полнотекстовый ресурс

Н Е Д А Н К О А Г . П О П О В Т . Я . К 0 Ж Ё В Н И К 0 В 4в ү ш р в ж ш е ш ш м жж з а д а ч а хш о з т ш т е、п н в у з о в

П. Е. ДАНКО, А. Г. ПОПОВ,Т. Я. КОЖ ЕВНИКОВАВЫСШАЯМАТЕМАТИКАВ УПРАЖНЕНИЯХИ ЗАДАЧАХВ ДВУХ ЧАСТЯХЧАСТЬ I 一Издание четвертое,исправленное и дополненноеДопущеноМинистерством высшего и среднегоспециального образования СССРв качестве учебного пособиядля студентов высшихтехнических учебных заведенийМОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1986ѵ

Б Б К 22.11Д 17У Д Қ 516+517Рецензент: кафедра высшей математикиМосковского энергетического института(зав. кафедрой чл.-кор АН СССР С. И. Похожаев)Данко П. E., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.Д 17 Высшая математика в упражнениях и задачах:для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. I . — 4-е изд.,М.: Высш. шк., 1986.—304 с., ил.В пер.:1Учеб. пособиеиспр. и доп. 一Содержание I части охватывает следующие разделы программы* аналитическуюгеометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций однойи нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной независимой переменной,элементы линейного программирования.В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовыезадачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач длясамостоятельной работы.1702000000— 丨 12 Б Б Қ 22.11001 (0 1 )— 86 72— 86 517Павел Ефимович Данко, Александр Георгиевич Попов,Татьяна Яковлевна КожевниковаВЫСШАЯ М АТЕМ АТИ КА В УП РАЖ Н ЕНИЯХ И ЗАДАЧ АХЧАСТЬ IЗав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова. Научный редакторЕ. С. Мироненко. Редактор А. М. Суходский. Мл. редакторы С. А. Доровских, М. А. Бабаркина.Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор Э. М. Чи-

О Г Л А В Л Е Н И ЕПредисловие к четвертому изданию « • • ................................. 5Из предисловий к первому, второму и третьему изданиям , і * * * ,!• 5Глава I • Аналитическая геометрия на плоскости§ 1 . Прямоугольные и полярные координаты • • * .................................. 6§ 2. Прямая. .............................................................................................................15§ 3. Кривые второго п о р я д к а ................./............................................ 25§ 4. Преобразование координат и упрощение уравнений кривы х второгоп о р я д к а ........................................................................................................ 32§ 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейныхуравнений с двумя и тремя неизвестными • • , ,,• • ,* , * 39Глава / / . Элементы векторной алгебры1.2.3.Прямоугольные координаты в пространстве.......................................... 44Векторы и простейшие действия над ними.............................................. 45Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение , . 48Глава I I I . Аналитическая геометрия в пространстве§ 1 . Плоскость и п р я м а я ....................................................................................... 53§ 2. Поверхности второго порядка. ................................................................... 63Глава I V . Определители и матрицы§ 1§ 2Понятие об определителе n-го порядка....................................................§ Линейные преобразования и матрицы.......................................................3 Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностейвторого порядка .......................................................................§§ Ранг матрицы. Эквивалентные м а т р и ц ы ..............................................4§ Исследование системы т линейных уравнений с п неизвестными .5§ Решение системы линейных уравнений методом Г а у с с а .................6 Применение метода Жордана — Гаусса к решению систем линейныхуравнений .................................. ,,. ,• • ,•7Глава V. Основы линейной алгебры1.2.Т4.5.6.7.Линейные пространства.......................................................................Преобразование координат при переходе к новому базису .П о д п ростр анства...................................................................................Линейные преобразования...................................................................Евклидово пространство......................................................................Ортогональный базис и ортогональные преобразования . . . .Квадратичные формы • â .........................Г лава V I . Введение в анализ1.2.3.4.5.Абсолютная и относительная п о гр е ш н о с т и .................Ф ункция одной независимой переменной .....................Построение графиков ф ункций...........................................Пределы................. ......................................................... ............Сравнение бесконечно малых...................... ....Непрерывность функции • • • 4707418688819911J431101 9и01и11514282316337404247493

Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.§§ 6.ОтнятыПроизводная и диф ференциал..................................................................Исследование ф у н к ц и й ...............................................................................Кривизна плоской линии ...........................................................................Порядок касания плоских кривых ..........................................................Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная . • •Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизнаи кручение ................................................................................................Глава VIII • Дифференциальное исчисление функций нескольких независимыхпеременных1234Область определения функции. Линии и поверхности уровня . •Производные и дифференциалы функций нескольких переменных •Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . . . . .Экстремум функции двух независимых переменных * • • ,,,,Глава IX. Неопределенный интеграл1.2.3.4.5.Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрированиепо ч а с т я м ........................................................................................Интегрирование рациональных д р о б е й ..................................................Интегрирование простейших иррациональных ф у н к ц и й .................Интегрирование тригонометрических функций .................................Интегрирование разных функций ,,. • ,,• • ,,,• ,• 毒Глава X. Определенный интеграл§ 1§ Вычисление определенного интеграла....................................................2§ Несобственные интегралы . . ' ...............................................................3§ Вычисление площади плоской ф и г у р ы ..............................................4§ Вычисление длины дуги плоской кривой ..........................................5§ Вычисление объема тела............................................................................6§ Вычисление площади поверхности в р а щ е н и я .................................§7 Статические моменты и моменты инерции плоских д уг и фигур§ 8 Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена . .§ Вычисление работы и давления ..........................................................910Некоторые сведения о гиперболических ф у н к ц и я х .....................Глава XI. Элементы линеиного программирования§し§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.Линеиные неравенства и область решений системы линейных неравенств.................• .............................................................................................271Основная задача линейного програм м ирования................................. ......274Симплекс-метод...................................................................................................... 276Двойственные з а д а ч и ..........................................................................................287Транспортная задача ................................................................................... ......2885 16 706 3858519и922000 81 829344222222222224 34 75 15 45 55 75 86 06 26 6

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ'По сравнению с третьим изданием книги были сделаны следующие измененияи дополнения.Во II часть включена новая глава «Основы вариационного исчисления»,добавлен раздел об интерполировании функций на основе приближения сплайнами.Сделаны добавления по элементам теории поля и уравнениям математическойфизики. Увеличено число задач по определенным и кратным интегралам,а также в других разделах. Произведены улучшения методического характераи исправлены замеченные опечатки.В настоящем издании используются следующие обозначения: начало и конецрешения задачи отмечаются соответственно знаками Д и ▲ , а вместо слова«Указание» употребляется знак ф .Авторы признательны канд. физ.-мат. наук доц. В. А. Богачеву и канд.физ.-мат. наук Т. А. Малаховой за помощь в написании основ вариационного,исчисления и интерполирования функций сплайнами.Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательностьзав. кафедрой высшей математики МЭИ, чл.-кор АН СССР С. И. Похожаеву,канд. физ-.мат. наук., доц. Т. В. Лоссиевской, А. Б. Крыгину и П. А. Шмелеву,канд. физ.-мат. наук, ст. препод. А. Л. Павлову и В. И. Ä 中 анасьеву, сделавшимценные методические замечания и предложения, способствовавшие улучшениюэтой книги.ÛАвторыИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ К ПЕРВОМУ, ВТОРОМУИ ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЯМПри написании книги 《Высшая математика в упражнениях и задачах» авторыстремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса на систематическиподобранных упражнениях и задачах.В пособие включены типовые задачи и даются методы их решения. Каждомупараграфу предшествует краткое введение, состоящее из определений и основныхматематических понятий рассматриваемого раздела. При этом наиболее трудныевопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий(без доказательств).Первое издание (в трех частях) вышло в 1967 — 1971 гг. Второе издание(в двух частях) вышло в 1974 г., а третье (также в двух частях)— в 1980 г.При написании пособия авторы использовали некоторые методические приемыи задачи из книг: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегральногоисчисления, т. I — III; Курант Р. Курс дифференциального и интегральногоисчисления, т. I, II; Гюнтер Н .М . и Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшейматематике, т. I — III; Демидович Б. П. и др. Сборник задач и упражнений поматематическому анализу; Фролов С. В., Шостак Р. Я. Курс высшей математики.За помощь в оформлении учебного пособия и проверки правильности ответовк задачам авторы признательны всему коллективу сотрудников кафедры высшейматематики Ростовского-на-Дону института инженеров железнодорожного транспорта.Авторы

ГЛАВА IАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИП РЯМ ОУГОЛЬНЫ Е И П ОЛ ЯРН Ы Е КООРДИНАТЫ1 . Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении. Точку Мкоординатной оси Ох, имеющую абсциссу х, принято обозначать через М (л:).Расстояние d между точками М г (xij и А42 (х2) оси при любом расположенииточек на оси определяется формулойd = \x2 一 Xi |. (1)Пусть на произвольной прямой задан отрезок A B (A 一 начало отрезка, грезк В ■его конец); тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок A Bтором отношении 入 ,где 入 = 土 |Л С |:|С *0 |. Если отрезки АС и СВ направленыв одну сторону, то Я приписывают з н а к 《+ 》;если же отрезки АС и СВ направленыв противоположные стороны, то X приписывают зн а к 《 一 》.Иными словами,入 положительно, если точка С лежит между точками Л и В и отрицательно,если точка С лежит на прямой вне отрезка A B .Если точки A w В лежат на оси Ох, то координата точки С (л:), делящейотрезок между точками A (х^) и В (х2) в отношении 入 ,определяется по формулеХл -f- 入у ------- !---- ズ2 -1 + 人 _一частности, при 入 = 1 получается формула для координаты середины отрезкаマ Xi -f-x 21 . Построить на прямой точки А (3), В (—2) ,С (0), D І У 2),£ ( —3,5).2. Отрезок AB четырьмя точками разделен на пять равныхчастей. Определитьесли А (—3), В (7).координату ближайшей к А точки деления,Д Пусть С (X) — искомая точка; тогда Х = | А С \:\ СВ | = 1 /4 . Следовательно,по формуле (2) находим一 __ズ1 + 入 ズ2 -3 + (1/4)71+ 入 1 + 1 /43. Известны точки А ( 1 ) , ß (5) — концы отрезка A ß ; вне этогоотрезка расположена точка С,причем ее расстояние от точки Ав три раза больше расстояния от точки В. Определить координатуточки С.Д Нетрудно видеть, что \ = — |Л С |:1 В С |= —теж). Таким образом,-3.5-7у т. е. С (7). ▲^3~ =1 , т. е. С (— 1 ) . ▲(2)(3)(рекомендуем сделать чер-4. Определить расстояние между т о ч к а м и :1) М (3) и N {—5);2) Р (-1 1 /2 ) и Q (—5/2).

5. Найти координаты середины отрезка, если известны его концы:1) А ( - 6 ) и В (7); 2) С (—5) и D (l/2 ).6. Найти точку М , симметричную точке N (—3) относительноточки Р(2).7. Отрезок AB двумя точками разделен на три равные части.Определить координаты точек деления, если А (— 1) ,В (5).8. Даны точки А (—7),В (—3). Вне отрезка AB расположеныточки С и D, причем | С А | = | BD\ = 0,5 \А В \. Определить координатыточек С я D.2. Прямоугольные координаты на плоскости. Простейшие задачи. Если наплоскости задана прямоугольная декартова система координат хОу, то точку Л1этой плоскости, имеющую координаты х и у ,обозначают М (х\ у).Расстояние d между точками (хі, и М 2 (х2\ У2) определяется по формулеd=y~ (х2— ズі)2 + (" 2 —Уі)2» (1)В частности, расстояние d точки Ai (х\ у) от начала координат определяетсяпо формулегдеd = \ r х2 + у2- (2)Координаты точки С (х; у), делящей отрезок между точками A (х ^ у^) иВ (д:2;У2) в заданном отношении \ (см. п . 1),определяются по 中 ормулам— —ズІ + 入 ズ2 • T._ "1 + 入 "2 /очx 一 i+l ’ lJ- 1 + 入 。 い)В частности, при 入 = 1 получаются формулы для координат середины отрезка:フ= 宇 ; (4)Площадь треугольника с вершинами А (хх\ yj), В (х2\ г/2), С (х3\ у 3) определяетсяпо формуле="2 Х1 (У2 一 Уз) + Х2 ("3 — У і)+ Х3 ІУІ 一 У2)^~2 丨 (ズ2 — ぶ1) (У3 一 " i ) — (ズз— xi ) {Уг 一 Уі)I. (5)Формулу для площади треугольника можно записать в виде5 = 4 - 1 а I,- (6)1 —-ズ23" 2X^ 3Уі Уі Уз(понятие об определителе третьего порядка дано в § 5 этой главы).1.A 379. Построить на координатной плоскости точки А (4; 3), В (—2;5),10. Определить расстояние между точками А (3; 8) и В (—5;14).Д Воспользовавшись формулой (1), получим- Ү ( 一 5 — 3 ) 2 + (1 4 — 8)2 = ド 64 + 3 6 = 1 0 .

1 1 .Показать, что треугольник с вершинами А (—3; —3) ,В (— 1;3),С ( 1 1 ;— 1)— прямоугольный.А Найдем длины сторон треугольника:ІАВІ^У (— l+ 3 ) 2-f(3 + 3)2- | /'4Ô,I ßc 丨 = у ' (ТГ+1)2+(—Г—äp = i/Тбо,… 一 \А С \ = У ( l T + З)2 + ( ― 1 + З )2 = ]A2ÖÖ.Так как | ス ß | 2 = 40, |ß C |s-1 6 0 , |Л С |2 = 200, то | Л0 |2 + | ВС |2- | ЛС |2.Таким образом, сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадратудлины третьей стороны. Отсюда заключаем, что треугольник ЛВС прямоугольныйи сторона АС является его гипотенузой. ▲12. Известны точки А (—2; 5),В (4;17) — концы отрезка AB.На этом отрезке находится точка С, расстояние которой от А в двараза больше расстояния от В. Определить координаты точки С.Д Так как | АС | = 2 | СВ |, то к = \ АС |:| СБ | = 2. Здесь — 2,д:2 = 4 , 夕 2 =17; следовательно,т. е. С (2;13). ▲13. Точка С (2; 3) служит серединой отрезка AB. Определитькоординаты точки Л ,если В(7; 5).А Здесь х = 2, t / = 3 } х2 = 7 , 妁 = 5 ,откуда 2 ^ ( ^ + 7)/2, 3 = (г/і + 5)/2. Следовательно,х±= —3,/ / ! = 1 , т. е. А (—3 ; 1 ) . ▲14. Даны вершины треугольника A B C :A (х^ В (х2; " 2),С (л:3; уь). Определить координаты точки переселения медиан треугольника.Д Находим координаты точки D — середины отрезка А В\ имеемyD ~ {yi~ \-y^)ß - Точка М , в которой пересекаются медианы, делиг отрезок CDв отношении 2:1,считая от точки С. Следовательно, координаты точки М определяютсяпо формуламт. e.Окончательно получаем— ズз + て "3 -\- ^УоT, + 2 (хг4-х2)/2 —_ 1/3 + 2 (ï/i + J/2)/2X— 3 ," — 3 •T . ズ1 + ズ2+ ぶ3 — Уз 4з , " = з • 裊15. Определить площадь треугольника с вершинами А (— 2; —4),5 (2 ; 8) и С (10; 2).Д Используя формулу (5), получаем5 = ÿ | (2 + 2) (2 + 4 ) - ( І 0 + 2) (8 + 4) | = -11 2 4 -1 4 4 | = 60 (кв. ед.). ▲16. Определить расстояние между то чка м и :1) А (2; 3) и В (— 10;-2 ); 2) С (/2 ; - V I ) и D (2K2; 0).

17. Показать, что треугольник с вершинами А (4; 3), В (7; 6) иС (2 ;1 1 )— прямоугольный.18. Показать, что треугольник с вершинами А (2 ;—1) ,В (4; 2)и С (5;1)~ равнобедренный.19. Даны вершины треугольника: А (—1 ; —1), В (0; —6) иС (— 1 0 ;—2). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.20. Даны концы отрезка A B: А (—3; 7) и В (5;11). Этот отрезоктремя точками разделен на четыре равные части. Определить координатыточек деления.2 1 .Найти площадь треугольника с вершинами А (1;5), В (2; 7),С (4;11).22. Даны три последовательные вершины параллелограмма:Л (11;4),В (—1 ; —1),С (5; 7). Определить координаты четвертойвершины.23. Даны две вершины треугольника А (3; 8) и В (10; 2) и точкапересечения медиан M ( 1 ;1 ) .Найти координаты третьей вершинытреугольника.24. Даны вершины треугольника: А (7; 2),В (1;9) и С (—8 ;— 11).Найти расстояния точки пересечения медиан от вершин треугольника.25. Точки L (0; 0) ,М (3; 0) и N (0; 4) являются серединамисторон треугольника. Вычислить площадь треугольника.3. Полярные координаты. В полярной системе координат положение точки Мна плоскости определяется ее расстоянием | ОМ \ ~ р от полюса О (р 一 полярныйрадиус-вектор точки) и углом Ѳ, образованным отрезком ОМ с полярной осью Ох(Ѳ 一 полярный угол точки). Угол Ѳ считается положительным при отсчете от полярнойоси против часовой стрелки.Если точка М имеет полярные координаты р > 0 и 0 ^ Ѳ < 2я, то ей жеотвечает и бесчисленное множество пар полярных координат (р; Ѳ+ 2々я), гдеk ミ г.Если начало декартовой прям оугольной системы координат совместить с полюсом,а ось Ох направить по полярной оси, то прямоугольны е координаты х \\ уточки М и ее полярные координаты р и Ѳ связаны следующими формулами:х = р cos Ѳ, ï/ = p sin Ѳ; (1)tgÖ = 砂 . (2)ч26. Построить точки, заданные полярными координатами:А (4; л/4), В (2; 4л/3), С (3; —я/6), D (—3; я/3), Е (0; а),F (— 1 ; —Зя/4).27. Найти полярные координаты точки M (1; —Y З), если полюссовпадает с началом координат, а полярная ось— с положительнымнаправлением оси абсцисс.Д На основании равенств (2) находим 12+ ( — У~ 3)2 = 2; tg ö = 一 У 3.Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно, Ѳ= 5я/3.Итак, М (2; 5я/3). ▲28. Найти прямоугольные координаты точки A (2 \^ 2; Зл/4),если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направленапо оси абсцисс.

А —Используя формулы (1), имеем х = 2)/" 2 cos (Зл/4) = 一 2, у == 2ў~ 2 sin (Зл/4) = 2. Итак, А (—2; 2). Д29. Найти полярные координаты точек: A ( 2 V 3; 2) ,В (0; — 3),С (—4; 4), D ( j/2 , - V 2 ) , E ( - К 2 ; - К б ) , F ( - 7 ; 0).30. Найти прямоугольные координаты точек: А (10; я/2), В (2; 5л/4),3 1 . Определить расстояние между точками М х (р^, Ѳх) и М 2(р2; Ѳ2).в Применить к треугольнику ОМхМ 2 теорему косинусов.32. Определить расстояние между точками М (3; я/4) и N (4; Зя/4).33. Найти полярные координаты точки, симметричной точкеМ (р; Ѳ) относительно полярной оси.34. Найти полярные координаты точки, симметричной точкеМ (р; Ѳ) относительно полюса.35. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам(3; я/б), (5; 2я/3) и (2; — я / 6 ) : 1 ) относительно полюса; 2) относительнополярной оси.36. Найти полярные координаты точки, симметричной точкеМ (р; Ѳ) относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярнополярной оси.4. Уравнение линии. Пусть некоторой линии на плоскости хОу, рассматрИ'ваемой как множество точек, соответствует уравнение, связывающее координатылюбой точки М (х; у) (《текущей точки》),лежащей на этой линии. Такое уравнениеназывается уравнением данной линии.Если в уравнение данной линии подставить координаты любой точки, лежащейна этой линии, то уравнение обращается в тождество. Если же в уравнениелинии подставить координаты любой точки, нё^принадлежащей этой линии, тоуравнение не удовлетворяется.37. Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой 一по оси ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединойэтого отрезка, если длина отрезка равна с.Д Пусть М (х\ у) — середина отрезка. Длина отрезка ОМ (длина медианы)равна половине гипотенузы, т. е. | ОМ | = с /2 . С другой стороны, | ОМ. | = Y x^-\-yz(расстояние точки М от начала координат).Таким образом, приходим к уравнениюV x2-\-y2~ c j2 f или х2-5г у2 = с 2/^.Это и есть уравнение искомой линии. Геометрически очевидно, что этой линиейявляется окружность радиуса с/2 с центром в начале координат. ▲38. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которойот точки 尸 (0;1/4) равно расстоянию этой же точки от прямойу = — 1/4.ハ Возьмем на искомой линии произвольную точку М (х\ у). Расстояниеточки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками:\мғ\= у (ズ-0)2+ ( 卜 士 ) '10

Расстояние точки М от прямой у =ских соображений (р и с .1):-1/4 найдется из простых геометриче-Так как по условию равенство | M F | = | M N | выполняется для любой точки М ,лежащей на искомой линии, то уравнение этой линии можно записать в видеТ.илиУ ズ2+ い- т ) = " + Т ,т. е. у = х \ иЛиния, определяемая уравнением у = х2,называется параболой. ▲39. Составить уравнение множества точек,произведение расстоянийкоторых от точек Ғ ±(а; 0) и Ғ2 ( 一 а; 0) есть постоянная величина,равная а2.Д Возьмем на искомой кривой произвольную точку М (х; у). Ее расстоянияот точек F i (a i;0) и F 2 (— a; 0) составляют r 1= V ( x — a)2 + ^ 2,r^ — Y (^ + û)2+ ï/2.Из условия задачи следует, что гіГ2^=а2. Такимобразом, искомая кривая имеет уравнениеУ (л;—а)2-\-у2 • У (лг + а)2+^/2 = а2.Приведем это уравнение к рациональному виду:(х2 + а2 + ゲ 一 2ах) (х2 + а2 + г/2 + 2ад:) = а4,(х2 + а2+ ダ2)2 — 4а2л:2 = а4,или, наконец,(х^-\-у2)2 = 2а2 (х2— у2).Найденная кривая называется лемнискатой. ▲40. Составить уравнение лемнискаты в полярных координатахи построить кривую./ \ В уравнении (д:2-)-г/2)2 = 2а2 (х2— у2) (см. предыдущую задачу) переходимк полярным координатам по формулам х = р cos Ѳ, у = р sin Ѳ. Тогда получим(р2 cos2 Ѳ+ р2 sin2 Ѳ)2 = 2а2 (р2 cos2 Ѳ— p2 sin2 Ѳ), или p2 = 2a2 cos 2Ѳ.Это— уравнение лемнискаты в полярных координатах.Построим кривую. Разрешив уравнение относительнор, находим р = ± а У ^"2 cos 2Ѳ.Из того, что в правой части равенства стоит двойной знак 《 土 》, а также из того,что уравнение не меняется при замене Ѳ на — Ѳ, заключаем, что лемниската расположенасимметрично относительно осей Ох и Оу. Исследуем форму лемнискатыдля I четверти, т.е. для случая 0, ( Х Ѳ く я/2. Для этих значений р и Ѳимеем р = а 2* У cos 2Ѳ. Нетрудно видеть, что Ѳ может изменяться тольков промежутке от 0 до л/4. Таким образом, соответствующая часть кривой заключенамежду полярной осью и лучом Ѳ = я/4. Если Ѳ= 0, то p = û У 2. С возрастаниемѲ от 0 до л/4 величина р убывает до значения р = 0.Приняв во внимание соображения симметрии, мы можем построить лемнискату(рис. 2). ▲11

4 1 .Составить уравнение множества точек, равноудаленных отточек Л (1 ;1 )и В (3; 3).Д Пусть точка М принадлежит искомому множеству; тогда | M A | = | M B |.По формуле расстояния между двумя точками находим\М А \ = Ѵ ( х - \ ) 2 + ( у - \ ) \ \ М В \ ^ У (ズ— 3 )2 + ("— 30и уравнение линии может быть записано в видеV (Л:- 1)2+ ( < /- ! ) ' = V ( х - з г + ( у - з ) \Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получимл:2— 2л;+1 + і/2 — 2 і/+ 1 = л :2— бл: + 9 + і/2— 6г/+9,-откуда после приведения подобных членов окончательно приходим к уравнениюх-\~у— 4 = 0. Итак, искомым множеством является прямая, которая, как известно,служит серединным перпендикуляром к отрезку AB. ▲42. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемусяравномерно около полюса. Составить уравнение линии, описаннойточкой М , если в начальный момент вращающийся луч совпадаетс полярной осью, а точка М — с полюсом; при повороте же лучана угол Ѳ = 1 (один радиан) точка М удалилась от полюса на расстояниеа.А Поскольку в начальный момент величины р и Ѳ равны нулю, а затемобе возрастают пропорционально времени, нетрудно установить, что они связаныпрямой пропорциональной зависимостью: p/0 = const. Но р = а при Ѳ = 1 ; следовательно,р/Ѳ = а/1, т.е. р = û0. Кривая р = а0 называется спиралью Архимеда. ▲43. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешнейстороне другой окружности такого же диаметра. Составить в полярныхкоординатах уравнение линии, описанной некоторой фиксированнойточкой катящейся окружности.Д На рис. 3: Сі — первоначальное положение центра катящейся окружности;А — первоначальное положение точки, описывающей искомую линию (точка Адиаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаютсяокружности); С2 — центр неподвижной окружности; С3 一 центр катящейся окружностив новом положении; М — новое положение точки Л, описывающей искомуюлинию. (После перемещения окружности С і в положение С3 точка Р займет по.12

ложение Q. Точка В займет положение D ,причем, поскольку качение происхо-^ z--^ Z 、дит без скольжения, BQ ニD Q ,QC2B ニQC3D.)На чертеже показано положение полюса О и полярной оси Ох. Требуетсясоставить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (р; Ѳ)искомой линии.ノ-----、 ^Легко установить, что MC3Q = OC2Q, в силу чего четырехугольник ОС2С3Мявляется равнобедренной трапецией с меньшим основанием | С2С3 1= а ; С2С2 нС3С3— перпендикуляры, опущенные из точек С2 и С3 на прямую ОМ. Итак,р = 丨 丨 + 丨 С2С3 j + f СなМ 丨 = cos Ѳ+ cos Ѳ= ß (1 + cos Ѳ).Таким образ эм, уравнение искомой линии в полярных координатах имеет видр = а (1 + cos Ѳ); эта кривая называется кардиоидой.Поскольку при замене Ѳ на — Ѳ уравнение кардисиды не меняется, кардиоидарасположена симметрично относительно полярной оси. Если Ѳ изменяется от Одо л, то р убывает от 2а до 0. ▲44. Найти уравнение множества точек,равноудаленных от точекЛ(2; 0) и ß ( 0 ; 1).45. Какая линия определяется уравнением х = у?46. Какая линия определяется уравнением х = — iß47. Составить уравнение множества точек,сумма квадратов расстоянийкоторых от точек Л(2; 0) и В (0; 2) равна квадрату расстояниямежду точками А и В.48. Составить уравнение множества точек, сумма расстоянийкоторых от точек Л(1;0) и В (0 ;1 )равна 2.49. В полярной системе координат составить уравнение окруж ­ности с центром в полюсе.50. В полярной системе координат составить уравнение полупрямой,проходящей через полюс и образующей с полярной осьюугол а.5 1 .В полярной системе координат составить уравнение окруж ­ности диаметра а, если полюс лежит на окружности, а полярнаяось проходит через центр окружности.5. Параметрические уравнения линии. При отыскании уравнения множестваточек иногда оказывается более удобным выразить координаты х н у произвольнойточки этого множества через некоторую вспомогательную величину t (ее называютпараметром), т.е. рассматривать систему уравнений д: = ф (/), у — (t).Такое представление искомой линии называется парометрическим, а уравнениясистемы — параметрическими уравнениями данной линии.Исключение параметра t из системы (если оно возможно) приводит к уравнению,связывающему х и t/f т. е. к обычному уравнению линии вида / (х} у) = 0.52. Составить параметрические уравнения окружности.Д Рассмотрим окружность ралиѵса а с центром в начале координат (рис. 4).Возьмем на ней произвольную точку Ai (х\ у). Примем за параметр t угол, образованныйс осью абсцисс радиусом ОМ. Из треугольника OMN следует, чтол* = a cos t y у = а sin t. Таким образом, уравнениях = а cosу ~ а sin tявляются параметрическими уравнениями окружности.Исключив из этих уравнений параметр t ,получим обычное уравнение ок руж ­ности. В данном случае для исключения параметра достаточно каждое из уравненийвозвести в квадрат и полученные уравнения сложить: х2-^-у2=:а2 cos21 -}•13

+ a2 sin2 t, т.е. х2-\-у2 = а2. Последнее уравнение является уравнением окружностирадиуса а с центром в начале координат. ▲53. Составить параметрические уравнения кривой, описаннойфиксированной точкой окружности, катящейся без скольжения понеподвижной прямой.Л Пусть окружность радиуса а катится без скольжения вправо по горизонтальнойпрямой (рис. 5). Примем эту прямую за ось Ох, поместив начало координатв некоторой точке О оси. За фиксированную точку окружности (перемещениемкоторой образуется искомая кривая) примем ту ее точку, которая совпадаетс точкой О при соответствующем положении окружности. За параметр t примемугол поворота радиуса окружности, проходящего через фиксированную точку.Пусть в некоторый момент времени окружность касается оси в точке А.Фиксированная точка окружности займет положение М (х\ у), соответствующееуглу t поворота радиуса СМ ( t = Æ M ) . Так как качение происходит без скольжения,то I О А I = M A = ^a t. Используя это, выразим координаты точки М через t:х = \ ON | = | О А I — I АМ | = М Л — I NA \ = a t— a sin t = a ( t— sin り,y = \ N M | = | AP | = | АС I 一 JPC \ = a— a cos t = a (1— cos t).Таким образом, параметрические уравнения искомой линии имеют видx = a ( t — s in /),У = а (1— cos t).Эта линия называется циклоидой] она изображена на рис. 5. ▲54. Какая линия определяется параметрическими уравнениямиx = / 2, = / 2?А Исключая параметр t, приходим к уравнению у = х . В силу параметрическихуравнений 0, у ^ :0. Следовательно, данные параметрические уравненияопределяют луч — биссектрису I координатного угла. ▲55. Какая линия определяется параметрическими уравнениямиA;= COS /, у = COS2 t?А Подставив x вместо cos t во второе уравнение, получаем уравнение параболыу = х2. Из параметрических уравнений следует | ズ |く 1,О ^ г / ^ 1. Такимобразом, параметрические уравнения определяют дугу АОВ параболы у = х2,где56. Какая линия определяется уравнениями x = sin /, y=œ sec t?А Так как у = 1/sin /, то, исключив / ,получаем уравнение у = \ / х , выражающееобратную пропорциональную зависимость величин х н у . Учитывая, что

1^1 ^ 1 , I г/1 ^ 1 , заключаем, что линия, заданная параметрическими уравнениямиA:= sin /, y = cosec /, имеет вид, изображенный на рис. 6. ▲57. Какая линия определяется уравнениями x = 2t, г/= 4/?58. Кривая задана параметрическими уравнениями x = acos /,у ニ b s\n t . Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.@ Разделить первое уравнение на а, второе 一 на Ь,а затем исключить /.59. Кривая задана параметрическими уравнениями x = asec t,y = b tg t. Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.^ 60. Какая линия определяется уравнениямиX = cos2 1, y = s\n21?6 1 . Кривая, определяемая параметрическимиуравнениями x — a cos31, y = asin3/, называетсяастроидой. Исключив t, найти уравнениеастроиды в прямоугольной системе координат.62. На к р у г,описанный из центра О радиусома, навернута по часовой стрелке нить; пустьконец нити находится в точке А (а\ 0). Станемразвертывать нить (против часовой стрелки),сматывая ее с коуга и все время натягивая законец. Составить параметрические уравнения кривой,описываемой концом нити, если за параметрt взять угол между радиусом ОА и радиусом ОВ, проведеннымв точку касания окружности с натянутой нитью в произвольномположении последней.§ 2. ПРЯМАЯ1 . Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени относительноx и t/f т. е. уравнение видаАх + В у + С = 0 (1)(где А, В и С— постоянные коэффициенты, причем А 2-\-В 2 ф 0) определяет наплоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.Ч а с т н ы е с л у ч а и . 1 . С = 0; Л ^ О ; ß 关 0. Прямая, определяемая уравнениемА х -\-Ву = 0, проходит через начало координат.2. Л = 0; В Ф С Ф 0. Прямая, определяемая уравнением Ву-\-С = 0 (илиу ==Ь, где Ь = — С/В), параллельна оси Ох.3. В = 0\ Л 0; С тс 0. Прямая, определяемая уравнением Лл:+С = 0 (илих = а,где а — — С/А), параллельна оси Оу.4. В = С = 0\ Л 0. Прямая, определяемая уравнением Ах = 0 (или ズ= 0 ,поскольку А ф 0)t совпадает с осью Оу.5. А = С = 0\ В ф 0. Прямая, определяемая уравнением В у = 0 (или y = 0tпоскольку Б 0), совпадает с осью Ох.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнениипрямой В ф 0t то, разрешив его относительно у, получим уравнение видау = кх-\-Ь (2)(здесь k = —А/В, b ■= 一 С/В). Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом,поскольку 々= t g a ,где а — угол, образованный прямой с положительнымнаправлением оси Ох. Свободный член уравнения b равен ординате точкипересечения прямой с осью Оу.15

3. Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой С 7= 0, то,разделив все его члены на 一 С, получим уравнение вида(здесь а — — С !А, Ь ~ — С/В) . Его называют уравнением прямой в отрезках', в нема является абсциссой точки пересечения прямой с осью Ох, a b 一 ординатой точкипересечения прямой с осью Оу. Поэтому а и b называют отрезками прямой наосях координат.4. Нормальное уравнение прямой. Если обе части общего уравнения прямойバズ+ ß " + C = 0 умножить на число \і = \ ! { ± Ү Л2-4~В2) (которое называется нормирующиммножителем), причем знак перед раликалом выбрать так, чтобы выполнялосьусловие < 0, то получится уравнениеx cos ф + г/ sin ф — р — 0. (4)Это уравнение называется нормальным уравнением прямой. Здесь р — длина перпендикуляра,опущенного из начала координат на прямую, а ф— угол, образованныйэтим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.63. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординатотрезок Ь = —3 и образующей с положительным направлением осиабсцисс угол а = я,/б.Д Находим угловой коэффициент: k ~ t g (я /б )= l/ jA 3. Воспользовавшисьуравнением (2) прямой с угловым коэффициентом, получаем у = {Х ІѴ ' З) х — 3;освобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую часть, получаемобщее уравнение прямой х — У~3 у — 3 У 3 = 0. ▲64. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координатотрезки а = 2/5, Ь = — 1/10./ \ Воспользовавшись уравнением (3) прямой в отрезках, имеем2/5 丨 (-1 /1 0 ) ぃЭто уравнение можно переписать б виде (5/2) х — \ 0 у = \ , или Ъх— 20//— 2 = 0(общее уравнение прямой). ▲65. Дано общее уравнение прямой 12х— 5у — 65 = 0. Написать:1 ) уравнение с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках;3) нормальное уравнение.Д 1) Разрешив уравнение относительно у, получаем уравнение прямой с угловымкоэффициентом:у = (12/5) x — 13.Здес ь h — 12/5, b — 13.2) Перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделимобе части на 65; имеем (12/65)ズ 一 (5/65) і/ — 1 . Переписав последнее уравнениев виде65/12 (—65/5):1,получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь а — 65/12, & — 一 65/5 = — 13.3) Находим нормирующий множитель і/}^ 1 2 2 + (—5)2= 1/13. Умноживобе части общего уравнения на этот множитель,получаем нормальное уравнениепрямой(12/13)д:— (5/13) ï/ — 5 = 0.Здесь cos

66. Построить прямые:— 2 = 0; 4) 2 " + 7 ニ 0.1 ) x— 2 " + 5 = 0; 2) 2xJr3y = 0\ 3) 5 x—Д 1 ) Полагая в уравнении л: — 0, получаем у = 5/2. Следовательно, прямаяпересекается с осью ординат в точке В (0;5/2). Полагая у ~ 0 , получаем х ~ — Ъ,т. е. прямая пересекается с осью абсцисс в точке А (—5; 0). Остается провестипрямую через точки А п В (рис. 7).2) Прямая 2д:+ 3// = 0 проходит через начало координат, так как в ее уравненииотсутствует свободный член. Дадим х в уравнении прямой какое-нибудьзначение. Пусть, например, л: = 3, тогда 6 + 3(/ = 0, т. е. у ==—2; получим точкуМ ( 3 ; —2). Остается через начало координат иточку М провести прямую.3) Разрешив уравнение прямой относительнох у получим x = 2 5. Эта прямая параллельна осиординат и отсекает на оси абсцисс отрезок, равный2/5.4) Аналогично получаем уравнение у ~ —7/2;эта прямая параллельна оси абсцисс. ▲67. Уравнение прямой задано в видеРис.(х~г2 У 5)/4 + (у — 2 У 5)/2 = 0. Написать:1 ) общее уравнение этой прямой; 2) уравнение с угловым коэффициентом;3) уравнение в отрезках; 4) нормальное уравнение.68. Какой угол образует с положительным направлением осиабсцисс прямая 2x-j-2t/ — b = 0?69. Определить площадь треугольника, образованного прямой4х + Зг/— 36 = 0 с осями координат.70. Можно ли уравнение прямой 20х + 21г/ = 0 записать в отрезках?7 1 . Построить прямы е:1 ) 4х — 5г/+ 15 = 0; 2) 2х— г/ = 0; 3) 7х—— 1 0 - 0 ; 4) 2у + 3 = 0.72. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординатотрезок 0 = 1 и образующей с положительным направлением осиабсцисс угол а ^ 2 к /3 .73. Прямая отсекает на осях координат равные положительныеотрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника,образованного прямой с осями координат, равна 8 кв. ед.74. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координати точку А (—2; —3).75. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 5)и отсекающей на оси ординат отрезок Ь = 1 .76. Составить уравнения прямых, проходящих через точкуМ (—3 ; —4) и параллельных осям координат.77. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координатравные отрезки,если длина отрезка прямой, заключенного междуосями координат, равна 5 )/2 .5. Угол между прямыми. Уравнение прямой, проходящей через две точки.Острый угол между прямыми y ^ k xx -^ Ьг и y — k^x^-b^ определяется по формулеtgH 織 . ( 丨 )Условие параллельности прямых имеет вид ki — k ^令 еловые перпеьфши^лярности прямых имеет вид kx = — 1/々かГ7

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точкуМ (хх\ уі), записывается в видеУ—Уі = ^ (х—Хі). (2)Уравнение прямойу проходящей через точки М і (хі\ у±) и М 2 (л:2; у2)у записываетсяв видеУ— Уі х 一 х іУг 一 Уі х 2 一 хіи угловой коэффициент этой прямой находится по формулеLУ2 ~ УіЕсли х і = х 2, то уравнение прямой, проходящей через точки и М 2, имеетвид х = х г.Если у і = у2у то уравнение прямой, проходящей через точки и М 2, имеетвид у = уі.а6. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых.Если Л1/Л 2 Ф В ііВ ъ то координаты точки пересечения прямых А1х-{-В 1у-{-С1 = 0и Л2д: + Б2у 4~С*2= 0 находятся путем совместного решения уравнений этих прямых.Расстояние от точки М (х0; у0) до прямой А х-\-В у-\-С = 0 находится по формулеI А х0-\-Вуо + С Iу А 2 + В 2Биссектрисы углов между прямыми + + и Д2ズ+ ß 2y + C2= 0имеют уравненияЛ і Х В і у - \ - Cj と バ2ズ 2.У+ 尸 2 — q (2)(3)(4)О)Если пересекающиеся прямые заданы уравнениями Л1л: + В1у-|-Сі = 0 иА 2х + В2у + С2 = 0, то уравнениеАіХ-\-Віу В Cy— 3 = 0 перпендикулярны.18

Д После приведения уравнении к виду с угловым коэффициентом получаему = (3/5) л:+ 7/5 и у = (— 5/3)ズ+ 1 /2 .Здесь /гі= 3 /5 , k2 = — 5/3. Так как kx = — \/k 2, то прямые перпендикулярны. ▲8 1.Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (—1;3)Д Полагая Хі = 一 1,у і = 3} x2 = 2, t/2 = 5 в уравнении (3) п. 5, получаемУ— 3 — ズ+ 1 У— 3 — х -\-15 =3 —2 + 1 'Итак, искомое уравнение имеет вид 2х— 3 t/-j-1 1 = 0.Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточнопоказать, что координаты точек M w N удовлетворяют уравнению прямой. Действительно,равенства 2 (— 1)— 3 .3 + 1 1 = 0 , 2 .2 — 3 .5 + 1 1 = 0 выполняются тождественно.▲82. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (—2; 4)и В (—2 ; —1).Д Так как х± = х2 = 一 2, то прямая имеет уравнение х — 一 2 (параллельна83. Показать,что прямые Зд: 一 2 "+ 1 = 0 и 2ズ+ 5"— 12 = 0 пересекаются,и найти координаты точки пересечения.Д Так как 3/2 ?= (—2)/5, то прямые пересекаются. Решив систему уравненииI Зд;— 2" + 1= 0 ,\ 2х-\-5у— 12 = 0,находим х = 1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1 ;2 ). ▲84. Определить расстояние от точки М (х0; у0) до прямой Ах ++ ßy + C = 0, не пользуясь нормальным уравнением прямой.А Задача сводится к определению расстояния между точками М (дг0; у0) иN ,где N — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную прямую.Составим уравнение прямой M N . Так как угловэй коэффициент заданнойпрямой равен — А/В, то угловой коэффициент прямой M N равен В/А (из условияперпендикулярности) и уравнение последней имеет вид у — у0 = (В/Л) (х— ズ0). Этоуравнение может быть переписано в виде (х— х0)/А = ( у — у0)/В.Для определения координат точки N решим систему уравненийЛ х + В у + С = 0,Введем вспомогательную неизвестную t:(х—х0)/А = (у— у0)/В.(х _ ズо)М = (У 一 Уо)/^ = たТогда х = х0-\- A t, y = y0-\-B t. Подставив эти выражения в уравнение данной прямой,получим A (xQ-\-A t)-\-B (^0 + ^ 0 + ^ = °» откудаt = — (Лх0 + Ву0 + С)/(Л 2+ が ).Подставив теперь значение t в уравнения x = x0-\-A t и y = y o + B tf определимкоординаты точки N:х — х л ^ х 0 + ^Уо + С Ах0-\-Ву0-\-СХ~ Х° А + s У -У о -в ~ 一 - •19

Остается определить расстояние между точками M п N\с І^ У іх —х;))2+ (у—Уо)2=飞 厂 !А Л х. + Вуо + С ү ( I 0 + С"Ѵ _ I Лх0 + Ву0 + С\= V V ~ л м ^ ノ 十 I ~ ж г в ^ ~ ) — у 'А ^ + т85. Определить расстояние от точки M (1;2) до прямой— 2 1"— 58 ニ 0.Л ^ 120-1— 2 1 -2 -5 8 ] 120— 42— 58 j _ ] —80] _ 0 22Д — У Ш ^ Ш — = 29 = ^ 9 - = 29* А^ 'А20л:—86. Дана прямая 1'Лх— Зу— 7 = 0. Какие из точек А (5/2;1),В (3; 2),С(1; —1) , D (0; —2) ,Е (4; 3),F (5; 2) лежат на этой прямой?Д Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворятьуравнению прямой. Имеем: Л Ç /, так как 4 (5/2)— 3 :1 — 7 = 0; ß 在 / ’ так как4-3— 3-2— 7 右 0;С を I, так как 4 .1 — 3 (— 1)— 7 = 0; D 安 !, так как 4*0— 3 (—2)—一 7 Ф 0;Е らI, так как 4-4 — 3^3 — 7 — 0; F ^ /, так как 4*5— 3.2 — 7 云 0. ▲87. Составить уравнение прямой, проходящей через точкуМ (—2 ; —5) и параллельной прямой Зх + 4r/-f- 2 = 0.Д Разрешив последнее уравнение относительно у 、получиіі у = —(3/4)ズ ー 1/2.Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомойпрямой равен —3/4. Воспользовавшись уравнением (2) п. 5,получаему — (—5) = (—3/4) [х — (—2)], т. е. Зх + 4£/ + 2б — 0. ▲88. Даны вершины треугольника: А (2; 2), В (—2; —8) иС (—б ;—2). Составить уравнения медиан треугольника,Д Находим координаты середин сторон Вし, и A ß:, = (—2 —6)/2 = —4’ ゲ = ( —8 —2)/2 = —5; Лх(—4; —5);лг" = (2 — 6 ) / И ’ у" = (2 — 2 )/2 ^ 0 ; ル ( 一 2; 0);ズ'" = ( 2 — 2)/2 = 0 ; グ " = (2 — 8)/2 = —3; C1 (0;—3).Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей черездве данные точки. Уравнение медианы А А г:(у — 2)/(—5 — 2) = (л :~ 2)/(—4 — 2), или (у — 2)/7 = (х— 2)/G, т. е. 7х 一 6у 一 2 = 0,Находим уравнение медианы BB^\ поскольку точки В (—2; —8) и Вх (—2; 0)имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВг параллельна оси ординат. Ее уравнениех + 2 = 0.Уравнение медианы СХ±: (у + 2)/(—3 + 2) — (.ѵ + 6)/(0+6), или л:+ 6у+ 18 = 0. ▲89. Даны вершины треугольника: А (0;1) ; В (6; 5) и С (12;—1)_Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.Д По формуле (4) п. 5 найдем угловой коэффициент стороны ЛВ; имеемk = 、b— 3)/(ö — 0) = 4 /6 = 2/3. В силу условия перпендикулярности угловой коэффициентвысоты, проведенной из вершины С> равен 一 3/2. Уравнение этой высотыимеет виду -\-1~ (—3/2) (х — 12), илиЗх-\-2у — 34 — 0. ▲90. Даны стороны треугольника: х + Зу — 7 = 0 (AB), 4х— у —— 2 = 0 (ВС), 6х + 8і/ — 35 = 0 (ЛС). Найти длину высоты, проведеннойиз вершины 5.20

Д Определим координаты точки В. Решая систему уравнений х + Зіу— 7 = 0и ^ х —у — 2 = 0, получим х ~ 1 , у ~ 2 , т. е. В (1 ;2 ). Находим длину высоты ВВ±как расстояние от точки В до прямой АС:I6 -1 + 8 -2 — 35]|ß ß il = =1,3.Ÿ 62 + 829 1 . Определить расстояние между параллельными прямыми Зд: +キ у — 3 К іО = 0 и ô xJr 2 yJr SŸ' 10 = 0.Д Задача сводится к определению расстояния от произвольной точки однойпрямой до другой прямой. Полагая, например, в_уравнении первой прямойполучаем у ~ 3 У 10. Таким образом, М (О;3 ]А ю ) — точка, лежащая на первойпрямой. Определим расстояние точки М до второй прямой:16-0 + 2-3 f 10 + 5 Y"ÎÔ\ _ 11 / 'ЮУ 313 + 4 2 / Ю =5,5.92. Составить уравнения биссектрис углов между прямымих -\-у 一 5 = 0 и 7х— у — 19 ニ 0 (рис. 8).Д Решим сначала эту задачу в общем виде. Биссектрисы углов, образованныхдвумя прямыми, являются, как известно, множеством точек, равноудаленныхот этих прямых. Если уравнения заданныхпрямых ЛіД:- 卜 + и А 2х + Ö2^/ ++ С2 —0 {А і/А ^ ^ ВЬ>ВЪ т, е. прямые непараллельны), то для всякой точки Ai (х; у )улежащей на одной из биссектрис, имеем (используяформулу для определения расстоянияот точки до прямой):V Ä i+віV A l + BfСОПоскольку M (.t ; y) — произвольная точка биссектрисы,ее можно обозначать просто черезМ (х, у). Учитывая, что выражения, стоящиев последнем равенстве под знаком абсолютнойвеличины, могут иметь разные знаки, получаем для одной из биссектрис уравнение*а для д р у го й - -уравнениеV А І+ віі^ а!+ BtАхх~\- В^-^Сх ん д: +V Al + BÎ V A l + WiТаким образом, уравнения обеих биссектрис можно записать в видеАуХ-^-Вҳу^Сҳ + Л2д: + Д2" + С2 __ 门Ѵ а і + в і V а і + в і •Теперь решим поставленную конкретную задачу. Заменив А і , Ви Сі,B2f С2 их значениями из уравнений заданных прямых-, получимх + у — Ъ 7 х ~ у ~ \ 9V T T ï К 4 9 + 1 " =0,т. g. 5 (х + у — 5) 土 {J x — у — 19) = ()•2Î

