( k 2)( k 1)k______________ สมการ (1.19)เงื่อนไขที่เมื่อ k n แล้ว2( k n) 0( k 2)( k 1)นัน มีผลบังคับให้ ้kn( y) akyh เป็นk 0polynomial degree n เพราะไมเชนนันแล้ว ่ ่ ้ a k จะมีคาตอไปเรื่อยๆจนทําให้ผลของ่ ่summation มีคาเป็นอนันต์ และจะยกตัวอยางของฟังชันก ่ ์ h ( ) ในกรณีที่ n 0, 1, และ 2n xDr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่่่่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-8n :k0 ( y) akyk 0เมื่อ 0h เป็น polynomial degree 0 หรือh0 00( y) a y 1ซึ ่ง a 0 เป็นคาคงที่ ที่เราเลือกให้เทากบ ่ ั 1 และจากสมการ (1.12) ทําให้ทราบวา ่ wave function ณground state อยูในรูปของ y2 20( y)N0e เมื่อy mxและ N 0 คือ normalization constant ____ สมการ (1.20)kn : 1( y) akyk 0เมื่อ 1h เป็น polynomial degree 1 หรือํ 0 0h0 11( y) a0y a1yเราจําเป็นต้องกาหนดให้ a เพราะไมเชนนันแล้ว ่ ่ ้ สมการ (1.19) จะมีผลให้ a2 a4 a6 ซึ ่งกจะเหลือเพียงคาคงที่็ ่ a 1 ที่เราเลือกให้เทากบ ่ ั 1 ดังนัน ้ h 1 ( y) y ทําให้ wave function ของ1st excited state อยูในรูปของ, , , 0 y2 21( y)N1ye ___________________ สมการ (1.21)เมื่อ n 2 : h 2( y) a0 a1ya2yในที่นี ้ เราจําเป็นต้องกาหนดให้ ํ a1 0 เพราะไมเชนนันแล้ว ่ ่ ้ สมการ (1.19) จะมีผลให้ a3, a5, a7, 0 นอกจากนี ้ จากสมการ (1.19)a2 2a0ซึ ่งถ้าเราเลือก a0 1 จะได้วา ่ h 2 ( y) 12yและ wave function ของ 2ndexcited state คือ k 0 ( y) N 1 2y e2 22 y22 _______________ สมการ (1.22)kโดยปรกติแล้ว h ( y)a y เป็น polynomial ที่เรียกวา ่ Hermite polynomial H ( ) ซึ ่งnนักศึกษาสามารถพบได้ในหนังสือคูมือkn ymathematical physics โดยจะสรุปไว้พอสังเขปดังนี ้Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

ิ่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-9H012345( y) 1H ( y) 2yHHHH2( y) 4y23( y) 8y 12y4 2( y) 16y 48y125 3( y) 32y 160y 120yสังเกตวา ่ Hermite polynomial H n ( y ) แตกตางอยูเล็กน้อยจาก ่ ่ h n ( y)ที่เราได้กลาวถึงมาโดยตลอด แตข้อแตกตางเป็นเพียงการคูณด้วยคาคงที่ ่ ่ ่ และไมสงผลให้ ่ ่ เกดความผิดพลาดตอ ่ wavefunction ที่จะตามมาแตอยางใด ่ ่แบบฝึ กหัด 1.4 จงคํานวณ normalization constant และ พิสูจน์วา่14m 1 n( x) Hn( y)e n2 n!บอกใบ้: Leonard Schiff, "Quantum Mechanics" y2 2wave function ของ harmonic potential 0 ( x)1 ( x)___________________ สมการ (1.23) 2 ( x)3 ( x)14m1y2 2n( x) Hn( y)en2 n!ภาพ 1.2 แสดง wave function ของ harmonic potentialDr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-10ที่ผานมาเราได้ทําการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ในแงของระดับพลังงานและ่ ่ wave function ของharmonic potential ซึ ่งระบบดังกลาวนีมีความสําคัญและสามารถนํามาประยุกต์ใช้ในการ่ ้ วิเคราะห์อยางกว้างขวาง ่ เพราะวาเมื่อเราพิจารณาพลังงานศักย์่ V( x ) ใดๆ ยอมสามารถที่จะเขียนให้อยูในรูปของ Taylor expansion รอบๆจุด equilibrium x 0 ได้วา่ 21 dV 1 2 d VV( x) V( x0) ( x x0) ( xx0)1! dx 2!2xx0 dxxx00 atequilibriumจะสังเกตวาเทอม ่dVdxxx 0ทุกระบบทางฟิสิกส์ลดรูปลงโดยประมาณเทากบ ่ ัมีคาเป็นศูนย์กเพราะเราอยู ่ ็ ่ ณ จุดสมดุล ทําให้พลังงานศักย์ของเกอบ ืV( x)1 2kx2 เมื่อ2dVk 2dxxx 0ซึ ่งกคือ ็ harmonic potential นันเอง ่ ดังแสดงเป็นตัวอยางในภาพ ่ 1.31) ยกตัวอย่างเช่น พลังงานศักย์V ( x)1 1xx4 22) ณ บริเวณรอบๆจุดสมดุล มีรูปทรงเป็ น parabolax 01 21( x 2)2 44) เลื่อนหน่วยในการวัดพลังงานให้V ( x ) 003) เลื่อนจุดกําเนิด มาไว้ที่ equilibriumภาพ 1.3 แสดงการประมาณ potential ในรูปแบบทัวไป ่ ให้อยูในรูปของ ่ harmonic potentialDr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่่้่่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-15m2pˆ sin t_________________ สมการ (1.29)แบบฝึ กหัด 1.9 ระบบในแบบฝึกหัด 1.6 มิได้มีการสั่นหรือเปลี่ยนแปลงกบเวลาแตอยางใด ั ่ ่ ซึ ่งขัดแย้งอยางชัดเจนกบ ่ ั classical mechanics ของ simple harmonic oscillation ที่นักศึกษาคุ้นเคย จงอภิปรายเหตุผลอยางไรกตาม ่ ็ operator ในทาง quantum mechanics มิได้มีไว้เพียงวัดปริมาณทางฟิสิกส์เพียงเทานัน ่ ้มี operator บางจําพวกที่ทําหน้าที่ในการเปลี่ยนแปลงระบบจากสถานะหนึ ่ง ไปยังอีกสถานะหนึ ่งยกตัวอยางเชนในระบบของ harmonic potential มี operator ที่คิดค้นเป็นครังแรกโดยรูปแบบทางคณิตศาสตร์คือP.M. Dirac ในปี 1925 ซึ ่งมีm i m aˆ xˆ pˆ x2 m 2 mx___________ สมการ (1.30)เพื่อที่จะเข้าใจวา่ operator â ดังกลาวมีผลอยางไรกบสถานะ่ ่ ั n ( x ) ของระบบดังในสมการ (1.23)พิจารณาm m1aˆ n( x) x Hn( y)e2 mx n2 n!141414 y2 2 y2 21 m 1 y22 y22 yHn( y) e n( y)e 2 n2 n!yH 1 m 1 yH2 n2 n!n( y)ee y y y eyHy22 y22n( ) H n( )จากสมการข้างต้นให้สังเกตการเปลี่ยนตัวแปรจาก x y และการใช้กฎลูกโซเพื่อทําให้เทอมบางเทอมหักล้างกนั นอกจากนีเมื่อพิจารณาเอกลักษณ์ของ้ Hermite polynomial ที่วาyn( y) 2 n n1( y) H H ทําให้Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่้่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-16141 m 1aˆ n( x) 2 nHn1( y)e2 n2 n!14 n1 ( x ) y2 21 2nm 1 y2 2 Hn1( ye )2 2n n12 ( n 1)!m2imเพราะฉะนันแล้ว ้ เราสรุปได้วา ่ ผลของ operator aˆ xˆpˆn ( x )ที่กระทํากบั สถานะ คือa ˆ n( x ) nn 1 ( x ) _________________ สมการ (1.31)ด้วยเหตุนีเอง ้ operator â จึงมีชื่อเรียกวา ่ lowering operator หรือ annihilation operator ซึ ่งหมายถึงoperator ที่ทําให้สถานะของระบบ ลดลงมาอยูในสถานะที่มีระดับพลังงานตํ่ ่าลงมานันเอง ่และในทํานองเดียวกนกบ ั ั lowering operator เราสามารถนิยามˆ†m i a xˆpˆ2 m_________________ สมการ (1.32)โดยที่เราสามารถพิสูจน์ได้วา่†aˆ n( x) n 1 n 1( x) _________________ สมการ (1.33)ซึ ่งความสัมพันธ์ดังในสมการ (1.33) กเป็นที่มาของชื่อที่เรียก็ operator â † raising operator หรือcreation operator เพราะมันทําหน้าที่ในการเปลี่ยนสถานะของระบบซึ ่งอยูภายใต้อิทธิพลของharmonic potential ให้เปลี่ยนไปเป็นสถานะที่มีระดับพลังงานเพิมขึนแบบฝึ กหัด 1.10 จงพิสูจน์สมการ (1.33)Section 1.3.2 UncertaintyDr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่่่่่่้่่่่้็ํ่้่่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-17ในเชิงสถิติแล้ว ข้อมูลของคาเฉลี่ย (expectation