Уравнение одной из биссектрис записывается в видеЬ (х -\-у — 5) + (7дг— у 一 19) = 0 , т. е. Зх + у — 11=0,’а уравнение другой— в виде5 (х-\-у—5) 一 {Jx 一 у 一 19) =0, т. e. х 一 3^/ + 3 = 0. ▲93. Даны вершины треугольника: А (1;1) , В (10; 13), С (13; 6).Составить уравнение биссектрисы угла А.Л Воспользуемся другим (по сравнению с решением предыдущей задачи) способомсоставления уравнения биссектрисы.Пусть D — точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисывнутреннего угла треугольника следует, что | BD | :| DC | = | AB |:| АС |.Но I 如 丨 = ド (10— 1)2 + (13— 1)2= 1 5 , \А С \ = / ' ( І З — 1)2+ ( б — 1)2= 1 3 . Следовательно,入 = | ЯО … D 亡 | = 】5/13. Так как известно отношение, в котором точкаD делит отрезок ВС, то координаты точки D определятся по 中 ормулам_Ю + (15/13)13 13 + (15 ハ 3)6л 一 1+ 15/13 — ' у - 1 + 15/13 — sили ズ= 325/28, t/ = 259/28, т. e. D (325/28; 259/28). Задача сводится к составлениюуравнения прямой, проходящей через точки А и D:2 5 & ^ Г = 3 2 Й Ь - - ". е. む- 却 + 2 = 0. ▲94. Даны уравнения высот треугольника ABC: х + у — 2 = 0,9х 一 Зу— 4 = 0 и координаты вершины А (2; 2). Составить уравнениясторон треугольника.Д Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из заданныхвысот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот.Пусть 9л:— Зу 一 4 = 0 — уравнение высоты ВВі и х-\~у— 2 = 0 — уравнениевысоты ССѴ Составим уравнение стороны ЛС, рассматривая ее как прямую, проходящуючерез точку А и перпендикулярную высотеВ В і. Так как угловой коэффициент высоты В Ві равен3, то угловой коэффициент стороны АС равен 一 1/3,т. e. k^c —— 1/3. Воспользовавшись уравнением прямой,проходящей через данную точку и имеющейданный угловой коэффициент, получим уравнениестороны АС\Рис. 9у — 2 = ( — 1/3) [х 一 2), или х-\-2>у— 8 = 0.Аналогично получаем k c a = — 1,кдв = 1 ,и уравнениестороны AB имеет виду — 2 = х — 2, т. е. у==х.Решив совместно уравнения прямых AB и ВВйа также прямых АС и СС\У найдем координаты вершинтреугольника: В (2/3; 2/3) и С ( 一 1;3). Остаетсясоставить уравнение стороны ВС:卜 2/3"2/3 - e. 7 x + b y — S = 0.3—2/3 — —1—2 /3 ,95. Составить уравнения прямых, проходящих через точкуМ (5 ;1 )и образующих с прямой 2 х -\-у 一 4 = 0 угол я/4 (рис. 9).Д Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. У гл овой коэффициент заданной прямой равен 一 2. Так как угол между этими пря.22

мыми равен л/4, тооткудая k + 2 k + 2, т. e , 1 =т = Г ^2 Іг\ — 2kr S =1Решая каждое из полученных уравнений, находим k — — 1/3 и k = 3. Итак,уравнение одной из искомых прямых запишется в виде у — 1 = ( — 1/3) (л:— 5), т. е.і + Зі/—8 = 0, а уравнение другой прямой в виде у — 1 = 3 ( ズ —5) , т. е. Зл:— ѵ —— 14 = 0. ▲96. Найти прямую, принадлежащую пучку 2ぶ+ 3 // + 5 + 入 (ズ ++ 8у + 6)=0 и проходящую через точку M (1;1).Д Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой прямой,-поэтому для определения Я получаем уравнение2 -1 + 3 .1 + 5 + 入 (1 + 8.1+ 6) = 0,или 10+15 入 =0,т. е. Х = — 2/3. Подставив значение 入 в уравнение пучка, получим уравнениеискомой прямой:2х + Зу-\-5 一 (2/3)(ズ+ 8 シ+ 6 ) = 0, или 4х 一 7 ï/+ 3 = 0. ▲97. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямыхЗх— 4г/ + / = 0 и 5л:-|-2у + 3 = 0 и параллельную оси ординат.Д Прямая принадлежит пучку3 ズ— 4 " + 7 + 人 (5 ズ+ 2 "+ 3 ) = 0 ,т. ѳ. (3 + 5 入 )ズ+ (—4 + 2 入 )^/+ (7 + 3 入 ) = ;0.Так как искомая параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен бытьравен н у л ю :—4 + 2 І= 0 , т. е . 入 = 2 . Остается подставить найденное значение \в уравнение пучка, откуда получаем искомое уравнение х -\-\ = 0 . ▲98. Даны стороны треугольника: х + 2у + 5 = 0 (AB), == 0 (ВС) и х + у + 7 = 0 (АС) • Составить уравнение высоты треугольника,опущенной на сторону АС.Д Высота принадлежит пучкух + 2 " + 5 + 入 (3ズ+ 1)=0, т . е . (1 + 3 入 ) (2 + 入 )" + (5 + 人 )= 0 .Угловой коэффициент прямой пучка равен — (1 + 3 入 )/(2 + 入 ); так как угловойкоэффициент прямой АС равен— 1 , то угловой коэффициент искомой высоты равен1 и для определения Я получаем уравнение 一 (1 + З Я ) /( 2 - |- Я ) 1 . Отсюда1 + 3 入 + 2 + 入 = 0 ,т.е . Х = —3/4. Подставив найденное значение 乂 в уравнениепучка, получим искомое уравнение высоты:( 1 — ^ * > + ( 2 — — 5~)= 0,т. е. Ъх— Ъу 一 17 = 0. ▲99. Даны вершины треугольника ABC: А (0; 2), В (7; 3) и С П- 6).Определить ВАС = а.100. Даны стороны треугольника: х + у 一 6 = 0, Зх— 5//+ 14 = 0и 5л: 一 Ъу 一 14 = 0. Составить уравнения его высот.101. Составить уравнения биссектрис углов между прямымиЗх + 4 "— 20 = 0 и 8х + 6у— 5 = 0.102. Даны вершины треугольника: А (0; 0) ,В (— 1; 一 3) и С (—5;— 1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершинытреугольника и параллельных его сторонам.23

103. Составить уравнения прямых, проходящих через точкуМ (2; 7) и образующих с прямой AB, где А (— 1;7) и В (8; 一 2),углы 45°.104. Определить расстояние от точки М (2;— 1 )до прямой, отсекающейна осях координат отрезки а = 8,Ь — 6.105. В треугольнике с вершинами А (3/2;1) , В (1;5/3), С (3; 3)найти длину высоты,проведенной из вершины С•106. При каком значении т прямые 1х — 2і/ — 5 = 0, х~\-7у— 8 == 0 и т х + т у — 8 = 0 пересекаются в одной точке^107. Даны середины сторон треугольника: (— 1;—]),В 1(1;9)и С1(9 ;1 ).Составить уравнения серединных перпендикуляров ксторонам треугольника.108. Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой,проходящей через точки А (2; \ 3) и В (3; 2 ^ З ) .109. Точки Л (1;2) и С (3; 6) являются противоположными вершинамиквадрата. Определить координаты двух других вершинквадрата.110. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой8 л :+ 1 5"+ 10 = 0 равно 1.111. Даны вершины треугольника: А (1;1) , В (4; 5) и С (13; 一 4).Составить уравнения медианы, проведенной из вершины ß , и высоты,опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника.112. Найти прямые, принадлежащие пучку 2л:+Зу + 6 + Х(;с —— Ъу — 6) = 0 и перпендикулярные основным прямым пучка.113. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямыхズ + 6" + 5 = 0, Зх— 2 " + 1 и через точку М (—4/5;1).114. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямыхズ+ 2" + 3 = 0, 2ぶ+ 3 "+ 4 = 0 и параллельную прямой Ъх ++ 8 у = 0 .115. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямыхЗх— у — 1 = 0 , ズ+ 3 " + 1 = 0 и параллельную оси абсцисс.116. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых5ぶ + 3ダ + 1 0 = 0,х -\-у — 15 = 0 и через начало координат.117. Наити прямую, проходящую через точку пересечения прямыхх-\~2у-\-1 = 0 , 2х + у + 2 = 0 и образующую угол 135° с осьюабсцисс.118. Составить уравнения прямых, проходящих через точкуM (а; Ь) и образующих с прямой х-\-у-{-с = 0 угол 45°.119. Даны стороны треугольника: х — у = 0 (ЛВ), х + у — 2 = 0(ВС)у у = 0 (ЛС). Составить уравнения медианы,проходящей черезвершину В ,и высоты, проходящей через вершину А.120. Показать, что треугольник со сторонами \ = 0 Ух \ З + У + І^ О и x — у — 10 = 0 равнобедренный. Найти угол приего вершине.121. Даны последовательные вершины параллелограмма: А (0; 0),ß (l;3 ) ,С (7;1).Найти угол между его диагоналями и показать,что этот параллелограмм является прямоугольником.122. Даны стороны треугольника: х — у-\-2 = 0 (А В )У х = 2 (ВС),24

х -\-у — 2 = 0 (ЛС). Составить уравнение прямой, проходящей черезвершину В и через точку на стороне ЛС, делящую ее (считая отвершины А) в отношении 1:3.123. Показать, что треугольник с вершинами А (1;1) , В (2;1 +4 j/З ), С ( 3 ; 1 ) равносторонний, и вычислить его площадь.124. Показать, что треугольник, стороны которого заданы уравнениямис целыми коэффициентами, не может быть равносторонним.125. Дана вершина треугольника А (3; 9) и уравнения медиан:у — 6 = 0 и Зх— 4" + 9 = 0. Найти координаты двух других вершин.126. Составить уравнение гипотенузы прямоугольного треугольника,проходящей через точку М (2; 3), если катеты треугольникарасположены на осях координат, а площадь треугольника равна12 кв. ед.127. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно,что четвертой стороной является отрезок прямой 4х-\-Зу— 12 = 0,концы которого лежат на осях координат.§ 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА1 . Окружность. Окружность— это множество точек плоскости, равноудаленныхот данной точки (центра). Если г — радиус окружности, а точка С (а; Ь) —ее центр, то уравнение окружности имеет вид(х-а)^ + (у^ЬГ = г \ (1)В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнееуравнение примет видх2-\-у2 = г2.Если в левой части уравнения ( 1 ) раскрыть скобки, то получится уравнениевидаx2-{-y2-{-lx-{-my-{~n = 0t (2)где / = —2а, т = —2Ь’ п = а2-\-Ь2 — г 2.В общем случае уравнение (2) определяет окружность, если /2 + т 2 — 4п > 0.Если /2 + т 2 — 4п = 0, то указанное уравнение определяет точку (—//2; -т/2),а если /24 ~ т2— 4п < 0, то оно не имеет геометрического смысла. В этом случаеговорят, что уравнение определяет мнимую окружность.Полезно помнить, что уравнение окружности содержит старшие члены х2 иу2 с равными коэффициентами и в нем отсутствует член с произведением х на у.Взаимное расположение точки М (л:і ;у\) и окружности х2-\-у2 = г2 определяетсятакими условиями: если xf-{-yx = r 2t то точка М лежит на окружности;если > г2, то точка М лежит вне окружности, и если х \-\-у \ < г2, тоточка М лежит внутри окружности.128. Наити координаты центра и радиус окружности 2х2+ 2у2—— 8 ズ+ 5" — 4 = 0.А Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получимхг - і х - \ - у 2-\-(5/2) у = 2. Дополним выражения х2_ 4х и г/2+ (5/2) у до полныхквадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму (5/4)2 (одновременно кправой части прибавляется сумма этих чисел):い2- む + 4) + レ + 去 !/+ 菩 ) = 2 + 4+ 菩25

{- J , 0、2 , , , 5 ү 121(ズー 2 )2 + い + 了 J = fТаким образом, координаты центра окружности д = 2, b = — 5/4, а радиус окружностиг = 11/4. ▲129. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника,стороны которого заданы уравнениями 9л:— 2у— 41=0,ナズ+ 4у + 7 = 0, x — 3 "+ 1 = 0 .Д Найдем координаты вершин треугольника, решив совместно три системыуравнений:J 9а:— み 一 4 1 = 0 , Г 9х — 2і/ — 4 1 = 0 , J 7лг + 4ダ+ 7 = 0,\ 7х + 4 у + 7 = 0; \ х — 3 у + 1 = 0 ; \ д; — 3 f / + l= 0 .В результате получим А (3; 一 7), В (5; 2) ,С ( 一 1;0).Пусть искомое уравнение окружности имеет вид (х— а)2-\-(у — Ь)2 = г 2. Длянахождения a, b w г напишем три равенства, подставив в искомое уравнениевместо текущих координат координаты точек Л, В и С:(3— а)2 + (—7— ゎ)2 = パ; (5— û)2 + (2— 6)2 = 厂 2; ( - \ — a)2-{-b2 = r 2.Исключая г2, приходим к системе уравнений(3— め2+ (—7 - 0 ) 2 = (5— ザ + (2 -6 )2 , Г 4а+180 = -29,-(3— め 2+ (—7 — 幻 2 = ( — 1— fl)2 + è2, \ 8a — 14う= 57.Отсюда a = 3,l , b = — 2,3. Значение г2 находим из уравнения (— 1— а)2-\-Ь2 = г2,т. е. г2 = 22,1. Итак, искомое уравнение записывается в виде (х — 3,1)2 + (у + 2 ,3)2=^ 2 2 ,1 .▲130. Составить уравнение окружности, проходящей через точкиА (5; 0) и ß (1;4), если ее центр лежит на прямой х -\-у 一 3 = 0.А Найдем координаты точки М — середины хорды Aß; имеем = (5 + 1)/2=3,//ЛІ = (4 + 0)/2 = 2, т. е. М (3; 2). Центр окружности лежит на серединном перпендикулярек отрезку AB. Уравнение прямой AB имеет вид(у 一 0)/(4—0) = (jc—5)/(1—5), т. е. х-\-у 一 5 = 0.Так как угловой коэффициент этой прямой есть — 1,то угловой коэффициентперпендикуляра к ней равен 1 , а уравнение этого перпендикуляра у — 2 = 1 XX — 3), т . в. x — у — 1= 0.Очевидно, что центр окружности С есть точка пересечения прямой AB с указаннымперпендикуляром, т. е. координаты центра определяются путем решениясистемы уравнений х -\-у — 5 = 0, х — у — 1 = 0 . Следовательно, д:==2, j / = 1, _т. е.С ( 2 ; 1 ) . Радиус окружности равен длине отрезка СЛ, т. е. г = \ (5—2)2+ (1 —0)2== Y 10. Итак, искомое уравнение имеет вид ( х - 2 ) 2-\~(у— I)2 = 1 0 . ▲131. Составить уравнение хорды окружности х2 + у2 = 49, делящейсяв точке А (1;2) пополам.Д Составим уравнение диаметра окружности, проходящего через точку А (1;2).Это уравнение имеет вид у = 2х. Искомая хорда перпендикулярна диаметру ипроходит через точку А, т. е. ее уравнение у — 2 = ( — 1/2) (х— 1 ) , или х-\-2у 一一 5 = 0. ▲132. Найти уравнение окружности, симметричной с окруж ­ностью х2+ у2 = 2х + 4у — 4 относительно прямой х — у — 3 = 0.Д Приведем уравнение данной окружности к каноническому виду (х — I)2 ++ (у— 2)2= 1 ; центр окружности находится в точке С (1 ;2 ) и ее радиус равен 1,2G

Найдем координаты центра С і(л:!;уі) симметричной окружности, для чего черезточку С (1 ;2 ) проведем прямую, перпендикулярную прямой х — у — 3 = 0; ее уравнеішеу — 2 = k (x — где k== — \J\ = — 1 , откуда タ— 2 = — дг+1,или ぶ+ 夕 一 3=0.Решая совместно уравнения х - 一 у — 3 = 0 и х -\-у — 3 = 0 ,получим х = З уу = 0 ут. е. проекция точки С (1 ;2 ) на данную прямую 一 -точка Р (3; 0). Координаты жесимметричной точки получим по формулам координат середины отрезка: 3 == (i j^ x i)/2, 0=(2-\-уі)/2] таким образом,ズі= 5 , у і = —2. Значит, точка Сг (5; —2)—центр симметричной окружности, а уравнение этой окружности имеет вид (х—э2) ++ ( タ+ 2 ) 2 = L ▲133. Найти множество середин хорд окружности х2+ у 2= і ( у + 1),проведенных через начало координат.д Уравнение множества хорд имеет вид у = kx. Выразим координаты точкипересечения хорд с окружностью через k、для чего решим систему уравненийy = kx и х2-\-у2 — 4 "— 4 = 0. Получим квадратное уравнение x2 (^2+ 1)— —4=0.Здесь х1+ х 2 = 4^/(1 + к г). Но полусумма этих абсцисс дает абсциссу серединыхорды, т. e. x = 2 k /( { + k 2) y а ордината середины хорды у ~ 2 k 2/ ( \ + k 2). Последниедва равенства являются параметрическими уравнениями искомогомножества точек.Исключив из этих равенств k (для чего достаточно в соотношении x = 2 k !(\-\-k 2)положить k = у/х), получим х 2-\-у2— 2у = 0. Таким образом, искомым множествомтакже является окружность. ▲134. Определить координаты центров и радиусы окружностей:1 ) x2+ t f — 8 x + 6 y = 0\ 2) x2 + ij2+ \ 0 x — 4y + 29 = 0; 3) x2+ t f —— 4х + 1 4 і/ + 54 = 0.135. Найти угол между радиусами окружности л:2+ " 2 + 4л: —— 6" = 0,проведенными в точки ее пересечения с осью Оу.136. Составить уравнение окружности, проходящей через точкиЛ (1;2) ,В (0 ;— 1 )и С (—3; 0).137. Составить уравнение окружности, проходящей через точкиА (7; 7) и ß (—2; 4), если ее центр лежит на прямой 2х—у —2 = 0 .138. Составить уравнение общей хордыокружностей х2-{-у2= 1 6 и (х— 5)2++ " 2 = 9.139. Составить уравнения касательныхк окружности (x— à)2+ (" + 2)2 = 25,п р о惑веденных в точках пересечения окруж ­ности с прямой x — i/-j-2 = 0.x140. Дана окружность x2Jr y 2= 4. Източки А (— 2; 0) проведена хорда AB,которая продолжена на расстояние | ВМ |=== 丨 Л 5|.Н айти множество точек М.Р и с .102. Эллипс. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстоянийкоторых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная(ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния междуфокусами.Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рис.10,а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координатв точках Т7! (с; 0) и F2 (— с\ 0), то получится простейшее (каноническое)уравнение эллипса:2 7

Здесь а— большая, b — малая полуось эллипса, причем a, b п с (с— половинарасстояния между фокусами) связаны соотношением а2 = Ь2-{-с2.Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетоме=^с/а (так как с < а} то е < 1).Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокальнымирадиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначают Г\ и г2 (в силуопределения эллипса для любой его точки Г\-\~Г2 = 2а).В частном случае, когда а = Ь (с = 0,е = 0, фокусы сливаются в одной точке— центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением х2^}-у2 = а2).Взаимное расположение точки М (д:і ;уі) и эллипса х2/а2-\-у2/Ь2 = 1 определяетсяусловиями: если х і/а 2-\-уі/Ь2 = 1 , то точка М лежит на эллипсе; еслих і/а 2-\-у\/Ь 2 > 1,то точка М лежит вне эллипса; если х\/а2-\-у\/Ь 2 < 1,тоточка М лежит внутри эллипса.Фокальные радиусы-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса поформулам г г = а — ех (правый фокальный радиус-вектор) и г2 = о,-\-ех (левый фокальныйрадиус-вектор).141. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящегочерез точки М (5/2; Y 6/4) и N (—2; Y 15/5).А Пусть л:2/а2 + у2/Ь2 = 1 一 искомое уравнение эллипса. Этому уравнениюдолжны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно,4 ^ + è =1, â + è =1-Отсюда находим а2 = 1 0 , Ь2= \ . Итак, уравнение эллипса имеет вид л;2/Ю +142. На эллипсе х2/25 + у2/9 = 1 найти точку, разность фокальныхрадиусов-векторов которой равна 6,4.143. Найти длину перпендикуляра, восставленного из фокусаэллипса х2!а2+ у2/Ь2= 1 к большой оси до пересечения с эллипсом.144. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокуси нижнюю вершину эллипса ズ2/25 + シ2バ 6 = 1 .145. Эллипс, отнесенный к осям, проходит через точку M (1;1)и имеет эксцентриситет е = 3/5. Составить уравнение эллипса.146. Как расположены относительно эллипса х2/50 + "2/32=1точки М (7;1),N ( 一 5; 一 4), P (4; 5)?147. Найти эксцентриситет эллипса, если фокальный отрезоквиден из верхней вершины под углом а.148. На прямой ズ+ 5 = 0 найти точку, одинаково удаленнуюот левого фокуса и верхней вершины эллипса jc2/20 + y2/ î = 1.149. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение,если известно, что точки F 1 (0; 0) и Ғ 2( 1 ; 1 ) являются фокусамиэллипса, а длина большой оси равна 2.150. Составить уравнение множества точек, расстояния которыхот точки А (0 ;1 )в два раза меньше расстояния до прямой у—4 = 0.151. Концы отрезка AB постоянной длины а скользят по сторонампрямого угла. Найти уравнение кривой, описываемой точкойМ у делящей этот отрезок в отношении 1:2.3. Г ипербола. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютнаявеличина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусамиt есть величина постоянная (ее обозначают через 2а)} причем эта постоян­

ная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболыв точках F1 (с; 0) и 厂 2 (— с; 0),то получится каноническое уравнение гиперболыУ2х2 ' 4 /?2 :і, (огде Ь2 — с2 — а2. Г ипербола состоит из двух ветвей и расположена симметричноотносительно осей координат. Точки Аг (а; 0) и А2 (— а; 0) называются вершинамигиперболы. Отрезок A jA2 такой, что | Л1Л2 1— 2а, называется действительнойссью гиперболы, а отрезок такой, что 丨 石 1 占 2 1= 26, — мнимой осью (рис. 11).Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М (х\ у)гиперболы от этой прямой стремится к нулю при х оо или х — оо. Г иперболаимеет две асимптоты, уравнениякоторых " = 士 、b/ä) x.Для построения асимптот гиперболыстроят осевой прямоугольник гиперболыУсо сторонами х = а, х = — а, у = Ьуу = — Ь. Прямые, проходящие черезпротивоположные вершины этого прямоугольника,являются асимптотами гиперболы.На р и с .11 указано взаимноерасположение гиперболы и ее асимптот.Отношение е = с/а > 1 называется эксцентриситетомгиперболы.Фокальные радиусы-векторы правойветви гиперболы: Г \= е х 一 а (правый фокальныйрадиус-вектор), г2 = е х -\-а (левыйфокальный радиус-вектор).Фокальные радиусы-векторы левой ветви гиперболы: Г\ = — ех-\-а (правый(Ьокальный радиус-вектор), г2 = — ех — а (левый фокальный радиус-вектор).Если а = Ь,то уравнение гиперболы принимает видx2— у2 = а2.Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты образуют прямой угол.Если за оси координат принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее уравнениепримет вид ху = т ( т = ± а2/2; при m > 0 гипербола расположена в Iи II I четвертях, при т < 0 — во II и IV четвертях). Так как уравнение ху = тможно переписать в виде у = т / х у то равнобочная гипербола является графикомобратной пропорциональной зависимости между величинами x w у.Уравнениеx2 /у2 ( ( у2 x2 'или (2)各Рис.11также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболыслужит отрезок оси Оу длины 2Ь.Две гиперболы х2/а2— y2jb2 = I и х2/а2 — у2/Ь2 = — 1 имеют одни и те жеполуоси и одни и те же асимптоты, но действительная ось одной служит мнимойосью другой, и наоборот. Такие дпе гиперболы называют сопряженными,152. На правой ветви гиперболы х2/16— у2/9 = 1 найти точку,расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше ее расстоянияот левого фокуса.Д Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы-векторы определяютсяпо формулам Гі = ех — а и г2 = ех-\-а. Следовательно, имеем уравнение ех-\-а == 2 (ех—а), откуда х = 3а/е\ здесь a = 4f е = с /а = У ^ а 2-\-ЬгІа = \ /Г 1 6 + 9 /4 == 5 /4 , т. е. х = 9,6.Ординату находим из уравнения гиперболы:2 分

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: М і (9,6; 0,6]/^ 119)и М 2 (9,6; - 0 ,6 V "ÏÏ9 ). ▲153. Даны точки А (— 1;0) и В (2; 0). Точка М движется так,что в треугольнике А М В угол В остается вдвое больше угла А .Найти уравнение кривой, которую опишет точка М.Д Взяв точку М с координатами х н у , выразим tg Внаты точек А у В ]\ М:и tg Л через коорди-= = > tg ^X— 2 2— x , х -\-1Согласно условию, получаем уравнение tg B = \g 2А, т. e. tg Ê = 2 tg  /( l—tg 2Â).Подставив в это равенство найденные для tg В и tg А выражения, приходимк уравнениюУ 一 2 "バズ+ 1 ) •-ゲ /(1 + ザ ’после сокращения на у (у ф 0) и упрощения получаем х2 一 у2/3 = 1 . Искомаякривая — гипербола. 么154. Эксцентриситет гиперболы равен V 2. Составить простейшееуравнение гиперболы, проходящей через точку М ( К 3; V 2).Д Согласно определению эксцентриситета, имеем с / а = У 2, или с2 = 2а2.Но с ^ ~ а 2-\-Ь2; следовательно, а2-{- b2 = 2a2t или а2 = 62, т. е. гипербола равнобочная.Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе,т. е. (Ѵ^ 3)2/а2 — { У 2)2/Ь2= 1 , или 3/а2 一 2/Ь2 = = 1 .Поскольку а2 = 62, получим3/а2 — 2/а^ = 1 , т. е. а2 = 1 .Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х2— у2= \ . А155. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точкуМ (9; 8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения у == ± (2 ドラ/3)х.156. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которойнаходятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса х2/8 ++ " 2/5 = 1 .157. Через точку М ( 0 ; —】) и правую вершину гиперболыЗх2 — 4г/2= 12 проведена прямая. Найти вторую точку пересеченияпрямой с гиперболой.158. Дана гипербола х2— у2 = 8. Найти софокусный эллипс, проходящийчерез точку М (4; 6).159. Дан эллипс 9х2 + 25//2 = 1 . Написать уравнение софокуснойравнобочной гиперболы.160. Угол между асимптотами гиперболы равен 60°. Вычислитьэксцентриситет гиперболы.161. На левой ветви гиперболы ズ2/64 — у2/36 = 1 найти точку,правый фокальный радиус-вектор которой равен 18.162. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситетравен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса х2/25 + у2/9 = 1.30

163. Найти фокальные радиусы-векторы гиперболы х2/16— у2/9 ====1 в точках пересечения ее с окружностью х2 + у2 = 9\.164. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из фокусана одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.* 165. Доказать, что произведение расстояний от любой точкигиперболы x2— у2= 1 до ее асимптот есть величина постоянная.166. Найти уравнение множества точек, равноотстоящих отокружности x2+ 4х + //2= 0 и от точки М (2; 0).4. Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленныхот данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.Если директрисой параболы является прямаях = — /7/2, а фокусом — точка F (р/2; 0), тоуравнение параболы имеет видУ2 = 2рх. (1)Эта парабола расположена симметрично относительнооси абсцисс ( р и с . 12, где р > 0).Уравнение fj\ ^ ^ ссx2 = 2ру (2)является уравнением параболы, симметричной относительнооси ординат. При р > 0 параболы ( 1 ) и(2) обращены в положительную сторону соответствующейоси, а при р < 0 — в отрицательную сторону.Длина фокального радиуса-вектора параболы у2 = 2рх определяется по формулег = Х '\-р/2 (р > 0).167. Составить уравнение параболы, симметричной относительнооси Оху с вершиной в начале координат, если длина некоторойхорды этой параболы, перпендикулярной оси Ох, равна 16, а расстояниеэтой хорды от вершины равно 6.Д Так как известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следовательно,известны координаты конца этой хорды— точки М , лежащей на параболе.Уравнение параболы имеет вид у2 = 2рх\ полагая в нем х = 6, у ==8, находим82 = 2/?-6, откуда 2/? = 32/3. Итак, уравнение искомой параболы у2 = 32х/3. ▲168. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,[симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисеI и I I I координатных углов хорду длиной 8 ^ 2.Д Искомое уравнение параболы х2 = 2ру, уравнение биссектрисы у = х. Такимобразом, получаем точки пересечения параболы с биссектрисой: 0 (0 ; 0) иМ (2р\ 2р). Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками:8 2 = У 4/?2 + 4р2, откуда 2р = 8. Следовательно, искомое уравнение имеет видх2 = 8у. ▲169. Составить простейшее уравнение параболы, если известно,что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4х— Зу — 4 = 0с осью Ох.170. На параболе у 2= 8х найти точку, расстояние которой отдиректрисы равно 4.31

171. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямойу = х хорду длиной 4 V 2.172. Парабола у2- = 2х отсекает от прямой, проходящей черезначало координат, хорду, длина которой равна 3/4. Составить уравнениеэтой прямой.173. Составить простейшее уравнение параболы, если длинахорды, перпендикулярной оси симметрии и делящей пополам расстояниемежду фокусом и вершиной, равна 1.174. На параболе у2= 32л: найти точку, расстояние которой отпрямой 4 x -f 3//+ 10 = 0 равно 2.УРис. 】3175. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коодинат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точкуМ (4; 2); определить угол а между фокальным радиусом-векторомэтой точки и осью Ох.§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ И УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙКРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА1 . Преобразование координат. При переходе от системы координат х Оу к новойсистеме х гОгі / (направление осей координат прежнее, за новое начало координатпринята точка Оі (а\ Ь)\ р и с .13) связь между старыми и новыми координатаминекоторой точки М плоскости определяется следующими формулами:х = х / + а у у = у, + (1)xf = х — a, yr ~ у — Ь. (2)С помощью формул ( 1 ) старые координаты выражаются через новые, а с помощьюформул (2) — новые через старые.При повороте осей координат на угол а (начало координат прежнее, причема отсчитывается против часовой стрелки; р и с . 14) зависимость между старымикоординатами х, у п новыми х ', уг определяется следующими формулами:x -^ x r cos a 一 у’ sin сс, y = x r sin a キ cos а; (3)x, ニ x cos а + sin a, yf ~ — x sin а + ï / cos а. (4)176. Сделан параллельный 厂 перенос осей координат, причем нвое начало расположено в точке Ог ( 3 ; —4). Известны старые координатыточки М (7; 8). Определить новые координаты этой же точки.Д Здесь а = 3 , b ~ — 4,ズ= 7 ,y ~ S . По формулам (2) находим ガ = 7 — 3=4^32

177. На плоскости хОу дана точка М (4; 3). Система координатповернута вокруг начала координат так, что новая ось прошла черезточку М . Определить старые координаты точки А, если известныее новые координаты хг — 5, у г = 5.Д Так как | ОМ \~ У ~ 42 + 32 = 5,то sin а = 3/5, cos а = 4/5; тогда формулы(3) преобразования координат для данной задачи примут вид (4/5) xf — (3/5)у ^ (3/ 5) хг (4/5) у 1. Полагая ズ' = ダ, = 5 ,находим x = \ t у = 7. ▲178. Система координат повернута на угол а = л/6. Определитьновые координаты точки М ()/3 ; 3).Д Используя формулы (4), получимх г ~ Ÿ ^ 3 cos (я/б)- f 3 sin (тс/6) = 3 /2 + 3 /2 = 3,{/ = —l/r 3sin(Ji76)+3cos(n/6) = — >^ä72 + 3]/'ä72 = / T . ▲179. Дана точка М (9/2; 11/2). За новые координатные оси принятыпрямые 2х— 1=0 (ось 0 。/ ) , 2у — 5 = 0 (ось Оххг). Найтикоординаты точки М в новой системе координат.180. Дана точка М (4 К б ; 2 К б ). За новую ось абсцисс принятапрямая у = 2Ху а за новую ось ординат— прямая у= ^—0,5.t,причем новые оси координат образуют с соответствующими старымиосями острые углы. Найти координаты точки М в новой системе.2. Парабола у — А х 2, + ^ + С и гипербола у = (k x + l ) :(p x + Q)^ Уравнениевидапреобразованием координат при параллельном переносе осей, т. е. по формуламх ~ х г + а , у ~ у г -\-Ь (а и b — координаты нового начала, хг и уг — новые координаты),преобразуется к каноническому виду уравнения параболы.. Парабола, определяемая уравнением у = Ах2-[-Вх-\~Су имеет ось симметрии,параллельную оси Оу (аналогично, уравнение х = Лу2-\-Ву-\-С определяет параболус осью симметрии, параллельной оси Ох),Дробно-линейная функцияy = -(k x + l)/(p x + q)определяет равнобочную гиперболу, если kq — pî Ф 0, р ф 0; преобразованиемкоординат при параллельном переносе осей координат это уравнение преобразуетсяк каноническому виду уравнения равнобочной гиперболы ху = m, т. е.к уравнению равнобочной гиперболы, у которой осн координат являются асидгптотами.При m > 0 ветви гиперболы расположены d I и III четверти, а приm < 0 — во II и IV четверти.181. Привести к каноническому виду уравнение параболыу = 9х2 — 6ズ + 2.илиД Замешім ズ на x f -]-а и " на ゲ + み:y^ + b=9(xf + ay~6(xr+ a )+ 2 tt / = 9 x n + 6xf (За— 1) + (9а2 — 6а + 2— &).Найдем такие значения а и Ь,при которых коэффициент при хг и свободныйчлен обратятся в нуль: За— 1= 0 , 9а2— 6а + 2 — 6 = 0, т. е. а = 1/3, Ь = {. Следовательно,каноническое уравнение параболы имеет зид л,2 = (1/9) у 1. Вершинапараболы находится в точке Ох ( 1 /3 ;1 ) и р =1/18.2 I 47433

Другой способ решения таких задач заключается в том, что заданное уравнениевида у = Лх2\-В х ^ г С (или х = Ауг ~{-Ву-\-С) приводится к виду (х— а)2 —= 2р (у_ Ь) [соответственно (у — Ь)2 = 2р (л: — û)]. Тогда точка Ох (а; Ь) служитвершиной параболы, а знак параметра р определит, в какую сторону— положительнуюили отрицательную соответствующей оси {Оу или Ох) — направлена парабола.Так, уравнение у = 9х2— 6х-\-2 преобразуется следующим образом:у = 9 ^ х 2 - 了 ズ+ 互 ) — 1 + 2 ;у _ 1 = 9 ( ズ—+ ) ; ( X - + ) = 去 (y—l).Отсюда снова получаем, что вершина параболы находится в точке Оу (1/3;1),параметр р = 1/18, а ветвь параболы направлена в положительную сторонуоси Оу. ▲182. Привести уравнение гиперболы у = (4х + 5)/(2х— 1 ) к видуx ry f = k. Найти уравнения асимптот гиперболы относительно первоначальнойсистемы координат.{ \ G помощью параллельного переноса осей координат преобразуем данноеуравнение к видуили(ゲ + ö) (2x, + 2 a ~ l ) = 4 x f + 4a-l-5,2xryr -\-(2Ь—4) ? + (2а — 1)у г = 4а-\-Ь—2а6 + 5.Найдем а и b из условий 2Ь — 4 = 0 и 2а — 1 = 0 ,т. е. а = 0,5, Ь = 2. Тогдауравнение гиперболы в новой системе координат примет вид x ryf —3,5. Асимптотамигиперболы служат новые оси координат, а поэтому их уравнения x f = 0 ,5 ,Другой способ решения таких задач заключается в том,что уравнение видаy^=(kx~{~ 1)1 (рх + q) преобразуется к виду (х — а) (у — Ь) = т ; центр гиперболы находитсяв точке 0 1 (а; Ь)\ ее асимптотами служат прямые х ~ а и у = Ь, знак пгпо-прежнему определяет, в каких углах между асимптотами находятся ветвиперболы.Так, уравнение у — (Ах-]~Ъ)І{2х— 1 ) преобразуется следующим образом:2 卜 一 去 )" 一 4 卜 一 士 + 务 ) = 。;(2ズ 一 1)ジ ー (4ズ+ 5 ) = 0 ; 2(х —0,5 ) け 一 2 )= 7 .Значит, уравнение гиперболы приведено к видѵ (х 一 0,о) (y— 2) = 3 , d ; центргиперболы находится в точке 0 1(0,5; 2),ветви гиперболы расположены в I и I I Iчетвертях между ее асимптотами х 一 0,5 = 0, у — 2 = 0. ▲183. Привести к каноническому виду уравнения парабол:1 )у ^ А х — 2х2; 2 ) у ^ — х2+ 2х + 2] 3) ,ѵ-= — 4ゲ + "; 4)х = " 2+ 4" + 5.184. Преобразовать уравнения гипербол к виду xfyf = т :1) у — 2xj(Ах— 1);2) у — (2x-f-3)/(3х—2); 3) у = (10ズ+ 2)/(5х + 4);у = (4x + 3)/(2ズ+ 1).3. Пятичленное уравнение кривой второго порядка. Уравнение второй степенивидаAx2 + Cy2 + 2Dx^-2Ey^-F^0(не содержащее члена ху с произведением координат) называется пятичленнымуравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости хОу эллипс.34

гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этихкривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости отзнака произведения коэффициентов А и С.1 . Пусть АС > 0; тогда определяемая этим уравнением кривая есть эллипс(дейсвительный, мнимый или выродившийся в точку); при А = С эллипс превращаетсяв окружность.2. Пусть АС < 0;тогда соответствующая кривая является гиперболой, котораяможет вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравненияраспадается на произведение двух линейных множителей;Ах2 + C'y2 + 2Dx-{~2Еу~\-F = (агх + Ьгу + сх) (а2х + Ь2у + с2) *3. Пусть А С ~ 0 (т. е. либо Л — 0, С 0, либо С = 0, \А Ф 0);тогда уравнениеопределяет параболу, которая может вырождаться в две параллельные прямые(действительные различные, действительные слившиеся или мнимые), еслилевая часть уравнения не содержит либо л*, либо у (т. е. если уравнение имеетвид Ах2 + 20л: + Ғ = 0 или Ctj2Jr 2EyJr F = 0).Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются преобразованиемуравнения к виду А (д: — л:0)2-|-С (у — г/0)2 = / (в случае АС > 0 илиАС < 0);по виду полученного уравнения обнаруживаются и случаи распада иливырождения эллипса и гиперболы.В случае невырожденных кривых переносом начала координат в точкуОі (Xg;у0) полученное уравнение эллипса или гиперболы можно привести к каноническомувиду.Случай АС = 0 подробно рассмотрен в предыдущем параграфе, посколькууравнение невырожденной параболы здесь может быть записано в видеу = а^х1 - f biX-j- с или x = аху^ + b^y-j-сі.185. Какую линию определяет уравнение 4х2 + 9у2— 8х 一— 36у + 4 = 0?Д Преобразуем данное уравнение следующим образом:" 4 (х2— 2х) + 9 (у^ — 4у) = — 4;4 (х2 — 2 х + 1 — 1 ) + 9 ( у 2— 4 ^ + 4 — 4) = — 4;4(д:— 1)2 + 9 (" — 2)2= — 4 + 4 + 36; 4 (л :-1 )2 + 9(г/ — 2)2 = 3б.Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое началокоординат точку Or (1 ;2 ). Воспользуемся формулами преобразования координат:ズニズ' + 1, у = уг -\-2, Относительно новых осей уравнение кривой примет видむ ' 2+ 9ゲ 2 = 36,' или л,2/9 + ゲ 2/4 = 1.Таким образом, заданная кривая является эллипсом. ▲186. Какую линию определяет уравнение х2 一 9у^~\-2х + 3&у 一— 44 = 0?Д Преобразуем данное уравнение так:(х2 + 2,ѵ+1 — 1) — 9 (ï/2 — 4г/ + 4 — 4)-=44;(ДГ+ I)2— 9 (г/— 2)2 = 4 4 + 1— 36, (л:+ I)2— 9 (у— 2)^ = 9.Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое началоточку О '(— 1 ;2 ). Формулы преобразования координат имеют вид х = хг — 1,у ~ у г -^2. После преобразования координат получим уравнениех >2_ 9ゲ 2 = 9, или x t2ß _ у,2= 1.Кривая является гиперболой. Асимптотами этой гиперболы относительно новыхосей служат прямые ゲ = 士 (1/3) а/. ▲Установить, какие кривые определяются нижеследующими уравнениями.Построить чертежи. "187. 36ズ2+ 36ゲ 一 36л:— 2 4 "— 23 = 0. •188. 1 6 f + 25 ゲ 一 32Х + 50"— 359 ニ 0 . . へ 、35

а 89士 ズ2— 去 ゲ ー ぶ + 了 ジ 一 1ニ 0.9і0яx2+ 4f/- — 4л:— 8у + 8 = 0.91192x2 + 4 у2+ 8у + 5 = О.x2— у 2 一 6л* + 10 = 0.i 93t942х2 — 4л:+ 2"— 3 = 0.95x2— 6л: + 8 = 0.л:2 + 2,ѵ + 5 = 0.4. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривом второго порядка.Если кривая второго порядка задана уравнениемAx2 + 2Bxy + Cy2 + 2 D x+ 2E y + F = 0tто, применив преобразование поворота осей координат с использованием формулх = хг cos a — yr sin a, y = xf sin cc-\-yr cos а, следует при надлежащем выборе аосвободиться в уравнении от члена с произведением координат.Дальнейшие преобразования были рассмотреңы в предыдущем разделе.Случай распада кривой второго порядка на две прямые может быть легкоустановлен по исходному уравнению следующим образом: 「рассматривая уравнениекак квадратное относительно у (предполагая, что коэффициент при у2 отличенот нуля), разрешают его относительно у; если при этом под корнем окажетсяточный квадрат некоторого двучлена ах-\-Ь, то корень извлечется, и для у получатсядва значения: Уі = kiX-\- b i: у2 = k2x + b2• Это и покажет, что кривая распадаетсяна две прямые.Данное уравнение может быть разрешено и относительно х. Если в общемуравнении кривой второго порядка А = С = 0 (естественно, что В Ф 0), то указанноеуравнение определяет пару прямых тогда и только тогда, если B/D = 2E/F,В этом случае левая часть уравнения разлагается на линейные множители.196. Показать, что уравнение 9х2+ 2 4лу+ 16"2— 25 = 0 определяетсовокупность двух прямых.Д Перепишем уравнение в виде (3ズ+ 4 у )2 — 25 = 0. Разложив левую часть намножители, получаем (Зл: + 4" + 5) (3jc + 4y— 5) = 0 . Таким образом, заданноеуравнение определяет прямые Зл; + 4^/ + 5 = 0 и Злг + 4 夕 一 5 = 0. ▲197. Показать, что уравнение Зл:2-\-8xy— Зу2— 14л:— 2" + 8 = 0определяет совокупность двух прямых.Д Перепишем уравнение в виде Зу2— 2 (4д:— 1)у — (Зл:2— 14д:+8) = 0 . Разрешимуравнение относительно у:ジー Ах— \ 士 (4д:— 1)2 + (9л:2 — 42х + 24) — ^ _ 4л:— 1 ± (5л: — 5)Получаем уравнения прямых у = 3х— 2 и у = ( —л:+4)/3. Эти уравненияможно записать в виде Зл*— у — 2 = 0, дг+Зу— 4 = 0. ▲198. Какая линия определяется уравнением ху - f 2х 一 \ ij — 8 = 0?Д Запишем уравнение в виде х (г /+ 2 )— 4 (г/ + 2) = 0 , или (ズ ー 4) (у + 2 ) = 0 .Таким образом, уравнение определяет две прямые х — 4 = 0 и ^ + 2 = 0, одна изкоторых параллельна оси Ох, а другая параллельна оси Оу. ▲3 6199. Привести к каноническому виду уравнение5х2+ \х и + 8ゲ 8л: + 1 切 + 5 = 0.

Д 1 . Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами (3) п . 1поворота осей координат. Имеемили5 (xr cos а — у' sin а)2 + 4 (xr cos а — і / sin а) (xr sin си-\-у' cos а) ++ 8 (х' sin OL-\-y' cos et)2+ 8 (xf cos а 一 і / sin а) + 14 (х' sin а + ゲ cos ос)+ 5 = 0,(5 cos2 а - 卜 4 sin a cos et+ 8 sin2 a ) ズ/2 + (5 sin2 а — 4 sin а cos а + 8 cos2 а ) ゲ 2 ++ [6 sin а cos а + 4 (cos2 а — sin2 a)] xrt / + (8 cos а + 14 sin а) x r -\-+ (14 cos а 一 8 sin a) yf —Найдем а. из условия 4 (cos2 а — sin2 а )+ 6 sin cc cos а = 0,т. e. приравняемнулю коэффициент при х,уг. Получаем уравнение 2 tg 2 а — 3 tg а — 2 = 0. Отсюдаtgctj = 2 , tg a 2 = — 1/2.Заметим, что эти значения tg а соответствуют двум взаимно перпендикулярнымнаправлениям. Поэтому, взяв tg а —-2вместо tg а = 一 1/2,мы только меняем ролямиУоси x, и у, (рис. 15).Пусть tg а = 2, тогда s i n a = ± 2 / | ^ 5 1,fcos а = ± 1/}/"5 ; возьмем положительные значенияsin а и cos а. Тогда уравнение принимаетвидhкV s ゲ + 5 = 0, 一 X^ ^п УР и с .159 { X'2 + V f х' г л у,г~ ^ y J l2. Выражения в скобках дополним до полных квалратов:J ' и , / — _ L _ v зг> *- +V b J20う,У + 4 ゲПриняв за новое начало точку 0 ' (—2 ІУ ~5 ;1/(4 У 5 )), применим формулы преобразованиякоординат х' = х " — 2 і У 5 , ゲ = ゾ + 1/(4 получим 9ズ〃2 + 切 〃2 =л:"2 и"2= 9,4, или ■j~4" + 7T J ß '~ 1 (уравнение эллипса). ▲200. Привести к каноническому виду уравнениебху + 8у2 — 12х 一 2 6и + 11=0.А し Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами (3) п . 1поворота осей координат:6 (х' cos a — yr sin а) (х' sin а + yr cos а) + 8 (xr sin а + ゲ cos а)2—一 12 (х' cos а — у, sin а ) 一 2ô (xf sin cc + ゾ cos ct) + l 1 = 0 ,(6 sin a cos ct + 8 sin2 ос)ズ,2 + (8 cos2 а — 6 sin а cos а) у+ [16 sin а cos а + 6 (cos2 а — sin2 а)] x,у, 一一 (12 cos cc + 2G sin а) х' — (2Г) cos а — \2 sin гл ) у '-\-\\2 +37

Приравнивая нулю коэффициент при x ryrt имеем16 sin a cos а + б (cos2 а — sin2 ос) = 0, или 3 tg 2 а — 8 tg а — 3 = 0.Отсюда tg ах = 3, tg а 2 = — 1/3; примем tg а = 3, тогда süi сс= 土 3 / f lO ,c o s a = 士 \ / У 10; возьмем положительные значения sin а и cos а. Тогда уравнениепринимает видили9ズ' 2ーゾ 2— 9 y j ö aZ + I^ ÏÔ グ + 1 1 = 0 ,9 レ 2 - ド ш z ) —(ゲ 2— ド ïïï ゲ )= — 11•2. Выражения в скооках дополним до полных квадратов:+ - 空 )2—レ - 孕 ) Ч - 鲁 - п ;ПЛ" 導 ( グ 寻 9 .Приняв за новое начало точку—ぴ { У 10/2; У 10/2),применим формулы преобразованиякоординат х'10/2, yr = у г,-\- У~ 10/2; получим 9л:"2— у"2 = 9,илих’л — у"2/9 = 1 (уравнение гиперболы). ▲201. Привести к каноническому виду уравнениел:2 一 2ху + у2— 10 x — 6// + 25 = 0.Д 1 . Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей:(xf cos а yr sin а)2 — 2 (xr cos а 一 yr sin а) (xf sin а + " ' cos а) ++ (ズ, sin OL-\-yr cos а)2— Ю (х' cos а — yr sin а )— 6 (xr sin а + ゾ cos а )+ 25 = 0,(cos2 а — 2 sin a cos а - fs in 2 а) x ,2 + (sin2 а + 2 sin a cos а + cos2 а ) ゾ2 ++ 2 (sin2 а — cos2 a) х 'у ' 一 (10 cos а + 6 sin а) л/ + (10 sin а _ 6 cos а ) グ + 2 5 = 0.Приравнивая нулю коэффициент при произведении x fy \ имеем (2 sin2 а — cos2 а )= 0 ,откуда tg 2 а = 1,т. е. tg ах = 1,tg а 2 = — 1 . Возьмем tg а = 1 , откуда а = л/4 иsin а = \ ! У 2 , cos а = \ І У 2 . Тогда уравнение принимает вид2 / 2— 8 )^2 х г+ 2 У 2 ^ + 25 = 0, или 2 (у ,2+ У '2 ダ ) 一 8/"2 У + 25 = 0.2. Выражение в скобках дополним дэ полного квадрата: ^2 ( у ' + Ç ) 2 = 8 ^ 2 ^ - 2 4 , или { у ' + ^ ) % 4 ^ 2 [ х 'Приняв за новое начало точку (3 / ^ 2 ; — Y 2 /2 ) ,применим формулы преобразованиякоординат х г = х п 一 3 ド 2 , yf =^y,,Jr V~2 /2; получим y ,,2 = 4 Y 2 xn(уравнение параболы). ▲Показать, что нижеследующие уравнения определяют кривые,распадающиеся на пару прямых, и найти уравнения этих прямых:3 8202. 25ズ2+ 1 0 印 + ゲ 一 1 = 0 .203. x 2 + 2ху + ゲ + 2л: + 2ÿ + 1=0.204. 8х2 一 18ху + 9у2-{-2х— 1 = 0.

Привести к каноническому виду уравнения следующих кривых:205. 14л;2 + 24л:у + 21ÿ2 — 4л: + 18у— 139 = 0.206. 4ズ" + 3ゲ + І 6 х + 12у— 36 = 0.207. 9л:2 — 2Аху-\-16ゲ 一 20л: + НОу 一 50 = 0.§ 5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯИ ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ1 . Определители второго порядка и системы линейных уравнений. Определительвторого порядка, соответствующий таблице элементовравенствомСистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными12лі2j , определяетсяハ 1aï b iесли ее определитель D = \ ^дится по формулам Крамера\ С12х Ь 2у = С2уФ 0, имеет единственное решение, которое нахо-Ci hai QD x — С2 わ2 D v• и — .— び2 ^2D, У DOl Ьг« 1 ゎ1 ja2 b2 a2 b2 1Если определитель D = 0, то система является либоDx Ф 0 \і D y ф 0),либо неопределенной (когда Dx = D y = 0),система сводится к одному уравнению (например, первому),является следствием первого.Условие несовместности системы можно записать в видеа условие неопределенности— в виде ai/a2 = b1/b 2 =Линейное уравнение называется однородныму если свободный член этого уравненияравен нулю.Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя неиз.вестнымиO iX - \- b iy - \- C iZ =ß2 ズ+ b2y + c2z ニ:0.(1)несовместной (когдаВ последнем случаевторое же уравнение0-ІІСІ2 = ゐі/ た2 Ф Сі/^2І1.Если ai/a2 = b1/b2 = Сі /с2і то система сводится к одному уравнению (например,первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других,значения которых остаются произвольными.2. Если условие аі/а2 = bi/b2 = CiJc2 не выполнено, то решения системы находятсяпо формуламG ai Ci•U y = — •t, z = i ai 一 h(2)C2 a-2 C2 0-2 办 ^2 2где t может принимать любые значения. Эти решения можно записать такжев виде пропорции:X y zЬі Cil 一 卜 «1 Ьгわ2 C2 1 lû 2 Сч 1 a2 む239

При этой форме записи решений следует помнить, что если один из знаменателейобращается в нуль, то следует приравнять нулю и соответствующий числитель.208. Решить систему уравненийJ x — (a— b) y = iab,\ (а 一 b) д :+ (а + b) у = 2 (а2— Ь2).Д Находим определитель D системы и определители D,. и D 1J} входящиев числители формул (1):а-{-Ь — (а— Ь)D:-(a + b)2 + (a — b)2 = 2(a2+ b 2)tа — b a-\-b4аЬ 一 (а — Ь)D r-.4a2b + Aab2 + 2а3— 2аѢ -1 2(а2 一 62) a -\-b 1 12ab2 + 2b^ = 2 (a ^ + a 2b + ab2~{-b3) = 2(a2+ b 2) ( a + b ) fа + b \аЬD=2а3 + 2а26 —2ûô2 —2ô3-a — b 2(а2 — Ь2)一 4а2Ь + 4аЬ2 = 2 (a3— a2ö + aö2— ö3) = 2 (а2 + b2) (a — b).Отсюда x = D x/D = a -{- by y = D y/D = a — b. ▲209. Решить систему линейных однородных уравненийД Используя формулы (2),находим452 3 一 22/, у = —где t можно придавать любые значения( Зд: + 4" + 5г==0,\ х-{-2у 一 3г = 0.3 511 -314/,13 41Решить системы уравнении:5лг— З у 1,210. {ズ+ \ \у = 6.ах— by = a2~\- Ь2,212.Ьх-{-ау = а2-\-Ь2.х — 2 у + 2 = 0,214.З х— 5 "+ 2 г ニ 0.а Ч — 2(а2 + Ь2) y + b 2z = 0t216.2х-{-2у— 3z = 0.211.213.215.2 x -\-y = \/S .4 x -\-2 y = 1/3.З х + 2 у = 1 /6 ,9x+ 6y==1/2.x cos a 一 y sin a = cos 2os,x sin a + г/ cos a = sin 2a.2. Определители третьего порядка и системы линейных уравнений. Определиfa' bi сへme ль третьего порядка, соответствующий таблице элементов ( а2 Ь2 с2 ), опреде-\ а 3 Ь3 с3 ノляется равенствомa i b i Cla 2 み2 С2а 3 Ьз Qb 2 c2— b ia 2 c2-\~ c ia 2 b2わ3 c3 а з Сз 03 办 3Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определительвторого порядка, который получится, если в исходном определителевычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент. Алгебраическим до-4 0

пол пением данного элемента называется его минор, умноженный на (— 1)Ä, гдеk — сумма номеров しтроки и столбца, содержащих данный элемент.Таким образом, знак, который при этом приписывается минору соответствующегоэлемента определителя, определяется следующей таблицей:+ 一 +- + -+ — +В приведенном выше равенстве, выражающем определитель третьего порядка,в правой части стоит сумма произведений элементов 1-й строки определителя наих алгебраические дополнения.Теорема 1. Определитель третьего порядка равен сумме произведенийэлементов любой его ст роки или столбца на их алгебраические дополнения.Эта теорема позволяет вычислять значение определителя, раскрывая его поэлементам любой его строки или столбца.Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца)раз на нулю.Свойства определителей.1°. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами}а столбцы— соответствующими строками.2°. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) можетбыть вынесен за знак определителя.3°. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственноравны элементам другой строки (столбца) , то определитель равен нулю.4°. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак нап ротивопо ложный.5°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца)прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные наодно и то же число (теорема о линеиной комбинации параллельных рядов определителя).Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестныминаходится по формуламгдеКрамера( Gl x + b1y-\-C iZ = d l ,j а2х -(- b2y-{-C2Z = d2,、 йзХ~\- -\- CqZ = сізк —D x !D , у- ニ Dy 丨 D, z = DzID ,Ч Ьі Cl di bl Cl ai di Cl ai Һ diD i = а2 b.i с-2 ,Dx = ^2 み2 С2 , = a2 Ч , Dz = cii Ьо d2û3 Ьз Сз Ьз Сз «3 d, Сз аз h ^3При этом предполагается, что D 0 (еслинеопределенная, либо несовместная).Если система однородная, т. е. имеет вид( аіх~\~ ^іУ ~\~cxz\ a2x + b 2y + c 2z{a3x-\-b3t/4-c3z(1)D = 0, то исходная система либои ее определитель отличен от нуля, то она имеет единственное решение x = 0tу = 0У 2 = 0.Если же определитель однородной системы равен нулю, то система сводитсялибо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо кодному уравнению (остальные два являются его следствиями). Первый случайимеет место тогда, когда среди миноров определителя однородной системы естьхотя бы один отличный от нуля, второй— тогда, когда все миноры этого определителяравны нулю.0,0’0,41

в обоих случаях (см. п . 1 ) однородная система имеет бесчисленное множестворешений.217. Вычислить определитель третьего порядка5 3 2- 1 2 47 3 6А Разложив определитель по элементам 1-й строки, получим5 3 2 О А Л 9— 1 2 4 = 5 z q а 4 一 3 — 1 47 fi+ 2 — 1 ムо и t и 7 37 3 6= 5.0 — 3 (—34) + 2 (—17) = 68. Д218. Вычислить тот же определитель на основании теоремыо линейной комбинации элементов строк (столбцов).Д к элементам 1-й строки прибавим соответствующие элементы 2-й строки,умноженные на 5,а к элементам 3-й строки— соответствующие элементы 2-й строки,умноженные на 7:5 3 2 0 13 22— 1 2 4 — 1 2 47 3 6 0 17 34Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получаем0 13 22一 1 2 40 17 34= о .2 4 13 22 13 22+ 1. + 0 .17 34 17 34 2 4219. Решить систему уравненийА По формулам ( 1 ) находим( х + 2у + 8,{ 3x + 2y + z = 10,V Ах-\-Зу — 22 = 4.:13-34 — 17-22 = 6 8 . Д4214 14220. Решить систему линейных однородных уравненийむ + У~\- 2 = 0,д; + 3г/+ 2 = 0,х-\- " + 2 г = 0.

Л Здесь D =Для вычисления этого определителя кэлементам1-й строки прибавим элементы 3-й строки, умноженные на 一 4, а к эле: лентам 2-йстроки— элементы 3-й строки, умноженные на — 1:—3 — 7D-- 0 -1Так как D # 0, то система имеет только нулевое решение х =221. Решить систему уравнений( ^х-\-2у 一 =0,л: + 2 г/+ 9 г = 0,x —р у + 2z 0.Д ИмеемАD:2 9=— 15+ 14-Следовательно, система имеет решения, отличные от нулевого. Реша« зм системупервых двух уравнений (третье уравнение является их следствием):ментам 3-и строки.[З х + 2 у — z = 0,\ a: + 2ï/ + 9z = 0.Отсюда по формулам (2) п . 1 получаем2 9=20/, t = -28/,222. Вычислить определитель2 一 17 23 —7, разложив егоМ.223. Вычислить определилинейной комбинации строк224. Вычислить определиРешить системы уравнені( 5а:— у — 2 = 0,225. \ x + 2 y + 3 z = H tV 4х-\-Зу-\- 2 г = 16.f —5 х + у + 2 = 0,227. :0’I х-\- у — 7г = 0.(а х Ь у cz = а — Ь’229. \ bx-{-cy+ a z = b— ct^ сх -{-ау-\- bz = c 一 ауесли а + Ь + с=/=0.,использовав4ö + 4 .d + 4( x + ôy—6 г = 12,226. j ^х-\-2у-\-Ъ г = — 10,V 2д: + 5г/— З г = 6.Г ズ+ У + 2 = 0,228. 3x + 6y+5z = 0t、х-{-4у -\-3z = 0.( ax-\-by + (a + b ) z = 0t230. ] bx + ay + (a + b) z = 0t、x ~\- l/ + 22 = 0.по элееоремуо

ГЛАВА MЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ§ 1 . ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕЕсли в пространстве задана прямоугольная декартова система координат OxtjZiто точка М пространства, имеющая координаты х (абсцисса), у (ордината) и z (аппликата),обозначается M (х\ у\ z).Расстояние между двумя точками А (д:,; у г \ 2j) и В (х.2\ у 2\ z2) определяется поформулеd = Y ~ (х.2— ぶі) 2+ ( " 2— Уі)2 + (г2 — 2і) 2.В частности, расстояние точки М (х\ у; г) от начала координат О определяетсяпо формулеd = y х ^ + у ^ + г \ (2)Если отрезок, концами которого служат точки А (хх; уぐ、г х) и В (х2; у2] г 2),разделен точкой С (х\ у\ г) в отношении 入 (см. гл. I ,§ 1),то координаты точкиС определяются по формуламГ ズ1+ 入 ズ2. 7 "1 + 入 " 2 . て—2"І + 入 之 2 ,*5、у = 1+ 入 ’В частности, координаты середины отрезка определяются по формулам一 ズ 1~}~ ズ 一 У \ У 2 一 - f- ?2 • ,; У = — 2 ; (4)231. Даны точки М 1(2; 4; —2) и М 2(—2; 4; 2). На прямойМ гМ 2 найти точку М , делящую отрезок М гМ 2 в отношении 入 = 3 .Д Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:尤 і + 人 ズ2 2 + 3 (—2) Ух - f 4 + 3.4м = ] ^ Г = . _ Т ^ 3 - = - 1’ ^ = - ' 1 + ^ = 1 ^ - = 4 .. г і + Хг3 - 2 + 3-2 ,глі = - т + Г Г + з- ^Следовательно, искомая точка M (—1 ;4 ;1 ).▲232. Дан треугольник: А ( 1;1;1), В ( 5 ; 1 ; —2), С (7; 9;1).Найти координаты точки D пересечения биссектрисы угла А состороной СВ.Д Найдем длины сторон треугольника, образующих угол А:\А С \ = Ѵ (хс — хАў + ^ с - У л ) 2 + (гс 一 " ^ ) ニ2 = / ( 7 - П 2 + ( 9 - 1 ) 2+ ( 1 - 1 ) 2 = 10;\A B \ = y r'(xß — xA)2 + (Ув —Уа)2 + — ZÀ)2= V (5— り2+ (1 — 1)2 + (—2— り2 = 5.⑴

Следовательно, | CD |:| DB | = 10:5 = 2, так как биссектриса дел иг сторону СВна части, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом,_ л :с + ^ я __7 + 2-5 17 ^ + — 9 + 2.1 — 111 + 2 — 3 , Уо — \ ~-i-K — 了 十 2 一 3 •искомая точка D (17/3,11/3,—1 ) . ▲内 _ zcÆ^zr —1+ 2 (—2) __ ,CD~ ~ \ + \ —— 1+2 —— 一 1’233. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А (2;- 4 ; 5) и В ( - 3 ; 2; 7).Д Пусть М 一 искомая точка. Для нее должно выполняться равенство | А \\ |== I MB \. Так как эта точка лежит на оси Ох, то ее координаты (дг; 0; 0), а потомуимеем\А М \=^У (x — 2)2 + ( — 4)2 + 52, \ М В \ = У (л: + 3)2+ 22 + 72.Отсюда после возведения в квадрат получаем(х— 2)2 + 41 = (л :+ 3 )2 + 53, или \0х = — 17, т.е. х = 一 1,7.Таким образом, искомая точка М (— 1,7; 0; 0).▲234. Даны точки А (3; 3; 3) и В (— 1;5; 7). Найти координатыточек С и D y делящих отрезок AB на три равные части.235. Дан треугольник: А (1;2; 3),В (7;10; 3), С (—1;3;1).Показать,что угол А — тупой.236. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинамиА (2; 3; 4), В (3;1;2) и С (4 ; 一 1;3).237. В каком отношении точка M , равноудаленная от точекА (3;1;4) и В ( 一 4; 5; 3), разделит отрезок оси Оу от начала координатдо точки С (0; 6; 0)?238. На оси Ог найти точку,равноудаленную от точек М 1(2;4;1)и М 2(—3; 2; 5).239. На плоскости хОу найти точку, равноудаленную от точекЛ (1 ;-1 ;5 ), ß(3; 4; 4) и С (4; 6;1).§ 2. ВЕКТОРЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИСвободный вектор а (т. е. такой вектор, который без изменения длины и направленияможет быть перенесен в любую точку пространства), заданный в координатномпространстве Oxyzy может быть представлен в виде^ = ах[ + ау) + ^Такое представление вектора а называется его разложением по осям координат,или разложением по ортам.Здесь ах , alJy az — проекции вектора а на соответствующие оси координат(их называют координатами вектора a), i, j, k — орты этих осей (единичные векторы,направление каждого из которых совпадает с положительным направлениемсоответствующей оси).Векторы ах\ у ау) и azk, в виде суммы которых представлен вектор а, называютсясоставляющими (компонентами) вектора а по осям координат.Длина (модуль) вектора а обозначается а или | а | и определяется по формулеа= Ѵ 0х-\~02у-\-а\,

Направление вектора а определяется углами а, ß и ү, образованными им сосями координат Ох, Оу и Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющиекосинусы вектора) определяются по формулам:cos а = ^ - = ах _ .а у а 2 + а 2 + а | а аНаправляющие косинусы вектора связаны соотношениемсоз2 а + cos2 ß + cos2 ү = 1 •Если векторы a и b заданы их разложениями по ортам, то их сумма и разностьопределяются по 中 ормулам= + \ )Jr{azJr^z) к ,а— Ь= (ах— bx)i + (aÿ — by) j + (az — bz) k.Напомним, что сумма векторов а и Ь, начала которых совмещены, изображаетсявектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма,Рис.16сторонами которого являются векторы а и Разность а- этих векторов изо­бражается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелограмма,причем начало этого вектора находится в конце вектора Ь, а конец — вконце вектора а (рис. 16).Сумма любого числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника(рис. 17).Произведение вектора а на скалярный множитель т определяется формулойт а = т а хі + т а у\ + mazk.Напомним, что векторы а и т а параллельны (коллинеарны) и направлены водну и ту же сторону, если /п > 0, и в противоположные стороны, если т < 0.В частности, если т = l /а, то вектор а/а имеет длину, равную единице, и направление,совпадающее с направлением вектора а. Этот вектор называют единичнымвектором (ортом) вектора а и обозначают а0. Нахождение единичного векторатого же направления, что и данный вектор а, называется нормированием вектораа.Таким образом, а0 = а/а, или а = аа0.Вектор ОМ, начало которого находится в начале координат, а конец — в точкеМ (л:; у\ г), называют радиусом-вектором точки М и обозначают г (М) илипросто г. Так как его координаты совпадают с координатами точки М , то егоразложение по ортам имеет видr = x \+ y ] + zk.Вектор AB, имеющий начало в точке A (х^, уг; z±) и конец в точке В (х2\Уг\ 22), может быть записан в виде ЛВ = г2 — г1г где г2 — радиус-вектор точки В,46

a Ti — радиус-векторточкиЛ. ПоэтомуразложениевектораA B поортамимеетвидA B = (х2— ズi ) і + (у2 —Уі) j + ( 2 2 — 2 i)k.Его длина совпадает с расстоянием между точками А и В:\ l B \ = d ^ = Y (x2— x 1)2 + (yz— y 1)2 + (22— 2і) 2.В силу приведенных выше формул направление вектора AB определяется направляющимикосинусами:Х-2----Х і 0 У 2 ----У і 2^2----cos ос = ■■■」 ; cos ß = - ■; COSY=— — *d d ' d240. В треугольнике ABC сторона AB точками М и N разделенана три равные части: | А М | = j M N \ = \ NB |. Найти вектор СТИ,если С А = а, СВ = Ъ.へ Имеем AB = b —а. Следовательно, Лто СМ = а + (Ь — а)/3 = (2а + Ь)/3. ▲= (Ь — а)/3. Так как СМ = С А -{-A M t241.В треугольнике ЛВС прямая А М является биссектрисойугла ВАС,причем точка М лежит на стороне ВС. Найти А М ,если AB = bt АС = с.イ • 一 '.iА Имеем В С ~ с — Ъ. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольникаследует, что 丨 ß M |:1 УИС j = 6:с, т. е. | ВМ \:\ ВС \ = b:(b-{-c). Отсюда получаем~ВМ = - ~ (с— Ь). Так как A M = A B -\-B M t то242. Радиусами-векторами вершин треугольника ABC являютсяг 1У г2 и г3. Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника.Д Имеем Ж := г3— r2; BD = {r3— r 2)/2 (D — середина стороны_В С )\ Х в == Г2— г:; AD = BD -j- Л ß = (гз— [*2)/2+ г 号 — Гі = (г2 + Гз— 2гі)/2; A M = (2/3) AD(M — точка пересечения медиан), поэтому А М = (г2 + г3 — 2гх)/3. Итак,г = ОЛ1= ï*i + Л А! = (г2+ Г3— 2 гі)/3-{-гі, или г = (Г];+ Г2 + Гз)/3. ▲243. Найти длину вектора а = 20і + 30j — 60k и его направляющиекосинусы.Д а = У 202 + 302 + 602 = 70; ros а = 20/70 = 2/7,cos ß = 30/70 = 3/7, cos7 = — 60/70 = — 6/7. ▲244. Найти вектор г. —AB, если А (1;3; 2) и В (5; 8 ; —1).Д Проекциями вектора AB на оси координат являются разности соответственныхкоординат точек В и А : ах = Ъ— 1 = 4 , ау = 8— 3 = 5, а2 — 一 1—2 = — 3.Следовательно, ЛБ = 4i + 5j — 3k. ▲245. Нормировать вектор a = 3i + 4j — 12k.Д Найдем длину вектора а:I а I = レ a l+ a l + al = } , 5 + 42 + (— 12 尸 = 1 3 .47

■ Искомый единичный вектор имеет вид ' ' - "а°= Т^Т= ----- із_ ^ = Й і 卜 й к。▲246. Дан треугольник ABC. На стороне ВС расположена точкаМ так, что I ВМ I : I MC \ = X. Найти Л М , если AB = b, АС ^ с.247. Дано ニ а + 2Ь,БС — — 4а 一 b, CD ニ — 5a — ЗЬ. Доказать,что ABC D — трапеция.248. Найти проекции вектора а на оси координат, если а —= ÄB + CD, А (0; 0 ;1 ),В(3; 2;1),С (4; 6; 5) и D {\\ 6; 3).249. Найти длину вектора а = mi + (m + 1)j + m ( т + І) к.250. Даны радиусы-векторы вершин треугольника ABC: тл == i + 2j + 3k, гл = Зі + 2j + k , гс = i + 4j + k. Показать, что треугольникABC равносторонний.251• Вычислить модуль вектора а = і + 2j + k — (1 /5) (4і + 8j + Зк)и найти его направляющие косинусы.252. Даны точки М г (1;2; 3) и М 9(3; —4; 6). Найти длинуи направление вектора М ЛМ 2.253. Дан вектор а = 4і—2j + 3k. Найти вектор Ь, если 6 = а,Ьу ~ へ,и Ьх = 0.2&4. Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60°,а с осью Ог угол 45°, его длина г — 8. Найти координаты точки /М,если ее абсцисса отрицательна.255. Нормировать вектор а = і —2j—2k.§ 3. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ1. Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов a ii bназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла фмежду ними;а*Ь = а6 cos ф.Свойства скалярного произведения.1°. а*а = а2, или а2 = а2.2°. а*Ь = 0, если а = 0, либо Ь = 0, либо a l b (ортогональность ненулевыхвекторов).3°. a b = b a (переместительный закон).4°. а-(Ь + с) = а*І> + а.с (распределительный закон).5°. (т а ).Ь = а• (mb) = т (а• Ь) (сочетательный закон по отношению к скалярномумножителю).Скалярные произведения ортов осей координат: •i2 — j2 = к2 = 1 , i*j = i*k = j*k = 0.Пусть векторы а и b заданы своими координатами: a = X ii~ f г/іі + 2ік , b == х21 -\-У2]-!г г^ - Тогда скалярное произведение этих векторов находится по формулеа • b = ХіХ2 + У1У2 Ч- ^iZ2>2. Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор bназывается третий вектор с, определяемый следующим образом (рис. 18):1 ) модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на вектораха и b (с — ab sin ф, где ф — угол между векторами а и Ь);2) вектор с перпендикулярен векторам а я Ь;3) векторы а, Ь, с после приведения к общему началу ориентированы по от-

ношению друг к другу соответственно как орты i , ] , к (в правой системе коор*динат образуют так называемую правую тройку векторов).Векторное произведение а на b обозначается через axb.Свойства векторного произведения.1°. bxa = — a x b , т. е. векторное произведение не обладает переместительнымсвойством.2°. a x b = 0, если а = 0,либо Ь = 0,либо а ||b (коллинеарность ненулевых векторов).3°. (ma)Xb — aX(mb) = m (aXb) (сочетательное свойство по отношению к скалярномумножителю).'4°. ax(b + c)—axb + axc (распределительное свойство).Векторные произведения координатных ортов i, j и к:ІХ* = jX j = к х к = 0,ІХ j = — j x i = к; jx k = — k X j = i ; k x i = — îXk = j.Векторное произведение векторов a —л:і і + ^ іі + 2ik и b = x2i + у2) + 22k удобнеевсего находить по формулеaxb = хі уі zi .ズ2 У2 Z23. Смешанное произведение. Смешанным произведением векторов a, b и с называетсяскалярное произведение вектора aX b на вектор с, т. е. (аХ'о)*с.Смешанное произведение трех векторов а, Ь, с по модулю равно объему параллелепипеда,построенного на этих векторах. -Свойства смешанного произведения.1°. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность).2°. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местамизнаки векторного ( х ) и скалярного (•) умножения, т. e. (аXЬ)• с = а• (bX с).В силу этого свойства смешанное произведениевекторов a, b и с условимся записывать в видеabc.3°. Смешанное произведение не изменяется, еслипереставлять перемножаемые векторы в круговомпорядке:abc — bca = cab.■4°. При перестановке любых двух векторовсмешанное произведение изменяет только знак:bac = — abc; cba = 一 abc; acb = — abc.Пусть векторы заданы их разложениями по= Jt:2i4 ~ "2j + 22k; с = л:3і + у3і + г3к. Тогда1 -1 1222333ортам: a =i/ij + ^xk; bИз свойств смешанного произведения трех векторов вытекает следующее:необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служитусловие abc^O ;'объем Ѵ і параллелепипеда, построенного на векторах a b и с, и объемобразованной ими треугольной пирамиды находятся по формуламК і = | abc I, = 4 = + 1 abc j.49

256. Найти скалярное произведение векторов a = 3i + 4j + 7k иb = 2 i— 5j + 2k.А Находим а.Ь = 3 .2 + 4 (—5) + 7.2 = 0. Так как а-Ь = 0 и а ^ 0, b ^ 0, тоа 丄 Ь. ▲257. Даны векторы a = mî + 3j + 4k и b = 4 i+ m j~ 7 к . При какомзначении т эти векторы перпендикулярны?А Находим скалярное произведение этих векторов : а • b = 4 т + 3/п— 28; таккак a lb , то а .Ь = 0 . Отсюда 7 т — 28 = 0,т. e. т = 4. ▲258. Найти (5а + ЗЬ)-(2а— Ь), если а = 2, Ь = 3, a 丄 Ь.^..(5 а + ЗЬ).(2а— Ь )=10а2— 5a-b + 6a-b— 3b2 = 10а2— ЗЬ2 = 40— 27 = 13. ▲(259J Определить угол между векторами a = i + 2j + 3k и b = := 6і + 4 j— 2k.Д Так так a-h=ab cos ф, то cos ф = . Имеем а.Ь = 1 .6 + 2.4 + 3 (—2) = 8 §a = V \ + 4 + 9 = y r Ï 4 t b = Y 36+16 + 4 = 2 ^ 1 4 .8 2 2Следовательно, cos ф — — -—----- ;= = — и © = arocos — . ▲Y 14.2 厂 14 7 т 7 Ä260. Наити векторное произведение векторов a = 2i + 3j + 5k иb = і + 2j + к.А Имеемa x bäXb = — 7i + 3j + k. ▲3OÄ1 1261. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахa = 6i + 3 j— 2к и b = 3i—2j + 6k.Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площадипостроенного на них параллелограмма, то 5 = | a x b | = У 142 + 422-f2 1 2 =49 (кв. ед.). ▲

Следовательно^5 л в с = 4 - і 丨 Лパ0 В х入 パЛС\-- し 丨 — -V 16 + 64+16 = ドS (кв. ед.) А263. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на вектораха + ЗЬ и За + Ь, если | а | = | b | = 1 , (а, Ь) = 30°.Д Имеем(а+ ЗЬ) X (За + Ь) = За X а + а X b + 9b X а + ЗЬ X b += 3.0+aXb—9ахЬ + 3.0 = — 8а x b(поскольку axa = b xb = 0, Ь х а = — axb). Итак,5 = 8 I a x b | = 8* 1.1.sin 30° = 4 (кв. ед.). ▲264. Найти смешанное произведение векторов а = 2і — j — k,b = i + 3j — k, ニi + j + 4k.Д abc =2 —1—1 + н 4265. Показать,что векторы а:і + 2j + 2к компланарны.Д Находим смешанное произведение векторов:abc :5 7j J j [= 2 6 + 5 + 2 = 33. А2i + 5j + 7k, b = i + j — к, с =2 2 2 +7 :8 — 15 + 7 = 0.Так как аЬс = 0, то заданные векторы компланарны. ▲с 26бГ>Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2; 2; 2),3), С (4; 5; 4) и D (5; 5; 6).へ Найдем векторы AB, АС и AD, совпадающие с ребрами пирамиды^сходящимися в вершине А: A ß = 2i + j + k, ЛС = 2і + 3】+ 2к, A D = 3i + 3j + 4k.Находим смешанное произведение этих векторов:ABACAD2 113 2 2 2 2 32 3 2 = 2 — 1- 3 4 3 4 + 1*3 33 3 4:2 .6 — 1.2— 1.3 = 7.Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного навекторах AB, АС и AD, то У = 7/6 (куб. ед.). ▲267. Вычислить (а 一 b) (b—с) (с— а).Д Так как (а — b) + (b — с )+ (с — а) = 0, то эти векторы компланарны (рис. 19).Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: (а— b) (Ь — с) (с — а )== 0 . ▲268. Найти скалярное произведение векторов За— 2Ь и 5а — 6Ь,если а = 4, & = 6 и угол между векторами а и b равен л/3.269. Определить угол между векторами a = 3i + 4j + 5k и b == 4i + 5 j— 3k.270. При каком значении т векторы а = т і + j и b = 3 i—3 j+ 4 kперпендикулярны?51

271. Найти скалярное произведение векторов 2а + ЗЬ + 4с и---- ^5а + 6Ь + 7с,если 1 ,6 = 2, с = 3, а (а, Ь) = (а, с) = (Ь, с) = л/3.272. Найти работу силы F на перемещении s,если s^=5,Ф = (F, s) ニ jt/6.273. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторамa = i + j + 2k и b = 2i + j + k.274. Векторы а, Ь,с имеют равные длины и образуют попарноравные углы. Найти вектор с, если a = i + j ,b = j + k-275. Даны векторы a = 2i + 2j + k и b = 6i + 3j + 2k. Найти праЬи прьа.276. Даны радиусы-векторы трех последовательных вершин параллелограммаABCD: г i = i+ j+ k , r ß= i+ 3 j+ 5 k ,rc= 7 i+ 9 j+ llk .Рис.19Опреде делить радиус-вектор четвертой вершиныD.277. Показать, что векторы а и b немогут быть перпендикулярными, если а • і > О,a -j > 0, а -k > 0, Ь і < 0, b .j く 0, b k уい у2У уЗУ г ІГг 2, г3 удовлетворять уравнениям•123•12^3z1z2Z3Л'1ズ2+ УіУч + г1г2 — 0 ,XiXs + ijiys + ZiZs^O,入 -2 ぶ3 + У2Уз ~i~2:2Z3 — 0?280. Найти векторное произведение векторов а = 2» + 5j + ки b ニ i + 2j — Зк.281. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2; 2; 2),В (4; 0; 3) и С (0;1;0).282. Найти смешанное произведение векторов і — j + k ,b == i + j + k ,c = 2 i + 3j + 4k.283. Показать, что векторы a = 7i — 3j + 2k,b = 3i — 7j + 8k,c = i — j + k компланарны.284. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинамиА (0; 0 ; 1 ),В (2; 3; 5), С (6; 2; 3) и D (3; 7; 2). Найти длинувысоты пирамиды, опущенной на грань BCD.285. Показать,что точки А (5; 7; —2), В (3;1;—1),С (9; 4; —4)и D (1;5;0) лежат в одной плоскости.

ГЛАВА U lАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕплоскость ИПРЯМАЯ1.Плоскость.1) Уравнение плоскости в векторной форме имеет видГ П — /t7.Здесь т = х \у] zk — радиус-вектор текущей точки М (^; у: г) плоскости; п ~= - i cos а + j cos ß + k cos y — единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра,опущенного на плоскость из начала координат; а, ß, у — углы, образованныеэтим перпендикуляром с осями координат Ох, Оу, Oz; р — длина этогоперпендикуляра.При переходе к координатам это уравнение принимает видx cos а~\-у cos ß + 2 cos у — p = 0 (1)(нормальное уравнение плоскости)2) Уравнение всякой плоскости может быть записано также в кидеА х-\- By -j- Cz-{-D — 0t (2)если Л2 + В2 + С2 Ф 0 (общее уравнение). Здесь А, В, С можно рассматриватькак координаты некоторого ректора 14 = d i + ß j + Ck, перпендикулярного плоскости(нормального вектора плоскости). Для приведения общего уравнения плоскостик нормальному виду надо все члены уравнения умножить на нормирующиймножитель: 士 і / " = 土 \!Ү л 2+ 0 2+ с 2, (3)где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем-уравнении плоскости.3) Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнениемЛх-^ By-\-Cz~]-D^Q:^ =0; параллельна оси Ох;В--с :D :» » Оу;》 》 Ог;проходит через начало координат;" перпендикулярна оси Oz (параллельна плоскости хОу);ß: :С :с = = о0ОуОхA = D = 0 проходит через ось ОхS — D = 0 》 》 » ОуС = 0 — 0 》 》 » OzA = ß = D = 0; совпадает с плоскостью хОу (г ~ 0 );А = С = D = 0; » 》 》 xOz ( у ~ 0);B ~ C = D = 0\ » » » yOz (х ~ 0 ).Если в общем уравнении плоскости коэффициентчлены уравнения на —D t уравнение плоскости можно令 + 1 + トixOz);yOz);D 0, то, разделив всепривести к виду(здесь а — 一 D /A , b ~ —D /B t c = —DjC). Это уравнение называется уравнениемплоскости в отрезках : в нем а, b и с — соответственно абсцисса, ордината и аппликататочек пересечения плоскости с осями Oxt Оу и Ог.(4)53

4) Угол ф между плоскостями Лхл: + В іу + С і2 + = 0 и + 十+ D2 = 0 определяется по формулеr.os(p = - , - - + + . . (5)VA \-\-B \ + C lV A l + B l + ClУсловие параллельности плоскостей:A1/A2= Bi/B2 = C1/C2»Условие перпендикулярности плоскостей:バ1バ 2 + 石 1 石 2+ Сі_С*2 = 0 . (7)5) Расстояние о т точки М 0 (х0\ у0; г0) до плоскостиt определяемой уравнениемA x-\-B y-\-C z-\-D = 0У находится по формуле丨 Л ズ0 + ^ / 0 + Cz0 + Z) Iу Л2+Б2+ С2Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координатточки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризуетвзаимное расположение точки и начала координат относительно даннойплоскости: 《плюс», если точка М 0 и начало координат расположены по разныестороны от плоскости, и くぐминус», если они расположены по одну сторону отплоскости.6) Уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (ズ0; у0\ z0) и перпенди^кулярной вектору N = Лі + ßj + Ck, имеет видЛ (х 一 л:0) + Б (у— Уо)-\-С (г — z0) = 0. (9)При произвольных значениях А, В w С последнее уравнение определяет некоторуюплоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через точку М 0.Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей,7) УравнениеА іХ -{-Вгу -\-C1z-\-D 1 + X (Л2х + В2у + C2z + D2) = 0 (10)при произвольном значении X определяет некоторую плоскость, проходящуючерез прямую пересечения плоскостейЛіХ В іу С xZ D i = 0 (I) и А^х В2У -f- C2z -}- D2 = 0, (II)т. е. некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих черезэту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучкаплоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (I) и (II), параллельны,то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельныхэтим плоскостям.8) Уравнение плоскости,проходящей через т р и заданные точка М 1 (гг), М 2 (г2),М 3 (г3) (здесь г ^ ^ і + ш + гік; r2 = x2i-j-ï/2j + 22k; r 3 = x3\-\-y a)-\-z3k), прощенайти из условия компланарности векторов г—гь г2— г1} г3—Гх, где г = хі ++ " j + 2k — радиус-вектор текущей точки искомой плоскости М :или в координатной форме:(г—Гі)(г2—ri) (г3—Гі) = 0,х — хі у — уі Z— ZiХ2 一 Х1 У2 一 Уі Z2 一 Z1x 3 一 X1 Уз 一 У і z3 一 2^1286. Уравнение плоскости 2х-\-Зу — 62 + 2 1 = привести 0 к нормальномувиду.Д Находим нормирующий множитель (который берем со знаком «минус»,поскольку Z) = 21 >0): fx = — 1/ド 22+ 3 2+ 62 = — 1/7. Итак, нормальное уравнениезаданной плоскости имеет вид 一 (2/7) х — (3/7) у-{-(6/7) z — 3 = 0 "(б)(8)(11)54

287. Определить расстояние от точки М 0 (3; 5; — 8) до плоскости6х— 3y-\-2z— 28 = 0.Д Используя формулу (8) расстояния от точки до плоскости, находимパ—16.3—3.5 + 2 .(_ 8 ) — 28 丨 灶у 62 + 32 + 22Так как результат подстановки координат точки М 0 в нормальное уравнениеплоскости отрицателен, то и начало координат лежат по одну сторону отзаданной плоскости. ▲288. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ (2; 3; 5) и перпендикулярной вектору N = 4i + 3j + 2k.Д Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей черезданную точку и перпендикулярной данному вектору:7 •4 (д: 一 2) + 3 ( " — 3) + 2 (z— 5) = 0 , т. e. 4x~\-3y-}-2z — 27 = 0. ▲289. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3 ; —1 )параллельно плоскости Ъх— 3// + 2 г— 10 = 0.Д Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную точку:Л(х—2) + В (г/— 3) + С ( г + 1 ) = 0 .Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором п === ( 5 ; —3; 2) данной плоскости; следовательно, Л = 5, В = —3, С = 2 и уравнениеискомой плоскости примет вид5 (х—2)—3 (у_ 3) + 2 ( г + 1)=0, или 5х—3ダ+22+1 = 0. ▲290. Из точки Р (2; 3; — 5) на координатные оси опущеныперпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей черезих основания.Д Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости,служат следующие точки: М± (2; 3; 0),М 2 (2; 0; —5),М 3 (0; 3; —5). Используясоотношение (11),запишем уравнение плоскости, проходящей через точки А іі,М 2, М3:x — 2 у — 3 z0 一 3 一 5 = 0 ,или 15ズ+ 1 0 " — 6г— 60 = 0. ▲—2 0 —5291. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуА (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.Д Используя уравнение (4) плоскости в отрезках, в котором а = Ь = с, имеемx / a + y /a + z la = \. Координаты точки А удовлетворяют уравнению искомой плоскости,поэтому выполняется равенство 5/а + 4/а+ 3/а = 1 , откуда а = 12. Итак,получаем уравнение x -\-y -\-z — 12 = 0. ▲292. Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей х-\-у-\-Ъ г — 1=0, 2х-\-2>у—г + 2 = 0 и черезточку М (3; 2;1).Д Воспользуемся уравнением (10) пучка плоскостей:x-\-y-\-5z — 1+ X. {2х+ Зу 一 2+ 2) = 0.5 5

Значение X определяем из условия, что координаты точки М удовлетворяют этомууравнению: 3 + 2+5— 1+ 人 (6+G—1+2) = 9 + 1 3 入 = 0 , откуда 人 = —9/13. Такимобразом, искомое уравнение имеет видх-\-у-{-Ъг— 1 — 巧 (2ズ+ 3 ダ— 2 + 2 ) = 0, или Ъх-\-14у— 74г + 3 1 = 0 . ▲293. Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей л: + Зг/ + 5г — 4 = 0 и х —у — 2г + 7 = 0 ипараллельной оси Оу.Д Воспользуемся уравнением пучка плоскостей:л:+3(/ + 5г— 4 + 入 (jc— у — 2 z + 7 ) = 0;( 1 + 人 )д:+ ( 3 — 人 ) г/+ (5 — 2Х) 2 + (7 人 ー 4) = 0.Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициентпри у должен быть равен нулю: 3 — 入 = 0 , т. е . 入 一 3. Подставив найденное значение入 в уравнение пучка, получаем 4х— г + 17 = 0. ▲294. Найти уравнениеплоскости, проходящей через точкиバ ( 2 ; — 1;4) и ß (3; 2 ; — 1 ) перпендикулярно плоскости х -\-у ト2 г——3 - 0Д В качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять вектор,перпендикулярный вектору А В ~ { \ \ 3 ; —5} и нормальному вектору п =={1;1;2} данной плоскости. Поэтому за N примем векторное произведениеAB и п:-АВхп- 3Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку(например, А) перпендикулярно заданному вектору N = {11;—7;—2}:11(л:— 2)— 7 (^ + 1 ) — 2 (г— 4) = 0,или 11л:— 7^— 22— 2 1 = 0 . ▲295. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуМ ( 3 ; — 1 ; —5) и перпендикулярной плоскостям Зх— 2 у ~= 0 и Ъх— 4"^~3г+1=0.Д Очевидно, что в качестве нормального вектора івзять векторное произведение нормальных векторов пх =данных плоскостей:-2 2-4 3 + JこПхХп235丁 И-2 2-4 3I искомой плоскости можно{3; — 2; 2} и п2= {5 ; 一 4; 3}:2і- 2k.Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку М (3;一 ] ; —5) перпендикулярно вектору N = {2;1; 一 2}, получаем2 (д:—3) + ( у + 1)— 2 (г+5) = 0, или 2х-\-у— 2г— \Ъ~296. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей:1 ) х -\-у — г — 2 = 0; 2) Зх-\-5у — 42 + 7 = 0.297. Найти расстояние от точки М 0 (1;3;— 2) до плоскости56

2х 一 Ъу — 4 г + 12 = 0. Как расположена точка М 0 относительно плоскости?298. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М 0 (2;3;—-5) на плоскость 4х— 2" + 5г — 12 = 0.299. Найти уравнение плоскости, проходящей:1 ) через точкуМ ( — 2; 3; 4),если она отсекает на осях координат равные отрезки;2) через точку N (2;— 1;4), если она отсекает на оси Oz отрезоквдвое больший, чем на осях Ох и Оу、300. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р (2;0;— 1 )и Q (1;— 1;3) и перпендикулярной плоскости Зх + 2у — г -\-+ 5 = 0.301. На плоскости 2х— 5е/ + 2г + 5 = 0 найти такую точку М,чтобы прямая ОМ составляла с осями координат равные углы.302. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р (4; — 3;12)служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координатна эту плоскость.303. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координатперпендикулярно плоскости Зх— 4" - 卜 5г — 12 = 0.304. Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково удаленыот точек Р (1;— 4; 2) и Q (7;1;—5).305. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Р (0;2; 0) и Q (2; 0; 0) и образующей угол 60° с плоскостью х = 0.306. Вычислить угол между плоскостями, проходящими черезточку M (1;— 1;— 1 ) ,одна из которых содержит ось Ох, а другая—ось Oz.307. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координати через точки Р (4; 一 2;1)и Q (2; 4;—3).308. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересеченияплоскостей 2 х -\-2 у -\-г— 7 = 0,2х— " + 3 г 3 = 0 ,4ズ+ 5у —— 2г — 12 = 0 и через точки М (0; 3; 0) и N (1;1;1).309. Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей х-\-Ъу-\- 9z— 13 = 0, Зх— у — 5г + 1 = 0 ичерез точку М (0; 2;1).310. Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей х + 2// + Зг— 5 = 0 и Зл:— 2г/ — z - f 1—0 иотсекающей равные отрезки на осях Ох и Oz.3 1 1 .Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей 2) х-{-2у-\-2г — 4 = 0 , ぶ+ " + г + 1 = 0и образующей с координатной плоскостью хОу угол 60°.312. Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей 2х— у — 12г — 3 = 0 и Зх + у —7г —2 = 0 иперпендикулярной плоскости х + 2у-(-5 г 一 -1=0.313. Составить уравнение плоскости, проходящей через линиюпересечения плоскостей А + В^у + С,г + = 0 и А 2х-\- B2y-{-C 2z ++ D 2= 0 и через начало координат.314. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуЛ1(0; 2;1)и параллельной векторам a = i + j + k и b = і 4- j — k.315. Какой угол образует с плоскостью х~\-у-\-2г — 4 = 0 векторa = i + 2j + k?5 7

2. П рям ая.1 )Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостейВ ]у-іг С1г D 1= О,バ2ぶ+ ^2У~[~ C2Z-\-D2 = 0,пересекающихся по этой прямой.2) Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравненияx = û2 + c, y ~ b z -\-d . Здесь прямая определена двумя плоскостями, проецирующамиее на плоскости хОг и tjOz.3) Уравнения прямойt проходящей через две точки Ліх (xL; t/х; и М г (х2;Уі\ 22), имеют видх — хі — У 一 У і 一 z — zi ⑴x -2 一 XL У і— У і Z2 一 ZlТак называемые канонические уравнениях 一 х\ У — У і—_2 — ЧI пг попределяют прямую, проходящую через точку М (л^; ух\ гг) и параллельнуювектору s — /і + mj + nk. В частности, эти уравнения могут быть записаны в видеX — lf — У\ Z — Zjcos a cos ß cos у \где а, ß и у 一 углы, образованные прямой с осями координат. Направляющиекосинусы прямой находятся по формулам(2)C0S^ Y W W W ' cosy=v W W + ^ ' (3)5) От канонических уравнений прямой, вводя параметр t t нетрудно перейтик параметрическим уравнениям:f X == ІІ —]—Xfj] y=mt-^yü ⑷. \ Z = nt6) Угол межди двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями(х —x\)ß \ — (у— y ù i^ x — (z— ^ і)іпі и (х — ぶ2)バ2 = 0/— y ù im ‘2 = 、z— 之 2) / " 2,определяетсяпо формулеусловие параллельности двух прямых:,1,2 爪 1 爪 2」「^1^2COS ф = (5)l l+ m l+ n i ] / Щ + Ш Іусловие перпендикулярности двух прямых:11І12^ т 1;т 2 = п1/п 2; (6)^1^2 Н- ^1^2 ~ (7)7) Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых, заданныхих каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двухпрямых):ズ2— ズІ У-2— Уі Q — むl x mL ni 』•: (8)І2 饥 2 れ2Если величины Іх> т ІУ пг не пропорциональны величинам л2* то указанноесоотношение является необходимым и достаточным условием Пересечениядвух прямых в пространстве. - ' て .5 8