value) เพียงอยางเดียวอาจจะไมเพียงพอกบการศึกษา่ ่ ัพฤติกรรมของระบบ ยกตัวอยางเชน1) ถ้ารายได้เฉลี่ยของประชากรไทยตกอยูที่ประมาณ 8,000 บาทตอเดือน ่ ไมได้หมายความวา ่ ่ คนไทยทุกๆคนจะมีรายได้ 8,000 บาทตอเดือน ่ หากแตในความเป็นจริงแล้วรายได้ของค่ นไทยมีชองวางที่หางและแตกตางกนมาก ่ ่ ั เมื่อเรียงจากกรรมกร ข้าราชการ ไปจนถึงนักการเมือง2) ถ้านําหนักของขวดกระทิงแดงมีคาเฉลี่ยอยูที่้ ่ ่ 200 กรัม เป็นไปได้มากทีเดียว ที่ขวดกระทิงแดงเกอบ ื จะทุกขวดจะมีนําหนักเทากบคาเฉลี่ย้ ่ ั ่ ที่เป็นเชนนีกเพราะกระทิงแดงได้รับการผลิตโดยโรงงานอุตสาหกรรมที่ได้มาตรฐานในทางสถิติ ตัวอยาง ่ 2 ตัวอยางข้างต้นมีสิงที่เราเรียกวา standard deviation แตกตางกน ่ ั standarddeviation เป็นปริมาณที่ใช้วัดวาข้อมูลทังหมดที่เรามีอยู ่ ่ มีการกระจายตัวหางออกไปจากคาเฉลี่ยมาก่ ่น้อยเทาใด ่ จากตัวอยางข้างต้น รายได้ของประชากรมี standard deviation สูง ในขณะที ่ นําหนัของขวดกระทิงแดงมี standard deviation ตํ ่าวกกลับมาที่ quantum mechanics ที่เราใช้เวลาสวนใหญอยูกบการวัดปริมาณตางๆในทางฟิสิกส์ ่ ่ ่ ั ่เราใช้สิงที่เรียกวา ่ ่ "uncertainty" ในการตรวจสอบวา ่ คาที่วัดได้มีความแมนยํามากน้อยเพียงใด่ ่ หรืออีกนัยหนึ ่ง คาที่วัดได้มีการกระจุกตัวอยูในบริเวณรอบคาเฉลี่ยอยางไร่ ่ ่ ่ํ ( , )เมื่อพิจารณาระบบทางฟิสิกส์ที่ถูกกาหนดด้วยสถานะ x t จะได้วา ่ uncertainty ของการวัดด้วย operator Ô คือ 2ˆ2O O Oˆ_________________ สมการ (1.34)ยกตัวอยางเช ่ ่น ในกรณีของ harmonic oscillator ถ้าสมมุติให้ระบบที่เรากาลังสนใจอยูในสถานะ n ( x ) ดังในสมการ (1.23) เราสามารถคํานวณความไมแนนอนในการบอกตําแหนง่ ่ ่ ของระบบดังกลาวได้โดย1) เริมด้วยการคํานวณ ่Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

่่่Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-18nxˆ dx( x) x( x) 1mn2 n!ndy y2Hn( y)e y2ทังนีเนื่องจาก ้ ้ เป็นฟังชันกคี่ ์ จึงทําให้ผลการ integrate เป็นศูนย์โดยอัตโนมัติ จะได้วา่xˆ 02) หลังจากนันหาคา ้ ่ 2 †ˆx ด้วยการเขียน xˆ aˆaˆ2mดังนัน ้และ2 † † † †xˆ aa ˆˆ aa ˆˆ aˆ aˆ aˆ aˆ2m2 ˆˆˆ ˆˆ†ˆ†ˆ ˆ†ˆ†x dxn( x) aa aa a a a a n( x)2m dxn( x) n n 1 n2( x) ( n 1) n( x) nn( x) n 1 n 2 n2( x)2mเมื่ออาศัยสมบัติความเป็น orthonormality ของ wave function กลาวคือสมการข้างต้นลดรูปเหลือเพียง่ dxm( x) n( x) m,n2 xˆ 2n12mจากผลการคํานวณทังสองขันตอนข้างต้น ้ ้ เราสรุปได้วา ่ uncertainty ในการวัดตําแหนงของอนุภาคภายในระบบดังกลาวคือuncertainty ของ harmonic potentialx 1 nm 2 _______ สมการ (1.35)แบบฝึ กหัด 1.11 จงคํานวณ p ของระบบ harmonic potential โดยสมมุติวาระบบมี wave functionเทากบ ่ ั ( ) ดังในสมการ (1.23) และพิสูจน์ Heisenberg uncertainty principlen xuncertainty ของ harmonic potential 1 xp n 2 _______ สมการ (1.36)Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011

Introduction to Electronic Structure Theory บทที่ 1 - Reviews of Quantum Mechanics 1-19Section 1.4 Hydrogen AtomSection 1.5 แบบฝึ กหัดแบบฝึ กหัด 1.14แบบฝึ กหัด 1.15Dr. Teepanis Chachiyoภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแกน ่ teepanis@kku.ac.th Draft March 2011