8) Угол между прямой (x_ x ^ 'l = (y_ У і) / т —(г— Zi)/n и плоскостьюA x-^B y-^C z-^-D — O определяется по формулеусловиеsin Ф —----- 1 - /mу Л2+ В2 + С2 • ダ> + m2+ n2.’параллельности прямой и плоскости:А1 + В т + С п ^ 0 ; (10)условие перпендикулярности прямой и плоскости:A jl = В / т = С /п, (11)9) Для определения точки пересечения прямой (х — х0)/1 ~ (у— " 0) / т == (г — z0)/n с плоскостью Лх-{- Ву-\-Сг-\~0 = 0 нужно решить совместно их уравнения,для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямойx ^ i t + x 0i y = mt + yQi z = nt + z0:а) если A I - f В т -j- Сл 0, то прямая пересекает плоскость;б) если A l-\-B m JrC n = 0 и Лх0 + ßi/o + Cz0 то прямая параллельнаплоскости;в) если А 1-\-В т-\-С п=^0 и Лх0 + ByQ+ Cz0 + D = 0, то прямая лежит в плоскости.316. Уравнения прямых 2х— 1/-\- Зг 一 1=0 и 5x-j-4i/— z 一 7 == 0 привести к каноническому виду.Д I способ. Исключив сначала у, а затем z、имеем13Х+1І2—11=0 и М х-^ \ \у — 22 = 0.Если разрешить каждое из уравнений относительно xt то получим___П ( " — 2) 一 11(:г —1)т x —у —2 一 г —1— 17 — і з , . . 一 1 1 1 7 — 13 .II способ. Найдем вектор s = /і + mj + nk,* параллельный искомой прямой.Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам Ni = 2і — i + 3 kи N2 — 5І + 4І — k заданных плоскостей, то за s можно принять векторное произведениевекторов N i и N2:s = N1x N 2 =lli+ 1 7 j+ l3 k .Таким образом, / = 一 1 1 ;т = 17; п — 13.В качестве точки М г (хі; 2і), через которую проходит искомая прямая,можно взять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, напримерс плоскостью yOz, Так как при этом л:і = 0, то координаты " і и z± этой точкиопределятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить0:/ — г/+ 3 г— 1 - 0 ,\ 4у—г —7 = 0.Решая эту систему, находим уг = 2, = 1 .Итак, искомая прямая определяетсяуравнениями х/(— 1 1 )= (г/_ 2)/17 = (г — 1)/13. ▲317. Построить прямую ゴ = = 00 ,Д Искомую прямую можно построить как линию пересечения плоскостей. Дляэтого запишем уравнения этих плоскостей в отрезках на осях: д :/4 ,5 + у/3 + 2/3 == 1 , х/2-\-у/^-\- z /S = 1 . Построив данные плоскости, получим искомую прямую(рис. 20). ▲С9

318. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую(x— 2)/2 = {у — 1)/3 = (z 一 3)/1•ДИспользуя условие (11) перпендикулярности прямой и плоскости и полагаяЛ = /, B = mt С = n , D = 0, составим уравнение плоскости, проходящей черезначало координат и перпендикулярной заданной прямой. Это уравнение имеетвид 2д: + 3(/-|-2 = 0.Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрическиеуравнения прямой запишутся так: лс = 2/ + 2, y = 3 t-}-\, z— / + 3. Для определенияt имеем уравнение 2 (2/ + 2) + 3 (3/ 十 1).++ / + 3 = 0,откуда / = — 5/7. Координаты точкипересечения ズ= 4/7, у = 一 8/7, 2 = 1 6 /7 , т.е.М (4/7; - 8 /7 ; 16/7).Остается составить уравнения прямой, проходящейчерез начало координат и через точкуЛі; используя соотношения (1), получимх /(4 /7 )= у /(— 8/7) = 2/(16/7), или х /\ = у ! (—2、== 2/4. А319. В уравнениях прямой xj2 == у/(— 3) = z/n определить параметр п так,чтобы эта прямая пересеклась с прямой(ズ+ 1)/3 = (" + 5)/2 = г バ , и найти точкуих пересечения.А Для нахождения параметра п используем условие (8) пересечения двухпрямых; полагая х і = — 1 , У і~ — 5, х2 = 0, r/2 —0, г2 = 0, /і = 3, т х = 2tПі=1,/2 = 2, т 2 = — 3, п2 = пу получим15 О32 1=0, или 2/г + іО + З — 15/г = 0, т.Чтобы наити координаты точки пересечения прямых х/2 = у К 3) = 2/1 и(ズ+ 1)/3 = (у + 5 )/2 = г/1, выразим из первых уравнений х и у через г: х ^ 2 г уу ニ— 3z. Подставляя эти значения в равенство (ズ+ 1)/3 = (ダ 5)/2, имеем(2 г+ 1)/3 = (— Зг + 5)/2, откуда г — \. Зная 2, находим х = 2г = 2, у = — Зг == 一 3. Следовательно, М (2; — 3;1).▲320. Составить уравнения прямой, проходящей через точкуМ (3; 2;— 1)и пересекающей ось Ох под прямым углом.Д Так как прямая перпендикулярна оси Ох и пересекает ее, то она проходитчерез точку N (3; 0;0). Составив уравнения прямой, проходящей через точкиМ и N t получаем (д: — 3 )/0 =2) = ( г + 1),1.▲321. Дана плоскость х + у — 2z — 6 = 0 й вне ее точка М (1;1;1).Найти точку N 、симметричную точке М. относительно данной плоскости.Д Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку М :(х— 1)// == (у— \)/m = (z— \)/п. Координаты {/; т \ п) направляющего вектора прямой,перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального векторап = {1;1; 一 2} данной плоскости. Тогда уравнения этой прямой запишутсяв виде (х—1)1=(у— 1)/1= (г— І)/( 一 2).Найдем прѳекцию точки М на данную плоскость, решив совместно уравнениях-\-у— 2г— 6 = 0, (д:— 1)/1 = (у — \)/\ = ( 2 — 1 ) ( — 2).6 0

Перепишем уравнения прямой в виде x = t - \ - \ yy = t - [ - \ t z = — Подставляяэти выражения для x, у n z ъ уравнение плоскости, найдем t = \ t откуда х = 2,і/ = 2, г = — 1.Координаты симметричной точки найдутся из формул л: = (ズ 別 + ズ#)/2, у == (Ум + Ы / 2 , г = (2л! + гЛг)/2, т. 2 = (1+д: 八 )/2,2 = ( \ + y NV2} 一 1 = (1 + гд г)/2 ,322. Дана прямая (х 一 1)/2 = "/3 = ( г + 1 ) /( — 1 ) и вне ее точка( 1 ; 1 ; 1 ) . Найти точку N 、симметричную точке М относительноданной прямой.Д Уравнение плоскости, проецирующей точку М на данную прямую, имеетвидЛ (л:— 1)+ ß (у—1)+С (z — 1 )= 0 .Координаты нормального вектора {А\ В\ С) плоскости, перпендикулярной прямой,заменим координатами направляющего вектора {2; 3; 一 1} данной прямой; тогдаполучим2 (х 一 1) + 3 (і/ 一 1) 一 (г 一 1)=0, или 2x-\-3y 一 г —4 = 0.Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему уравнений2jc+3 卜 г - 4 = 0, (лг-1)/2 = у/3 = ( г + 1 ) / ( - 1).Параметрические уравнения данной прямой имеют вид д: = 2/ + 1, y = 3 t,z == — t 1 . Подставляя х у у м z ъ уравнение плоскости, найдем t =1/14. ОтсюдаТогда координаты симметричной точки можно найти, используя формулы длякоордингт середины отрезка, т.е. 8/7 = (1+ ズ")/2 , 3 /l4 = ( l + ^ д г )/2 ,— 15/14 == U +2W )/2, откуда лгдг=9/7, ^ = — 4/7, 2д г = — 22/7. Итак, N (9/7; — 4/7;-2 2 /7 ). ▲323. Через прямую (jc + 1)/2 = {у — 1)/(— 1 ) = ( г 一 2)/3 провестиплоскость, параллельную прямой х/(— 1 ) = (" + 2j/2 = ( г — 3 )/(— 3).Д Запишем уравнения первой из заданных прямых с помощью уравненийдвух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и yOz:(х-\- \)/2 = (у 一 1)/(— 1 ) ,или х-\-2у — 1 = 0 ;(у_ 1)/( 一 1 ) = (г— 2)/3, или Зу-{-г 一 5 = 0.Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет видх-\-2 у — 1 + 入 (З у + г — 5) = 0 , или л: + (2 + 3 人 ) у + 入 г —(1+5 入 )=0.Используя условие параллельности прямой и плоскости, определим X так,чтобы соответствующая плоскость пучка была параллельна второй из заданныхпрямых. Имеем — 1•1 + 2 (2 + Зл)_ 3 入 = 0 , или 3 入 + 3 = 0, откуда Х = — 1.Такимобразом, искомая плоскость определяется уравнением х 一 у —г+4 = 0. ▲324. Найти уравнения проекции прямой (л:— 1)./1 = ( у + 1 ) / 2 = г/3на плоскость x -\-y -\-2 z— 5 = 0.Л Запишем уравнения заданной прямой в виде уравнений двух плоскостей,проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и хОг:(х— 1)/1= (у -\-1)/2, или 2х— у — 3 = 0;(х—1)1=г/3, или 3jc— г — 3 = 0.Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую, запишетсяв виде2х— у — 3 十 — z— 3) = 0, или (2 + 3>.) х — у — Кг— 3 (1 + > •)= ()•61

Используя условие перпендикулярности плоскостей, выберем из этого пучкаплоскость, проецирующую данную прямую на заданную плоскость. Имеем 1-(2 ++3À) + 1(— 1)-;-2 (—Я) = 0, или Я + 1 = 0 , откуда Я = 一 1 .Итак, уравнение проецирующейплоскости имеет вид2ズ 一 у — 3 + (— 1)• (Зл:— z 一 3) = 0, или х-\-у — z = 0.Искомую проекцию можно определить как линию пересечения двух плоскостей—заданной и проецирующей:! ぶ+ " + 2 г — 5 = 0,\x-\-y—2 = 0.Приведя эти уравнения прямой к каноническому виду, окончательно получим325. Составить уравнения прямой, проходящей через точкуМ (5; 3; 4) и параллельной вектору s = 2i + 5j—8k.Д Воспользуемся каноническими уравнениями прямой. Полагая в равенствах(2) 1 = 2, т = 5, п = — 8, а = 5, y i = 3f ^ = 4, получаем (х — 5)/2 = (//— 3)/5 == (z — 4)/(— 8). ▲326. Составить уравнения прямой, проходящей через точкуM (1;1:1)и перпендикулярной векторам sx = 2і + 3j + к и s2= 3i ++ j + 2k.Д Прямая параллельна вектору s !x s 2 = 5i—j — 7k, поэтому она определяетсяуравнениями (x— Ѵ)/5 = [у 一 l)/(— 1 ) = (г 一 1)/(—7). ▲327. Найти уравнения проекций прямой|л г+ 2 ^ /+ З г_ 2 6 = 0,-\З л: + г/-}-42— 14 = 0на координатные плоскости.328. Привести к каноническому виду уравнения прямойj2 x + 3 y — \6z— 7 = 0,\3 x -\-y — 17г= 0.329. Вычислить углы, образованные с осями координат прямой/ x—2у—5 = 0,( x — Зг + 8 = 0.330. Найти уравнения прямой, проходящей через точку M (1;—2; 3) и образующей с осями Ох и Оу углы 45。и 60。.331. Найти уравнения прямой, проходящей через точку N (5;— 1 ; —3) и параллельной прямой/ 2x-\-3y-\-z— 6 = 0,\4 ^ — Ъу— z + 2 = 0.332. Найти точку пересечения прямых (х — 1)/(— 1 ) = (у— 2 )/5 == (г + 4)/2 и (х— 2)/2 = (у— 5)/(— 2) = (z — 1)/3.333. Даны три последовательные вершины параллелограмма:А (3; 0 ; — 1), В ( 1 ; 2; —4) и С(0; 7; —2). Найти уравнения сторонAD и CD.334. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей черезточки М (2; —5;1)и N ( 一 1;1;2).62

335. Вычислить расстояние между параллельными прямыми= {у— 3)/2 = (г 一 2)/1 и (л:— 3),/1= ( " + 1)/2 = (г — 2)/1.336. Даны точки А ( —1;2; 3) и В (2; —3 ;1 ) . Составить уравненияпрямой, проходящей через точку М (3 ;—1;2) и параллельнойвектору AB.337. Найти угол между прямымиf 4х— у _ г + 1 2 = 0, ( Зх— 2у-{-16 = 0,\ у —z—2 = 0 \3л:—г = 0.338. В плоскости yOz найти прямую, проходящую через начало« / 2х—^ = 2,координат и перпендикулярную прямой |^_|_2г= —2.339. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (—2; 3; —5)и D (0; 4; —7) и точка пересечения диагоналей M (1;2; — 3,5).Найти уравнения стороны AB.340. Треугольник ABC образован пересечением плоскостил* + 2" + 4г — 8 = 0 с координатными осями. Найти уравнения среднейлинии треугольника, параллельной плоскости хОу.341. Даны точки А (1;1;1),В (2; 3; 3) и С (3; 3; 2). Составитьуравнения прямой, проходящей через точку А и перпендикулярнойвекторам AB и АС.342. Составить уравнения прямой, проходящей через точкуМ (0; 2;1)и образующей равные углы с векторами a = i + 2j + 2k,b = 3j, с = 3k.343. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую(х + 1)/3 = (/у — 2)/(— 1 ) = г/4 и перпендикулярной плоскости Зх + у —— z -j- 2 == 0.344. Найти уравнения проекции прямой х/2 = (и-\~3)/\=:— (г — 2)/(—2) на плоскость 2х-\-Зу— z — 5 = 0.§ 2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА1.Сфера. В декартовой системе координат сфера, имеющая центр в точкеС (а; Ь\ с) и радиус г, определяется уравнением(x—a)2 + (y— b)2 + (z— c)2 = r 2.Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет видx

Следовательно, центр сферы— точка С (1/2;— 1 ;0 ),а ее радиус г = 1/2. ▲346. Составить уравнение сферы, проходящей через точки А (1;2 ; —4), В (1;—3;1)и С (2; 2; 3), если ее центр находится в плоскостихОу.Д Так как точки А, В и С принадлежат сфере (х— а)2-\-(у— b)2-{-(z^ с)2 = г2уцентр которой находится в плоскости хОу (откуда с = 0), то их координаты должныобращать искомое уравнение в тождество; поэтому получаем уравненияОтсюдаили(1— め 2+ (2— わ)2+ (— 4)2 = 广 2, (1— û)2 + (— 3— の 2+ l 2 = r2,(2— û)2 + (2— の2+ 32 = 厂 2.(1— а)2 + (2—6)2+ 16 = ( l — a)2 + (— 3 — Ь)2+ 1 ,(1— fl)2 + (2 — わ)2+ l 6 = (2 — fl)2 + (2 — &)2 + 9,(2ー 6)2_ ( — 3 — 6)2 = — 15,т.е. 10^=10;(1 一 а)2 — (2— а)2 = — 7,т.е. 2а = —4,Итак, а = 一 2, b = 1• Следовательно, центр сферы — точка С (—2;1;0). Далее,находим г2 = (1— a)2-f-(2 一 6)2+ 16 = ( 1 + 2 ) 2 + ( 2 l)2+16 = 2è. Таким образом,искомое уравнение имеет вид (ズ+ 2)2 + { " — 1)2 + 22 = 26. А347. Найти координаты центра и радиус окружности/ ( ズ 一 3)2 + 0/ + 2)2 + ( г - 1 ) 2 = 1 0 0 ,1 2х — 2у— 2 + 9 = 0.Д Из центра сферы С (3;— 2 ;1 ) опустим на плоскость 2х— 2у— 2 + 9 = 0перпендикуляр, уравнения которого можно записать в виде(ズ 一 3),/2 = (у + 2 )/(-2 ) = ( z - 1 )/(-1 ) Н(в качестве направляющего вектора этого перпендикуляра можно взять нормальныйвектор заданной плоскости).Теперь найдем координаты точки пересечения прямой (ч:) с плоскостью2х — 2у — 2 + 9 = 0. Эта точка и есть центр окружности, являющейся сечениемсферы данной плоскостью.Записав уравнения прямой в параметрическом виде х== 2 ^ 3 , ^ = — 2t — 2,z = — t -\-1 и подставив x, у , z в уравнение плоскости, получим2(2/ + 3) —2(— 2/ —2) —(— ^+1)+ 9 = 0, т. e. t = ~ 2 .Следовательно, х = 2 (—2) + 3 = — 1,у = — 2 (—2) — 2 = 2,z = — (—2)+1=3,т.е. центр окружности находится в точке С (—1;2; 3).Найдем теперь расстояние d от центра сферы С (3;—2 ;1 )до плоскости2х — 2у — 2 + 9 = 0:à 2.3 + 2.2—1+9 fiド 22 + 22+ 1 . •Радиус окружности г определится из равенства r 2 = R2— d2, где R — радиус сферы;таким образом, г2= 100 — 36 = 64, т.е. г = 8. ▲348. Определить координаты центров и радиусы сфер, заданныхуравнениями:1)(х+1)2+ (" + 2)2+ 2 2= 25; 2) х2+ г2 一 む + 6 " ++ 2г — 2 = 0; 3) 2x2 + 2y2 + 2z2+ 4y — 3z + 2 = 0- 4) x2+ y2+ z2 = 2x\5) x2+ y2-г z2 = \z — 3.349. Как расположена точка Л1(1;—1;3) относительно сфер:1 )(x— 1)2 + (г/ + 2)2 + г2= 19; 2) x2 + y2 + z2— x + y = 0; 3) х2+ у2++ г 2— 4х + г/— 2г = 0?64

350. Составить уравнение сферы, если точки AI (4;— 1;—3) иіѴ (0; 3 ; — 1 ) являются концами одного из ее диаметров.351. Составить уравнения окружности, образующейся в сечениисферы (х— 1)2 - f {у— І)2+ (2 — З)'2= 25 координатной плоскостью г = 0.352. Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2+z2 = 100, 2 х + 2" — z =18.2. Цилиндрические поверхности и конус второго порядка. Уравнение видаF (х, у) = 0 в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, укоторой образующие параллельны оси Ог. Аналогично, уравнение F (x, г) = 0определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными осиОу, и F (у, г) = 0— цилиндрическую поверхность с образующими, параллельнымиоси Ох.Канонические уравнения цилиндров второго порядка:•^2= 1 — эллиптический цилиндр,ズ2^ — -т^-= 1 — гиперболический цилиндр,у2 = 2рх_ параболический цилиндр.Образующие всех трех цилиндров, определяемых этими уравнениями, параллельныоси Ог,а направляющей служит соответствующая кривая второго порядка(эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости хОу.Следует помнить, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически,либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнениянаправляющей эллиптического цилиндра, т. е. уравнения эллипса в плоскостихОу, имеют б идУравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которогослужит ось Ог, записывается в видеАналогично, уравненияa2 丁 Ь2 с2— *являются уравнениями конусов второго порядка с вершиной в начале координат,осями которых служат соответственно оси Оу и Ох.353. Какую поверхность определяют в пространстве уравнения:1 ) х2= 4у; 2) г2 = хг}Д 1 ) Уравнение х2 = Ау определяет параболический цилиндр с образующими,параллельными оси Ог. Направляющей цилиндрической поверхности являетсяпарабола х2 = Ау, 2 = 0.2) Уравнение z2 = xz может быть представлено в виде г (г— х) и распадаетсяна два уравнения: г = 0 и г = л*, т. е. оно определяет две плоскости — плоскость хОуи биссектральную плоскость г = х ,проходящую через ось Оу. ▲354. По какой линии пересекается конус x1- f у2— 2г2 — 0 с плоскостьюу = 2?3 До1474 65

Д Исключив из системы уравнений у, получим ズ2 + 4 — 2 之 2 = 0, или г 2/2 一一 д:2/4 = i . Следовательно, искомой линией пересечения является гипербола, лежащаяв плоскости у = 2; ее действительная ось параллельна оси Ог, а мнимая ■оси Ох. ▲355. Составить уравнение конической поверхности, вершинойкоторой служит точка М (0; 0;1),а направляющей — эллипс л*2/25 ++ が /9 = 1,z = 3.Д Составим уравнение образующей А М , где А (х0; t/0; г0) — точка, лежащаяна эллипсе. Уравнения этой образующей имеют вид х/х0 ~ у !у 0 — (г— 1);'(г0— 1).Так как точка А лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнениямэллипса, т. е . 巧 / 2 5 + 抑 /9=1,г0 = 3.Исключив теперь х0, у0 и z0 из системых/х0 = (г—1)/(г0— 1), г/,/ў0 = (г— 1)/(г0— 1 ) ,$ /2 5 + 始 /9 = し г0= 3,получим уравнение искомого конуса: x2j2S-\-y2ß — (z — 1)2/4 = 0. ▲356. Установить, какие поверхности определяются следующимиуравнениями, и построить эти поверхности:1 )х2+ /у2= 4; 2) х2/25 ++ ゲバ6 = 1;3 ) x2— у2 = 1;4) у2^ 2х\ 5) г2 = г/; 6) z-\-x2= 0; 7 )ズ2++ ゲ ニ 2"; 8) ゲ =0; 9 ) ズ2—г2ニ 0 ; 10) у ^ х у ,357. Составить уравнения линий пересечения конуса х2— ジ2+ г 2 = := 0 с плоскостями:1 )" = 2) 2 = 1;3) х =358. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат,направляющие которого заданы уравнениями;1) х — а , シ2 + г 2 == Ь2; 2) у = Ь, а-2+ 22ニ а2; 3) z^Cy x 2/ q 2 + y2/b2= 1 .3. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка. Если лежащаяв плоскости yOz кривая F (у, г) = 0, х ~ 0 вращается вокруг оси Oz, то уравнениеобразуемой ею поверхности вращения имеет видг ) = 0 .Аналогично, уравнение F (x, Ÿ г1) = 0 определяет поверхность, образованнуювращением вокруг оси Ох кривой F [х, у) = 0, г = 0; уравнение Ғ {ү ~ x2- f г 2,у ) ~ 0 — поверхность, образованную вращением той же кривой вокруг оси Ог/.Приведем уравнения поверхностей вращения второго порядка, образуемыхвращением эллипса, гиперболы и параболы Еокруг их осей симметрии.Эллипсоид вращениях2 + у2 . г2а - , 孑 = 1 ;осью вращения служит ось Ог; эллипсоид сжат при а > с и удлинен при а < і(при а = с он превращается в сферу).Однополостный гиперболоид вращения 9х2_|_"2 г2 ——^ — — 孑 ニ1しосью вращения является ось Ог (служащая мнимой осью гиперболы, вращениемкоторой образована эта поверхность).Двуполостный гиперболоид вращенияХ2-\-у2г2J = — Ьосью вращения является ось Oz (служащая действительной осью гиперболы, вращениемкоторой образована эта поверхность).G6

Параболоид вращенияx2 + y2 = 2pz;осью вращения служит ось Oz.Поверхности вращения второго порядка являются частным случаем поверхностейвторого порядка общего вида, канонические уравнения которых таковы:Э л л и п с о и д (трехосный)パ , у2 ( г 2û2 1 1с2 •Однополостный гиперболоид5 + 1 — を = 1 .Двуполостный гиперболоидл2 、у 2 г 2 ___7 十 庐 —7 — — しЭллиптический параболоиду + у = 2г (р > 0, ? > 0).Кроме этих четырех поверхностей второго порядка, трех цилиндров второгопорядка (эллиптического, гиперболического и параболического) и конуса второгопорядка, существует еще одна поверхность второго порядка — ги п е р б о л и ч е с к и йп а р а б о л о и д , каноническое уравнение которого имеет вид— — ^ = 2 г (р>0, q> 0).Таким образом, всего существует девятьразличных поверхностей второгопорядка.359. Найти уравнение поверхности, полученной при вращениипрямой х + 2г/ = 4, 2 = 0 вокруг оси Ох.Д Поверхностью вращения является конус с вершиной в точке М (4; 0; 0).Пусть произвольная точка А искомой поверхности имеет координаты X ; Y ; Z ;ей соответствует на данной прямой точка В (ズ;у ѣ, 0). Точки А и В лежат в однойплоскости, перпендикулярной оси вращения О х. Тогда X = х , Y 2- \ - Z 2 = y 2.Подставляя выражения для х и у в уравнение данной прямой, получим уравненияискомой поверхности вращения: X -j-2 y r F 2 + Z2 = 4 , или 4 (К 2 + Z 2) —_ ( Х — 4)2 = 0, т. е. 4У2 + 422 — (X — 4)2 ニ 0. ▲360. Какую поверхность определяет уравнение х2 = г/г?Д Произведем поворот координатных осей вокруг оси О х на угол а = 45°(от оси О у к оси Oz против часовой стрелки). Формулы преобразования координат:х ~ х г , y — y r cos а _ z r sin a, z — y r sin а + 2х cos а. Так ка к s in a — c o s a — ]/^ 2/2,то х = хг, у = (У" 2 /2 )(ゲ 一 г'), г = (Ү~2І2) (y' + z1).Подставив эти выражения в уравнение поверхности, получим x,z = уг /2 — г 'г 丨 2、или x ,z — г/,2у2 4 - г ,2/2 = 0 (конус с вершиной в начале координат, осью которогоявляется ось ординат). ▲361. Найти уравнение поверхности, полученной при вращениипрямой 2г/ + г —2 = 0, х = 0 вокруг оси O z ,362. Наити уравнения линий пересечения поверхности г=--хг — у%ПЛОСКОСТЯМИ Z ~ 1 , г/ = 1 , ズ = 1 , Z = — 1-363. Какие поверхности определяются уравнениям и;1) z = xyfО Произвести поворот вокруг оси О г на угол 45°.3* 67

364. Найти уравнение эллиптического параболоида, имеющегоБершину в начале координат, осью которого является ось Ог, еслина его поверхности заданы две точки М (— 1;— 2; 2) и N (\\ 1;1).365. Составить уравнение эллипсоида,осямн симметрии которогослужат оси координат, если на его поверхности заданы три точкиА (3; 0; 0) ,В (—2; 5/3; 0) и С(0;—1; 2 У'~5).366. Найти уравнения линии пересечения поверхностей г = 2 —— х 2— у 2 и Z = X 2 + l f .367. Исследовать, какие поверхности определяет уравнение г 2 ++ л:2 = m (г2 + у2) при: 1) т = 0; 2) 0 く ш く 1; 3 ) т > 1 ; 4) т < 0;5) т = \.4. Общее уравнение п о в е р х н о с т и в т о р о г о порядка. О б щ е е уравнение второйстепени относительно х } у и г имеет видA x2 + B y2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2F xy+ 2 G x + 2 Н у + 2 Қ г + 1 = 0.Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополостный или двуполостныйгиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндрическуюили коническую поверхность второго порядка. Оно может также определятьсовокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометрическогосмысла (о п р е д е л я т ь «мнимую» п о в е р х н о с т ь ).При D = 0, Е = 0 , F = 0 общее уравнение принимает видАх2 + 办 2 + Сг2 + 2Gx+ 2Ну+2/Cz + L = 0 .В этом случае уравнение легко упрощается с помощью параллельного переносаосей координат, что позволяет сразу установить его геометрический смысл.368. Каков геометрический смысл уравненияx2+ 4ゲ + 9г- + 12yz + 6xz + \х у — 4л* 一 8у— 12г + 3 = 0?Д Данное уравнение можно записать в виде(ズ+ 2 у + 3 2 )“ 4 3z) -f- 3 = 0.Разложим на множители левую часть уравнения: (х-~2і/-}-32— 1)(л* + 2у~|~3г— 3 )== 0 . Таким образом, уравнение определяет совокупность двух плоскостей л *+ 2 г/+十 З г— 1ニ 0,x - \ - 2 y - [ - '3 z — 3 = 0. ▲II л II389. Каков геометрический смысл уравненияx2 + ÿ 2 + г2— yz— х г — ху ~ 0?Д Умножая на 2,перепишем уравнение в виде2л 2 + 2у 2 + 2г2 — 2y z — 2x z — 2х у = 0,(Х -У )2 + ( У - 2 Ў + 2)2 = 0:Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек, для которыхвыполняю 丁 ся равенства х = у , y = z 、x = z. Таким образом, уравнение определяетпрямую x = y = z . к370. Каков геометрический смысл уравненияx2 + if- + ^z°--~2xy— 8z- 5 = 0?Д Перепишем уравнение в виде ( х — г/)2+ 4 ( г — I) 2 = 一 1 . Это уравнениене имеет геометрического смысла, так ка к его левая часть не может быть отрицательнойни при каких действительных значениях д г , н г. ▲68

371. Привести к каноническому виду уравнение4.ѵ2 + V + Зб22— 8л: — 18у— 72z +13-0.Д Сгруппируем члены с одинаковыми координатами:4 ( x 2— 2 х ) + 9 ( у 2 一 2 у ) + 36 (г2— 2 г )= — 13 •Дополнив до полных квадратов выражения в скобках, получим4 (х2— 2 х + 1) + 9 (у^— 2 у + 1)+ 36 (г2 — 2 г + 1 ) = — 13 + 4 + 9 + 36,или 4(л:— 1)2 + 9(у— 1)2 + 36 ( z ~ l)2 = 36.Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое началокоординат точку O r ( 1 ; 1 ; 1 ) . Формулы преобразования координат имеют видx = x f - \ ~ l f y = y r z = z r Тогда уравнение поверхности запишется так:4л:,2 + 9г/,2 + 36г,2 = 36, или Ѵ 2/ 9 + і / г/4 + г '2 = 1 .Это уравнение определяет эллипсоид; его центр находится в новом началекоординат, а полуоси соответственно равны 3 ,2 и 1 . ▲372. Привести к каноническому виду уравнениеx 2 一 у 1— \ x - \ - o y — 2г = 0.Л Сгруппируем члены, содержащие к и /у: ( х 2 — 4л:)— ( у 2 一 8y ) = 2 z . Дополняемдо полных квадратов выражения d скобках:(x2— 4jc + 4) — (у2— 8 //+ 1 6 ) = 2 г + 4 — 16, или ( х — 2)2 — ( у — 4)2 = 2 (г 一 6).Произведем параллельный перенос оссй координат, приняв за новое началоточку 0 ' (2; 4;6). Тогда jc = x ' + 2, у = ゲ + 4,г = г, + 6. В результате получаемуравнение x '2— y ,2 = 2z \ определяющее гиперболический параболоид. ▲373. Какая поверхность определяется уравнением4л:2— у 2 + 4г2 — 8х + 4 " + 8г + 4 = 0?Д Выполнив соответствующие преобразования, получим4 ( х 2— 2 х ) — ( у 2 — 4 夕 ) + 4 (z2 + 2z) = — 4;4 (х2— 2 х + 1) 一 (ゲ ー 切 + 4 ) + 4 (г2 + 2 г + 1 ) = — 4 + 4— 4 + 4;4 (ズ ー 1)2 一 け 一 2)2 + 4 (2+ 1)2 = 0.Ппоизведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое началоточку 0 ' ( 1 ; 2 ; — 1 ) . Формулы преобразования координат х = х г ^ у = у ' - \ - 2уz = z f — I . Тогда данное уравнение примет вид А х ' — у ' - \- A z ' = 0 , илих г2— ゲ2/4 + 2

Г Л А В А IVО П Р Е Д Е Л И ТЕЛ И И М А Т Р И Ц Ы§ 1 . ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕ п-ТО ПОРЯДКАОпределитель четвертого порядка, соответствующий таблице элементов'а ц а 12 û 13а 2І а 22 Û23 а 24 jа ЗІ а 32 ^ЗЗ Û34 ノÛ41 Û42 Û43 а 44/е д а 12 а із °14а 2Ч fl2 3 ^24а 2ІГ^ а 22 а 23 024= û l l «32 a 33 û 34а з і а 32 а зз û 34ß 42 û 43 О44а і І û 42 а 43 ß 44a-2i a 23 a 24 а 2І a 22 ö 24 a i i a 22 ckzа 12 а з і a 33 Û34 a zi a 32 a 34 — a U ^31 ß 32 a 33a n Û43 a u a 41 a 42 «44 Û4Ï Ö42 043С помощью определителей четвертого порядка можно аналогично ввести понятиеопределителя пятого порядка и г. д.Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора иалгебраического дополнения некоторого элемента и обе теоремы об алгебраическихдополнениях, сформулированные для определителей третьего порядка.Таким образом, обозначая через M (k минор, а через A(k —алгебраическоедополнение элемента определителя /г-го'порядка (т. е. элемента, находящегосяв і-й строке и k-м столбце этого определителя), имеемПусть D — определитель n - г о порядка. Раскрывая его сначала по элементамt-й строки, а затем по элементам 々-го столбца, в силу теоремы 1 (см. с. 41)получимD =+ 0/2^ 12+ • • . ~\~аІп^ІПу^ ~ a l k ^ l k Jr a 2k /^ 2 k~Sr . • • ~\~a n k ^ n k -С другой стороны, при j 关 i n k 关 I в силу теоремы 2 (см. с. 4 1 ) имееемaj\^ il~ \~ aj2^i2 + . • . = 0,a2k^2l-\- • • • Л~апк^ПІ — ^'Свойства определителей второго и третьего порядка, сформулированные нас. 41,справедливы и для определителей любого порядка.Решение системы линейных уравненийСа11Х1~\'а12Х2-\~ • • • ~\~аІПХП= ^Іі! ^21ズ1 + а22ぶ2 + • . • + a2nXn = ^2»определитель которой70ズ1 + ら2ズ2 + • • • Ч- ^ПП^П =ein ß!2 • • alnD = a2l 022 • • ^2n Ф 0,a ni ら 2 • • ^nn

находится по формуламX i^ D x /D ;В этих формулах D — определитель системы, a D k { k = \ t 2,. . п ) — определитель,полученный из определителя системы заменой k -то столбца (т. е. столбцакоэффициентов при определяемом неизвестном) столбцом свободных членов:D k =Û11 Û12 • • ^•1 , k — i b i k + i • • ^ lnа 21 0-24 • • a 2, k 一 1 a 2, k + \ •• а 2П383. Вычислить определитель^ П І ß W2 • • a n , k - l bn a rt k + i • • a nnユ 5 7 21 2 3 4— 2 - -3 3 2 •1 3 5 4действия: 1) из элементовутроенные элементы 2-й строки; 2) к элементам 3-й строки прибавим удвоенныеэлементы 2-й строки; 3) из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки.Тогда исходный определитель преобразуется к виду〜 1 一 2 — 10п i ’ Ги = ハ 1 1 9 1 0 。i 1 2 0Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца:2 О9 ОD --2 О1Прибавляя к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и вычитая из элементов2-й строки элементы 3-й строки, получимо0Оо7ОD1 2 ОIРазложим определитель по элементам 1-го столбца:о 0D 7 о1384. Вычислить определитель13000/) = 2 .2 .5 .2ООО2 3 0 04 3 4 05о6 4 5500А Вынесем за знак определителя общие множители 2^ 4 и 5-го столбцов:1300011203о3о50022ооо110371

Вычтем из элементовченный определитель поНаходимD =элементыстроки:ОО0-.2011Прибавим к элементам 2-й строки элементы 1-й строки,3множитель элементов 1-го столбца) за знак определителя, алученный определитель по элементам 1-го столбца:385. Найти у из системы уравненийД Запишем систему в видеНайдемD -2-:13000■40бцІ0ол0^200 33501 3 0 00 6 2 00 5 2 10 0 3 1-40(x - \r 2 y -\r 3 z = 14,y-\-2z-{-3t = 20,2 + 2/ + Зл:= 1 4,/ + 2 ^ + 3 (/= 12.(х + 2 у + З г + 0 ィ= 14,0 .л :+ у + 2 г + 3/ = 20,+ г + 2^ = 1 4 ,1 2 3 01 2 32 х + 3 y + 0 - z + / = 12.D1-го столбца и разложим полу-6 2 05 2 10 3 1вынесем — 2 (общ и изатем разложим по-Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, вынесем 2 (общий множительэлементов 1-й строки) за знак определителя и разложим полученный определительпо элементам 3-го столбца :1 D1 о380|б1Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; изтов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца:1 0 о2 1 02 1D =0о 2214 4 2 ( 8 + 40) = 96.44иай0022Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца ; из элеменюб 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца:1 0 СЧ 02 31 2 30р23=183824 1366121СО117221103240423210032032103102211032220070763350321002230321оо116

Из элементов 3-й строки вычтем утроенные элементы 1-и строки; из элементов 4-нстроки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:1 7 3 0о5 1 3ооо2 3102 31г- 24 8 27 411І24 8 2 2 6 1 = 2-2.2ОС4 361ou 1Из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 3-и строки; из элементов2-й строки вычтем удвоенные элементы 3-й строки:391.05D y =Отсюда y = D v / D = 192/96 = 2. ▲386. Вычислить определитель■ У — ozAr = 10x — 2 г + 3 t =Зх-\-2і/ 一 5/ =4л:4-3у — 5г —17 10 01 2 0—4 —3 11 1 1 1а b с dа 2 b 2 с2 æа 3 b 3 с3 d 31 1 2 丨= ( b —а) (с—а) (d—а) (с— Ь) (а—Ь):192.Д Вычтем из 2-й строки 1-ю, умноженную на а; из 3-й строки 2-ю, умноженнуюна а : из 4-й строки 3-ю, умноженную на а :1 1 1 10 b —a С— Q, d — ci 1 1 1= (b — a) (c — a) (d— a)- b с d0 ド- — ab с2— ас d2— adô2 c1 d'20 b3--a b 2 cz— ас2 d3— ad2Вычтем из 2-й строки 1-ю,ную на Ь:умноженную на Ь\ из 3-й строки 2-ю, умножен-1 1{Ь—а) (с—a) (d 一 а) 0 с — b cl— b0 с2— Ьс d 2 一 db= (Ь— а) (с— a) (d— a) (c— b) (d— b) (d— c).Нетрудно видеть, что рассматриваемый определитель равен нулютогда, когда срелн чисел о, Ь, с, d имеются равные. ▲Вычислить определители:1234-21I I一 4з一387一1 一'!-4320 0 21021 0 і.02 _1''00120 1 0 2389 0020 2 000 202Решить системы ѵоавнений:54349-53883901111+ а1112341496-I—2—6111r x — 3 " 十 5г— 7 /= 1 2 ,I З х — 5 у + 7z— t = 0 ,j о х — 7 у + z — 3 t = 4,I 7 х — y - { - 3 z — St ~ 16.1874тогда и только73

х-\- 2 у = ЪЗу-\- 4г = 1 85z + 6и = 397な+ Su = 689у + 10ズ=55.394.■2лг + 3 у— З г + 4 / = 7,2 x - j- у — г + 2 / = 5,6ズ+ 2 у + г = 4,2х-\-^и — 5/ = — 11•§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫС помощью равенствx = al l x , -\-a u y f iУ = о.2іХг + а22У,значения переменных х и у можно выразить линейно через значения переменныхх ' и y f . Эти равенства принято называть л и н е й н ы м п р е о б р а зо в а н и е м переменныхх ' и у г . Их можно рассматривать также ка к линейное преобразование координатточки (или вектора) на плоскости.Таблицаа 1 І び12^21 а22называется м а т р и ц е й рассматриваемого л и н е й н о го п р е о б р а зо в а н и я、а определительпи л =а11 а12Û21 а22— о п р е д е л и т е л е м л и н е й н о го п р е о б р а зо в а н и я . В дальнейшем будем предполагать,что D Ä ф 0.Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е.для пространства)*гдеズ= а ц ズ, + fli2 ゲ+ аізг',у = a2\xf а22Уг -]r a23zf »2 = ß 3lV + ß32 ゲ + ß332 ',O ll ^12 Û 1 3 \ « Ü a V2 び13a 2 l a 22 ^23 ) H Ü A = Û21 a 22 0 ‘Z3a 3 l a 32 а зз ノ a 31 a 32 a 33— соответственно матрица и определитель этого преобразования.Матрица А называется н е в ы р о ж д е н н о й (неособой) ,если D ^ ф 0. Если же= 0, то матрица называется в ы р о ж д е н н о й (о с о б о й ).Матрицы/аи ûl2\ f 0li °12Û1S\、 一 к= ::)называются к в а а р а т н ы м и м а т р и ц а м и соотвегственнъ в т о р о г о и т р е т ь е г о п о р я а к о в .Для большей общности ряд определений будет дан для матриц третьего порядка;применение их к матрицам второго порядка не вызывает затруднений.* Часто линейным преобразованием называют равенства более общего видах = а 11х >- \- a x 2y '- \- Ь иу = а2іХ + Û.22 ゾ + а23г ' + た2,г = a31ズ' + ß32 グ + + 办 3-Здесь рассматривается линейное преобразование, для которогоb i = b2 ~ b 3 = 0.В курсах функционального анализа такое линейное преобразование называют.ги н е и н ы м о п е р а т о р о м .7.1

Если элементы квадратной матрицыматрица называется с и м м е т р и ч е с к о й .Две матрицыудовлетворяют условию алТО/Û11 «12 ° із \ /Ь п ろ12( а21 а22 Û23 ] И В = : ( わ21 わ22а 32 Ö33 ノ \ わ31 む32считаются р а в н ы м и ( А = В ) тогда и только тогда, когда равны их соответственныеэлементы, т. е. когда a m n = b mn (m, п = А , 2,3).С у м м о й двух матриц А \\ В называется матрица, определяемая равенствомП рои зве д е ниемравенствомわ11^12み13ヽ办 21 b22 Ь2з^зі b32 b33 ノчисл а m н а м а т р и ц уП р о и зв е д е н и е д в у х м а т р и ц А и Вравенством/ а1І + ^1І û12 + ^12 аіз + ^із\Д û2l +^21 a22~f^22 û23 + ^23 )•、a 31 + 办 ЗІ a 3 2 + 办 32 ロ33 + む33 ノ/ а11 аП 013、//î f Û21 a 22 a 23 J = ( т а 2і т а 22 ma23\ a 3i Û32 аззノ \ т а 31 т а 32 т а 33/А В --называется матрица, определяемая/ т а і і т а 12обозначается символом A B и определяетсяfQ l i û12 Û13\ パ n わ12 0із \a 2l a22 û23 j Ь п ゐ22 办 23 j、fl31 û32 ö33 ノ乂 ゎ31 わ32 ゎ33 ノ3Qû lp jl 2 - lj みj2 2 a i ) b )а2\Ь)І а2\Ьу. «2j わja2 2 a3jみj2 2 へ3i jт. e. э л е м е н т м а т р и ц ы -п р о и з в е д е н и я 、с т о я щ и й в і- й с т р о к е и k -м с т о л б ц е , р а ­вен с ум м е п р о и зве д е н и й с о о т в е т с т в е н н ы х э л е м г н т о з і- й с т р о к и м а т р и ц ы А и k -гос т о л б ц а м а т р и ц ы В .По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообщеговоря, не выполняется: AB В A.О п р е д е л и т е л ь пр о и зве д е н и я д в у х м а т р и ц р а в е н п р о и зве д е н и ю о п р е д е л и т е л е йэ т и х м а т р и ц .И у левой м а т п и и р .й называется матрица, все элементы которой равны нулю:Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А-{-0 = А.Е д и н и ч н о й м а т р и ц е й называется матрица/1 0 0\£ = 0 1 0 .\0 0 \ )При умножении этой матрицы слева или справа на матрицу А получаетсяматрица А : Е А = А Е = Л . Единичной матрице отвечает тождественное линейноепреобразование: х = х \ у = у \ z = z \75

Матрица В называется о б р а т н о й по отношению к матрице Л , если произведенияA B и В А равны единичной матрице: A B ~ В А = Е .Д ля матрицы, обратной по отношению к матрице Л, принято обозначениеЛ - 1 , т. е. В = А ~ 1.Всякая невырожденная квадратная матрица А имеет обратную матрицу. Обратнаяматрица находится по формуле( パ 21ル л A3i/D ^ \ '^іг/^Л ^ 22/^л バ32/0バ j*、ん з/の Л ん з/の л Z зз/の л ノгде л т п 一 а л ге б р а и ч е ско е а о п о л н е н и е элемента матрицы а т п в ее опрелелителе,т. е. произведение минора второго порядка, полученного вычеркиванием гп-й строкии п-го столбца в определителе матрицы Л , на (— \ ) т + п .М а т р и ц е й -с т о л б ң о м называется матрицаХ --Произведение А Х определяется равенствомA X =Система уравненийhz ßi3ヽ / ズia l \ x \ —( ßllズІ + 012ズ2 + й13ズ 3 =\ ö21*^l + а22ХЧ+ û23^3 :I азі^і зз-^з=может быть записана в виде А Х = В , где .严1 1 び12 аіз'Л = い 2 l «22 a 23\fl31 «32 û33 ノРешение этой системы имеет вид X = А ~ г В (если D バX а р а к т е р и с т и ч е с к и м уравнением матрицыズ2 丁а2\ ズ1 + G-22x 2 + a 23x 3Ѵ а з і^ і -j-û32.v2 +

Эта совокупность трех чисел (^ і;$2; ?з) с точностью до постоянного множителяопределяет ненулевой вектор г = -j- ^2j + называемый собственнымвектором матрицы.395. Дано линейное преобразование х = х' -\-yf z \ у = x, + у ’,z = x w даны точки в системе координат х \ у \ z'\ ( 1; — 1; 1),(3; —2 ;—1),(—1; —2; —3). Определить координаты этих точек бсистеме х ,у 、г.Д Подставив координаты точек в равенства, определяющие данное линейноепреобразование, получаем: если xr = \ f yf = ^ \ , zr = \, то х = 1 ,у = 0, г= = \, т. е.( 1 ;0 , 1) ; если xf = 3, у, = —2,г ' = —1, то ズ= 0 ,у = \ , 2 = 3, т. е. (О;1;3); еслих г = —1 ,уг = 一 2,zf = 一 3,то x = —6, у = —3, z = —1,т. е. (—6; —3 ;—1 ).▲396. Написать линейное преобразование предыдущей задачи дляперехода от координат x ,у, z к координатам х \ у \ г 'Д Имеем xr = z (из третьего равенства); уг = у — z (вычитаем из второго равенстватретье); zr = х —у (вычитаем из первого равенства второе). ▲397. Дано линейное преобразование х — х - \- 2 у \ у = Зхг -\-^ у \У каких точек оно не меняет координат?Д Нужно найти х и у, если x = xr t у = у’ ,т. е. х = х-\-2у, у = Зх-}-4і/. Следовательно,х=^хг = 0 , у = уг = 0 . ▲398. У каких точек линейное преобразование л* = Зхг— 2у , у == Ъ х — не меняет координат?А Имеем х = 3х— 2у,у = 5х— 4у. Следовательно, х = у = хг = у \ т. е. линейноепреобразование не меняет координат у точек (t; t) с одинаковыми координатами.▲399. Найти сумму матриц/ 3 5 7 \Л = :2 - 1 0 ,\4 3 2 ノ/ 3 + 1 5 + 2 7 + 4Д Л + ß ^ 2 + 2 — 1 + 3 0 — 2V4 — 1 3 + 0 2 + 1400. Найти матрицу 2 A + 5S, если5 \ „ /2 3 、В,1Л 2Д = ( М ) ’ 53 = (!0 _ |5 ) , 2Л + 5“ ( Ш ) . ▲4 0 1 . Найти произведения матриц AB и В А У если/М 3 1ヽ /2 1 0ヽл = ( 2 0 4 , В = { 1 - 1 2 1.2 3 ノ 乂 3 2 1ノ^ l-2 + 3 .1+ 1-3 Ы + 3 ( — 1) + 1-2 1.0 + 3 . 2 + ト 1ヽ f 82.2 + 0 .1 + 4 .3 2 .1 + 0 ( — 1) + 4.2 2.0 + 0.2 + 4 . 1 レ іб一 … 一 М + 2 ( - 1 ) + 3-2 1.0 + 2.2 + 3.1 ノ Ѵ іЗ/2.1 + 1.2 + 0.1 2 .3 + 1 .0 + 0 .2 2.1 + 1.4 + 0.3 ヽ / 4 6 6 \1-1 — 1.2 + 2.1 1.3— 1.0 + 2.2 1. 1— 1.4 + 2.3 丨 = 丨 1 7 3、3 .1+ 2 .2 + 1 .1 3.3 + 2 .0 + 1 .2 3 .1 + 2 .4 + 1 .3 ノ 1114 ノ77

402. Н а й т и Л 3,е сл и А1 4 N2ヽ / 3 2 \ _ / 9 + 2 6 + 8 \ _△ バ2 Л 4 ノ V 1 4 ノ 24>16 ノ—7 8 ノ/ И 14 、 丨 /3 2 、— ,3 3 + 1 4 22 + 5 в )_ ー (47 78 \А 3= А 2 -А1 7 18ノい 4 ノ ー !^ i + 18 14 + 72 ノ­~ Ѵ39 86 ノ403. Найти значение матричного многочлена 2 А/1 1 2\= 丨 1 3 1 ,если Е 一 единичная матрица третьего/ 1 1' 3Л 2 \ / 1 1 2 \ /1 0 6 5 、, /20 12А А2 = * 5、 4 1 1 ! 1 3 1 ] = ( 8 11 6 : 2 А 2 == i 16 221ノ、4, 3 3 6J 1 ノ \ 9 8 】0 ノ \1 8 103 9 3 /1 0 0 \ ,5 0 0 \ЗЛ : л23 3 5£ = 5 0 1 0 ) 0 5I\ 0 0 \ ) \0 0 0 ),V/2 8 15 Г Л2Л2 + ЗЛ + 5£ = ( 19 36 15 ▲\ 3 0 19 2S ノI2 、+ ЗА + 5Е припорядка.!)•404. Даны два линейных преобразования x = a-l l x t + а и у г, у == а ?Ах + а 22у г и x = Ьп х п + Ь12і / \ у 1= Ь іХх п ^ -Ь 92у п. Подставляя х иу , из второго преобразования в первое, получим линейное преобразование,выражающее x \\ у через х ” и у . Показать, что матрицаполученного преобразования равна произведению матриц первого ивторого преобразований.Д ИмеемХ = ац (み11ズ〃+ ろ12*/〃) +0І2 ^22У,Г) (ûll^ ll + al2^2l)X ' + (al\^V2 ° 12^2i) У”,У = 021 (•ぅ11ズ" + わ12ゾ)+。22 (ケ21ズ+ 办 22ダ,) ケ21) X'' + (û21^12 + а22^2і) У、Ліа 丁 рнца полученного линеиного преобразования имеет видî. она является произведением матриц/ び11わl l + ß l? わ2Ï ß l l b l 2 + ß l2 ろ22、 .レ21 办 11+ fl22ゐ21 G21 办 12 + ^22 办 22 ノ,:= ト(£:::}▲/3 2 2'405. Дана матрица А = [ I 3 1 Найти обратную матрицу.5 3 4 УД Вычисляем определитель матрицы А :Ол-5 3: 2 7 + 2 — 24:Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:パ n = |ä 4|^ 1-2 ~ — І5^13 = I :Следовательно,=9, Л21 = - | 34卜 1,: 一 12, A23 =—2, Л зі =A-2 = \t s:| = 2, Л 32 = —|5 з| = 1- As39/5 —2, 5 —4 5\1/5 2 5 — 1 , 5 ) .-12/5 1/5 7/5 ノï | = 一 4’?h->.78

406. Решить систему уравненийj 2 jc + 3 ï/ + 2 z = 9 ,х - ^ - 2у — 3z = 1 4 ,I Зд: + 4(/+ 2=16,представив ее в виде матричного уравнения.Д Перепишем систему в виде А Х = В , где/ 2 3 2 \ ( х \ ( 9 \А = { 1 2 - 3 ], Х = ( у ), В = [ 14 •、3 4 1ノРешение матричного уравнения имеет вид X = А ~ 1В . Найдем2 3 2Ол- - 2 8 — 3 0 — 4 = — 6.3 4 1Л - 1 . ИмеемВычислим алгебраические дополнения элементов этого опреде jіителя:Лі1 = І4 ~ і | = 14, Л2і = - | 4 j 1=5, -4зі=|2 _ | | =л I 1 一 31— іл л I 2 21_ - I 2-4, л 32 =^із = j 〔Таким образом,^23 =|І34|14 5 — 13^-10 —4 812 31:1, パ 33 =;— 13,іһ ’1.откудаX :f 14 5 一 13、— 10 — 4 8 14-2 " V 1 6 ,Следовательно, х = 2 , и = З у г -407уДана матрицаcootrr^eHHbie векторы.i / 126+70—2 0 8 ' , / -• ' -9 0 —53+128 = - 士 -b V 一 І8+І4~гі6 ノ ь V—2 ▲Наити ее характеристичеîCKiie числа иД Составляем характеристическое уравнение| 5 — 入 24 3 — 入:0, или (5 — 入 )(3 — л )— 8 = 0, т. е. ?.2— 8 入 - - 7 = 0 ;характеристические числа 入 2 = 7. Собственный вектор, соотвегствующиГіпервому характеристическому числу, находим из системы уравнен ийf (5-Хг) | ;+ 2|-;=:0,t 4І;+ ( 3 - ^ ) =так как Һ = 1, то и §2 связаны зависимостью 2 ^ + У = 0.Полагая ^ і = а ( с с ^ 0 — произвольное число), получаем t.U —-2а и собственныйвектор, соответствующий характеристическому числу Ях = 1 , ес ть Г і= = а і— 2аі.Найдем второй собственный вектор. Имеем( (5 — 人 2) | ; + 25; = 0,\ 4ミ1+ (3 — 入 2) S2=0.79

Подставив значение 入 2 = 7,приходим к соотношению çî— 92 = 0, т. e. J i == ^2 = ß 7= 0- Собственным Еектором, соответствующим второму характеристическомучислу, служит r2 = ßi + ßj. ▲408. Найти характеристические числа и собственные векторы/ з - i і\матрицы ( —J 5 —1 ].Л Составляем характеристическое уравнение1ЛА13(3 — X) [(5— Л) (3— 入 ) 一 І] + (—3 + 人 + 1 ) + (1— 5 + 入 ) = 0 .После элементарных преобразований уравнение приводится к виду (3 — 入 ) ( 入 2 —— 8 À + 12) = 0 , откуда Àx = 2, >,2 = 3, 人 3 = 6.Находим сооственный вектор, соответствующий характеристическому числуХх = 2. Из системы уравнений( І і 一 ミ 2 + ミ3 = 0,\ —bl + З 爸 2— 忘 3 = 0,I І2 + 1 '3= 0(одно из уравнении этой системы есть следствие двух других и может быть отброшено),получим $2 = 0,§з = — g i . Полагаем і [ = сс, тогда ^2 = 0,ьз = — сс иТі = а\ — ctk.Находим собственный вектор, соответствующий значению >.2 =систему уравненийПолучаем( —І 2+ ьЗ = 0,j ~ Г ;+ 2Г2- Г з = 0,I ^ - ^ 2=0(одно из этих уравнений 一 следствие двух других). Отсюда = |з== £3 = ß и г2 == pi + ßj + ßk. ^Находим собственный вектор, соответствующий значению Х3 = 6. Составляемсистему уравнений卜 з т с = о ’V'" -r,,f テ, " Л•j — Si — S2 — S3 = U ,(снова одно из уравнений— следствие двух других). Решая эту систему, находимh = V» 1-2 = 一 2ү, І з = у и г 3 = ү і — 2yj + 7 k. .Итак, собственные векторы заданной матрицы имеют вид гх = а (і — к); г2 == ß(i + j + k); г3 = y (i—2j — к), где a, ß, ү — произвольные отличные от нулячисла ▲409. Даны два линейных преобразования х = а1Хх + al2y r + a13z \У — ^21^ "Т- ^ 2і У + “ 23 之 ,2 = ひ31ズ + “ 33 之 ,ズ — Ь ц Х 十 ひ12" + む13 之 ,y f = b2lx,r + b22y" + b2Zz \ z = b31x,r + b32yn + b3Sz,r. Подставляя x \ y r иz из второго преобразования в первое, получим линейное преобразование,выражающее л% у 、z через х '\ у ” , г " . Показать, что матрицаполученного преобразования равна произведению матриц первогои второго преобразовании.80

410. Дано линейное преобразование х = ß xf + У — = — \8 х г ++ 2 "' + 6 г ' г = 2х* -\-2ij . Координаты каких точек удваиваются врезультате этого преобразования?411. Даны два линейных преобразования: х = x + y r -\-2 z \ у == х' + 2" ' + 6г ' ,z = 2x -\- Ъу \ х = 2х' + 2z у у = xf Зуг z === x -\-?>yr -{-2 z f . Найти точки,для которых каждое из этих преобразованийдает один и тот же результат.412. Найти точки, координаты которых не меняются при применениилинейного преобразования х = х cos а — y r sin а, у' = х sin а ++ y r cos а.413. Найти множество точек, координаты которых меняются местамипри применении линейного преобразования л: = х 'cosa —— у ' sin ос, y = x f s \n a - {- у cos а./5 8 4\414. Дана матрица Л = ( 3 2 5 Какую матрицу В нужно прибавитьк матрице Л, чтобы получить единичную матрицу?/ 2 1 1\415. Дана матрица Л 2 1■. Найти сумму матриц А 2-\- А ~ \-Е .о 3О\20 2О416. Дана матрица Л = .、 丨 о 10 1ОНайти обратную матрицу.417. Решить систему уравненийj Зх + 4у-.x2 z = 7 упредставив ее в виде матричного уравнения.418. Найти характеристические числа и нормированные собственныевекторы матрицы і 5 6ノ.419. Найти характеристические числа и собственные векторыматрицы~128§ 3. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙКРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКАиВыражения видаа 1г х 2 + 2а 12х у + а 22у 2оцх2 + а22у2 + aS3z2 + 2al2xy + 2a13xz + 2a23yzназываются квадратичными формами соответственно от двух и трех переменных.А\ デW ^11 仏 、2 kÛ21 Û22 ノÛ1Ï °12 «13\а Т : а21 а22 Û23 j :, где a21а31 Û 32 ß33 ノназываются матрицами этих форм.ГДѲ £?2і ==^12»81

Квадратичные формы с помощью линейного преобразования переменных можнопреобразовать к виду, не содержащему произведений новых переменных (привести,как говорят, к алгебраической сумме квадратов); иными словами, квадратичнаяформа двух переменных может быть приведена к виду 入 入 2^//2, аквадратичная форма трех переменных — к виду + Я2г/,2 + Х32а2.Д ля того чтобы коэффициенты при х \ были характеристическими числами,л и н е и н о е п р е о б р а з о в а н и е д о л ж н о б ы т ь произведено следующим образом: определяюттройку (для квадратичной формы двух переменных — пару) нормированныхпопарно ортогональных собственных векторов, соответствующих характеристическимчислам 入 ь 入 2, 入 з:ei = ai» + ßij + Yik,е2 = cc2

Находим характеристические числа = 4 , 入 2 = 9. Полагая = 4, для определениясоответствующего собственного вектора получаем систему уравненийI І і + 2 忘 2 = О,\ 25і + 4|2 = 0.Отсюда g x = — 2g2;полагая ^2 = —а, находим ^ = 2 а и гх = а (2 і— j). Нормируявектор Гх,имеелі е і=(2/ У 5 ) i —(1 / ド 5 ) j.Полагая X2 = 9 , для определения второго собственного вектора получаем системууравнений{ 2ти— г]2 = 0.Отсюда іі2 = 2г]|; и r 2 = ß (i + 2j). Нормируя, определяем е2 = ( \ / У 5) і ++ ( 2 / У 5) j. Легко проверить, что скалярное произведение е і.е 2 = 0, т .е . векторыеі и е2 ортогональны.Используем собственные нормированные ортогональные векторы для построенияматрицы преобразования координатОтсюдаぬ —х ^ ( 2і Ѵ ъ ) х ' - \ - { \ І \ г Ъ ) у ' , ÿ = ( - l / / 5 ) х ' + 2! ( Ѵ ъ ) у ' .Найденные для х и у выражения подставим в уравнение кривой:て^ ズ, + て^ グ 丫 + 八 マ ^ ガ + ‘ ゲ V — ‘ ? + * ÿ ' ) +^ 5 ' ]/Т ” ノ 1 V К У f f ノV V 5+ & { ~ ^ х'+ т г у') 一 3 2 ゲ 5 ß |+ 六 ゲ ) +80 = 0’откуда после раскрытия скобок и приведения подооных членов получим4 х '2 + 9ゲ2— ~ X ' — ~ 1/, + 80 = 0.5 у 5Заметим, что в преобразованном уравнении коэффициентами при х,г и у 'гоказались (как и следовало ожидать) характеристические числа 入 ]_ и À9_. Перепишемуравнение в видеіб. х Л + 9 ( у ^ - .V ノ 1 V Ѵ 5Выражения в скобках дополним до полных квадратов:ИЛИ4 ん,2 і ハ 丄 丄А / ,2 16 , , 64 64ヽ . л ハ .9 ( У — ' V ア У + 7 — 1 ) + 8 0 = 0,V ] / Т 5 5 ノ 1 V |А 5или окончательно4 卜 古 ) 2 冲-+ 9( ゲ—^ Г ) 2—? + 8。= 0,Произведем параллельный перенос осей координат, полагая х " = х ' — \ ) Y 5,i f = у ' — Ъ іУ 5; получаем 4ズ〃2 + 9グ2 = 36, или ズ,/2ノ9 + ダ,2/4 = 1 (каноническоеуравнение эллипса). ДѴ ъ=36.作ズ' +83

421. Привести к каноническому виду уравнение кривой9х2 + 2 \х у ~ \-16"2— 230л: + 1Ю(/— 225 = 0.Д Характеристическое уравнение имеет вид1212 16 — 入При 入 = 0 получаем систему=0, или 入 2 — 25 入 = 0 ,т. е. Я і= 0 , Х2 = 25.Г 9 ^ + 12^ = 0,I 1 2 ^ + 1 6 ^= 0 .Каждое из этих уравнений сводится к уравнению ?i/4 = Ç2/(—3). Следовательно,собственным вектором матрицы служит вектор г == ос (4і— 3j), a при а == \ іУ 42 + (—3)2= 1/5 находим собственный нормированный вектор еі = (4/5)і 一— (3/5) j.При >v = 25 получаем системуf IGrix-J' 12г]2 = 0,\ 12% — 9т]2 = 0 .Из этой системы аналогичным образом находим второй собственный нормированныйвектор е2 = (3/5) і + (4/5) j (ег • е2 = 0).Матрица преобразования координат имеет вид/ 3 \= —4755 )\>Iформулы преобразования х = (4/5) хг + (3/5) уг, у = ( — 3/5) д:, + (4/5)ゲ .Переписав уравнение кривой в виде(Зл: + 切 )2 — 230л: + 110у— 225 = 0,перейдем к новым координатам:ѵр 525ゲ 2 一 230 ( i A/ + I ゲ ) + 110( — 昏 xr + t - У ) — 225 = 0 .SIу /2— \ 0 х г — 2 у г — 9 = 0 .После приведения подобных членов и сокращения на 25 приходим к уравнениюПоследнее уравнение можно переписать в виде (у,— 1)2= 10 (л/ + 1 ) . Произведяпараллельный перенос осей, примем за новое начало координат точку Of (— 1,1).В итоге приходим к каноническому уравнению заданной кривой у,,2= (парабола).▲422. Привести к каноническому виду уравнение поверхностиЗх2+ 5ゲ + Зг2 — 2ху-\- 2xz — 2yz — \ 2х — 10 = 0.Д Здесь матрица старших членов уравнения поверхности имеет видхарактеристические числа матрицы определяются из уравнения3 — 1 — 1 1— 1 5—X — 1 = 0,1 — 1 3 — 入которое приводится к виду (3— 入 )( 入 2 — 8Х + 12) = 0; отсюда находим ^ і = 2, Яо = 3,入 з = 6 . **84

При 入 = 2 получаем системуА о — 《2+ "з = 0,*!— “ i + 3w2 —и3 = 0,\ + “ 3 = 0.Указанному значению л соответствует собственный вектор (а; 0 ; — а). Посленормирования приходим к вектору ех = (1 /|/"2) і — (1У^ 2 ) к.При 入 = 3 получаем систему( 一 t'2 + VeL = 0,] — 【’1 + 2 こ'2— 1»3 = 0,、 l'! —1'2= 0.Отсюда находим второй собственный нормированный вектор е2 = (1/]/^3 ) і ++ (1 /|А з ) j + (l / |А з ) k. Векторы еі и е2 ортогональны: ех -е2 = 0.При 入 = 6 получаем систему( —3w^— Wg ⑵з == 0,\ 一 IL'i—W2— の3 = 0,\ Ш)-^-- W-2 — := U.Соответствующим собстпеным нормированным вектором (третьим) служит векторе3 = (\/ у 6 ) і — (2/У~в ) ) - \ - ( \ іУ 6 ) к, который ортогонален векторам ех и е2:Сі.е3 = 0, е2-е3 = 0. Находим матрицу преобразования координат:1/ ^ 2" 1 /^ 3 І/К ІГ 4'.о мүз —г/і^б )•■1 /^ 2 і/у ^ з м Ү ъ JОтсюда получаем формулы преобразования координат:x = , { M f 2 ) x ' + ( \ і \ Г ^ ) , у - \ - ( \ і ү й ) г \ ÿ = (l V Ï ) y ' - { 2 ! Y & ) z ' ,z = (-\lV " 2 )x ' + (\lV ^ ) у' + (М У^)г'.Подставив выражения для х, у и z ъ уравнение поверхности, после упрощенийполучим2х,2-і-Зі/,2+ 6 г ,2— 6 }^ 2 х , — 4 У з ゾ— 2 } ^ 2, — 】0 = 0.Коэффициентами при х ,2у у ,2 у г , г , как и должно быть, являются соответственночисла Я і , 入 2, 入 з. Перепишем уравнение в виде2 ひ,2 一 т ^ ) +3( , 一 ^ г у,) +6( г,г 一 ' ^ г,) = 10’что после дополнения выражений в скобках до полных квадратов дает2( x' - y f ) +3{ у'~ 7 ^ ) + б ( 2,_7 ^ ) =24. _Произведя параллельный перенос осей координат по формуѵіамл:' ~.хг'- ]- 3 /У 2 ,ゾ = シ" + 2 / ^ 3 ,г, = г " + 1 ノ)^ 6 и разделив уравнение на 24, приходим к каноническомууравнению эллипсоида х ,/2/ 12- f y ,rz/^> + ^ 'г,4 = 1 . АПривестиканоническому виду уравнения кривых:423. 5х2 + 6ху + 5" 2 — 16л:— 1 6 "— 16 = 0.4 2 4 . 7 # + І б х у — 2 3 у 2 — l l v — 1 6 " — 2 1 8 = 0 .4 2 5 . х2-\-2ху + у г — 8 х + 4 = 0.Привести к каноническому виду уравнения поверхностей:426. x2 + 5у2+ г 2 + 2ху + бхг -\-2yz 一 6 = 0.85

癱 Формулы преобразования координат: л := (І/У ^ 3) х ' у' 2 ) z ',y = - ( l / ^ J ) x ' + ( 2 / y r 6 ) y \ г = (1 /^ 3 " ) У + ( 1 / ^ 6 ) y ' - ( \ / V 2 ) z ' .4 2 7 . 2x2+ y2 + 2z2 — 2xy — 2yz + x — 4y — 3z + 2 = 0.ф Формулы преобразования координат: х = — (І/У ^ 6 ) х ' 一 ( \ / У 2 ) у ' -\~+ (1/ / Т ) ど, х'=х"- у = - { 2 1\г & ) х '- [ \ 1 У З) г \ ÿ,ザ + 1 / / Т ; г == - 0 / ^ 6) ^ + (1/) ^ 2) ^ + (1 /^ 3 ) г-, г' = г " + 1/ / Т .§ 4. РАНГ МАТРИЦЫ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫДана прямоугольная матрица/ О і і а І2 > • • ^ іп1 а 2і\ • •0-22 • • • а 2п* » • •\ а т і * • • а т пВыделим в этой матрице k произвольных строк . произвольных жстолбцов(k く т ,k く r i). Определитель k -г о порядка, составленный из элементов матрицыЛ, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называетсям и н о р о м k -т о порядка матрицы А . Матрица А имеет C km . C kn миноров k -то порядка.Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А , отличные от нуля. Р а н г о мм а т р и ц ы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного отнуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимаютравным нулю.Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этойматрицы, называется б а зи с н ы м м и н о р о м матрицы.Ранг матрицы А будем обозначать через г ( А ) . Если г ( А ) ~ г (В ) , то матрицыА и В называются э к в и в а л е н т н ы м и . В этом случае пиш ут A 〜ß .Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований. Под э л е м е н т а р ­н ы м и п р е о б р а зо в а н и я м и понимают:1 ) замену строк столбцами, а столбцов — соответствующими строками;2) перестановку строк матрицы;3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;4) умножение какои-либо строки на число, отличное от нуля;5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другойстроки./1 2 3 4 \428. Определить ранг матрицы 2 4 6 8 ).\ 3 6 9 12 ノД Все миноры второго и третьего порядков данной матрицы равны нулю,так как элементы строк этих миноров пропорциональны. Миноры же первого порядка(сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицыравен 1 . ▲/1 0 0 0 5 \429. Определить ранг матрицы 0 0 0 0 0 ).ч2 0 0 0 11パД Вычеркнув из этой матрицы 2-ю строку, а затем 2, 3получаем матрицу11ранг данной матрицы равенэквивалентную заданной. Т ак как4-й столбцы,111 т=0, то430. Определить ранг матрицы

へ Сложим соответствующие элементына 4 элементы 1-й строки:-(; 丨 D4;Из элементов 1-й строки вычтемпосле чего вычеркнем 1-ю строку:/ 1 2 3'821 233-й строк,2 3 、Z 11 2 3\ і 3 5 /соответствующие элементы 2-й строки*0 0' 02 ? Г ).Ранг последней матрицы равен 2,так как, например,Ф 0. Следова-тельно, и ранг данной матрицы равен 2. ▲, 4 3 2 2、431. Определить ранг матрицы Л =1 0 2 1 1.0 0 3 3ノЛ 3 ов 4«го столбца элементы 3-го столбца, а затем вычеркен14'4е3 эле ІеІ203 2т メ 4 2 10 0 3Так ка к432.О400Л Имеем213= (Определить ранг/ 1 0 2 0 0 \0 1 0 2 0 )\ 2 0 4 0 0 ノ?І 小Таким образом,433. Сколько02 4 ^ 0 , то ранг матрицы равен 3. ▲АГОѴ2и найти базисныео 2 0 О/1 I 2 О02 o 0 ОоIo204ио 1І0202о4о2МО1г*оIoмх202Iминоры матрицы21 0 2 0、0 1 0 20 0 0 0Базисными минорами являются миноры второго порядка этой матрицы, отличныеот нуля:о 2 2 оо 2 о 21 о о 2 2 о 1 01 4 оматрица А имеет 8 базисных миноров. ▲миноров второго порядка имеет матрицаВыписать все эти миноры.«11 а 12 а і з \а 22 а 23 !;■^ЗІ а 32 ^ з з ノД Матрица имеет Сз-Сз = 3-3 = 9 миноров второго порядка:^23 а 2І ^•23 \a -2 i а 22 а І2 Û13а 32 Û33 » а з і Û33 , ! ^ з і а 32 У び32 û 33 »Û11 ^ і з I «11 «12 Û12 ^13 а ц «13 ö l i a 12^31 ^ З З1, «31 Û32 У >а 22 ^23 а И û 23 > а 2І a 2287

43 4. О п р е д е л и т ь р а н г м а т р и ц ы А435. Определить ранг матрицыные миноры.437. Определить ранг матрицы Абазисные миноры.и наити ее§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ т ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С п НЕИЗ­ВЕСТНЫМИДана система т линейных уравнений с п неизвестными+ ズ2 + ••• + ^іп^п ~ ^І»^21*^11~ ^22^2 + •••+ ^2П^П = ^2»(J)^ m l ^ l + “ /л2 ズ2 + • • • + a т п Хп = bm :Р е ш е н и е м этой системы называется совокупность п чисел ( х х \ х 2', . . х*„), которые,будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравненияв тождества. Система уравнений называется с о в м е с т н о й , если она имеетхотя бы одно решение (д:і ;х 2\ . . . ; х п ). Если же система не имеет ни одногорешения, то она называется н е с о в м е с т н о й .Совместная система называестя о п р е д е л е н н о й , если она имеет только одно решение,и н е о пределенной, если она имеет больше одного решения.МатрицыОь°2і1п2«•12-О -О436. Определить ранг матрицы h найти ее базисназываютсясоответственно м а т р и ц е й и р а с ш и р е н н о й м а т р и ц е й с и с т е м ы (1).Для совместности системы (1)необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицыэтой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронеке р а — Капе л л и). Итак, система (1) совместна тогда и только тогда, когдаг (Л)= г (Лх) = ニ/*. В этом случае число г называется рангом системы (1).Если Ьх — Ь2 = . . . = Ьт = 0 , то система линейных уравнений ( 1 ) называетсяо д н о р о д н о й . Однородная система уравнений всегда совместна.Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (т. е. г = п ) , то системаявляется определенной.Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система —неопределенная.Остановимся на последнем случае. Итак, предположим, что система(1)совместна, причем г < п. Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А.Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой строки являютсякоэффициентами при г неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти гнеизвестных назовем базисными неизвестными рассматриваемой системы уравнений.Остальные п — г неизвестных системы (1) назовем свободными неизвестными.Выделим из системы (1) систему г уравнений, среди коэффициентов которыхсодержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделеннойсистеме оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободныенеизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим88

базисные неизвестные через свободные неизвестные (например, по формуламКрамера).Таким образом, придавая свободным неизвестным произвольные значения,можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно(об этом уже сказано выше), система ( 1 ) имеет бесчисленное множество решений.438. Исследовать систему уравнений( ズ1 + 3ズ2 + 5ズ3 + 7ズ4 + 9ぶ5= 1,■I ~ — 4х^ -j- 5д^5 2,I 2ズ1 + 1U 2+ 12л:3 + 25ズ4 + 22ズ5 = 4.Д Определим оанги матрицы и расширеннойрасширенную матрицу1 3 5 7 91 一 2 3 一 4 52 11 12 25 22матрицы системы. ВыпишемВертикальной чертой мы отделили элементы матрицы системы (матрицы А ) отсвободных членов системы.Прибавим к элементам 2-й строки соответствующие элементы 3-й строки, азатем разделим все элементы 2-й строки на 3:( \ 3 5 7 9 1 \ /1 3 5 7 93 9 15 21 27 6 ト - 1 3 5 7 9\ 2 11 12 25 22 4 ノ \ 2 11 12 25 22Вычтем из элементов 2-й строки соответствующие элементы 1-и строки:3 5 7 9( \ 0 0 0 0 1 \ /1 3 5 7 9 \ п3 5 7 9 、А і 〜i О22 И ; Л - 0 о О о о 〜1 2 25A j \ О 1119 99 ノ ,2 1112 25 22 уНетрудно видеть, что г (А ) = 2 , г (Лх) = 3 , т.е. г (А ) ф г (Л х); следовательно, системанесовместна.▲439. Исследовать систему уравнении+ 2ズ 2 + 3ズз = 14,3ズi + 2ズ2 + ズз = ⑴ ,ズi + ズ2 + ズз = 6,2ズェ+ Злг-2 一 ズ3 = 5,X i + x 2 = = 3 .Прибавим элементы 2-й строки к соответствующим элементам 1-н и 4-и строкзатем разделим элементы 1-й строки на 4, а элементы 4-и строки на 5:4 4 4 243 2 1 101 1 и 610А15 5 Л 56ѵ1 1 о3Вычтем из элементов 3-и строки соответствующие элементы 1-й строки, а изэлементов 5-й строки вычтем элементы 4-й строки; после этого вычеркнем 3-ю и89

5-ю строки:Найдем определитель последней матрицы:1 и 0 03 3 21 1 1О'!1 1Следовательно, г (Л) = 3 . Ранг расширенной матрицы также равен 3, так ка кнайденный определитель является минором матрицыИ т а к , система совместна. Д л я ее р е ш е н и я возьмем, например, первое, третьеи пятое уравнения:( ズi + 2ズ2+ 3д:з = 1 4 ,j ズ1 + ぶ2 + ズ3= 6*V X i~ {- X-2 = 3 .Отсюда легко находим, что л:і = 1 , x 2 = 2 t х 3 = 3 . ▲440. Исследовать систему уравнений( ズі + 5дг2 + 4ズ з + 3дг4 = 1,-*! 2л:i 一 х 2 + 2д:з 一 х 4 = О,5хі -1- ЗХ'2 一 }— ~ Х і 1•Вычтем из З'й строки 1-ю:р3а азд мевыӘлиммеыч6ркнэле3лтоづ ^ем/ -1-10л 21~V03-Po5Iй ,ск:рок420-5 4-1 2— 2 4 — 2 。ノина 2 и вычтем из полученной 3-й строки 2-ю;31оНетрудно видеть, что г (А ) = г ( л ^ = 2 . Следовательно, система совместна.Возьмем первое и второе уравнения заданной системы:/ ズі +5лг2+ 4 х з + = J,\ 2хі 一 х 2 -J- 2хз— = 0.За базисные неизвестные примем Х і и х 2. Это можно сделать, такделитель | も— ^ J из коэффициентов при этих неизвестных отличенСвободными неизвестными служат х 3 и х 4. Переписав систему в виде\ хі~\-5х2 = 1—4ズ3 — Зл:4,\ ^Х1— Х2 = — 2ズ3 + ズ4,как опре-от нуля.90

выразим Хі и х2 через х3 и л:4:1— 4ズ3— 3x4 5 I一 2ズ3 + ぶ4 一 11--------- п ^ яі---------= ~ П Х з~ Г і Хі 111 丨 U1 1 — 4л*з 一 3ズ4 I2 —2ズ3 +ち = --------- ニ ” ---------= - и Хз + П ズ4 + ï ïПолагая лг3 = и, х А = и, получи.\г решение системы в виде6 , 8 1 6 , 7 . 2х і = — үу ü—Y i ,x-2= —Tî и I I T î, x3 = u , x4= u .Придавая u и v различные числовые значения, будем получать различные решенияданной системы уравнений. АИсследовать системы уравнений:( 3ズ1 + 2ズ2 = 4,I ズі— 4ズ2 = 一 1,4 4 1 .< 7^ + 10^ =12,j 5ズ1+ 6 尤 2 = 8,v З х i— 16ズ2 == — 5 •( ぶi + 5 尤 2 + 4 ズ3 = 1,442. j 2ズ1 + 10ズ2+ 8ズ3= 3,V З х ! + 15д:2 + 12 х 3 = 5.( X i — Sx2 + 2хз = — 1,443. j д:! + 9х2 + 6х3 = 3,\ Х\ + 3ズ2 + 4ズ3 = 1 .§ 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССАЧисленное решение линейных алгебраических уравнений с помощью определителейудобно производить для систем двух и трех уравнений. В случае жесистем большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться м е т о д о м Г а у с с а ,который заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смыслэтого метода на системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными:+ Cil 2У + а132 + ßl4w =^15>'Cl2lX -)- СӀ22У 4~ ^23^ 4~ Û-24W~ а2Ъ*Û31ズ+ а32у + а33г + а3іи = а35,аПХ + аі2У + а43 2 + Û44W= а45*Допустим, что ац- 丰 0 (если ап = 0, то изменим порядок уравнений, выбравпервым такое уравнение, в котором коэффициент при х не равен нулю).I шаг: делим уравнение (а) на а ц , умножаем полученное уравнение на а 2\и вычитаем из (б); затем умножаем на а31 и вычитаем из (в); наконец, умножаемна ап и вычитаем из (г). В результате I шага приходим к системе( Х ~Г ^12У + + bi^u = "15,^ 22У + b23Z + Ö24W= わ25,厶 32" + ^ЗЗ2 + わ34“ = わ35,-ト■み43Z + み44“ = み45,причем b i j получаются из а // по следующим формулам:b ij = a \j/a n (/ = 2, 3, 4, 5);bi j = ai j — ai i bi j (г ==2, 3, 4; / = 2, 3, 4, 5).aб -в 'ггхд( е^/ зI91

II шаг: поступаем с уравнениями (е),(ж ), (з) точно так же, ка к с уравнениями (а), (б), (в), (г) и т.д . В итоге исходная система преобразуется к так называемомуступенчатому виду:( ズ+ ゎ12" + み]32 + Ьі^іі =Ь15,У C23Z C24U = С25*Из преобразован!труда.444. Решить2Ч~^34М~^35»и = е4Ь.систему й системы уравнениивсе неизвестные определяются последовательно без( 36,47л: + 5 ,2 8 // + 6 ,3 4 z = 1 2 , 2 6 ,\ 7,33л: + 28,74" + 5,862 = 15,15,( 4,63л: + 6,31і/ + 26,172 = 25,22.абв .、 *-Д Разделив уравнение (а) на 36,47,получимд: + 0,1447(/ + 0 ,17382 = 0,3361.Умножим ур< звнение い)на 7,ö3 и результат вычтем и27 ,6793ï/ + 4,5862= 12,6864;теперь умножим уравнение (❖) на 4,63 и результат вычтеі^5,6 切 + 25,36532= 23,6639.:б)В)Таким образом, гіриходим к системе уравненийРазделив ура( 27,6793// + 4 , 586z =12,6864,-\ 5,6 4 і/+ 25,36532= 23,6639.внение (г) на 27,68 имеемГ/ + 0,1657z--0,4583.Умножая уравнеі яие (❖ *) на 5,64 и вычитая из (д), полу1шм 24,43082 = 21,0791.Следовательно, г ^=0,8628. Тогда= 0,4583— 0,1657.0,8628 = 0,3153,= 0,3361— 0,1447-0,3153 — 0,1738-0,8628 =0,1405.Таким образо м , ズ= 0,1405,у = 0,3153, z = 0,8628.Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений,а матрицу из коэффициентов при неизвестных и св< эбодных членов:/36,47 5,28 6,34 12,26'(7,33 28,74 5,80 15,15 ]V 4,63 6,31 26,17 2 5 ,22 ノВведем 5-й, т ак называемый к о н т р о л ь н ы й с т о л б е ц , ка ждым элементом к о т орого является сулгіма четырех элементов данной строки :,3 6 475 2 ぢ 6 3 47 33287 4 5 ОС 6 12,26 60,35、4 636 3 1\26 1 7 15,15 57,0825,22 62,33 .При линеины: x преобразованиях элементов матрицы такс т у же преобразованиюдолжны подЕергн уться и элементы контрольного столбца, Нетрудно видеть, чтокаждый элемент контрольного столбца преобразованной матрицы равен суммеэлементов соотвеігствующей строки. Переход от одной ма трицы к другой будем92(г)(Д)(* *)

записывать с помощью знака эквивалентности: 26:/3 6 475 286 3460Ж /1丨7 332 745 8612,26 5 / 217 0,3361 1’6547、8ч4 633126 1715,15 7 08о 6 7 3 8 7486 15,15 57,08625,22 33, \ロ1 24 6,65灯125,22о62,33 ノ1 丨27: 6316,- 73 8 12410 5 46 2 2 4 ,95\0 ’ о, 7п^586 36 .’l 1f,3111 4^ 1-l34 13 ,o 1 47о5^ 2 2l4654 400 738o 3361880f \ 0,1447 0,1738 ’o 58.1 5 a l’ 624 .0.1444( О I 0,1657 ’ о10,3361 1,6547、2657一l2079и 450,4583 1,6240068、0 0 24,4308 ,653s i0,8628 1,8629,7Используя полученную матрицу, выписываем преооразованную систему и находимрешение:gz = 0,8628,(/ = 0,4.583 — 0,1657.0,8628 = 0,3153,ズ=:0,3361— 0,1738.0,8328 — 0,1447.0,3153 = 0,1405. ▲Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравненийприведется к т р е у г о л ь н о й , в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное.В случае неопределенной системы, т. е. такой, в которой число неизвестныхбольше числа линейно независимых уравнений, допускающей поэтомубесчисленное множество решений, треугольной системы не получается, так какпоследнее уравнение содержит более одного неизвестного.Если же система уравнений несовместна, то послетому виду она содержит хотя бы одно уравнение видав котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты,от нуля. Такая система не имеет решений.4 4 5 . Решить систему уравнений3,/ ---------\f Зл:+2(/ + г = 5,\ х + у — г = 0,V 4 х — ダ+ 5 г = 3.Д Преобразуем матрицу в эквивалентную:5приведения к ступенча-0=1, т. е. уравнение,а правая часть отлична/ 3 2 1 5 1 1 ' /1 1 一 1 0 1 \1 1 — 1 0 1 〜 3 2 1 5 И )\ 4 — 1 5 3 П ノ “ — 1 5 3 11 ノ(для упрощения вычислений мы поменяли местами первое и второе уравнения).Вычитаем из остальных двух строк 1-ю строку, умноженную на 3 и на 4:Л 1 一О — 1\ 0 — 5 9Изменив знаки во 2-й строке и умножив ее на 5,прибавляем к 3-й:—11 —4Л0 —11—о—220 1ヽ / 1 一 1 0с—o Оj〜үU 1Л 1 —4А—33ノ 0 1 —02(мы разделили на 一 11 последнюю строку).Система уравнений приняла треугольный вид:fx + y — z=^0,■{ У — 42 = — 5,93

Она имеет единственное решение. И з последнего уравнения имеем 2 = 2; подставляяэто значение во второе уравнение, получаем у = 3 и, наконец, из первогоуравнения находим х = — 1 . ^Решить системы уравнений;( ^Х1+ Х2— Х?, — 5,4 4 6 . 丨 ズi 一 2л:2 + 2д:з = — 5,I 1 Х\ —J- Х2— д^з = 10.( — ズ2 + ぶ3 + 2ズ5 = 1 8 ,I ^ X1 一 5ズ2 + ズ4 + ХЬ — 一 7,4 4 8 . \ x i 一 х4 + 2дг5 = 8 ,I 2ぶ2 + дг3+ х 4— х ъ = 10,V ズ1 + ズ2— 3ズ3 + ズ4= 1.j 0,04a:— 0 ,0 8 f/+ 4г = 20,450. ч 4 л :+ 0 ,24"— 0,08г = 8,I 0 ,0 9 х + З у 一 0,152 = 9,ィ47( ズ1 + ズ2 — ズ3 + ズ4 = 4 ,І 2ズ1— ズ2 + 3ズ3 — 2ズ4=1,j ズ 广 x 3 + 2x 4= 6t\ dXi—X-2 ~J- ズ3— ^4 ==( 4ズj;+ 2ズ2 + Зл*з = —2,449. \ 2a:i + 8x2— x 3 = 8,{ 9ぶ х 2 + 8л*з = 0.I 3,21д: + 0,71^ + 0,34z = 6 ,451. I 0,43дг + 4,1 Ь + 0,22г = 5,71,I 0 ,17д: + 0,1б(/ + 4,732=7,06.§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЖОРДАНА—ГАУССА К РЕШЕНИЮСИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙПри решении системы линейных уравнений методом Гаусса был рассмотренматричный метод с контрольным с т о л б ц о м , в результате чего д а н н а я системауравнений сводилась к треугольной системе (см. с. 92). Д ля последующего изложенияважно познакомиться с м о д и ф и ц и р о з а н н ы м м е т о д о м Ж о р д а н а — Г а у с с а іп о з в о л я ю щ и м находить непосредственно значения неизвестных.Пусть дана система линейных уравнений^1 + Û12 ^2+ • • • -\-°1ПХП = ^ ііÛ21 + ズ2 + • • • ズrt = わ2, ⑴十 ^ 1 成 2ズ2 + • • • + ^ т п ^ п = Ьт .В матрице А этой системы выоерем отличный от нуля элемент aqp. Этот элементназывается разрешающим элементом, р-й столбец матрицы А — разрешающимстолбцом, а q-я строка 一 разрешающей строкой.Рассмотрим новую систему уравнений^11*^1CI12X2 + ••• -\-G\nXn — Ьі,ß2lズ1 -J-022-^2 + • • • ~\~а 2П.Хп = ^ 2> / 0\“ mlぶ1 + 0/722ズ2 + • • • а т п х n = Ьщс матрицей А ' \ коэффициенты и свооодные члены этой системы определяются поформулам• aip aq f 、сЧі = аіГUQPесли і ф q.b l = bi ß /Aa QPВ частности, а[р = 0, если і ф q. Если же i = q, то принимаем a’qj = aq”bq~bq. Гаким образом, q-e уравнения в системах (1) и (2) одинаковы, а коэффициентыпри Хр во всех уравнениях системы (2), кроме q-то, равны нулю.Следует иметь в виду, что системы (1)и (2) одновременно совместны или несовместны.В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают).94

Д ля определения элемента а “ матрицы А ' полезно иметь в виду так называемое«правило прямоугольника».Рассмотрим 4 элемента матрицы А : a り(элемент, подлежащий преобразованию),a q p (разрешающий элемент) и элементы сцр и a q j . Д ля нахождения элементаa \ j следует из элемента с ц ! вычесть произведение элементов а і р и a q f , расположенныхв противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешающийэлемент a q p \^ i j \ ..............................ß i PaQ j............. aqpАналогичным образом можно преобразовать систему (2),приняв за разрешающийэлемент матрицы А ' элемент a s - Ф 0, причем s ф q, г Ф р . После этого преобразованиявсе коэффициенты при х г , кроме a s n обратятся в нуль. Полученнаясистема может быть снова преобразована и т. д. Если г = = п (ранг системы равенчислу неизвестных), то после ряда преобразований придем к системе уравненийвида々1ズІ = Һіゐ 2 ズ 2 == ^2 f^пхп =из которой находятся значения неизвестных. Описанный метод решения, основанныйна последовательном исключении неизвестных, называется методом Жордана —Гаусса.452. Дана матрица системы линейных уравнений/ 5 4 6 — 1/8 1 3 21о 1 5 3\ 7 — 6 5 — 4При решении этой системы методом Жордана — Гаусса за разрешающий.элемент приняли а23 = 3. Найти элементы а“ ,а“ ,аи преобразованнойматрицы.Д Так ка к а24— элемент разрешающей строки, то б^4 = а24 = 2. Элемент а13принадлежит разрешающему столбцу; поэтому а13 = 0, Элемент определяемпо правилу прямоугольника:Û44 = Û44-, 5 4 _ 6 _ — 18 1 jT f - ; 2О 1、7 —6°24°43_а 232.5453. Решить систему уравненийズі + х2 一 3ズ3 + 2ズ4 = :6,Х\~ - 2x2 —■ = —6>-ズ2 + ズ3 + 3ズ4 = 1б,2хі — Здг2 + 2дгз = 6.Д Запишем коэффициенты, свободные члены и суммы коэффициентов и свободныхчленов ( I — контрольный столбец) в следующую таблицу:95

ズ1 ズ2 ズ3 ズ4 bVI I I 1 — 3 2 6 71 一 2 0 一 1 一 6 一 80 1 1 3 16 212 — 3 2 0 6 7Мы взяли за разрешающий элемент коэффициент при х г в первом уравнении.Перепишем без изменения строку таблицы, содержащую этот элемент (разрешающуюстроку), а все элементы 1-го столбца, кроме разрешающего, заменим нулями.Применив правило прямоугольника, заполняем остальные клетки таблицы (этоже правило применяем и к столбцу 2):Ч ズ2 ズ3 尤 4 b 21 1 一 3 2 6 ' 70 — 3 3 — 3 一 12 一 150 1 1 3 16 210 — 5 8 一 4 一 6 — 7Отметим, что в контрольном столбце получаются суммы элементов соответствующихстрок. Разделив на — 3 элементы 2-й строки, получаем таблицу:ズi ズ2 ズ3 ズ4 b V1 1 一 3 2 6 70III— 1 1 4 50 1 1 3 16 210 一 5 8 — 4 — 6 一 796

Примем за разрешающий 2-й элемент 2-й стро ки .1-й столбец перепишем безизменения, элементы 2-го столбца, кроме разрешающего, заменим нулями, 2-ю (разрешающую)строку перепишем без изменения, элементы остальных клеток таблицыпреобразуем по правилу прямоугольника:ч ズ2 Хз ぶ4 bv1 0 一 2 1 2 20 1 — 1 1 4 50 0 2 2 12 160 0 3 1 14 18Разделим элементы 3-й строки на 2:Ч ズ2 Хз ぶ4 bV1 0 — 2 1 2 20 1 — 1 1 4 50 0ш 1 6 80 0 3 1 14 18Преобразуем таблицу, приняв за разрешающий 3-й элемент 3-го столбца:X i x 2 ズ3 ズ4 b 21 0 0 3 14 180 1 0 2 10 】30 0 1 1 6 80 0 0 一 2 — 4 一 64 Л*2 1474 97

Разделим элементы 4-й строки на— 2:Xi ズ2 ズ3 ズ4 b 21 0 0 3 14 180 1 0 2 10 130 0 1 1 6 80 0 0囚2 3Преобразуем таблицу, приняв за разрешающий 4-й элемент 4 й строки:Xl ズ2 ぶ3 ^4 1 ^ 1 21 0 0 0 8 90 1 0 0 6 70 0 1 0 4 50 fO 0 •1 2 3В результате получим систему уравненийС 1.ズ1 + 0•ズ 2 + 0•ズз + = 8,! 0. д:! + 1• л:2 + 0 • л:з + 0 • л:4 = 6,I 0. —[—0 • ~ 1•ズз ~ 0 • ~ 4,V 0• + 0 .ズ2 + 0 •ズ3 + 1.ズ4 ^ 2,т. е. л*і= 8 , x2= 6 f ズ3 = 4,x4 = 2. Д454. Решить систему уравненийС Х1~\~ Х'2— 2ぶз + ズ4 = 1,! ズ1— 3ズ2 + ズ3 + ズ4 = 0,I 4 х і— X2— Хз — ズ4=1,V Axi Зл^2 — 4ズз— = 2,Д Составим таблицу98

1-й элемент 1-го столбца — разрешающий:Изменим знаки в 4-й строке:1 1 —2 1 1 20 —4 3 0 一 1 — 20 一 5 7 一 5 一 3 —60И一 4 5 2 44-й элемент 2-го столбца — разрешающий:1 0 2 — 4 — 1 _ 20 0 一 13 20 7 140 0 一 13 20 7 140 1 一 4 5 2 4Вычтем из 3-й строки 2-ю и вычеркнем 3-ю строку:1 0 2 一 4 一 1 一 20 0 一 13 岡 7 140 I —4 5 2 499

4-й элемент 2-й строки — разрешающий:1 0 —0,6 0 0,4 0,80 0 — 13 20 7 140 1 一 0,75 0 0,25 0,5Матрица имеет ранг, равный 3, следовательно, система содержит три базисныхнеизвестных Х і, х 2 и х А и одно свободное неизвестное х 3. Получаем систему уравнений( 1 • Л*! + 0 • л:2 — 0,бд:з + 0 -л :4 = 0 , 4 ,J 0-Хі + 0-дг2 一 13ж3 +20дг4 = 7 ,I О.лгі+і.д^ — 0,75ズ3 + 0.ズ4 = 0,25.Отсюдаむ = 0 ,4 + 0,6лг3, л:2 = 0 ,25 + 0,75ズ3, дг4 = 0 ,35 + 0 ,65лг3.Итак, решение системы имеет вид= 0,4 + 0,6“ , д:2 — 0,25 + 0,75//, х 3 = и , л:4 = 0 ,35 + 0,(35«,где и — произвольное число. Д455. Решить систему уравнении( 6х 一 5y-\-7z-\~8t = 3,) 3A:+llf/ + 2z + 4 /= 6,J Зх-^- 2" + Зг + 4/ = 1,V х + у + z = 0 .Д Составим таблицу:G — 5 7 8 3 193 11 2 4 G 203 2 3 4 1 13ш1 1 0 0 34-й элемент 1-го столбца — разрешающий:0 — I lIII8 3 i0 8 — 1 4 6 170 — 1 0 4 1 41 1 1 0 0 3100

1-и элемент 3-го столбца — разрешающий:0 — 11 ш 8 3 10 —3 0 12 9 180 — 1 0 4 1 41 12 0 —8 — 3 2Изменим знаки элементов 3-й строки на противоположные:0 — 11 1 8 3 10 — 3 0 12 9 180 ш 0 —4 — 1 —41 12 0 — 8 —3 23-й элемент 2-го столбца — разрешающий:0 0 1 —36 — 8 一 430 0 0 0 6 60 L U 0 —4 — 1 —4і 0 0 40 9 50В результате приходим к системе' 0’ ズ+ 0 ."+ 1 .2 :—36# = — 8,О•ズ+ 0 . у + 0 .2 + О ./= 6,О•ぷ+ 1 . " + 0 . 2:—4*/ = —1,. 1 'X-{-0-y-\-0-z-\-A0t = 9.Легко видеть, что второму уравнению не удовлетворяют никакие значения х ,Уу z w t . Таким образом, полученная система уравнений и заданная системанесовместны. ▲456. Применить метод Жордана— Гаусса к определению рангаматрицы101

Д Составим таблицу7 — 1 3 5 14І І І3 5 7 164 1 4 6 153 —2 一 1 一 !: 一 iВ последнем (контрольном-), столбце' записань» суммы;элементо» соответствующихстрок, 2-й элемент 1-го столбца — разрешающий:0 一 22 一 32 一 44 . —981 3 5. 7 160 一 11 — ia 一 22 一 490 — Ц , — 以 —22 , —49Разделим элементы 1-й строки на — 2,вычтем элементы 1-й строки из соответствующихэлементов 4-й и З-Й строк и вычеркнем 3-ю и 4-ю строки. Тогдаполучим0 1 11 16 22 1 491 1 3 5Любой определитель второго, порядка полученной матрицы отличен от нуля.Следовательно, г (Л) = 2Методом Жордана — Гаусса решить системы уравнений:4 5 7 .4 5 9 .Л:х + 2д:2 + Х з. : 8, Хо -Хі= —5',458.— ズ2 — 3ズз + 2ズ4 = —1,Xi -f- X2 -]-X]_ -\- 5a^2 — 2xo —-Зл^- = Vt,1 ズ1 2x -2— ЗАГ3 — ^X2 Г3+ — ^j 2д:і + Заг2 + 2л:з — 3^ = 伞 ,I X i — X o— ズ"3 — ===— 2 .716X i + 2x 2 + З х 3 — 6ズ4 = 一 10.460. Методом Жордана— Гаусса определить ранг матрицы/ 1 2 3 ! \

Г Л А В А VОСНОВЫ Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы§ !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВАІ. Основные понятия. Рассмотрим такое множество R элементов x, у, z, ..в котором для любых двух элементов xÇ :R и у Ç:R определена сумма х + у g ^ идля любого элемента и любого действительного числа Я определено произведениеÀxÇ R.Если сложение элементов множества R и умножение элемента этого множествана действительное число удовлетворяет следующим условиям:1°. х + У — У + х;2°. (x + y) + z = x + (y + z);3°. существует такой элемент (нуль-элемент), что х + 0 = х для любого4°. для каждого элемента существует элемент такой, что x -f-y = 0(з дальнейшем будем писать у = — х, т. е. х + (— х) — 0);5°.1-х = х;6°. X (fix) = (Àfx) x;7°. + x = Xx-j- [ix;8°. к (x-j-y) = Хх+^У,то множество R называется л и н е й н ы м (или в е к т а р и ы м ) п р о с т р а н с т в о м , а элементыx, у, z, ••• этого пространства — в е к т о р а м и .Например, множество всех геометрических Еекторов является линейным пространством,так как для элементов этого множества определены действия сложенияи умножения на число, удовлетворяющие .сфсфму л и ровак нйш 'условиям.Р а з н о с т ь ю двух векторов х и у линейного п.р.ѳ£т.ра-йсіша «азьшается такойвектор v этого пространства, что у + ѵ = х. Разность векторов х и у обозначаютчерез x — у, т. е. х — у — ѵ. Л егко доказывается, что х — у = х - } ~ (— у).Справедливы также следующие теоремы:1. В каждом линейном пространстве существует т о л т о один нульэлемент.2 . Д л я к а ж д о г о э л е м е н т а л и н е й н о го п р о с т р а н с т в а с у щ е с т в у е т т о л ь к о о д и нпротивоположный элемент.3. Для каждого элемента выполняется равенство 0-х = 0.4. Для любого действительного числа \ и выполняется равенство 入 .0 = 0.5. Из равенства 入 х = 0 следует одно из двух равенств: Х = 0 или х = 0.6. Элемент (— 1) -х является противоположным для элемента х.461. Имеется множество всевозможных систем действительныхчисел d ,ミ2, • • . ,E«)у (лi > Л2» •. • ,Цп) » (ці» Ь2,• • • ,も”),. . . . Суммадвух любых элементов определяется равенством | 2; . . . ; Нп) ++ Oll;^ 2;•.ぺ (?1 + Лі;Ê2 + T)2; •••; ln + Цп)^ а произведениелюбого элемента на любое число — равенством X ( ^ ; ミ2; •••; gn) == ( Ц і; 入 | 2; •••; Доказать, что это множество является линейнымпространством.А Обозначимх = ( І 1;?о;•••; У = (Г]!;Г]2; Т1„), z = ( し;し; し),Проверим выполнение сформулированных выше условии 1° — 8°.т I 0. Х + У = ( ё і + ЛГ’ _ І 2 + 化 ;… ;し + ” 《) ,y + X = ( » ] 1 - i- Ç 1 ;Г ]2 -г ё 2 ; ” /1+ Sn),2°. х + У == ( ^ і+ т ]і ;Ег + 'Пг;… ; + り《) ,У+ z = (り1+ し ;г |2 + Ç2; • • - » ЦпЛ- чп i Sn)» ,/",(х — y) -f- Z = ( һ -Ь Лі + £ і;І 2 +Л-2 + S-2;… ;l/J + + Cri),X + (У + Z) = ( I l + Пі + Sli&2 + ^ 2 + & ;•••; + + Таким образом, (x + y) + z = x 十 (y + z)103

3°. Нуль-элементом является 0 = (0, 0 • • • ,0). Действительно, х-{-0 = (sx + O;S2 + O; Ь + 0) = х.4°. Элемент (— — | 2Î •••;—?«) является противоположным элементу ( ^ і;各 2; •••;し ),так как (g i;g2 ; •••; D + (— Êi;—ê2 ; •••; —D = (0; 0; •••; 6) = 0.5°.l-x = (l-gi;1-g2;… ;б°. = І^ъп) = ( ^ І і ;>4^ 2; •••; =。 х = ((Я,+ [я) ?і; + ...; (а + и ) ? Д = ( Д і + Н | і ;>^2 + ^ 2 ; •••;^-тп+ И^И) ~ ( 入 忘 1, 人 ミ2,• • • , 入 §«) + (И^І,M• 忘 2’ • • • ,ドD ^ 人 (э1 >^2> • . • ,ë/l) T" H* (ミ1,ミ2,• • •;£ „)= > .X -f-(.(X .80. 入 (Х+ у)= 入 (?1 + Т]і;ミ2 + 412.’ • • • ; し + 〜 ) = ( 入 §1 + 入 Л і; 入 S2 + 入 112;. • •; +十 ;Uj„) = ( 入 入 ?2;… ; 入 し) 十 ( 入 ГЦ; ん Г]2;".; Яг]п)= Я (^ 1;І2;… ; Ы + ^(Пі;% ;•••;ル )= 入 x + Ày. ▲462. Доказать, что множество всех комплексных чисел являетсялинейным пространством. *463. Является ли линейным пространством множество систем четырехдействительных чисел ( І г ; ミ2; 0; 0), (%; rj2; 0; 0),(^ ; Ç2; 0; 0),где |ぃ | 2,r ji,rj2, し t 2 — всевозможные действительные числа? Сложениеэлементов и умножение на действительное число определенытак же,как и в задаче 461.464. Образует ли линейное пространство множество элементов(il; ?2; 1; (Лі; 1Ъ ;I ; I) . ( i l , ç2; l ; 1)?465. Является ли линейным пространством множество всевозможныхмногочленов второй степени а0^2 + а і^ + а2»ßo^2 + ßi^ + ß2»У ^ 2 ++ y J + Т2» • *•?466. Образует ли линейное пространство множество всех многочленовне выше третьей степени?467. Даны функции (t), f 2(t), f3(i), . . . . Является ли множествоэтих функций линейным пространством, если эти функции образуют:1 ) совокупность всех непрерывных функций на отрезке [а у Ь\, 2) совокупностьвсех дифференцируемых функций на отрезке [а, Ь\\ 3) совокупностьвсех элементарных функций; 4) совокупность всех неэлементарныхбункций?468. Дано множество всевозможных пар положительных чисел:х = ( Һ ;ё2) ,у = ( Пі; ャ12),z = (^ ; Q , .... Является ли это множестволинейным пространством, если сложение двух элементов определяетсяравенством х + у = (ЁіГі!;і 2г|2) , а умножение на действительноечисло — равенством Àx = (І^; S2)?469. Может ли линейное пространство состоять:1 ) из одного вектора;2) из двух различных векторов?470. Из линейного пространства исключен вектор х. Может липолученное после этого исключения множество векторов остаться линейнымпространством?4 7 1 .Из линейного пространства исключено бесчисленное множествовекторов. Может ли полученное после этого исключения множествовекторов быть линейным пространством?472. В резерв проводников вагонов для выдачи им ежедневно поступаютсо склада:1)сахар; 2) чай; 3) печенье; 4) сухари; 5) древесныйуголь. Пусть 12, Із 、| 4, 15 — соответственно приращения задень количества (в кг) этих поступлений. Если ^ > 0, то соответствующегопродукта или угля поступило больше, чем выдано в этотдень, а если ^ < 0, то их выдано больше, чем поступило со склада.104

Является ли совокупность систем чисел ( 匕 ;^2; Ç3; g4; g5) линейнымпространством? Что означает вектор (— 100; 5; 0; — 200; 3)?473. Образует ли линейное пространство совокупность троек целыхчисел (^ ; g2; У ?474. В парк вагонного депо ежедневно прибывают вагоны разныхтипов: багажные, почтовые, жесткоплацкартные, купированные и мягкие,из которых ежедневно формируются и отправляются пассажирскиеи скорые поезда. Пусть Н1? £9,Н3> | 4, Н5— приращения за суткичисла соответствующих вагонов. Является ли совокупность чисел( 5 і; І 2; 匕 ;レ’ Іъ) линейным пространством?475. Образуют ли линейное пространство все геометрические векторы,имеющие общее начало в начале координат и расположенныев I октанте?476. Доказать, что множество всех решений системы линейныходнородных уравнений { ご ニ フ образует линейное пространство.Доказать, что если (л^; у で, z {) и ( х 2 ] у 2\ г2) — решения этой системы, то(^1 + ^ 2;У і- \~ У 2'у 2і + 22) и ( і х і ; к у で, }.Z i) при любом 乂 также являются решениямисистемы.477. Доказать, что все функции у г (х), у 2 (х) , у 3 (х )у • • • ,удовлетворяющиедифференциальному уравнению Л 0у Оі) + А гу (п~ 1) + А пу = 0(А0У А1У А п— функции от х) образуют линейное пространство.2. Линейно независимые векторы. Пусть x, у, z , … ,u — какие-нибудь векторы линейного пространства R . Вектор, определяемый равенствомv = ax-J-ß y-J-y z + • • • + Я и ,где а , р, 7 , . . . ,% 一 действительные числа, также принадлежат линейному пространствуR . Этот вектор называется л и н е й н о й к о м б и н а ц и е й векторов x, у, z, ..., и.Пусть линейная комбинация векторов x, у, z, •. • ,и является нуль-вектором, т. е.ССХ+ р у + y z + … + 入 и = 0. (1)Векторы x, у, z, и называются л и н е й н о н е з а в и с и м ы м и , если равенство (1)выполняется лишь при а = ß = у = . . . — Х ~ 0 . Если же равенство (1)может выполнятьсяи в том случае, когда не все числа а, р, у , .. •,んравны нулю, то говорят,что векторы x, у, z, •..,и л и н е й н о за в и с и м ы .Легко доказывается, что векторы x, у, z, ..., и линеино зависимы тогда и толькотогда, когда один из этих векторов может быть представлен в виде линейной комбинацииостальных векторов.478. Показать,что если среди векторов x, у, z, •••,и имеетсянуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы.Д Пусть x = 0. Так как равенство ах + ру + ү г + … + 入 и = 0 может выполнятьсяпри а Ф 0,ß = 7 = . . . = X = 0, то векторы линейно зависимы. ▲479. Элементами линейного пространства являются системы упорядоченныхдействительных чисел х,- = 12{, • • •, ^ п і) (/ = 1 ,2,3,•••). Какому условию должны удовлетворять числа t ik (t = 1 ,2, • • . ,м; = 1 ,2 ,. . . , n) для того чтобы векторы х п х 2,• • • ,\ п былилинейно независимы, если сумма векторов и произведение вектора начисло определяются равенствами x ;- f + ••••’十 しd ,^xi — 入 ?“ ; •••;スU ?105

Д Рассмотрим равенство ссхХх- f а 2х2 + --f а п х п = 0 . Оно равносильнотеме уравненийА ミ11 + а2?>12+ • ••: 0’0^1^21 + а2?22 + •• • + а пІ2П^і5/г1 ^"2^п2 ~І~ • . • ^п^ппслучае линеиной независимости векторов Xi,х。,ссг =—ОС-э'— • • •= CC/z = 0 , т. eх п эта система должнаІ і і ЬІ2 • • • І і пЬ21 Ь22 І>2П Ф 0.• • t »Ъ гіt ЪппВ частности, векторы ( | п ; | 2і ) и (^12; ^22) линейно независимы тогда и толькотогда, когда § ц І 22 — ь і25-2і # 0. ▲480. Рассматривается линейное пространство многочленов не вышевторой степени. Доказать, что векторы Р г = I - { - 2 t 3 t 2, Р2 = 2 + ++ 4/2 и Р3 = 3 + 5^ + 7^2 линейно зависимы.Л В данном случае можно сразу заметить, что Р3 ニ: 1- Р і+ 1- Р2; следовательно,векторы Рі,Р2 и Р3 линейно зависимы. Д481.В каком случае векторы х ^ (Нх; ?2) и у = (і^; г|2) ,определенныев условии задачи 468, линейно зависимы?А Из равенства х = 入 у следует, что ( | і ; 入 ㈧バ г]2), или (g i;| 2) = ( т іі;Л2)»т. e . 1і = г ]і,^ 2 — "П-2 • Отсюда заключаем, что ln §і-1п т]3=1п т}і*1п ^2- А482. Доказать, что три компланарных вектора a, b и с линейнозависимы.© Привести векторы к общему началу и разложить один из векторов на составляющие,соответственно коллинеарные двум другим векторам.483. Доказать, что три некомпланарных вектора a, b и с линейнонезависимы.484. Доказать, что любые четыре вектора а, Ь, с и d линейнозависимы.Д Если три из четырех векторов компланарны, то задача решается просто.Предположим, что эти векторы некомпланарны. Приведем есѳ четыре вектора кобщему началу О . Построим параллелепипед, диагональю которого является векторd с ребрами на прямых, содержащих a, b и с. Нетрудно видеть, что d = aa + ßb -f-+ үс. А485. Доказать, что если п векторов линеむного пространства х ,у,z, и линейно зависимы, то п -\-1 векторов этого пространстваx, у, z , … ,u, v также линейно зависимы.3. Размерность и базис линейного пространства. Если в линейном пространстве R имеется п линейно независимых векторов, но любые t i - \ - 1 векторов этогопространства линейно зависимы, то пространство R называют n-мерным. Принятотакже говорить, что размерность пространства R равна п , и писать d ( R ) = n . Пространство,в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов,называется б е с ко н е н н о м е р н ь ш . Если R — бесконечномерное пространство, тоd. (R ) = 00.10G

Совокупность f i лияейно независимых векторов だ-мерного линейного пространстваназывается, б а зи сом . Справедлива следующая теорема: к а ж д ы й в е к т о р л и ­н е й н о го п -м е р но г о п р о с т р а н с т в а м о ж е т б ы т ь е д и н с т в е н н ы м о б р а зо м п р е д с т а в л е нв виде линейной комбинации векторов базиса. Так, если еІ5 е2, ..., е„ 一 базис/г-мерного линейного пространства R, то л-:обои вектор может быть единственнымобразом предртавлен в видех — s lel + Ь2е2 + • • . +Таким образом, вектор х в базисе еь е2 , . . . , е„ определяется единственнымобразом е помощью чттсел" | 2, ..., Һ,п. Эти чтісла называются координатамивектора х в данном базисе.Если x = § х е х + І 2е2 + • • • + У = Л іеі + 112€2 + • • • + Л « 6«» тох + У==(?і + ,П і)еі + + 他 )е2 + . • • + (b n + îl« ) Àx = 4- ^S2e2 + •. ‘ + 入 匕 ら.Для определения размерности линейного пространства полезно использоватьследующую теорему: если любой вектор линейного пространства R может бытьпредставлен в виде линейной комбинации линейно независимых векто роз еь ег,...,е„, то d (R) = rt (а следовательно, векторы еь е2, . . . , е" образуют базис в пространствеR).486. Дано линейное пространство всевозможных пар упорядоченныхдействительных чисел х 1 = (gu ; Н21),х 2 = (|12; Н22),х3= ( 羞 13; ?23), .. •,причем сложение векторов и умножение вектора на действительноечисло определены равенствами + 土 + ?2/ + 52fe)*» 入 == ( 入 し' ; ÀH2t-). Доказать, что векторы ех = ( 1;2 ) и е2 = (3; 4) образуютбазис данного линейного пространства. Найти координаты вектораx = (7;10) в этом базисе.Д Векторы е і= (1;2) и е2 = (3; 4) линейно независимы (см. задачу 479). Рассмотримкакой-нибудь вектор у = (Лі; Лг)- Покажем, что для любых т]х и т]2 можноопределить числа 人 и так, чтобы выполнялось равенство у = 人 еі + [хе2 , илиНетрудно видеть, что существует единственная пара значений ( 入 ;fi), для которойвыполняется этѳ, равенство. Это следует из того, что система уравнений\ >»+ 3^ = т;1,' 2Х + 4|.і = г] 2является определенғгой.Итак, векторы еі и’ с2 образуют базис. Определим координаты вектора х = ( 7 ; 10)в этом базисе. Задача сводится к определению >. и [і из системы уравненийf 入 + 3ц = 7,\ 2Я + 4^=Ю.Отсюда находим 入 = 1 ,[і = 2, т. е. х = еі + 2е2. ▲487. Показать, что линейное пространство, элементами которогоявляются- векторы х = ^2; • . І п) (см. задачу 479), имеет своимбазисом совокупность векторов е!= ( 1; 0; 0; … ;0),е2 = (0; 1;0;… ;0),е3 = (0; 0 ; 1 ; . . . ; 0 ) , . . еп — (0; 0; 0; • • •,1)ニД Нетрудно видеть, чтох = і і (1;0;0; ... ;0) + 12 (0 ;1;0; ...;0 ) + ...+ |„ ( 0 ;0 ;0 ; •••;1),т. e. x = ^ е і + ^2^2 + • • • + Таким образом, любой вектор может быть представленв виде линейной комбинации векторов еі, е2, • • • ,е„. Векторы еі,е2, ..t n линейно независимы, так ка к определитель, составленный из координатэтих векторов, равен 1,т. е. отличен от нуля. Итак, эти векторы образуют базис,а пространство R является л-мерным. Д107

488. Из каких элементов состоит линейное пространство с базисом1,/, t2, . . . ,і п~гу t n, если сложение элементов и умножениеэлемента на действительное число понимать в обычном смысле?489. П оказать, что множество всех матриц второго порядка являетсялинейным пространством четвертого измерения.490. Показать, что матрицы ^ 、0 0ノ,е2 q o J ,ез = (з 0) ,е4= 、0 4ノ образуют базис линейного пространства, рассмотренногов задаче 489.4 9 1 . П оказать, что элементы (1 ;1 0 ) и е2 = ( 1 0 ; 1 ) линейногопространства, рассмотренного в задаче 468, являются базисными.Н айти координаты вектора х = (2; 3) в этом базисе.Д Так как ln 1•ln 1—ln Ю-ln 10 云 0,то векторы ei и е2 линейно независимы(см. задачу 48り. Пусть любой вектор У = (Ліі Пг) представлен в виде линейнойкомбинации векторов еі и е2. Покажем, что существует такая пара чисел (À; ц),для которой выполняется равенство у == Àex + fie2, илиlO^-l^).Следовательно, ド ニlg т]і, 入 = lg т]2. В частности, x ^ ei lg3 + e2 lg 2. Таким образом,(lg 3;lg 2) — координаты вектора х в базисе еь е2. ▲492. Показать, что за базис n-мерного пространства, рассмотренногов задаче 479, могут быть приняты векторы ех = (1 ;1 ;1 ;...,1 ;1),е2= (0;1;1;...•;1;1), е3 = (0; 0;1;• • •;1;1),• • е" 一 1==(0; 0;0 ; • • • ; 1; 1) , = (0; 0; 0; • • •; 0; 1).@ Рассмотреть векторы е ,1 ^ е 1 — е 2, е; = е2 —е3, •••, = е„_і — еи, е'п = еп .4 . Изоморфизм линеиных пространств. Рассмотрим два линейных пространстваи R ' . Элементы пространства R будем обозначать через x, у, z, ..., а элементыпространства Rr — через x ' у', z',… .Пространства R и R r называют и з о м о р ф н ы м и , если между их элементами х,у, X、 у 1 можно установить такое взаимно однозначное соответствие х ^ х '; уу\при котором х + у х' + у', Àx ҺС (X—любое действительное число). Следуетотметить важную теорему, с помощью которой легко устанавливается изоморфизмконечномерных линейных пространств: для того чтобы два конечномерныхпространства R и R' были изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы ихр а з м е р н о с т и б ы л и о д и н а ко в ы м и .493. Даны два линейных пространства R и R 1. Элементами пространстваR являются всевозможные дифференцируемые функцииаргумента t 、обращающиеся в нуль при / —0. Элементами же пространстваR ' являются производные функций, принадлежащих пространствуR . Доказать, что пространства R и R , изоморфны.Д Пусть /х (/), / 2 (/), ,3(0, •••—функции пространства R , a ф і(/), ф2 (/),фз (/), • • • — функции пространства R ' . Из того, что эти функции снабжены индексами,не следует делать заключение, что R и R , — счеіные множества.іПусть Ф/ (0 — /t* (0 ;тогда // (0 = ^ ф/ ( t) dt. Таким образом, между элементаоми линейных пространств R и R f (доказательство их линейности предоставляембы пол нить самостоятельно) установлено взаимно однозначное соответствие.108

С помощью равенствФ / ( 0 + Ф ^ (t) = U i ( t ) + f kf i ( t ) + f k ( t) = ) [ ф / ( 0 + Ф ^ (0 1 d t tоtH i ( t ) = W i ( t ) ] \ V / ( 0 - 5 4 / ( 0 d tоустановлены взаимно однозначные соответствия: f i (0 Ф/ (0 + Фл (О»X fl ( t) Хф/ (/). Итак, R и R f — изоморфные пространства. ▲494. Доказать, что множества всех геометрических векторов имногочленов не выше второй степени — изоморфные линейные пространства.495. Д аны изоморфные линейные пространства R и R '. М еж дуэлементами этих пространств установлены взаимно однозначные соответствияx у у \ … • Доказать, что ах + Ру + ド — ++ ßy'+ yz' при любых действительных а, ß и ү.496. Пусть R и R f — изоморфные линейные пространства, причемх ^ х '. Доказать, что (— х) >(— x f).497. Даны изомор 中 ные пространства R и R \ причем 0 и 0 '—нуль-элементы этих пространств. Доказать,что 00г независимоот того, как установлены взаимно однозначные соответствия междудругими элементами этих пространств.498. Даны всевозможные пары действительных чисел: (|パ г^),( |2; т]2) ,(g3; г)3) ,.. • • Построены два линейных пространства: пространствоR с элементами = х 2 = (12; г]2), х3= ( ^ ; і] 3),в котором сложение векторов и умножение вектора на число определеныравенствами хх + х2= (Ёі + і 2>ル + ル ) , = 入 Лі>,и пространствоR \ состоящее из векторов х [ = ( е - ^ \ е - ^ ) у х ,2 = (е ~ ^;Хо = (в~Ь; е~^3), .. .у в котором соответствующие действия определеныравенствами + хミ= ( ど""ミ1 一 き2; 6_ル■'ル), 入 xi = (ど_ 入 し;6 _ 入 ル) . Доказать,что пространства R u R изоморфны.499. Изоморфны ли линейные пространства R и R r\ если элементамиR являются векторы х ,у, z, . • • ,а элементами R r — векторы2х, 2у, 2z,… ? Показать, что пространства R n R состоят изодних и тех же элементов.§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕХОДЕК НОВОМУ БАЗИСУПусть в n-мерном линейном пространстве R n имеются два базиса: ef, е2, е3, ...(старый) и е^, еニ,е^, . . . (новый). Даны зависимости, выражающие каждый векторнового базиса через векторы старого базиса:— 01161+ 02162+ • • •ео = f l 12el + а22е2+ • • • + û/i2en»e" = ^1/2^1 + ^2n^2 + • • • + ^ПП^П'109

Матрицуf Û11 a12\ ° 21 a22\ a n l a n 2 d lin Уназывают м а т р и ц е й пе р ехо д а от старого базиса к новому.Возьмем какой-нибудь вектор х . Пусть ( ^ ; |2;• • •;1«)— координаты этоговектора в старом базисе, a (ぢ; •••; — его координаты в новом базисе. Приэтом старые координаты вектора х выражаются через новые координаты этоговектора по формуламミ1 = + 卩 1 2 І ふ+ • • • + a ln V n >?2 = + ß22bo + • •. + а2пІпі= ß nlS1 + öfH2b2+ • • • ~\~аппьпукоторые называются ф о р м у л а м и п р е о б р а з о в а н и я к о о р д и н а т .Нетрудно видеть, что столбцы матрицы А являются координатами в формулахперехода от старого базиса к новому, а строки этой матрицы — координатамив формулах преобразования старых координат через новые.500. Дан вектор х = е1 + е2 + е3 + е4 Разложить этот вектор поновому базису e;, е•ぶ, еム если : е2 + е3 丁 Со= с 3 -j- с 4,~ Н~ ^2 ~Ь е4, + е2 + с3.Д I способ. Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому:Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразованиякоординат:һ = І2 + 1 3 + ^> = = + + ^4=^ + ^ + ^.Гак как g i = g2 = = 1,то, решив систему уравнений, находим = := и х = (1/3)(еӀ + е2' + % + е:).J I способ. Исключив е1г е2, е3, е4 из системы уравненийх = е! + е2 + ез + е4,e^ = 0-e1~j-e2 + e3-i-e4^= e】+ 0.е2 +ез+ ej,1 = еі + е2 + 0* ез + е 4,' ej'= еі + е2 + е3 + 0*е4получаемx 1 1 1 111Остается раскрыть этот определитель по элементам 1-го столбца и выразить х че*рез e;, еふ, и еふ.110

I I I с п ос. о б. Так как е; з-І^е;= Зеі + Зе2 + Зе3 + Зе4, то е1 + е2 + е3 +е4: :(_1/3) (ぢ + S + eふ+ е ふ) . Отсюда х = (1/3) (е;-;+ < )•501• Дан вектор х = 8е! + 6е2 + 4е3 一 Î 8e4. ТРазложить этот векторпо новому базису, связанному со старым базисом уравнениями▲ 〜Зе е2 + е3 + е,, е; = 2е!,— 4е2+.е3+丁 е4,е3 ‘ ~j-Зе2 5е3 丁 е4, С4 = 6j_ с24е3 — 6е4.502. Дан вектор х = 2 如 1 + е2+ • •. + е „).Разложить вектор х по базису e“ е•ふ,.• •,е;г, если е; ニ: et 十 е2,el = e2 + e3) е;= е3++ е4, . . . , :ert_a = ^ ,г^ 1 e” - 〜 丁 e”503. Система координат хОу повернутавокруг начала ^координат на уғол хх (рнс. 2Һ). Рис. 21Выразить координаты вектора а х\+ у ) в новой системе через его координаты в старой системе.Д Разложим векторы і' и j ' по ортам і и j:Y = i cos СС+—j sin a,' ЛУ =»І C Q S "?r+'a ) +

называется множество 尺 4 всех элементов вида х + у, где x Ç а /уÇ Запись/?4 = R i~ \ - R o означает, что множество является суммой подпространств R i и /?2.Доказывается, что пересечение /?з и сумма /?4 являются подпространствамипространства R . Следует иметь в виду, что d ( R ^ -)- d ( R 2) ( R z) - \ - d ( R 4).506. Может ли подпространство линейного пространства Rсостоять из одного элемента?507. Дано линейное пространство R, элементами которого являютсявсевозможные системы действительных чисел : х = ( ^ ; 各 2; Ёз;I ) ,y = ( îli;^ 2;ТІЗ;ル),z = ( し;s2; Сз;У .......... Сложение двух элементови умножение элемента на число определены равенствамиХ + У = (^і + Т]і;ІЗ + ТІ2;Із + %;li + ^). Ях = (Я^; %Іг\ Я|з;Я|4).Доказать, что множество R l элементов x: = (0; ?2; ミ3; g4), == (0; rj2; г]з; г]4), Zi = (0; ミ2; ^з; し ),. . . и множество R2 элементовХ2 = ( І х;о;Із;і 4), у2 = (Лі;о;тіз;Г)4), Z2 = (し;0; ^з;у , •• .являютсяподпространствами линеиного пространства R.508. Для линейного пространства R y рассмотренного в задаче 507,найти пересечение R 3 и сумму подпространств и R 2.509. Показать, что для подпространств задач 504 и 505 выполняетсяравенство d ( R ^ + d ( R 2) = d (R 3) + d (R^).510. Дано линеиное пространство, состоящее из всех геометрическихвекторов. Является ли подпространством этого пространствамножество векторов с началом в начале координат и расположенныхв I октанте?511• Дано линейное пространство R, элементами которого являютсякоординаты точек Р = (х; у; г) I октанта,не лежащих на координатныхплоскостях. Сложение двух каких-нибудь элементов Р 1 = := ( ズi ; Уі\ z\) и Р2= (х2\ у2\ z2) определено равенством Р г + Р2 == ( ズiズ2; У іУ І г і г 2),а умножение элемента P — (x; y\ z) на действительноечисло 又 一 равенством ÀP = (xx\ y ' zx). Д оказать, что множествоR x точек этого пространства, расположенных на плоскости2 = 1 , является подпространством пространства R .512. Дано линейное пространство R многочленов не выше пятойстепени. Доказать, что множество многочленов вида aQt-\r al имножество R 2 многочленов Ь0і А+ ЬгР + Ь2 являются подпространствамипространства R , если сложение элементов и умножение элемента начисло понимать в обычном смысле.513. Найти подпространства /?3= Г) 及 2и = ル + по условиюпредыдущей задачи.514. Рассматриваются два подпространства пространства R всехгеометрических векторов: — множество векторов,параллельныхкоординатной плоскости хОу, и R2— множество векторов, параллельныхплоскости xOz. Найти R3= R2 и R4= R1-\- R2.515. Пусть /?! и R2— подпространства линейного пространства /?,a R[ и /?2— подпространства линейного пространства R r. Известно,что подпространства и а также R2 и R r2 изоморфны. Доказать,что изоморфны подпространства R 3= І^1[ ) ц = / ^ ,а также R4 = + R2 и R f4= R[ + R f2-112

516. Дано множество 中 ункций/ ( ズ),непрерывных и положительныхна отрезке [ — а, а]. Доказать, что это множество является линейнымпространством, если за сумму векторов принять произведение соответствующихфункций, а за произведение вектора на действительноечисло \ — результат возведения в степень X соответствующей функции.Является ли подпространством множество всех четных функций этогопространства? Множество всех нечетных функций этого пространства?517. Рассматривается линейное пространство геометрических векторов.Образует ли подпространство этого пространства множествовсех векторов a = _Xi + y j + Zk, где X , Y и Z — рациональные числа?2. Подпространства, образованные решениями однородной линейной системыуравнений. Рассмотрим однородную линейную систему уравненийС а 11х 1 " \ - а 12х 2 + • ' .• + a ln x n ~j Û21ズ1 + み 2 ズ 2 + • ■ ' • + ^ 2 n ^n ニニ О,(りズі(Д Ранг матрицы• + a rnnx n =Пусть ズ1= 入 1 , 尤 2 = 入 2,• • • ,хп = 一 какое-нибудь решение системы. Запишем эторешение в виде вектора f = (À i; 乂 2; • • • 入 《). Совокупность линейно независимыхрешений f x, f 2, ..., f n системы уравнений ( 1 ) называется фундаментальной с и с т е ­м о й решений, если любое решение системы уравнений ( 1 ) может быть представленов виде линейной комбинации векторов f l f f 2, • • • ,f n .Теорема о сущ ествовании ф ундам ентальной системы реше н и й. Если ранг матрицыа 1 І а 12 • • • a in^21 ^22 ••• ^2n^ті ^m2 • • • amnменьше м, то система (1) имеет ненулевые решения. Число векторов, определяющихфундаментальную систему решений, находится по формуле k^=n — г, гдег — ранг матрицы.Таким образом, если рассматривается линейное пространство R n y векторамикоторого являются всевозможные системы п действительных чисел, то совокупностьвсех решений системы ( 1 )является подпространством пространства R n . Размерностьэтого подпространства равна k.518. Найти базис и размерность подпространства решенийлинейной однородной системы уравненийо+ 2ズ2+ 3ズ3+ 4 х 4о(1/2)ズі + ズ2+ (3/2)ズз + 2 х 4о( 1/3) Xi + (2/3) x2 + ズз + (4/3) x4о(1/4)ズi + (1/2 ) ズ2 + (3/4)ズ3 + л:41/ 2/ 3/ 433 422/3' 3/1 43 /31/2 /4равен 1,поскольку все миноры матрицы, кроме миноров первого порядка, равнынулю. Число неизвестных равно 4; поэтому размерность подпространства решенийk = n 一 r = 4 — I = 3 , т. е. это подпространство является трехмерным. Так как /•= 1 ,то из этой системы достаточно взять какое-нибудь одно уравнение.113

Возьмемтпервое уравнение системы и запишем его в виде х± = 一 2 х 2 一 Зл:з — 4л:4.Если Х2 = 1, х3 ==>0, л;4 = 0 , то х г ~ — 2; если х 2 = 0, л ^ = 1 , л:4 = 0, то Х і = — 3;если ^2=>0, л ^ = 0 , ^ 4 = 1 , то ^ = — 4. И т а к , мы получили линейно независимыевекторы fユ= ( — 2;1;0; 0),f2 = (— 3; 0;1;0), ,f3= ( — 4; 0; 0;1),котс^ые образуютбазис трехмерного подпространства решений данной системы. ▲519. Показать, чтоуравнений задачи 518.520. Найти базис иуравненийД Ранг матрицывектор f = f x — 2î 2 + f g удовлетворяет системеразмерность подпространства решений системы( ズi — 2х2 + ズз = 0,2Хі — Х2 — Л^з == 0,^ — '2 л* i. ~\~^Ах2 — 2л^з =--0 •-2 4равен 2,так ка к определитель третьего порядка, образованный элементами матрицы,равен нулю, а среди миноров второго порядка имеются отличные q t нуля.Размерность подц-росхранства^решений k = n — г = 3—2=1. Так как г —2, то достаточновзять два.уравнения из заданных,трех. Отбросим третье уравнение, посколькуего коэффициенты пропорциональны соответствующим коэффициентам первогоуравнения.В системе/ Х1 一 2ズ2 = — ぶ3,\ 2л*і— К2 = %зполагаем х 3 = \ , тогда решение системыЛ*2_— 2Х'2 :2x tесть ズі = 1 , л:2 = 1.Итак, подпространство решений определяется одним базисным векторомf = 1; り. ▲ ド521. Найти размерность и базис подпространства решенийсистемы уравненийХі~]~х2—ズ3 + ズ4 = 0,Xl _ Х 2 ~\~хз —дг4 = 0,3ぶ1 + ズ2— Х3 + ^ 4 = 0,、 З х і ~ Î ぶ2 + ズ3— ぶ4 = 0.Д Определяем ранг матрицы1,Вычитаем из 3-и строки 2-ю, а из 4-й строки 1Так ка к элементы 3-й1-й строки, а элементы114‘ 2 —2строки пропорциональны соответствующим элементам4-й строки пропорциональны элементам 2-й строки, то

3-ю и 4-ю строки можно вычеркнуть:门 \Ч1 —1 1 一 1ノ .Таким образом, ранг матрицы А равен 2 и k — п — г = 4 — 2 — 2 .Итак, размерность подпространства решений равна 2. Так как г ~ 2 , то изчетырех уравнений возьмем два:( ズ1 + ズ2 — ズ3 + ズ4 = 0 , u m ( X i + X2 ~ ズз — XI ズ1— ズ2 + ズ3 — ズ4 = 0, \ ぶ1 一 X -2~ — ズ3 + ズ•!.( I д.— ]Полагая ズ3= 1,д:4 = 0,получим систему | "^1 1 2____ 厂 Следовательно,々 = О,х2= \ и fx = (0; 1; 1; 0). 丄 ^Полагая теперь д:3 = 0, х 4 = 1 , имеем j 1 ! ,Таким образом, ^ і = 0,х2 = —\ и f.2 = (0; —1; 0; 1) . За базисные векторы подпространства могут бытьприняты векторы f i= (0; 1; 1; 0) ,f2 = (0; —1; 0; 1) . Общее решение системы уравненийопределяется вектором f = c1f1-j-^2^> т. e. f — (0; ci 一 с2; f i ;с2). А522. Определить размерность подпространства решений, базиси общее решение системы уравнений/•^1 ~Г" ^Х2 + ズ3-;~Хі 丁 ズ5 = 0,i ^1 一 -'г хЗ~Тхі 一 ズ5 = 0.§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1 . Основные понятия. Будем говорить, что в линейном пространстғе R заданопреобразование А, если каждому вектору xÇ^R по некоторому правилу поставленв соответствие вектор AxÇ/?. Преобразование А называется линейным, еслидля любых векторов х и у и для любого действительного числа Я выполняютсяравенстваА (х + у) = Ах + Ау, А (Я х) = Я Ах.Линейное преобразование называется т о ж д е с т в е н н ы м , если оно преобразуетлюбой вектор x в самого себя. Тождественное линейіюе преобразование обозначаетсячерез Е. Таким образом, Ех = х.523. Показать, что преобразование Ах = ах, где а 一 действительноечисло, является линейным.Д Имеем А (х + у) = а (х-}-у) = ах + ау = Ах + Ау, А (Хх) = а (Ях) = А, (а х )== Я Ах. Итак, оба условия, определяющие линейное преобразование, выполнены.Рассмотренное преобразование А называется п ре образован ием подобия. А524. Преобразование А в линейном пространстве R определеноравенством Ах = х + х0, где x 0 Ç:R — фиксированный ненулевой вектор.Является ли преобразование А линейным?А Из равенств Ах = х + х0, Ау = у + х。,А (х+у) = x -f у + х0, А (х + у ) == Ах + Ау заключаем, что х + у + х0 = (х + х0) + (у + д:й). Отсюда следует, чтоа., = 0, но это противоречит условию. Следовательно, преобразование А не являетсялинейным. ^525. Дано линеиное пространство геометрических векторов. ПреобразованиеА состоит в замене каждого вектора его составляющейпо осн Ох. Является ли это преобразование линейным?115

Д Пусть SL = X i \ + Y 1] - { - Z i k и Ь = Х 2i + r 2j + Z2k — произвольные векторы,а Я.— произвольное действительное число. Так ка ктоа + b = (Xj_ + Л"2) i -j- (),і + ド2) j + (Zi + Z 2) k , 入 a == 人 X ii + 入 V^ij — ^Zjk,A (a-f- b) = (Xi + X 2) i == -f~ ^ 2* — A a + Ab, A (X.a) = A X ii = 人 Aa.Итак, A — линейное преобразование. Д526. Является ли линейным преобразованием замена каждогогеометрического вектора его зеркальным отображением относительнокоординатной плоскости хОу?527. Является ли линейным преобразованием умножение каждогогеометрического вектора на его длину?528. В ка ко м случае преобразование А является линейным, еслиА х = х 0, где х0 — произвольный вектор линейного пространства R ,а х 0— фиксированный вектор?529. Дано линейное пространство векторов х = + s2e2 + ^зез ++ ^ 4е4, где 11У | 2, | 4 — всевозможные действительные числа.Пусть а — фиксированное действительное число. Является ли линейнымпреобразование А, определяемое равенством A \ = ^ l 1e l + l 2t 2 ++ S3e3 + g4e4? ^ &530. Дано линейное пространство векторов x = ëi^i + ё2е2 + s3e3++ | 4е4. Преобразование А состоит в том, что у каждого вектораменяются местами вторая и третья координаты, т. е. Ах — ++ 5зе2 + Ь2ез + ь.іе4• Является ли преобразование А линейным?531. Пусть А — линейное преобразование. Доказать, что преобразованиеВ, определяемое равенством Вх == Ах — 2х, являетсялинейным.2. Матрица линейного преобразования. Пусть в n-мерном линейном пространствеR y базис которого еь е2,..., е„, задано линейное преобразование А. Так как Аеі,Ае2,. . . ,Ае" — векторы пространства R, то каждый из них можно разложитьединстаенным способом по векторам базиса:А е і= О ц^і 十 ß2ie 2 + •. • + o.ni t nyAe2 = Ül2el + ü22e2 + . • • + an2^ntМатрицаA eM= + 0^パ2 + • • • Ч~^ іі ö12 •. • Oln^21 0-22 •• • ^2/1びП2 ••• ^ППназывается матрицей линейного преобразования А в базисе ef, е2, •••,ея. Столбцыэтой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисныхвекторов. Возьмем в пространстве R какой-нибудь Бектор x = x1e1 + x2e2+ ...хпеп. Так как Ах らR, то и вектор Ах можно разложить по векторам базиса:Ах-і-х^ еп.Координаты . . . ; х\х) вектора Ах выражаются через координаты (々 ;х2] . , .• ••; х п ) вектора х по формулам= йцХі + 012-^2 + • • • + а1ПХП*Л*2 ^ а21Х1 + ^22Х2 + . • , ~\~а2п^п*ИС

Эти п равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе еь е2,.... . . , е„. Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являютсяэлементами строк матрицы А.532. Н айти матрицу тождественного преобразования Е в п-мерномпространстве.Д Тождественное преобразование не меняет базисных векторов: = ех,^ = ез = е3, . . . , = е Пі т. е.е;= Ьеі + 0.е2 + ..,-1- 0.ел;,< = 0 ^ + 1 .е2 + … + 0. е",е;г = 0 еі + 0 е2+ . . . + !• е„,Следовательно, матрицей линейного преобразования служ ит единичная матрица533. Найти матрицу преобразования подобия Ах = ах в /г-мерномпространстве.534. В четырехмерном линейном пространстве рассматриваетсялинейное преобразование А. Записать это преобразование в координатнойформе, если Ае1= е3+ е 4, Ae2 = e1- f е4, Ае3 ニ е4 + е2, Ае4==: = е2+ е3.Д Матрица преобразования А имеет видСледовательно, преобразование А в координатной форме записывается так: == 尤 2 + ズ3, ~ ズ3= ズ1 + ズ4,%4= ズ1 + ズ2. ▲535. Линейное преобразование совокупности всех векторов наплоскости хОу заключается в повороте каждого вектора против часовойстрелки на угол а (рис. 22). Найти |матрицу этого линейного преобразования 'в координатной форме.Д Так как A i = i cosa + js in a, A j = — i sin а -f-+ jcosa, тоТаким образом, рассматриваемое линейное преобразованиеимеет видх г = х cos а — у sin а; y r = x s \ n а + J/COSCC. 4Рис. 22536. Рассматривается линейное пространство векторов х = х1е1++ ズ2е2 + ズзез + А е4,где х1У х2У х3,^ — всевозможные действительные117

числа. Доказать, что преобразование А, определяемое равенствомАх = х2еі + лг3е2 + хАе3+ л\е4, является линейным, и найтл его матрицу.3. Действия над линейными преобразованиями. В приведенных ниже определенияхпримем следующие обозначения: А и В — п р о и з в о л ь н ы е линейные преобразованияв линейном пространстве R , À — произвольное действительное число,x Ç R 一 любой элемент.С ум м о й л и н е й н ы х п р е о б р а зо в а н и й А и В называется преобразование Сьопределяемое равенством СіХ = Ах + Вх. Обозначение: Q = А + В.П р оизв е д ен ием л и н е й н о го п р е о б р а з о в а н и я А н а число X называется преобразованиеС2, определяемое равенством С2х —ХАх. Обозначение: С2 = XА.Произведением линейного преобразования А на линейное преобразование Вназывается преобразование С3, определяемое равенством С3х —АВх. Обозначение:Сз = AB.Преобразования Сх, С2 и С3 являются линейными. Матрицы линеиных преобразованийСх, С2 и С3 определяются из равенств А + В ,С 2 = к А , С з = А В .При сложении линейных преобразований выполняется переместительный закон;произведение же A B , вообще говоря, о т л и ч а е т с я о т п р о и з в е д е н и я ВА.Перечислим некоторые свойства операций над линейными преобразованиямив пространстве R:А (ВС) = (AB) С; АЕ = ЕА = А; ( А + В ) С = А С + В С ; С ( А + В ) = СА + СВ.Если для линейного преобразования А найдутся такие линейные преобразованияВ и С, что ВА = Е, АС = Е, то В = С. В этом случае обозначаютВ = С = А-1,а линейное преобразование А -1 называют о б р а т н ы м л и н е й н ы м п р е ­образованием по отношению к линейному преобразованию А. Таким образом,Линейное преобразование А в к о н е ч н о м е р н о м пространстве называют н е в ы р о ж ­д е н н ы м , если определитель матрицы этого преобразования отличен от нуля. Следуетиметь в виду, что каждое невырожденное линейное преобразование А имеетоОратное преобразование А -1 и притом только одно.Если невырожденное линейное преобразование А в координатной форме определяетсяравенствамиぶ' = с іц Х + сі12у + • •. + a i n u ,У Г= ^21ズ+ ß22^/+ • • • ~{~a 2nUiu f = a n lx + a n2y + . . - + a nnu tто обратное линейное преобразование A 一 1 имеет видѵ _ у '」 ", 丄Х — 'П Г Г Х 十 厂 丁 丁 у 十И Ӏん 2■ ^ U l ү гТ Л Г,パ 丄Здесь A [ j — алгебраическое дополнение элемента a り матрицы А , ) А | — определительматрицы А .Матрица линейного преобразования A 一 1 является обратной по отношению кматрице А и определяется равенством118

537. Преобразование А заключается в повороте каждого вектораплоскости хОу на угол а = я/4. Найти в координатной форме преобразованиеА + Е.Д ИмеемСледовательно,Так как EA i = i cos (я/4) + j sin (я/4) = (Y "2/2) i + (|/"2 /2 ) j;Aj = i cos (Зл/4) + js in (Зл/4) = - ( У " 2 / 2 ) і+ ( /"2/2) j.), тоA + E :A _ f V J / 2 - Y 2 I 2 \V / " 2/2 ^ 2/ 2/2+ 1 — Y~2l2V "2 /2 K 2/2+1Таким образом, линейное преобразование А-\-Е можно записать с помощьюравенств ^ = ( ^ 2/2+ і)дг—(/*2/2) г/, = (|/"2/2) ( |/'2/2+ і ) у. ▲538. Даны два линейных преобразования:ズ' = ズ+ 2 " + Зг, xf = х~\- 3// + 4,5г,ゲ ニ 4ズ+ 5が+ 6 г , (А ) и ゲ = 6ズ- 7 х + 9г,2Г =7х-\-Ъу-\-9гг ' = 10,5л:- 12у+ 13г.Найти ЗА — 2В.539. Даны линейные преобразования:x r = X + y tу' = y + ztXf = y + 2 t(A) и yr= x + 2t(В)(В)Найти преобразования AB и ВА.Д Матрицы данных преобразованийЛ = ひ ;?),\1 О 1 ノНайдем произведения этих матриц:A B ■ 2 1 1 , ВА、1 2 1/имеют вид/0 1 1、В = 1 \ 0 \\ 1 1 0 ノВ данном случае АВ — ВА, поэтому линейные преобразования AB и В Л совпадают.Координатная форма преобразования AB записывается следующим образом:xr — pc-\-y-\-2Zt уг = 2х -Ç-y -j- z , z ' — x -^ -2 y -\-z . ▲540. Пусть над совокупностью векторов и = х \ + у ] на плоскостихОу производятся два линейных преобразования: А — заменавектора его составляющей по оси Ох; В — зеркальное отображениевектора относительно биссектрисы I и I I I координатных углов.Найти преобразования AB и ВА.119

Д Согласно условию, Au = Bu = + Таким образом, Ai = i, Aj =0,Bi = j, ßj = i, т. e.л = ( і о)' в = (| i ) ;= (S і ) ’ ВА = [°1 о)-Итак, преобразование AB определяется равенствами х г = у , у г — 0, а преобразованиеВ А — равенствами х г = 0 , у ' = х . Рекомендуем получить эти равенства изгеометрических соображений. ▲541. Преобразование А заключается в повороте каждого вектораплоскости хОу на угол а. Найти матрицу преобразования А 2 (т. е. А -А).Д Так как Ai = i cos а + j sin a, Aj = 一 i sin а + j cos а, то^ _ f cos а — sin а \\sin а cos а ノ •Следовательно,_ / cos2 а — sin2 а — 2 sin а cos а \ — / cos 2а —sin 2os \、2 sin сс cos ос cos2 а — sin2 а ノ 、sin 2а cos 2а 人Таким образом, преобразование А 2 в координатной форме определяется равенствами=^cos2a 一 у sin 2а, y r = х sin 2 а у cos 2а. Эти результаты могутбыть получены и из чисто геометрических соображений. ▲542. Линейное преобразование А заключается в повороте наугол л/4 каждого вектора плоскости хОу. Найти матрицу линейногопреобразования В = А 2 + V 2А + Е.f 12厂Л а f 1 A2В-l、і543. Дано пространство геометрических векторов. Пусть линейноепреобразование А — поворот пространства вокруг оси Oz наугол л/4, а линейное преобразование В — поворот пространства вокругосн Ох на тот же угол. Найти матрицу линейного преобразованияAB.А Имеем А і= і cos (л/4)+І sin (я/4)= ( /" 2 /2 ) 1+ (/*2 /2 ) j, Aj=— i sin (я/4) - f+ j cos (n/4)== 一 ( ^ ^ /2 ) i + ( V r2/2) j, Ak = k; Bi = i, Bj = {V "2 /2 ) ) + (K~2/2)k,Bk = — ( y 2/2) j +(V" 2/2) k. Следовательно,, / * 2/2 — / * 2/2 01^ 2/2Ÿ~~2/2V^2/2Ÿ~2l2— V~2/2Ÿ~2icl À1/2 一 1/2 1/2N2/2 \J2 —1/2V "2 /2 Y "2/2544. Дано линейное преобразование A: xf = — 0,5 {y + z), y r == — 0,5 (x 4-г), г'= — 0,5 Найти матрицу обратного линейногопреобразования.120

545. Рассматривается совокупность всех геометрических векторов.Линейное преобразование А — зеркальное отображение этихвекторов относительно плоскости Р . Найти А -1 .546. В линейном пространстве с базисом еи е2 дано линейноепреобразование А. Найти матрицу обратного преобразования, еслиАех = е2, Ае2 = ех.547. Линейное преобразование А заключается в повороте каждоговектора плоскости хОу на угол а . Найти матрицу В Л + Л _1.548. Дано линейное преобразование А: хў= х -\-у , у г = 2 (х + у).Найти обратное линейное преобразование.549. Линейное преобразование А заключается в повороте каждоговектора плоскости хО у на угол я/4, һаити матрицу А ~ 2.550. При каком значении À линейное преобразование х г = — 2х-Ь+ у + г, у г = х — 2 у -\-г , + + 入 г не имеет обратного?4. Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования.Пусть R — заданное n -мерное линейное пространство. Ненулевой векторназывается с о б с т в е н н ы м в е к т о р о м линейного преобразования А, если найдетсятакое число 'к, что выполняется равенство А \ = Х х. Само число X называетсяхарактер ист и неск им числом линейного преобразования А, соответствующим векторуX.Если линейное преобразование А в базисе е1} е2, •••, ел имеет матрицу/û ll a 12f a21 a 22a n2то характеристическими числами линейного преобразования А служат действительныекорни Яг, ..., Ал уравнения п - н степени, которое можно записатьв видеa n — 7). Q\2 • • ^ lna 2 l 0-22 — 人 • • ^2na n i • • a n n 一 . 入Оно называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м у р а в н е н и е м , а его левая часть— х а р а к т е р ы -с т и ч е с к и м м н о го ч л е н о м линейного преобразования А. Собственным пектором х々,соответствующим характеристическому числу 入 及 ,является любой вектор ^геі 4-+ g2e2+ . •. + координаты которого удовлетворяют системе линейных однородныхуравнений(û l l — ん/г) ?1 + а і 2І 2 + … + а 1 п Іп = 0 ’û2 lS l+ (а22 — ^k) § 2 + . . • + “ 2пІ/г = 0,Отметим следующие важные теоремы.Х а р а к т е р и с т и ч е с к и й м н о го ч л е н л и н е й н о го п р е о б р а зо в а н и я не з а в и с и т о т выбо р а б а зи с а .Е с л и м а т р и ц а А л и н е й н о го п р е о б р а з о в а н и я А я в л я е т с я с и м м е т р и ч е с к о й , т овсе к о р н и х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я | А — 入 £| = 0— д е й с т в и т е л ь н ы е числ а.551. Найти характеристические числа и собственные векторылинейного преобразования А, определяемого уравнениями х ' = 5х~{-+ 4 仏 グ = 8 ズ+ % •121

Д Матрица преобразования запишется так: Л = ^ ^ ^ J . Характеристическоеуравнение имеет вид丨 5— 入 4I 8 9 — к:0, или À2— 14Х+ 13 = 0;характеристические числа = 1 , 入 2 = 13.Для определения координат собственных вектороз получаем две системы линейныхуравнений:/ (5 — 久 i ) ミі + 4“ = 0, f (5 — k 2) ミ1 + 4ミ2 = 0,\ 8 答 i + (9— 入 i ) ミ2 = 0; \ 8§i + (9 — 入 2) І2 — 0.і'ак как 人 i = 1 , то первую систему можно записать следующим образом:f 4Һ + 4 Ц\ 8^і + 8|2 = 0.Таким образом, значения и | 2 должны удовлетворять уравнению | г + 芝 2= 0 ,или g2 = — І і - Следовательно, решение этой системы имеет вид Һ = сі, | 2 = —с игде Сі —произвольная величина. Поэтому характеристическому числу 入 =1 соответствуетсемейство собственных векторов и =^івх—с ^ , т. е. и = с 1(еі—е2).Значение Я2==13 приводит к системе уравненийJ 一 8§i + 4g2= 0,( —4S2 = 0,т. e. 52 = 25i. П о л а г а я ^ = c2, получаем g2 = 2c2. Следовательно, характеристическомучислу 入 = 1 3 соответствует семейство собственных векторов v = c2 (ei-j-2 e 2).И так, придавая в равенствах и = с1 (е1— е2), \ = с2 (ех + 2е2) величинам Сі ис2 всевозможные числовые значения, будем получать всевозможные собственныевекторы линейного преобразования А. ▲552. Дано линейное преобразование с матрицей Л = : ^ . Найтихарактеристические числа и собственные векторы этого преобразования.553. Найти характеристические числа и собственны е векторылинейного преобразования с матрицей А = ( く= 9 1.554. Найти характеристические числа и собственные векторылинейного преобразования с матрицей А = ^Г 555. Определить характеристические числа и собственные век-レ / 2 —1 ьторы линейного преобразования с матрицей Л = —1 2 —і\ 0 о ьД Составим характеристическое уравнение:— % —1— 1 2 — \ —0 0 1— 入(1—Щ (2 —À)2— 1] = 0’ (1— 入 )2(3— 入 )= 0,X1)2= l , 入 з = 3.пели 入 = 1,то для определения координат собственного вектора получаемсистему уравнений( I l 一 І 2 + ?3 = 0,1 —І1 + І2 — І3 = ^у122V 1 з = 0 .a у

Таким образом, характерғтстическому числу 'К — 1 соответствует семействособственных векторов и —С\ (ei-f- е^).Если = то для определения координат собственного вектора получаемсистему уравнений( —* 5і— ミ2 + = 0,j 一 11—Із ^ 0*Семейство собственных векторов, соответствующих этому характеристическомучислу,определяется равенством ѵ = с2 (e i— е2). ▲556. Определить характеристические числа и собственные векторылинейного преобразования А с матрицей Л:/ а п а12 а13\557. Доказать,что если f a-и ) — симметрическая матрица,û32 а33 ノа действительные числа а, ß u ѵ отличны от нуля, то все корнихарактеристического уравнения матрицы/Он Öi20c/ß а13а /у \А = ( а21^/а а22 а2зР/Т ]Ѵ^ЗіѴ/« ß32V/ß Сізз ノявляются действительными числами.へ В базисе еьТогдаіілие2, е3 рассмотрим линейное преобразование А с матрицей А .Ае1= а ц е і -(- (a21ß/o> е2 + (а31у/а) е3,Ае2 = (üi2a/ß) ei - f а2?е2 + (а32у &) е3,Ае3 = (öi3a/v) еі + (а2зР/Т>е2+аззезA (а е і)= ацаеі + a21ße2 + а3іүеа,A ==^iaP:ei -bü!22ße2 + ü;32Ve3»A (үе3) = û i3aei + а2зРе2 + «ззТе3.=e>, ѵез = е3, имеемAcj;= %iei + а 2і е2 + дзіез,Ae-1= ü12ei + aa2■“ + û3ae3,Аез = аізСі + Û23e2+ ^ззез*Таким образом, матрицей линейного преобразования А в базисе е^, еニ ез служитсимметрическая матрица/ ûii ûia 0!з\^ = :( сиぬJ •^32 位 33 ノСледовательно, характеристическое уравнение линейного преобразования Ав базисе е і,е‘ ,ез имеет только действительные корни. Так ка к при переходек базису ех, е2, е3 характеристические числа не меняются, то те же корни имеети характеристаческсе уравнение матрицы А. ▲558. Линейное преобразование А заключается в повороте пространствана угол л/3 вокруг оси Ог. Найти характеристическиечисла и собственные векторы этого преобразования.123

Показать, что матрица этого линейного преобразования имеет видV 3/2559. Зная характеристические числа линейного преобразования А,найти характеристические числа обратного линейного преобразованияA 一 1.d i Показать, что из уравнения 丨 /4-1—À£| = 0 следует |Л — (1Д ) £ | = 0.560. Найти характеристические числалинейного преобразования А с матрицей561. Найти характеристические числалинейного преобразования с матрицей Асобственные,о 1 о оヽ0 0 1 0 、0 0 0 1 •、і о о о /собственныевекторывекторы§ 5. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВОЛинейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, котороепозволяет для каждых двух векторов х и у из У? построить действительноечисло, называемое с к а л я р н ы м п р о и зве д е н и е м векторов х и у и обозначаемое (х, у),причем это правило удовлетворяет следующим условиям:2°. (x,y + z) = (x, у) + (х, z);3°.( 入 X,у ) 入 (x, у) для любого действительного числа Я;4°. (x, x) > 0,если x ?= 0.Из условий 1°—4° следует, что:a) (y + z, х) = (у ,x) + (z, x);в) (0,x) 0 для любого вектора х.Скалярное произведение любого вектора x ^ R на себя называется скалярнымквадратом вектора х.Длиной вектора х в евклидовом пространстве называется квадратный кореньиз скалярного квадрата этого вектора, т. e. | х | = Ѵ ^(х,х).Если 入 一 любое действительное число, а х — любой вектор евклидова пространства,т о 1 入 x | = | 入 丨 .1 x 丨 .Вектор, длина которого равна единице, н а з ы в а е т с я н о р м и р о в а н н ы м . ЕслиxÇ/? — ненулевой вектор, то нетрудно видеть, что , -, • х ( можно обозначитьмявляется нормированным вектором.мДля любых ЛЮ0ЫХ дву) двух векторов х и у в евклидовом пространстве выполняетсянеравенство (х, у)2 ^ (х, х) (у, у), называемое н е р а в е н с т в о м К о ш и — Б у н я к о в с к о г оРавенство (х, у)2 = (х, х; (у, у) имеет место тогда и только тогда, когда векторы x и у линейно зависимы.V)Из неравенства Коши — Буняковского следует, ч то — 1^ Т Т Г Т Т Г Т ^ し УголфМ . іуі(X,У)определяемый равенством coscp: . . . —р и принадлежащий отрезку [0, л ], наIх ГІУ Iзывается у г л о м м е ж д у в е к т о р а м и х и у. Если х и у — ненулевые векторы, а ф = л /2то (X,у) = 0. В этом случае говорят, что векторы х и у о р т о г о н а л ь н ы , и пишутx 丄 у.124

Для произвольных векторов х и у евклидова пространства имеют место следующиеважные соотношения:1 .|х + у| く |х| + |у| (неравенство треугольника).2. Пусть ф — угол между векторами х и у; тогда | х — у |2 = | х |2 + | у |2 —— 2 I x I • I у I cos ф (теорема косинусов). Если х 丄 у, то получается равенствоI x — у j2 = I x |2 + 1 у I2. Заменяя в последнем равенствеу на — у, получаемI Х + У І2 = | х |2 + | У I2 (теорема Пи 中 а гор а).562. Дано линейное пространство, рассмотренное в задаче 461.Можно ли скалярное произведение двух произвольных векторовx = (?!;В2; . . В и) п у = ( i ] j;ті2 • • • ; т]п) о п р е д е л и т ь р а в е н с т в о м ( х ,у ) == Ё1г|1 + | 2і]2 + . . . - f (для того чтобы это пространство сталоевклидовым)?Д Проверим выполнение условий 1°—4°.1°. Так как (у, х) ふ + т]2| 2+ … + т )л| „ ,то (х,у) = (у, х).2е. Пусть z = (Çr, С-2 ; U - Тогда y + z = (r]1 + Ci;% + ^2;… ; ルj + k ) и(X,у + Z) = §i1]l + ElT]i + ^2^2 + I 2S2+ • • • + + inZn —==(ъ1Т11 + ?2ТІ2+ … + ЬИТЬ) + (blSl + ^2^2 + • . . + U / 2) — (x,У) + (х, z).3°. (Ix , y) = + • • • ^ (ІіЛ і + І 2Л2 + . . • + In^n) = ^ (x, y).4°. ( \, x) = gi + go + . . . + l n Ф 0, если хотя бы одно из чисел し •••, l nотлично от нуля.Значит, в заданном пространстве с помощью указанного равенства можноопределить скалярное произведение. ▲563. Дано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562.Пусть I ” ••., І п — количество n видов изделий, выпускаемыхежедневно заводом, a у\іу г|2, • • . , у]п— соответственно цены этихизделий. Как можно истолковать скалярное произведение векторовх = (?г, ?2; и у = (Лі;Л2; … ;ть)?564. Дано линейное пространство, векторами которого являютсявсевозможные системы, состоящие из n положительных чисел: х =(ミ1’ €2’ . • . , ミ《) ’ У — 0"Ь, Л2, • • • , Лп), Z (^ 2 » 〔2’ • • . , Gn), • . • •Сложение векторов и умножение вектора на число определены равенствамих + у Ê2r]2, • • . ,ІЛ п ), 入 х = 沿 ,Ц 於 ).Можно лисделать это пространство евклидовым, определив скалярное произведениеравенством (х, у)= In In ル + ln In т]2 十 • • • + ln l n lnД Проверим выполнение условий 1° — 4°.г°. (х, у ) = ln h ln Пі + în Із ln r\2 + • •. + 】n ln In r\nt (y, x ) = ln Г]!ln h ++ ln Л-2 ln g2 + • . • + ïn r i„ln l nt T . e. (X,y ) = ( y , x ).2°. Гак как y + z = (i]1Ç1; r|2kパ то(X, y + z)= ln Ix ln (mSl)+ ln ln (TlÆ) + ... + ln し ln (r\nZn) == ln g l ln n 1 + ln l 2 ln V)2 + . . . + ln し ln r\n + ln h ln Sl ++ ІП І 2 ln ^2 + . . . + ІП l„ ln Ç„ = (x, y) + (X, z).3 . Так как = i b … ,l n ) t то(>.X, у ) = ln II ln rjx + ln І2 ln r ] 2 + . . . - f ln ln ln 1]„ == 入 (ln h ln TU + ln ln ТІ2 + • • • + ln ln ln rj„) = X (X , y ) .4 ° . ( X ,x) = ln2 61 + ln2 i 2 + • • • + în 2 ln ^ 0 .Следовательно, рассматриваемое пространство является евклидовым. ▲565. Рассматривается линейное пространство непрерывных в промежутке[a, ü\ функций х = х(/), у = у(/), z = z(/),___ Можно ли125

сделать это пространство линеиным, определив скалярное произвеьдение двух любых векторов х и у равенством (х, у ) = ^ х(/)у (^) dt?а566. Является ли множество всех геометрических векторовевклидовым пространством, если скалярное произведение двухвектороЪ определить как произведение их длин?567. О бразует ли м нож е ство есѳх геом етрических векторов е в кл и ­дово п р о с тр а н с тво, если определить ска л я р н о е произведение д в у хпроизвольных векторов а и b как произведение длины вектора а иутроенной проекции вектора b на направление вектора а?568. Задано линейное пространство, рассмотренное в задаче 562,при я = 4. Определить угол между векторами х = (4;1;2; 2) иА I x I = /"(x, х) = ѵ 16+1+4 + 4 = 5; |у | = K(y, y) = v 1+9 + 9 + 81= 10;(x,y)=4 + 3 + 6 — 18= — 5; cos(p = |^ j : = 0,1; (p = arccos(—0,l ) ==174。1 5 ' A ' Х|' іУ '569. Задано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562.Определить угол между векторами x = ( l ; V 3; V 5; •••; У 2п 一 Ï)и у = ( 1 ; 0 ; 0 ; … ;0 ) .570. Рассматривается евклидово пространство непрерывных функцийx (/), у (/), z (/), . . . на отрезке [—1 ,1 ].Скалярное произведениеопределено равенством (х, у ) = ( х (/) y ( t ) d t. Найти угол между—iвекторами х = З/2 — 1, у = 3/ — 5/3.iД Имеем (х, у) = ^ (З/2— 1 )(3 /— 5/3) d t . Нетрудно видеть, что (х, у) = 0, так-1как подынтегральная функция является нечетной. Следовательно, векторы х и уортогональны. ▲571. Задано евклидово пространство, рассмотренное в задаче 562,при п = 6. Проверить справедливость теоремы Пифагора для ортогональныхвекторов х = (1 ;0; 2; 0; 2; 0) и у = (0; 6; 0; 3; 0; 2).Д ИмеемI x \ —:У 1 + 0 + 4 + 0 + 4 + 0 = 3, I у I = Y 0 + 36 + 0 + 9 + 0 + 4 = 7;х + у = (1;6; 2; 3; 2; 2); |х-Ьу| = > /^ + 36 + 4 + 9 + 4 + 4 = >^58.Итак, |х|2 + |у 卩 = |х + у 丨 2. ▲572. В евклидовом пространстве непрерывных функций, соответствующихусловию задачи 565, рассматриваются два вектора: x = t 2+ l ty = W 2+ l . Н айти значение 入 ,при котором векторы х и у ортогональнына отрезке [0,1],и проверить справедливость теоремыПифагора для этих векторов.126

Д Составим .скалярное произведение1(x, 'у) = j ( Р + 1)(w2+ 1)^=^А,/5+(Х+ 1)/3+ 1.ОИз условия (x, у) = 0 определяем Я; имеем 入 /5+( 入 + 1 )/3+ 1=0, откуда入 = —5/2.Найдем теперь длины Еекторов х = /2 + 1 . У = —(5/2)/2+1 и х+у == —(3/2) / 2 + 2:|xhІУ І: :Ѵ丨 s (/m h 2 / 2 + 1 ) 沿 = 10-+ ь5__Т —3" + Ь|х + у| = ]/ t*—6(2 + 4 dt-.Т 面 —2+ 4:V28115Л712^/ 20Таким образом, | x |2 = 28/15, |у12 = 7バ 2, |х + у |2|х + у 丨 2. ▲=49/20, т. е. |х|2+ |у |2 =573. Рассматривается множество всевозможных упорядоченныхсистем геометрических векторов а* = (ах;а2; a"), b* = (b。Ь2; •. •. . . ; Ь„), .... Является ли это множество евклидовым пространством,если сложение элементов, умножение элемента на число искалярное произведение определить равенствами а* + Ь* = (а1 + Ь1;а 2 + Ь 2; • • . ; а л + Ь Л) Д а * = ( Я а 1 ; 入 а2; … ;Я а Л) , ( a * , b * ) = а 1Ь 1 + а 2Ь 2+ . . ....+а"Ь,г (правая часть последнего равенства представляет собойсумму скалярных произведений геометрических векторов)?574. Доказать справедливость неравенств:гдеѴ~(ミ1 + %)2 + Йг + ,Tb)2 + • • ♦(+(&«+ Н//)2 く^ + • • 十 g + К Лі + ^2 + • • • + V^n(S + ? ! + • • • + ⑶ (îli + + .. • + T)A) く (5iTli + Ё2Л2 +l 2y … ,l ny r]j, rj2, •••, г)"— действительные числа.@ Воспользоваться пи^!равеііатвамя треугольника и Коши —Буняковского дляевклидова пространства, рассмотренного в задаче 562.575. Рассматриваются всевозможные непрерывные на отрезке[О,1 ] функции x \ t ) y у (t), z (і), ••• Доказать справедливость неравенств:(х + у )2 W く "!/ x2dt y2dt ,1 パ 1 ヽ2 厂 1 \\ {y2/x2) d t^[^ ydt ) ;| 5 x2dt j ,если x (0) Ф 0.0 Vo ノ ノ127

§ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1 . Ортогональный базис. Базис еь е2, • • • ,е„ евклидова пространства называетсяо р т о г о н а л ь н ы м , если (еハ еた) = 0 при і Ф k .Справедлива следующая теорема: во в ся ко м евклидовом п р о с т р а н с т в е и м е е т с яо р т о г о н а л ь н ы й б а зи с . Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов,то этот базис называется о р т о н о р м и р о в а н н ы м . Д ля ортогонального базисаеі,е2, •••, еп выполняются равенства(е. е ь ) ~ І ° ПРИ け k,(も , З Д - j j при i = k .Если в /г-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис fi,f 2, • • • ,f n,то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированныи базисЛюбой вектор x евклидова пространства, заданный в ортонормироваином базисе,определяется равенствомХ = і і е1 + ?2е2 + • • • +Длина вектора х находится по формуле] x I = + ^2 + • • • + te«-Два вектора х = ^ е ! + g2e2 + . . . + gnert и у = тііеі4-г].2е2+ . . . + r i nen линейнонезависимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда^і/Л і= І 2/Ц2 = • • • = Inhn-Условие ортогональности векторов х и у имеет видЁіЛі + Ё2Л2 + • • • + іпЧп = о.Угол между двумя векторами х и у находится по формулеcoS(p = ___ І 1Л1 + + • • • + ІпУ]п________ •V й + Й + …+ 段 .ド Лі + Л гЧ - • • • + Л/ТВ следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространстваобозначается через еІУ е2, •••, е„.576. Найти длину вектора х = — 2е2 + 2е3— е4.577 • Нормировать вектор x = + 2 К 2 е。+ 3 К 3 е3 + 8е4+ ЪѴ 5е- •— / — 2 /7 3 /7 6 / 7 \ °578. Д ана матрица А = 丨 、 6/7 —2/7 3/7 ) перехода от ортонор-м и р о ванного базиса еА, е2,е3 к базису е і, е^, е 公 Д о к а з а т ь , что базисe“ e“ ез— ортонорм ированн ы й .5 7 9 . Н о р м и р о в а т ь в е к т о р х = е х s i n 3 а + е 2 s i n 2 а c o s а + е 3 s i n a c o s a ++ е 4 c o s а .580. Определить угол между векторами х = е1у г7-}-е21/Г5 ++ е3 К З + е4 и y = ej V 7 + е2 У 5.581. Найти нормированный вектор,ортогональный векторам х == З е г — е2— е3— е 4, у = e t — 3 e 2- f е3 + е 4> z = e i + e 2— Зе3 + е 4.582. При каком значении X векторы х = 入 eL+ 入 е2 — е3 — 入 е4 иу = е1— е24-Яе3— е4 имеют одинаковые длины?128

583. В четырехмерном пространстве дан базис f 1? f 2, f 3, f 4.С помощью векторов этого базиса построить ортонормированныйбазис того же пространства.Д Сначала построим в заданном пространстве какой-нибудь ортогональныйбазис g i, g 2, g3f g4-Положим gi = f i ,g2 = f24 -a ^i- Подберем действительное число а так, чтобывыполнялось условие g2 _L gi- Умножив скалярно на обе части последнего равенства,получимf e i » S 2) = ( ê i> f2 ) + a ( g i ,g i ) .Так как (gb g2) = °» то a = — (gb h V fe i,gi)-Далее, в равенстве g3 = f3- f ßjgx + ß2g2 подберем ßi и ß2 так, чтобы выполнялисьусловия g3 J _ g i, ёз J_ ё-2 - Из равенствfe i,ёз) = fél> Ь) + ßl fe» g l) + ß 2 (gl,§2),(g‘2, 泛 3) = (§2,Ь) + ßl tel» g2) + p2 (g.2,g2)получим ß i = — (gl, fs)/(gl, gl),ß2= — fe» Ь)/Й 2» g2). ,Наконец, из равенства g4 = f4 + Yigi + l,2g2 + Y3g3 находим ү і = —(gi, fj/fe i,gi),У2 = — (ё2 > U)/(ë2 y g‘2),7з = — Й з,f 4)/(g3, 忌 3) •Итак, при сделанном выборе а, ßx, ß2, У і , Уз векторы gi, g‘2,g3, g4 попарноортогональны. Значит, векторы e i= g i/| èi |,e2=g-2/| g2 1,e3= g 3/,| ёз I,e4= g 4/|g4|образуют ортонормированный базис. ▲584. Рассматривается евклидово пространство многочленов невыше второй степени. Скалярное произведение двух произвольныхмногочленов х = х (/) и у = у (/) определено равенством (х, у ) =i= 5 х ( О У ( 0 И с п о л ь з о в а в б а з и с f x = / 2 , i 2 = t , f 3 = 1 и п р и м е н и вометод решения, рассмотренный в задаче 583, построить для этогопространства ортонормированный базис.Д Сначала построим ортогональный базис g i , g3. Положим gi = f 1? т. e.ëi = i 2> g2 = f 2 + agi = / + a /2. Тогдаl 1 1^ g2t2 dt i 3 d t-\-a { dt.0 0 0В силу ортогональности векторов g i и g2 левая часть последнего равенства обращаетсяв нуль. Таким образом, а = — 5/4 и g2 = ^ — 5/2/4.Найдем теперь g3. В равенстве g3= 1+ ß i^2 + p2 i f — 5^2/4) значения ßi и ß2определяем из условий ортогональностиi 1f g 3Z2 d / = 0 и j g 3 ひ — j " d t = 0 .оüТаким образом,iIÇ t2 Л + ß i ^ t^d t и 0 = І ( 卜 4 t2j d t + p ,. i'2 dt.0 0 0Отсюда ß1= — 5/3, ß2= — 4,g3 = 1 - 5 ^ 3 - 4 ( / - 5 / 2;4), т. e. g3 = l — 4/ + 10P/3.5 K2 f 474 129

Находим длины векторов gi = /2, g2 = ^ — 5/2/4 и g 3=\t4t=y%' {ё2і=У1 — 4 / + Ю/2;3:! _ 斜 ^ / 彳 ( t — 斜 ^ し ^ り . + .оТаким образом, векторы e i= gi/| gi | = 5 /2, е2 = g2/| Ü2 \ = V^ 3 (4— 5t2) tез = бз/| 1= 3 _ \2t-\- IO/2, образуют ортонормированный базис. ▲585. При каком значении 入 базис, образованный векторамиб і = + e_j, あ ニ e! + 人 e2 + e3 卞 e4,あ = e! + e2+ Â e 3 + e4,g4 == е і + е2 + е з + ^ е 4 , я в л я е т с я о р т о г о н а л ь н ы м ? Н о р м и р о в а т ь э т о т б а з и с .А Из условия (е/, е^) = 0 (при і Ф k) получаем уравнение Х + 人 + 1 + 1 = 0.Следовательно, 人 = — 1 и g i= — еі + е2 + ез + е4, §2 — ез — е2 + ез4~е4, §з == еі + е2 — е3 + е4, g4 = еі + е2 + е3— е4, | g /1= F 1+ 1+ 1+ 1= 2.Таким образом, векторы е; = 0,5 (— еі + е2 + е3 + е4), е^=0,5 (е і 一 е2 + е3+ е 4),б у = 0 , 5 (ех + е2 — е3 + е 4) , е : = 0 , 5 (еі + е2 + е3 — е4) образуют ортонормированныйбазис. ▲586. При каких значениях а и р базис, образованный векторамие1 =-3 ei + ^ ^ e 2+ße3, e '= - b ^ . ei + ße2+ 2 -е3, ej=ßei + ; e 2 +1— OLH----- тг— e3, является ортонормированным?Д Из условий Je". j = 1 , (е;,= 0 (при і ф k) получим систему уравненийі а 2 + (1 — a)2 + 9ß2 = 9,( а (1 一 а) + 3 (1 — а) ß + 3aß = 0.Из последнего уравнения находим ß = — а (а — 1)/3. Подставив это значениеР в первое уравнение, имеема 2 + (1— а )2 + а 2 (1 — а 2)2 = 9 ; 1— 2 (1 — сс) а + а 2 (1— а )2 = 9 ; (1— а + а 2)2 = 9.Так как 1— а + а 2 > 0 при действительных значениях а, то 1— а -|-а 2 = 3, т. е.а 2 — а — 2 = 0. Следовательно, а і = — 1,а 2 = 2, р х = 一 2,3, ß2 = 2/3.Итак, получаем два ортонормированных базиса:J еі + | ち 一 吾 е3’ е(2і) = -з e i - 3-e2- - i e3,2 1 2ザ = — 了 ei — ~ e 2 t ез»e m = _ e i — l - e 2 + | - e 3 l ザ = 一 士 e i + | e 2 + 舌 e 3 , e = - = - e x - f j e . - l e 3 . А2. Ортогональные преобразования. Линейное преобразование А евклидова пространстваназывается ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведениелюбых двух векторов х и у этого пространства, т. е. (Ах, Ау) = (х, у). Длинавектора х при этом не изменяется, т. е. | Ах | = | х |. Таким образом,( x , у ) ( А х , А у )| х | . | у П А х | . | А у 1 -Из последнего равенства следует, что ортогональное преобразование А не изменяетугла м е ж д у любыми д в у м я Еекторами х и у.130

Ортогональное преобразование переводит любой ортонормированный базисв ортонормированный. Наоборот, если линейное преобразование переводит какойнибудьортонормированный базис в ортонормированный, то оно является ортогональным.587. Является ли ортогональным преобразование, переводящеек а ж д ы й г е о м е т р и ч е с к и й в е к т о р в в е к т о р , с и м м е т р и ч н ы й о т н о с и т е л ь н он е к о т о р о й ф и к с и р о в а н н о й п л о с к о с т и ?5 8 8 . Я в л я е т с я л и о р т о г о н а л ь н ы м п р е о б р а з о в а н и е , з а к л ю ч а ю щ е е с яв п о в о р о т е л ю б о г о в е к т о р а , л е ж а щ е г о в п л о с к о с т и х О у 、 н а ф и к с и ­р о в а н н ы й у г о л а ?5 8 9 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х 入 п р е о б р а з о в а н и е А , о п р е д е л я е м о ер а в е н с т в о м А х = 入 х , я в л я е т с я о р т о г о н а л ь н ы м ?590. Является ли ортогональным преобразование А, определяемоев каком-нибудь ортонормироваином базисе е” е2, е3 матрицей( ^І І а 1 2 а 1 3 \Л = ( а 2І а 2 2 а 2 3 ) , е с л и ^ 1 1 ^ 1 2 ^ 2 1 ^ 2 2 ^ 3 1 ^ 3 2 = ^ » ^ 1 1 ^ 1 3 ^ 2 1 ^ 2 3 +а 3 2 以 33 ノ+ ß 3 l 6233 = 0 , d \ 2 ^ i 3 ^ 2 2 ^ 2 3 H - ^ 3 2 ^ 3 3 = = ^ > ^ 1 1 ^ 2 1 ^ 3 1 = 1 > ^ 1 2 ^ 2 2+ ^ 3 2 = 1 , ^ 1 3 + ^ 2 3 + Û 33 = 1?591. Является ли ортогональным преобразование Ах = — 11е1++ Е 2е 2 + 1 3 е я + | 4е 4 , г д е х = + | 2е 2 + g 3e 3 + g 4e 4 — п р о и з в о л ь н ы йв е к т о р , а е ” е 2,е 3 , е 4 — о р т о н о р м и р о в а н н ы и б а з и с ?592. Пусть е” е2,е” е4,е5, ев— ортонормированный базис. Доказать,что А — ортонормированное преобразование, если Аех = eltАе0= — е2,Ае3= е3cos а + е4sin а, Ае4= — e3sin a + e4 cos а, Àe5== e5cosß + eösinß, Ае6= — e5sinß + eöcosß.§ 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫКвадратичной формой действительных переменных a:!, x2t . . . , хп называетсямногочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободногочлена и членов первой степени.Если / (д:і, х2у хп) —квадратичная форма переменных хх, дг2,•••, хп, а入 — какое-нибудь действительное число, то f (лл*і, aat2, •• •,^хп) = Я,2/ (ズi , х2, •• • , ズ《)•Е с л и л = 2 , т оЕсли /2 = 3, то, / (ズІ , ズ2) = 011ズ1 + 2も22ズ1ズ2 + а22ズ2./ (Xi, X’2,ズ3) =ßllズІ + ズ5 + ズ1ズ2 + 2^13ズ1ズ3 + 2^23ズ2ズ3.В дальнейшем все необходимые формулировки и определения приведем дляквадратичной формы трех переменных.Матрица/ Û 1 Ï ^ 1 2 О і з \Л = ( Ü 2 l Û22 а 2 3 J ,^ 3 2 。 3 3 ノу которой а ^ = сіһһ называется матрицей квадратичной формы f (х і, x2l дг3), асоответствующий определитель — определителем этой квадратичной формы.Так как А —симметрическая матрица, то корни Һ 、 入 2 и 入 з характеристическогоуравнения^ іі — 人 сі\2 аізÛ-21 Û22 — 入 ロ23 = 0Û3l Û32 Û33 一 入 Iявляются действительными числами.5* 13 t

Пустьe; — b i^ti + b2i ^2 + わзіез »e 2 = ^ 12^ 1+02262 + ^ 3 ^ e 3».......................'e 3 = む13e l + ^ 2 3 ^ 2 + Ьзз^з— нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическимчислам 入 і ,Я2, 入 з в ортонормироваином базисе ie^, е2, е3. В свою очередь, векторые^, еこ, образуют ортонормированный базис. Матрица/ Н і Ь і 2 ノ 13 \В = ! Ь2і ^22 ^23 jわ32办 33 ノявляется матрицей перехода от базиса еі, е2,е3 к базису е^, еこ,е^.Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормирован«ному базису имеют видх і = ^ и х і + ^ 12^2 +х 2 ~ ^ 2 І Х 1 + ゐ2 2 \ + わ23ズ3 ,Х 3 — わ31ベ + ^32-^2 + わ33ぶ; .Преооразовав с помощью этих формул квадратичную форму / Гх1( x2t х3), получаемквадратичную форму/ ( ベ,ベ,べ) = 入 1ベ + 入 2ズミ+ 入 3 尤 ;,не содержащую членов с произведениями х[ х^хレ х! .Принято говорить, что квадратичная форма f (хи x2t х3) приведена к каноническомувиду с помощью ортогонального преобразования В. Рассуждения проводилисьв предположении, что характеристические числа Я і, 入 2, 入 з различны.При решении задач будет показано, как следует поступать, если среди характеристическихчисел имеются одинаковые.5 9 3 . П р и в е с т и к к а н о н и ч е с к о м у в и д у к в а д р а т и ч н у ю ф о р м уf = 27^1— 10x^2 + Зл*2-Д Здесь а1Х = 27, а12 = —5,— 3. Составим характеристическое уравнение2 7 — 3こ ' = 0 , и л и Я 2 — 3 0 Я + 5 6 = 0 ,т. е. характеристические числа Хг — 2, Я2 — 28.Определяем собственные векторы. Если Я = 2, то получаем систему уравнений( 2 5 L — 5 | 2 = 0 ,\ _ 5 忘 1+Таким образом, s2 = ^ îi- Полагая ^ — с, имеем g2 — 5с, j . е. собственный вектори = с (еі + 5е2).Если Я = 28, то приходим к системеf _ ЪІ— 5§2 = 0, *\ ■~ — 2 5 ^ 2 — О-В этом случае получаем собственный вектор \ —с( — 5еі + е2).Д л я того чтобы пронормировать векторы и и ѵ, следует принять с == і/|^ * 12 + 52= 1/ド 26. Итак, мы нашли нормированные собствен ные векторые і= (сх -f- 5 е 2 ) /26, ег —(— 5ej -f- Сг)/У26 •Матрица перехода от ортонорми-рованного базиса е і , к ортонормирован»ному базису е;, имеет вид132( l/)^ 2 6 —5 /|/"2 б \В Ѵб/К"26 1/^26/'

Отсюда получаем 中 ормулы преобразования координат: Arx= :( l / | ^ 26) х [— (5/]/^25) л'しх2 = (б /У 26) Х х -^ -^ іҮ '26) х -2• Таким образом,/ = 2 7 ( ^ ベ - ^ ~ wК 2 6 1 ] А 2 6 2 ノ 涴 1 2 ノ 1 2 ノ+ 3 ( ў Т б ^ + 7 1 ^ ) 2=^ Ч2&;2-Этот результат можно было получнть'сразу, так как / =+ Я 2^ 2. ▲594. Привести к каноническому виду квадратичную форму/ = 2 х \ + 8ズバ2+ 8x1 •Д Здесь ац = 2, а12 = 4, а22 = 8. Решаем характеристическое уравнение;2 — Х 44 8 — 入-О, Ях — 0 , 入 2 = 10,Определяем собственные векторы. При Я = 0 получаем системуі 2 匕 + 4レ 0,, t « i + s g ^ o ,которая имеет решение ^ — 2с , 忘 2 = — с, т. е. и = с (2е і 一 е2).При Х = Ю имеем( - 8 H i J r 4 g 2 - 0 , ^I — 2 ^ = 0 ,откуда і і = су 12 = 2с, t . e. v = c (e i + 2e2).Приняв с — 1/]/"22+ 1 2= 1 / ( / 'Б , находим нормированные собственные векторые1 = (2еі — е2)/]А 5 , е2 = (е1 + 2е2)/Ѵ л 5-Матрица перехода к новому базису (матрица ортогонального преобразования)имеет видв [ 2/1^5 1 / / 5 \2 / ^ 5 " /Формулы преобразования координат запишутся так: х± — {2/У " 5 ) +4 -( l/Ÿ ~ 5 ) x i x%^ — {_ \iV b )x '1-\~ {2 iY "b ) х і Следовательно,/=2(7î^+7f"0 +8{т^^+]Ьх^{~^х'л7^х:1)++ 8 ( - 六 ベ +. 知 ) =1。 く .Этѵ задачѵ можно решить проще. Заметим, что / = 2 (ズ!+ 2ズ2)2; поэтомуможно принять Х-2 = {х1 + 2х2) / Ѵ 1+ 4 — (х1 + 2х.2) / ] / ' 5 ,х[ = (2х1 — х2) ! у г Б (второеравенство написано с ѵчетом ортогональности преобразования). Так как+ 2Х2 = У^5 Х2 у то / = 10^2 • ▲5 9 5 . П р и в е с т и к к а н о н и ч е с к о м у в и д у к в а д р а т и ч н у ю ф о р м уfz = 3 x \- \- 2x1 + ズ■ + 4 x l x 2 + 4 x 2a:3.Д Здесь а13;= 3, а-22 — 2, сгзз = 1» аі 2 = 2, аіз = 0, а2з — 2. Составляем характеристическоеуравнениео_^ 2 Q2 2 — Х 2 = 0; (3 — 入 )(2 — 入 )(1—À) —4(1—>0+4(3— 入 ) =0;0 2 1 — Я

(3 — 入 ) (2 — X )( l — 入 ) — 8(2 — 入 ) = 0 ; 2 — 入 ) ( 入 2 — 4 入 + 3 — 8) = 0),(2 — 入 )( 入 2— 4A.— 5) = 0; 入 i.= 2, %2 = — 1, 入 з = 5.Определяем собственные векторы, соответствующие найденным характеристическимчислам. Для определения координат собственных векторов получаем трисистемы линейных уравнений:1) 入 = 2 , 2 ) 人 = 一 1, 3 ) 人 = 5 ,( g i + 2 g 2 = 0 , ( 4 ^ + 2 g 2 = 0 , ( — 2 g i + 252 = 0 ,^ 2 i i + 2 | 3 = 0 , \ 2 E 1 + 3 g 2 + 2 1 s = 0 , { 2 i 1 - 3 | 2 + 2 g 3 = 0 ,V — 5з = 0; \ 2 含 2 + 2ミ3 = 0, V 2^2— 4^з = 0;答 i = 2c, І 2 = ~ с , | з = — 2с, Һ = с, І 2 = — 2с, 1^ = 2с, gi = 2cf g2 = 2ct | 3 =u = с (2ei— е2 — 2ез), ѵ = с (е! — 2е2 + 2ез)\ w = с (2еі + 2е2 + ез),■с,ei — -ß (2ei — eg — 2е3); = ү {е± — 2е2 + 2е3) ; e'ß :(2еі + 2е2 + е3).Матрица ортогонального преобразования имеет вид/ 2/3 1/3 2/3 、В = ( — 1/3 一 2/3 2/3 •4—2/3 2/3 1/3 ノФормулы преооразования координат таковы: х± =Х-2 = — (1/3) х'л— (2/3) % + (2/3) = 一 (2/3) ベ + (2/3) x r2-j- (1/3) xこ. Следовательно,f = 2x /1z~ x ,2z + Ъ х ^. ▲5 9 6 . П р и в е с т и к к а н о н и ч е с к о м у в и д у к в а д р а т и ч н у ю ф о р м уf = 6л*і + 3xt + + 4ろ ズ 2 + 4 x ^ 3 — 8 х 2х 3 .а2з = —4. Решив характе­А Здесь ац = 6у ß22 = 3, а3з = 3, а12~ 2 у а13 = 2,ристическое уравнение= 0 ,находим характеристические числа = Л2 = 7, Я3 = —2.При 入 = 7 приходим к системе( — ミi + 2 ç 2 + 2 ミз = 0 ,*{ 2 ^ — 4 ^ 2 一 4 ミ3 = 0 ,I ぬ — 4い 4g3 = 0,которая сводится к одному уравнению = + Решение этой системы можнозаписать в виде ^)1 = 2а-\-2Ь, ^2 = а, ^3 = Ь. В результате получаем семейство собственныхвекторов и = 2 (а + 6) ei + ae2 + öe3, зависящее от двух параметров а и Ь.При %= —2 получаем систему( 8 | і + 2 ^ 2 + 2 ^ з = 0 ,■{ 2 ミх+ 5 含 2 — 4|з = 0,ч — 4 ミ2 + 5 5 з = 0 .Решив, например, два последних уравнения, имеем §і/9 = ^ / ( ― 18) = ?з/(—'18),или g i = — ?г/2 = — Ь /2; І і = с, g2= — 2с, g3= — 2с. Таким образом, получимоднопараметрическое семейство собственных векторов ѵ ^ с (ех— 2е2—2е3).Из семейства собственных векторов и = 2 (a + ô ) ex- f ае2 + 6е3 выделим двакаких-нибудь ортогональных вектора. Полагая, например, а = 0, b = l f получимсобственный вектор и1 = 2еІ + е 3. Подберем параметры а и b так, чтобы выполнялосьравенство (u, U i)= 0. Тогда получим уравнение 2-2 (a + ö )-fö = 0, т. е.4а+ 5ö = 0. Теперь можно принять а = 5, Ь = — 4; отсюда находим дпугой собственныйвектор рассмотренного семейства: щ = 2 ^ + 5е2 一 4е3.Итак, мы получили три попарно ортогональных вектора: Ui = 2еітЬе3,u2= 2ei + 5e2 — 4ез, v = e i— 2e2 — 2ез. Собственные векторы Ui и u2 соответствуют134

характеристическому числу 入 = 7 , а собственный вектор ѵ — характеристическомучислу 乂 = — 2 при с = 1.Пронормировав эти векторы, получим новый ортонормированный базис, причемматрица перехода к новому базису имеет вид^2 /V W 2/(3 У Ъ ) 1/3NО і/* 5 /3 一 2/3Л l V ~5 — 4 / ( 3 5 ) 一 2 / 3 ノПрименив формулы преобразования координат д:! :597. Привести к каноническому виду уравнение линии 17х2++ 12ぶÿ + 8ゲ 一 80 = 0.Д Группа старших членов уравнения образует квадратичную форму17jc2+ \ 2xy-\-8y2 с матрицей Л = ( 1 ふ о j . Составим характеристическое уравнение17— 入 66 S— X: 0 , и л и Я 2 — 2 5 À + 1 0 0 = 0 ,т. е. характеристические числа 入 !; = 5,Х2 = 20. Следовательно, квадратичная форма\7х2-\-\2ху-\-8у2 преобразуется к каноническому Еиду 5a:'2 + 20^/2, а данное уравнение—к виду5ズ/2 + 20グ2— 80 = 0, или x ,z/l6 -\-y ,2/4 = 1,т. е. заданная линия является эллипсом.Найдем базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид,для чего определим собственные векторы.При 入 = 5 имеем систему уравнений < ^ ,откуда g2 = —2^і. По-I 6Hi + 3g2 = 0,лагая | і = с, получим ^2 = 一 2с, т. е. собственный вектор и = с (еі — 2е2).f — 3 g i+ 6g2 = 0,При Я = 20 имеем систему

Г Л А В АVIВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ§ 1 . АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИПусть а — приближенное число, заменяющее собой в вычислениях точноечисло А.Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютнаявеличина разности между ним и соответствующимѴочным числом: | А — а |.Предельной абсолютной погрешностью называется возможно меньшее число Л,удовлетворяющее неравенству | А —а | ^ А.Точное число А находится в границах а — A く Л く а + А,или Л = а 土 А.Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношениеабсолютной погрешности этого числа к соответствующему точному числу:\А — а |/Л.Предельной относительной погрешностью называется возможно меньшеечисло ô, удовлетворяющее неравенству [ А —а |/Л ^ Ô.Так как практически А ^ ау то за предельную относительную погрешностьпринимают число ô = А/а (выражаемое обычно в процентах).Справедливо неравенство а (1— ô) ^ Л ^ а (1-f-ô).Говорят, что положительное приближенное число а, записанное в виде десятичногоразложения, имеет п верных знаков (цифр), если абсолютная погрешностьэтого числа не превышает половины единицы n-го разряда.При я > 1 за предельную относительную погрешность приближенного числа ас первой значащей цифрои k можно принять число 6 =Если известно, чтоѴ Ю ѵҢ ң Т ) [ Т 0 /⑴то число а имеет п верных знаков.Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чиселравна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышаетнаибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.Предельная относительная погрешность произведения и частного приближенныхчисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел.Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равнапроизведению предельной относительной погрешности этого числа на показательстепени.601. Угол, измеренный теодолитом,оказался равным 22о2(У30"±土 30〃. Какова относительная погрешность измерения?へ Абсолютная погрешность А = 30,. Гогда относительная погрешность。 А 30"-.Ю0о/0 = 0,04о/0.'22"20г30602. Определить число верных знаков и дать соответствующуюзапись приближенной величины ускорения силы тяжести g = 9,806 •при относительной погрешности 0,5%.13G

А Так как первая значащая цифра есть 9, то, воспользовавшись неравенст-1 / 1 \ п ~ 1Бом (1),получим 0 ,0 0 5 ^ 2~[q ( Jô ) , Т. е* Значит, g = 9,8. ▲6 0 3 . И з в е с т н о , ч т о п р е д е л ь н а я о т н о с и т е л ь н а я п о г р е ш н о с т ь ч и с л аJ 厂 1 9 р а в н а 0 , 1 % . С к о л ь к о в е р н ы х з н а к о в с о д е р ж и т с я в э т о м ч и с л е ?Д Здесь первая значащая цифра есть 4, предельная относительная погреш-1 ( 1 \ п - іность 6 = 0 ,0 0 1 = Ю-3 . На основании неравенства ( 1) имеем 0,001 • f J •откуда п = 3. Следовательно, У 19 = 4,36 (по четырехзначным т а б л и ц а м }^19 == 4 , 3 5 8 9 ) . ▲604. Сколько верных знаков содержит число А =3,7563, еслио т н о с и т е л ь н а я п о г р е ш н о с т ь р а в н а 1 % ?1 / 1 \ п ~ 1Д Первая верная ци 中 ра есть 3, поэтому 0,01 ^ н—г • тй , откуда п = 2.Число А следует записать так: А = 3 ,8 . ▲2 ^ Ч Т О .605. Площадь квадрата равна 25,16 см2 (с точностью до 0,01 см2).С ка ко й относительной погрешностью и со скольким и верными знакамиможно определить сторону квадрата?Д Искомая сторона х = У 25,16. Относительная погрешность стороны квадратаô = (l/2) • (0,01/25,16), где 0,01— абсолютная погрешность площади, т. е. 0 = 0,0002.Первая значащая цифра числа, измеряющего сторону квадрата, есть 5. Решив неравенство( 1 ) при k = 5, получим (5 -f 1)-0,0002^ 1/10Л_1, или 1,2-10_3^ 1/Ю «-1 .Отсюда /г = 3. ▲6 0 6 . С о с к о л ь к и м и в е р н ы м и з н а к а м и м о ж н о о п р е д е л и т ь р а д и у скр у га , если известно, что его площадь равна 124,35 см2 (с точностьюдо 0,01 см2)?6 0 7 . Н а й т и п р е д е л ь н у ю о т н о с и т е л ь н у ю п о г р е ш н о с т ь п р и в ы ч и с л е ­н и и полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований= 23,64 ± 0,01 (см), г = 17,3 1 ± 0 ,01 (см), образующая / = ;= 1 0 , 2 1 ± 0 ,0 1 ( с м ) ; ч и с л о j x = 3 , 1 4 .608. Число g = 9,8066 является приближенным значением ускорениясилы тяжести (для широты 45°) с пятью верными знаками.Найти его относительную погрешность.609. Вычислить площадь прямоугольника, стороны которого 92,73±± 0 ,0 1 (м) и 94,5 + 0,01 (м). Определить относительную погрешностьрезультата и число верных знаков.§ 2. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙДействительными (или вещественными) числами называются рациональные ииррациональные числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквойR. Каждое действительное число может быть изображено точкой на числовойпрямой.Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу х измножества X по определенному правилу ставится в соответствие один и толькоодин элемент у из У, то говорят, что на множестве X задана функция (или отображение)со множеством значений Y . Это можно записать так: xÇ_Xy X — Y илиf : 入 ~ ’ У і где множество X называется областью определения функции, а мно­137,

жество Y ’ состоящее из всех чисел вида y = f (ズ) , 一 множеством значений функции.Если у является функцией от х, то пишут также q = f (х) или у = (х). Буквы /или ф характеризуют то правило, по которому получается значение у, соответствующеезаданному аргументу х. Область определения функции f обозначается черезD (/), а множество значений — через Е (/). Значение функции / (х) при х = а,где ûÇ D (/), называется частным значением функции и обозначается / (а).Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал(открытый промежуток), ]а, Ь[, т. е. совокупность значений х, удовлетворяющихусловию a ぐx < Ь\ сегмент (отрезок или замкнутый промежуток) [а, Ь]ут. е. совокупность значений х,удовлетворяющих условию a く х く Ь.,полуинтервал】а, Ь] (т. e. a く x く Ь) или [а, Ь[ (т. е. а ^ х < Ь)\ бесконечный интервал1а, + оо[ (т. е. а < д: < -|- оо) или ] 一 оо, Ь[ (т. е. — оо < х < Ь) или ] — оо, + 00[(т. е. — оо < л: く + 00); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.Основными элементарными функциями называются следующие функции:1) степенная функция у = ха t где aÇ R; ▼2) показательная функция y = axt где a 一 любое положительное число, отличноеот единицы: а > 0, а 1;3) логарифмическая функция y = \oga х, где а —любое положительное число,отличное от единицы: а > 0, а Ф \\4) т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и y = s i n x ,y = cos х , y = i g x t у = ctg x , t/ = s e c x ty = cosec x ;5) обратные тригонометрические функции г/= arcsin х, г/= arccos x, y = arctg x,y = a r c c t g x .Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основныхэлементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций(т. е. формирования сложных функций), примененных конечное число раз.Примером неэлементарной функции может служить абсолютная величина (модуль)действительного числа х:,,==\ Г \ ==І ズ прИ л :> 0 ,1 \ — x при ズく 0.Геометрически | х \ равен расстоянию на числовой прямой от точки с координатойx до начала отсчета. В общем случае | х — а \ есть расстояние между точками скоординатами х и а.Графиком функции y = f (х) называется множество точек плоскости хОу с координатами(х; / (д:)), где x ^ D (f).Функция / (х)у область определения которой симметрична относительно нуля,называется четной (нечетной),если для любого значения x Ç D (f) f (— x) = f (x)[соответственно / (— x )= — f (л:)]. Г рафик четной функции симметричен относительнооси ординат, график нечетной функции— относительно начала координат.Функция f (х) называется периодической, если существует постоянное положительноечисло Т такое, что при л:g D (/) и (х + Т ) ÇD (/) выполняется равенствоf (x-\~T) = f (х). Основным периодом функции называется наименьшее положительноечисло т, обладающее указанным свойством.610. Найти , , если f(x ) = x2.Д Найдем значения данной функции при х = а н х = Ь: / (а )= а 2, / (b)==b2.Тогда получим/ ( b ) - / ( o ) = ^ - a l = G + è ▲611. Найти область определения функции / (х )=2лг— ГЛ Данная функция определена, если 2х— 1 Ф 0, т. е. если х Ф 1/2. Такимобразом областью определения функции является объединение двух интервалов:Z) (/) = ] — оо, 1 /2 [U ] 1/2,+ 00 [. ▲138612. Найти область определения функции / (х )— 1п(1+л)X-

Д Функция определена, если х — 1 # 0 и 1+ х > 0, т. е. если х Ф 1 и д: > — 1.Область определения функции есть объединение двух интервалов: D (/)== ] —1 ,1 [ U ] 1,+00 [• ▲6 1 3 . Н а й т и о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ф у н к ц и иÎ і х ) = V 1— 2л: + 3 arcsin Зх~ --.А Первое слагаемое принимает действительные значения при 1— 2л: ^ 0, авторое — п р и — 1^ (Зл;— 1)/2 ^ 1. Таким образом, для нахождения области определениязаданной функции необходимо решить систему неравенств:1 一 2ズ> 0,(Зл:— 1)/2 ^ 1;(Зх— 1)/2 > — 1. В результате получаем 1/ 2 , 1, — 1/3.Следовательно, область определения функции есть отрезок [ — 1/3, 1 /2 1 .▲6 1 4 . һ а и т и м н о ж е с т в а з н а ч е н и й ф у н к ц и й :1) f {x) = x2— 6ズ+ 5; 2) f(x ) = 2 + 3 sin л:.Л (1) Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получим f (х) == x2— 6х + 9 — 4 = (х — З)2— 4. Первое слагаемое при всех х является неотрицательнымчислом, поэтому функция принимает значения, не меньшие 一 4. Итак, множествозначений функции — бесконечный промежуток [ 一 4,+ о о [.2) Так как синус принимает значения, не превосходящие по модулю единицы,то получаем неравенство | sin ズ| < 1,или 一 1^ s i n 1. Умножив все части этогодвойного неравенства на 3 и прибавляя к ним по 2, имеем— 3 sin л: ^ :3;一 1^ 2 + 3 sin л; ^ 5. Следовательно, Е ( / ) = [ — 1 ,5 ]. ▲6 1 5 . Н а й т и о с н о в н ы е п е р и о д ы ф у н к ц и й :1 ) / (x) = cos 8ズ; 2) f (х) = sin 6 х + tg 4x.Д 1 ) Так как основной период функции cos х есть 2я, то основной периодф у н к ц и и f ( х ) = c o s 8л: р а в е н 2 я / 8 , т . е . л / 4 .- 2 ) Здесь для первого слагаемого основной период равен 2л/6 = л/3, а длявторого он равен Jt/4. Очевидно, что основной период данной функции есть наименьшееобщее кратное чисел я/3 и я/4, т. е. д. ▲616. Установить четность или нечетность функций:1) /(.v) = x2 y x + 2 s m x \ 2) f (х ) = 2х + 2~х \ 3) f ( x ) = \ 'x \ — bex,\4) /(л-) = х-24-5.ѵ; 5) f(x ) = \ g ^ ÿ .д В рассматриваемых примерах область определения каждой из функцийсимметрична относительно нуля: в первых четырех примерах £)(/) = ] — оо, + оо[,а в последнем примере D ([) = ] — со, — 3 [(J ] 3, + со[.1) Заменяя л: на — д:, получим / (— х) = (— х)2 (— x) + 2sin (— х) = — х2^ / х —— 2 sin ズ,т. e. f (— х) = — f (х). Значит, данная функция является нечетной.2) Имеем / (— х) = 2~х + 2 - ^ - х) = 2~х -j-2x f т.е, f (— x ) = f (х). Итак, даннаяфункция—четная. ч ч3) Здесь “ ■«ズ)= 丨 ズ1— 5е( 一 幻 2 = | ズf — 5W2, т.е. f (— x) = f (x). Следовательно,f (x) — четная функция.4) Имеем f (— л:) = (— x)2 + 5 (— х ) = х 2— Ъх. Таким образом, f (— х) ф f (х) иf (— x) ネ 一 / (х), т.е. заданная функция не является ни четной, ни нечетной.5) Находим/ ( _ , ) = I g E £ ^ = I g g | = I g ( ï ± | ) - = = _ I g j ± 3 iт.е. / ( — ズ) = — / ( ズ),и, следовательно, данная функция— нечетная. ▲•139

6 .* Найти области определения функций:1ч )/V 4 一 ズ2+ 士 ; 2) [ (x) = arccos — 一 13\ ---1 • 4) = 5) f ( x ) : 2x2'/ xex cos 2x * x — Y x2 — 4 *6ч =lg (Зл;— l) + 2 1 g (x + 1 ) ; 7 ) / (x) = — V sin x.и6/8и Найти множества значений функций:]\4 ぶ) = I ズ1+ 1 :2) f(x)= ^ 5/х; 3) f (x) = У 16— ズ2;{/ч6 х) = — д:2+ 8д;— 13; 5 ) * / ( x ) = 1 一 3 cos x; 6) f (x) ~ 4~x2.и / 9I Установить четность или нечетность функций:n*1476CNl\)/чи/\1/1\l/3\)/х) = x 4sin 1х\ 2) f ( x ) = 5\x\ — З І / х 2; 3) / (x) = x4— Зх2 + x;x) = \x \ + 2] 5) f(x ) = \x + 2 \; 6) / (x) = lg cos x;16 ズ ーi:~ 4 ^ " eНайти основные периоды функций:х) = sin 5х; 2) f (х) = — 2 cos (х/3) + 1;х) = lg cos 2х; 4) / (х) = tg Зл: + cos 4х.§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙПри построении графиков функций применяются следующие приемы: построение«по точкам»; действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков);преобразования графиков (сдвиг, растяжение).Исходя из графика функции у = f (х), можно построить графики функций:1) y = f ( x — а) — первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Ох на величинуа;2) " = / ( ズ) + ö — to t же график, сдвинутый вдоль оси Оу на величину Ь;3) у = А } (х )~ исходный график,растянутый в А раз вдоль оси Оу.4) y = f (kx)— тот же гра 中 и к,растянутыйв \/k раз вдоль оси Ох.Таким образом, можно по графикуфункции у = f (х) построить графикфункции вида y=^A f [k (х-—а)] -{- b.621. Построить график функции у = 2х-]-1 -\-cosx.Д График данной функции можно построить сложением графиков двух функции:у = 2х-{-1 и y = cos x. Г рафик первой функции есть прямая, ее можно построитьпо двум точкам, график второй функции — косинусоида (рис. 23). ▲14П

622. Построить график функцииf2 — хпри л :^ 3 ,' У ^ \0 ,1 л:2 при д: > 3.луч, а при л : ^ 3 一 ветвь параболы. Иско-Д При л: < 3 графиком являетсямый график изображен на рис. 24. Д623. Построить график функции ^ = 2 sin (2х— 1).Д Преобразуем данную функцию к виду t/ = 2 sin 2 (л:— 1/2). Здесь Л = 2,к = 2, а = 1/2. В качестве исходного возьмем график y = sin х. Затем строим графикфункции у = sin 2х сжатием вдоль оси абсцисс в два раза. После этого строимграфик функции г/— sin 2 (х— 1/2) сдвигом на 1/2 вправо и, наконец, растяжениемв два раза вдоль оси ординат последнего графика получаем искомый графикфункции у = 2 sin (2х— 1 ) (рис. 25). ДПостроить графики функций:д-3 __y624. У ノ — на отрезке [— 4, 4].625. у У = х2(2— х)2 на отрезке [—3,3].626. У \ x - f У 4— x в области определения.627. У 0,5х + 2~х на отрезке [0, 5].628. У= 2 ( . v — I ) 3 , и с х о д я и з ф у н к ц и и у = х3.1 CQn х2+ \629. У: о . ? . 6 І 0 . ~ ----------.Х-4-А и x631. У632. у ~ — 2 cos (2 x + 1).633. У : arcsin ( х — 2 ) .634. У :л :+ 1 + sin (.v— 1)sin л: + cos л:.636. иX2 при А:< О,Зл: при х ^ О .X приприл:2+ 5 придг く 一 1 ,— 1 ぐ л*く О,x > 0.141

§ 4. П Р Е Д Е Л ЫЧисло а называется пределом последовательности х і, х2,, еслидля всякого сколь угодно малого положительного числа е найдется такое положительноечисло N t что I хп— а | < е при п > N. В этом случае пишут lim хп = а.Число А называется пределом функции f (х) при x ~ ѵ а, если для любогосколь угодно малого 8 > 0 найдется такое б > 0, что | / (а:)— А | < е при 0 < | д:—一 а I < ô. Это записывают так: lim f (х) = А.х -^-аАналогично lim f (х) = А, если け (л:) — Л | く е при | л: | > N.Л:->СО *Условно записывают lim f (x) = œt если \ f ( x ) \ > M при 0 < | х — а | < ô, гдех -^ аМ 一 произвольное положительное число.В этом случае функция f (х) н а з ы ^ т с я бесконечно большой при х ~ トа.Если lim а (д;) = 0, то 中 ункция а (д:) называется бесконечно малой при ズ~ ѵ а.х->аЕсли x < а и x ~ ^ а, то употребляют запись х ~ > а — 0; если х > а и х ~ トа— запись x ~>*а + 0. Числа / (а— 0) = lim f (х) и /(а + 0 )= lim / (х) называютсях — а 一 0 х -^ а + 0соответственно левым и правым пределом функции f (л:) в точке а.Для существования предела функции / (х) при х ~ ^ а необходимо и достаточно,чтобы f (а— 0) = / ( а + 0).Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.Если существуют lim / (х) и lim g (д:), тох-*-а х~>а1) lim [/ W + g (x)] = lim f (x) + Ііш g (x);x-^a x-*~a x-^a2) lim [/ W ] = lim / (x) -lim g (x);x->a 1. 「 a x-*-a/г->-оо3 ) Ш ( п р и i s w 古 0 ) -Используются также следующие пределы:lim sin x- = :1 (первый замечательный предел);ズ 一 >о л:lim (1- | - I = lim (1- f a )I//a = e = 2,71828... (второй замечательный предел)..v^-oo \ x ノ а — оЛогарифм числа х по основанию е называется натуральным логарифлюм иобозначается ln х.При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:lim -ln (1 + XU638. П оказать, чтоi1. о,х — 1 л ѵ ( 1 х ) т — 1lim --------- = 1п a, lim ------- ---------= т .х-*о x х-*0 хпри п ~ о о последовательность 3, 2 — , 2 -имеет пределом число 2.へ Здесь п-я член последовательности есть л:„ = 2 + 1//г. Следовательно, хп 一一 2 = \ /п . Зададим заранее положительное число е. Выберем п настолько большим,что будет выполнено неравенство \/п < е. Для этого достаточно принятьп > 1/е. При таком выборе п получим | х п — 2 | < З начит,Ііш хп = 2. ▲639. Показать, что при п ^ оо последовательность 7 /3 ,1 0 ;5,13/7, • •. (Зп + 4 )/(2 я + 1 ) , . . . имеет пределом число 3/2.Д Здесь хп— 3/2 = (Зп + 4)/(2л + 1)— 3/2 = 5/[2 (2аі + 1 ) ].Определим, при какомзначении п выполняется неравенство 5/[2 (2 n + 1) ] く е; так как 2 (2п-\-\) >142

5;е, то п > 5/(4 е)— 1/2. Итак, если п > 5/(4 е)— 1/2, то | % 一 3 /2 1 < s, т.е.lim д:= 3/2.П —ХПолагая 8 = 0,1, заключаем, что неравенство | 〜 一 3 /2 1< 0,1 выполняетсяпри /г > 12 (например, при / г = 13), Аналогично, неравенство | д:„— 3/2 | < 0,01выполняется при п > 1 2 4 , 5 (например, при /г = 1 2 5 ) , а н е р а в е н с т в о | х п — 3 / 2 \ 1 2 4 9 , 5 (например, при / г = 1250). ▲Найти следующие пределы:帽 セ 4 誤А Так как х^4 ,то числитель дроби стремится к числу 5-4 + 2 = 22,а знамена гель—к числу 2.4 + 3 = 1 1 . Следовательно, lim -~ J— = — = 2 . ДЗл:+ 5641. lim 2л*+7 '^->-4 + 3 11Д Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при х ~ >оо.В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида оо/оо. Разделивна а* числитель и знаменатель дроби, получаемтак как при хоо каждая из дробей 5/х и 7/ズ стремится к нулю. Д642. l i m , 2—9Л - - 3 ^ - — З х *3 стремятся к нулю (не­д Здесь числитель и знаменатель дроби при хопределенность вида 0/0). Имеемд:2 — 9 (д:— 3) (л: + 3) _л:+3x 2— Зл: 一 x (х — 3) — x ’если x Ф 3, то lim х lim ズ+ .j • Но при х >• 3 дробь стремится кх^ з x 2 — Зх х-^з x xчислу ^1-^ = 2. Итак, lim ~ 9. — 2. А3 х-^з x2 — Зх ^б « . П т ぶ 三 巧 .д Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Разложим на множителичислитель и знаменатель дроби:644. lim "lim パーズ2— х + 1— 1іт х Ч х - \ ) - ( х — \ ) ^x-*-1 х 3-\- X2 — x — 1 х-^ 1 ^ (ズ+ 1 ) — (ズ+ 1 ). = lim & 一 1>2 产 + . 2 = :lim x(•Ï 一 1 ) (ぷ 卞 リ 2 x ^ l Х + І 'x3— 1000x 3 — 2 0 л :2 + 1 0 0 л : 'Д Эю —также неопределенность вида 0/0. Имеемlim ズ3 — 卿 1іт (дг— 10) ( ^ + 1о^+ 1оо) _ 1.т パ 丄 1 0 х + 1 00л-> 10 л*3 — 20.ѵ2 100х л:->10 x (х— 10)2 а-^1 0 x (л:— 10)143

Числитель дроби стремится к 300,а знаменатель стремится к нулю, т.е. являетсябесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь — бес-^ r x3— 1000 ^ аконечно большая величина и lim ----------------- ——= со . А* x3 — 20ズ2 + 100ぶ6 4 5 . l i m ^ J _4 - 2 . .Д Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму \ r х 4 2:lim .У х+ —-У ズ+ 4 + 2)= lfm _ £ ± ± = d _= Hm___ !___ =: 丄 • ▲х ( Ѵ х + 4 + 2 ) х - ^ 0 х ( у jc + 4 + 2 ) ズー0|Л ѵ + 4 十 2 4646. lim / -(1- 土 ザ 一 i • 一тогда у — ^ 1 приЗ н а ч и т ,lim — lim " 3- l lim ____ У:± У + }X夕 5— 1 і/->16 4 7 . l i msin mxx_ = - 3 . ▲Д Используя первый замечательный предел, имеем1 і т Л і ^ = lin Æ A 獻 lim - Lдг—о x x-^o mx x-^o mxплп ” 1— cos Ъх6 4 8 . l i m --------- 2 •Д Имеемx - ^ 0 Xlim 1 - col 5i = lim ? sin2 (5ズ/2) = 2 lim f s'm(5 人 ' ,2ハ 2 一4X ^ O ズ2 ズ— 0 x - ^ o \ X jЗдесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, принявт = 5/2. ▲6 4 9 . l i m ^ + Р 1 + Зх+ 44 ズ3 十 Зл:2+ 2 х + 1 •Д Это 一 неопределенность вида оо/ооби на старшую степень х ,т. е. на хг :Разделим числитель и знаменатель дро-1 + 2 /л г+ З /ぶ2+ 4 л.3 —г Здг4 — 26 5 0 . l i mу 十 1Зх 十 4Д Разделим числитель и знаменатель на л:4:г Зл:4 — 2 7. 3 — 2 :lim - - - — = ІІШ ------------tL•t— со ドぶн + з ぶ+ 4 x —1у 1-j- 3 / j c 7 + 4 / x6 5 1 . l i m ( Ѵ х 2+ 8 х + 3 — У х 2~+ 4x + 3 )141

А Здесь имеет место неопределенность вида со — оо. Умножим и разделимданное выражение на Y x 2jf-8x + 3 + х2-\-Ах-\-3:lim (У x2-\-Sx + 3 ~ y а:2 + 4а: + 3) =Х-ѴСО '■litr (У ^ 2.+ 8Л:+ 3——ゾх2+ 4 と 士 3 丄 士 3—~ビ^ パ +4.V + 3)У x2^ S x + 3 + V ズ2 + 4 x + 3x2 + 8jt + 3 一 x2—4x 一 3 j-m 4xlim.v->co | / V + 8x + 3 + >/ x2 + 4x + 3 -V—cc у ズ2 + 鉍 + 3 + ^ / ズ2 + む + 3lim652• 土Y Ӏ + з / х + З / л ^ + ^ l + 4 / ; c + 3 / W(öS? •Д Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:д:2 + 5л: + 4 t . 8д:—3x2—Зл:+7 х2— Зх + 7 •Таким образом, при х ~ с о данная функция представляет собой степень,основание которой стремится к единице, а показатель—к бесконечности (неопределенностьвида 1~). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательныйпредел, получимl i m ド : 十 5 尤 + .4 、X-*- со \ А:•— оХ + Z ノum1 +8x— 3 \ 8X-CX2 — 3 尤 + 7 ノニ -こ-+ -7 ノ УЛГ(З.Ѵ-З)х2- 3 х 十 У: limx 今 次x 2 - 3 x + 7Sx— 3 i 8x —3x2— 3x - \ - 1 ノ8 — 3 ,т 一• 3/ぶ 十 7ノズ2Так какSx 一 3x2— Зх-\-7■>0 при x —~ о о , то茂 ( 1 + Ä ? F 7 :х ^ - З х + 78л--3Учитывая, что lim -----を ——— 8, находим lim Л^-J-----J—i'] = e s. 各д:->со 1-- 3/х —}—I jx ,V—>-00 い し 3ぷ+ 7 ノ ^о53. Наити левый и правый пределы функции / (л:) = ■прп x —>■3.j р 1 / ( д : — 3 )Д Если x ~~> 3 — 0, тоlim / ( ズ)=1/3. Если жеズ—>3 —оlim / ( ぶ) = 0. ▲л - > 3 + 0654. Найти левый и\/(х 一 3) ~ > — оо и (え—3) ^ 0. Следовательно,x ~~^З + О, то \1(х 一 3) ~ 十 оо, 2 Ѵ(ズー3) ~ >• 十 оо иправый пределы функции / (х )= е ХІ^х^ а) прих — а .145

△ Если x ■то І ^ х — а)— О, то \/(х — а) ~ >+ оо и lim f (х) = 'х-*а+ О-оо и lim / (х) = 0. Если же х .х-^-а-0А655. Показать, что при п ~ ►оо последовательность 1/2,9/4,. . . ,(4п— 3 )/(n + 1 ) , . . . имеет предел, равный 4.oôb. Показать, что при п —>оо последовательность 1 ,1 /3 ,1• ••, 1/(2п — 1 ) , . . . является бесконечно малой.H GНайти следующие пределы:657. lim-блг + 8л*2 — 8л;+ 12 'л;2 _ 5ズ+ 6659. lim… x2—9658. lim660. limС С * 1 1: 丁 s i n (ひ+ 2 / i) — 2 s i n { q , —f- h ) —}-s i n cl663. limX - ^ X o665. limх - ^ я / 2 'Л: 一 XqC O S X■2x© Положить я/2— X -667. lim669. lim/ I 2684. limх - * - п / А666. lim(2д:3 + 4д: + 5)(а:2 + д:+ 1 )(ズ+ 2 ) ( ズ4 + 2 ズ3 + 7 ズ2 + ぷ_りУ 4+дг + а-2—2х - \ - 1671. limо у 1+ ズ 一 1У 1 - \ - X - { - X 2 — У ~ 1 — x - \ - xX 2 — Xл;з _ _ е д :2 + і і л :— 6~ x ^ -3 x -\-2 ~ •S i n X — C O S Xл — 4x662. lim i g m xsin nx '•2x4 + 3x2 + 5ズ 一 6l c ^ 3 x ^ f 7 x ^ T '668. limА:2 — 7 д г + Ю670. lim V 1 -\-х s i n X _ 1с -70 1:_ 1 — C O S 5 ズ п - л 1. t g X — s i n X6 7 3 . l i m *;------------^ :. 6 7 4 . l i m —— ^---------cos Зх *675.677.678.ln (1-{-mx)lim^ 2 ^ 8 7 + 1 2 '672. lim у IJ _ X + Х2_ у 7ぶ+ 2ズ 一 Л-2676. limlim (]^ x 2-\-ax-\-b 一 V хг -\- cx-\-d).C—GOlim (sin V x - \ - 1— s in ) / x).679. lim ( I / x -\-1— I / л). 680. lim 1 — 5 ^681. lim •A->CX5683. lirn685. limsin X) W■I х CQCi r Sin 2x-et • 682. lim r~ :. ,.л;— o I n U + ズ)684. limX -*■:丨 / x—\X — 1« Положить x = tl .f + sin t686. limt —sin t *687. lim 688. lim lOW *-5).л -> 0 ! 昨 + 1 ) л—5 - 0д:2 — 2 л:a + 0 ,5/3,

6 8 9 . l i m sin л:. 6 9 0 . l i m 宇 i l .Л:->-СО x - * - l X 一 1691. Найти lim t ( { / ä — l ) (где t > 0)./ ->00e Положить x = 1//, где x ~ 0.6 9 2 . l i m ( " î i ± l ^ 2 + 1 . 6 9 3 .limX-*-Xlim的 4 . 1 ( 占 一 ^ Ô ) . 6 9 5 . .ニ 。x ^ + xФ Привести дроби к общему знаменателю.6 9 6 . l i m . 6 9 7 . l i m ln (X~ 3x).x - * l x I n x x - ^ 0 x@ Учесть, что Xх = ex lnA :,698- ^ ё д а - 亂7 0 0 . l i m ( 注 ! ) ' 7 0 1 . l i m (2 — c o s c c )cosec'702. Найти lim ( 鋒 ^ ) • 703, lim ( 音 )/ ( へ§ 5. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХПусть a (ズ)и р (д:)— бесконечно малые при х ~ > а.1. Если lim (a/ß) = 0, то говорят, что a является бесконечно малой высшегох - > апорядка по сравнению с ß. В этом случае пишут а = о (ß).2. Если lim (a/ß) = m, где m — число, отличное от нуля, то говорят, что а их-*-аß — бесконечно малые одного и того же порядка. В частности, если lim (a/ß)= 1 ,х - ^ ато бесконечно малые а и р называются эквивалецтными. Запись a 〜 ß означает,что a и ß — эквивалентные бесконечно малые. \Если a /р ~ >- оо,то это означает, что lim (ß/co) = 0. Таким образом, ß являетсябесконечно малой высшего порядка по сравнению с а, т. е. ß = о (а).3. Если a k и ß — бесконечно малые одного и того же порядка, причем Ä > 0,то говорят, что бесконечно малая ß имеет порядок k по сравнению с а.Отметим некоторые свойства бесконечно малых:1°. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядкапо сравнению с сомножителямиу т. е. если y = aß, то ү = о (а) и у = о (ß).2°. Бесконечно малые a w ß эквивалентны тогда и только тогда, когда ихразность а — ß = Y является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с аи Р, т. е. если у = о (а), у = о (Р), то a 〜 ß.3°. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то э т о т пределне изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечномалой, т. е. если lim (a/ß) = m, a 〜 み ,ß 〜 ßb то lim (a1/ß1) = m.x-*-ax-*-aПолезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых: еслиx —■►0, тоsin ズ〜ろ tgjc 〜ズ, arcsin x ^ xt a rd g ズ 〜 ろ 1 п (1 + ;с)〜 д;.147

7 0 4 . П у с т ь t — б е с к о н е ч н о м а л а я . С р а в н и т ь б е с к о н е ч н о м а л ы еа = 5Г- + 2 ^ и ß = 3/2 + 2P.А Имеем lim = lim -^ Д гг— • Так как предел отноше-/->о р 卜 о o-\-Zt öния а и f) есть число, отличное от нуля, то а и ß — бесконечно малые одного итого же порядка. ▲705. Сравнить бесконечно малые a = t sin2 / и ß = 2/ sin t при t -^О.Д Здесь lim = 0, .— ( — 4 - lim sin ^ = 0, т. e. a = o(ß). ▲i-^o ß t —o 2 ts m t 2 t ^ 0 u J卜 0 .7 0 6 . С р а в н и т ь б е с к о н е ч н о м а л ы е a = И п ( 1 + A , ß = ^ s i n / п р иД Находимт. e. cc 〜 ß. ▲S f=й707. Найти lim ' ( L j ミ si“ ) .Л ' ^ 0ä ^ й lér=1’l n (1 + 0tА Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечнымималыми: ln (1 +3л: sin х ) 〜 Зл: sin x, tg х2 〜 л'2. Тогда получим】л ( І + З х s i n ぶ) . . 3A;S i n _ r 。 s i n X 。 4lim ------- ;— «------ - = 1іш — 5~~ = 3 lim ------ = 3 . ▲д:—о tg x 2 х->о ズ2 х^о x 迅7 0 8 . О п р е д е л и т ь п о р я д о к б е с к о н е ч н о м а л о й у = х е х п о с р а в н е н и юс б е с к о н е ч н о м а л о й х .7 0 9 . О п р е д е л и т ь п о р я д о к б е с к о н е ч н о м а л о й у = Ѵ 1 + j c s i n x — 1п о с р а в н е н и ю с б е с к о н е ч н о м а л о й х .7Î0. Определить порядок бесконечно малой у = - Ѵ sin 2х по сравнениюс ズ при x —> 0.7 î 1 . С р а в н и т ь б е с к о н е ч н о м а л ы е a = t 2 s i n 2 ^ и ß = M g / , е с л и / — > 0 .7 1 2 . С р а в н и т ь б е с к о н е ч н о м а л ы е а = ( 1 - \ - х ) т — 1 и Ç> = m x y е с л их —^ 0 и т — рациональное положительное число.713. Сравнить бесконечно малые а — ~ 1 и ß = л: In а, если х —> 0.Н а й т и с л е д у ю щ и е п р е д е л ы :7 1 4 . l i m . 7 1 5 . l i m 8іг,23л:Л-— о は3 ズ In 2 U + 2ぶ)Q Заменить числи 丁 ельи знаменатель эквивалентными бесконечно малыми.2ズー1 7 1 7 1 i m І п ( 1 + Л :- З х 2 + 2Л:3)716. lim 717. lim0 ln (1 一 む)• . = 】ln(1+Злг— 4л:2 + л:3) '@ Представить cos х в виде[ — (1— cos л-).148x-^】718. lim - ^ cosx 719. 710 lim 1;_ s i n ^ - 1- ! ). 0 1п ( І + У ) • • x-*-i x - ^ i l n x

7 2 0 . l i m ~ ^ {\ + x)3^ l — • 7 2 1 . l i m (5a - i l ( 4 rx- J )(1 + ^ ) / ( 1 + д :)2 — 1 a—0(3rx—- l) ( 6a _ l )722. lim 匕 8 + 3ж~ А .ズ—о у 16+ 5ズ 一 2• Разделить на 2 числитель и знаменатель.§ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИФункция / (ズ) называется непрерывной в точке а, если:1)эта функция определенав некоторой окрестности точки а\ 2) существует предел lim / (л:); 3) этотх->апредел равен значению функции в точке а, т. e. lim f (x) = f (а).х - ^ аОбозначая х — а = Ах (приращение аргумента) и f (л:)— / (а) = А/у (приращениефункции), условие непрерывности можно записать так: lim А у ~ 0 , т. е. функцияА х - * - о/ (х) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечномалому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращениефункции.Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала,сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаясяграничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точкенарушается условие непрерывности функции.Если существуют конечные пределы lim f (x) = f (а— 0) и lim f (x)=f(a-jr0),X—^Q - 0 Х—^-О. + 0причем не все три числа / (a), f (а— 0),/ (а-J-0) равны между собой, то а называетсяточкой разрыва I рода.Точки разрыва I рода подразделяются,в свою очередь, на точки устранимогоразрыва (когда f (а— 0) = /(а + 0) 夫 f (а), т. е. когда левый и правый пределыфункции в точке а равны между собой, но не равны значению функции вэтой точке) и на точки скачка (когда / (а — 0) # / (а + 0), т. е. когда левый "иправый пределы функции в точке а различны); в последнем случае разностьf (а + 0) 一 f (а— 0) называется скачком функции в точке а. Точки разрыва, не являющиесяточками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точкахразрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функциянепрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывнаяво всех точках, где делитель не равен нулю.7 2 3 . П о к а з а т ь , ч т о п р и х = 4 ф у н к ц и я у — --------- и м е е т р а з р ы в .へ Находим lim ------ = —оо, lim ----- - = -[_00* Таким образом, функция приД:^ 4 -0 X 4 Л:-^4+0 X — 4x ^ 4 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х = 4является точкой разрыва II рода (рис. 26). ▲7 2 4 . П о к а з а т ь , ч т о п р и х = 4 ф у н к ц и я i / = a r c t g — ^ и м е е т р а з р ы в .Д Если ズ ^ 4 — 0,то1/(ズ 一 4) ► 一 оо и lim у = — л /2. Если же х ~ ^ 4 + 0 ,ズ _>4_0то \/(х — 4) ~ >-+ со и lirn у = п/2. Итак, при х ~ ^4 функция имеет как левый,х->4 + 0так и правый конечный предел, причем эти пределы различны. Следовательно,х = 4 является точкой разрыва J рода— точкой скачка. Скачок функции в этойточке равен л/2 — (— л/2) = п (рис. 27). ▲149

725. Показать, что при х = 5 функция у = ------=- имеет разрыв.X ~~ оД В точке л* = 5 функция не определена, так как, выполнив подстановку^получаем неопределенность 0/0. В других точках дробь можно сократить н ал* —5, так как х —5 Ф 0. Следовательно, у~х~ \-Ъ при х Легко видеть, чтоlim у = Ііш у ~ \ 0 .5 ~ 0 х~^~ о + 0Д.2 — 25Таким образом, при х = 5 функция имеет устранимый разрыв. Он б у д е тустранен, е с л и условиться, что ^ — 10 при х = Ъ.ЛРис. 27Итак, можно считать, что функция у = (х2 — 25)/(х — 5) непрерывна при всехзначениях х, если считать, что равенство (х2 — 25)/(х 一 5) = а: + 5 справедливо привсех значениях х, не исключая и л: = 5. В этом случае гра 中 ик функции естьпрямая г/ —л:-[-5. ▲7 2 6 .Найтиточки разрыва функции ;2 і / ( ズ- 2> — і7 2 7 .Найтиточки разрыва функции " = パ)1レニ’ 旬 ‘7 2 8 . Каков характер разрыва функции у = ト 】л в точке х — 1?sin X7 2 9 . Каков характер разрыва функции у точке : 0 ?Xtg x arctgx — 37 3 0 . Найти точки разрыва функции у =x (х—5) •д;3 — 6 х 2 + 1 1 х _ _ 67 3 1 . Н а й т и точки разрыва функции у :" ~ X し 3 ズ+ 2 ~ .х ~\-17 3 2 . Найти точки разрыва функции у =7 3 3 . Найти точки разрыва функции у ニX 2 十 ;с + 17 3 4 . Исследовать на непрерывность функцию у ニна( х 一 り ( х — 6 )отрезке:1 ) [2 ,5J; 2) [4,10]; 3) [0,7].735. Исследовать на непрерывность функцию у ニнаズ4〜 26ズ2 + 25отрезке:1 )[6 ,1 0 ]; 2) [—2, 2]; 3) [ _ 6,6].

ГЛ АВА VUДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УН КЦ И ЙОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ1 . Дифференцирование явных функций. Пусть Хі и х 2 — значения аргумента,-a і/і = f (xj) и "2 = / ( 尤 2) 一 соответствующие значения функции y — f (х). Разностьàx = x2 一 х-i называется приращением аргумента, а разность Аг/ =/у2 一 Уі — f (^2) —— ア(ズi )_ приращением ф у ,\щ ии на отрезке [х і, х 2].Производной от функции у = f (х) по аргументу х называется конечный пределотношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнеестремится к нулю:А "卢 (x + Ах}— f (л:)У' lim , или 厂 (ズ)= lim△ ズ— 0 ІлХàx-*-1iЛд:ä y \(производная обозначается такжеd x ).Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательнойк графику функции y = f (x) в точке х, т. e. у1= tg а.Производная есть скорость изменения 中 ункции в точке х.Отыскание производной называется дифференцированием функции.Формулы ди 中 ференцирования основных функцийI. (хт У = т х тИ . ( Ѵ ~ х )III.IV.V.VI.⑴ - 如^e x y = e x t(axY = ax Ina. ''し{ \ n x ) ' = — . VV I L ( l 0 g ^ ) , = - 7 h T F 'V III. (SinW=COSX.IX . (cos x ) f = — sin X .X. (tg 太 ) ' = sec2 ぶ.XI. (ctg xy = — cosec2 xVX II. (arcsin x)':X III. (arccos x)rXIV. (arctg x ) ^ —/ 1 — X 2XV. (arcctg x)f — 一/ 1 + x 2ex — e~x \^fXVI. (sh xyム ノXVII. (chxyX V III. (thx)' =X IX . (cthxy =f e x ^ e - ^ y, s h Л: 丫、c h Л:ノ'сһ x svsh л:(1 /- c h X .= s h X,c h 2 Л:sh2 XиОсновные правилПусть С—постоянная,Тогда:дифференцирования=u (x), v = u (x)— 中 ункции,имеющие производные.1 )(7 = 0; 2) ^ = 1 ;3 ) (и 土 ѵ У = ^и г 士 ゲ ; 4) (СиУ = Сиг ;5 )( 仙 ) ' 〜 “ ゾ; 6 ) ( - f ) г151

7) если y = f ( n ) , и = и ( x ) ,т. e. y = f [ и W ], где функции f (//) и и (д:) имеютпроизводные, тоУ х = У и -Ч х(правило дифференцирования сложной функции).7 3 6 . И с х о д я и з о п р е д е л е н и я п р о и з в о д н о й ( н е п о л ь з у я с ь ф о р м у ­л а м и д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я ) , н а й т и п р о и з в о д н у ю ф у н к ц и и у = 2 х л ++ Ь х ~ — 1 х — 4 .Л Дадим x приращение Ах, тогда у получит приращение ^у:金 " = 2 (jc + А л :)3 + 5 (jc + А д :)2 — 7 ( л г + А а : ) — 4 .Найдем приращение функции:Ау = [2 (д: +Ал:)3+ 5 (jc + Ад:)2 一 7 (д: + Дл:)— 4] 一 (2ズ3 + 5ズ2 — 1х 一 4)== 6л:2 Ал: + Ga: Ал:2 + 2Ал:3 + 1Ол: Дд: + 5Ал:2 — 7Аズ.Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:= 6л:2 + 6х Дл:+2 Ajc2+ 10jc + 5 Лл:_ 7 .Найдем предел этого отношения при Ал: 0:lim Іігп (6л:2 + 6а: Дл: + 2Да-2 + 1Ол: + 5Дл:— 7) = 6л;2 + 1Ол: — 7.Следовательно, по определению производной yf = ßx2- |- 1Ох— 7. ▲7 3 7 . И с х о д я и з о п р е д е л е н и я п р о и з в о д н о й , н а й т и п р о и з в о д н у юф у н к ц и и у = У X .Д Находим приращение 中 ункции: Лг/= ]/"х-\- Ах— У х. ОтсюдаТаким образом,Ау Ÿ х + Ах— Ѵ x .. Аі/ г У х + Sx— У х----- !—г------ -— и lim —r ^ - = lim ------ !~ т------ :— •Ах Ах Ах -*• о Ах о Дズ1іт ( Ѵ ^ + ^ - Ѵ ^ ) ( V x + A x + y i i )△а: о Ад:( ド jc + А д : + ズ〉lim ~ lim ' 'Ах - о Ах ( jc+ Ах-{- У х) Ах -*■о у х - \ - Ах-\- У х 2 У хИтак, у г = ■--2 у x• ▲7 3 8 . И с х о д я и з о п р е д е л е н и я п р о и з в о д н о й , н а й т и п р о и з в о д н у юф у н к ц и и у = — c t g а : — X .Д НаходимАу = 一 ctg (ДГ+Ал*) — (ЛГ+AA:) + ctg x + A:= ctg x —ctg (л:+Ал:) — Ал:.Используя формулу ctg сс—ctg ß = ~ ~ (け . , получимоткуда152• sin (д:-Ь —х) • _ sin Дд: &sin X Sin (JC+ Лл) sin X sin (JC+Дх) ’sin АхA ズАл* sin x sin (x + \x )

и , с л е д о в а т е л ь н о ,sin Дд:Аг/ .. Ах 1lim ~ — = lim ----------- -------------1 = --- ---о Д Л: Дд:, о s i n x s i n (x -J- А л :) S i n 2 Xb x —Итак, ÿ, = - ^ 2 7 -l= c tg 2x. ▲И с х о д я и з о п р е д е л е н и я п р о и з в о д н о й , н а й т и п р о и з в о д н ы е ф у н к ц и й :739. у = 740. у = 1 / х 2. 741. r/ = 5 sin ;c + 3cosA:.742. y = 5 ( t g x - x ) . 743. У = - ~ т . 744. у = 2 へП р и м е н я я ф о р м у л ы и п р а в и л а д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я , н а й т и п р о и з ­в о д н ы е с л е д у ю щ и х ф у н к ц и й :7 4 5 . у = 2х3— 5 ズ2 + 7 ズ+ 4 .△グ = (2л:У — (Бх2У + (7хУ + (4)' = 2 (л:3), — 5 (л:2), + 7хг + 4 '== 2.3ズ2—5.2ズ+ 7 .1 + 0 = 6ズ2 — 10л: 十 7. ▲7 4 6 . у = х 2 е х ., уг=х - (ех) г-\-ех.(л-2) ^ + 2хех= хех(л:+ 2 ). ▲747. у = х3 arctg д:.Д Уг=Х 3 (arctg W + arctg х-(хҮ =х 3 - ^ : ズ2 + Зх2 arctg х=748. у = х ]^ х ( 3 \п х — 2).1 + л :2 + 3 ズ2 arctg дг. ▲Д Перепишем заданную функцию в виде у = х^ 2 (ЗІпл:— 2). Тогда уг == ズ3,2 ~ + ү Х 1 / 2 ( 3 \ n - x - 2 ) = 3JC1/2 + 1 ЛГІ/2 l n JC 一 3 ズ1‘2 l n л • ▲749. у = arcs^ nx •\ x- (arcsin х у — arcshx.(Ar), 一1 .x — ■ -— агс5шлг ------ ô .j /^1 _ ^ 2 х — у 1— x --arcsin x .= ^ = x 2 y ~ \ — x 2 •_ - л S i n X 一 C O S X750. U — -----;------- •u S i n A:+ C O S X,—(sin ズ+ cos x) (cos ズ+ sin x) — (sin X— cos x) (cos X— sin x)( s i n ЛГ + C O S x ) 2 —— ( s i n A T + C O S AT)2 + ( S i n Д:— c o s x ) 2 2 ▲751. у = (2x^ + 5)*.( S i n X + C O S JC)2 _ ( s i n X + C O S je)2 AД Обозначим 2д;3 + 5 = «, тогда у = и、. По правилу дифференцирования сложнойфункции имеему ’ = (иА)и. (2л-3 + 5);= 4«3 (G.V2) = 24л:2 (2л*3 + 5)3. ▲153

752. y = tg6x.A ゲ = б tg ) ぶ. (tg 太 ) ' ==б tg 5л:sec2 ズ. ▲753. y = cos2 x.△ y 9 = 2 cos A:(cos А:)" = — 2 cos л: sin д: = — sin 2л:. ▲754. ÿ = sin (2л:+ 3).А Уг = cos (2 л г + 3 ) . (2х+ 3 ) " = 2 cos ( 2 « + 3 ). ▲755. y = t g \пх.Д グ =sec2 ln д:.(1пд:)'= 丄 .sec21п ズ. ▲756. у = sin3 у •A グ = 3 sin2 音 .(s in 去 ) = 3 sin21 cos 吾 ( 冬 ) = s in 2| c o s 音 . ▲757. y=\n(x2-\-5).ム ゲ = ‘ ザ + 5) ' = — . ▲758. ÿ = ln tg 吾 .л ゲ= i ^ r ( tg_ ),= T ? T b rsec2W2WW =7 5 9 . y = l n ( x + ドズ2 + 1)•一 2 tg (x/2) cos2 (х/2) — 2 sin (х/2) cos (х/2) 一 sin x△ ゲ レ + ドズ 2 + 1 ) , = ;Г Г 7 ^ т К 1 + ^ Т ^ Т ) -1 У ^ ~ Р І + Х J _х + У х 2 + 1 / ' ^ 2 + Т V ^ f ' i760. y = ln (j/2 s in A :+ 1 — 1)•154Л ゲ = ~ —------ f — ( | / ?2 я іп л :+ 1+ sin л:— Ь =Y 2 s in jc + l + } ^ 2 sin л:— 1— ____________ 1______________/ 2cos^ . 2 cos л: ^一 Y 2sinA:+ l + V 2sinjc— 1 \ 2 Ÿ 2sinA:+ ï 2 |/*2sinA:— 1 ノ1 cos x {У^2sin x-\- \-^-У^2 s'm x — 1)У2s\nx-{-\-{-y^2sïnx— 1 У4 sin2A-— 1761.y = y + é + y •ln (л: + Ѵ^д;2+ â) .cos xY 4 sin2 x — 1

~ 2 "* ^ 2 V ^ + k )л:2 . V x ^ + k , k 1 V x 2 + k + x _2 \ T + k 2 Г 2 Х + У x 2 + k Y " x ^ + k —x2 + k7 6 2 . y = a rc s in , \ x \ < 1.2 V x ^ + kY x '- + k,Vl + 尤 4 ノ P V 1+ Д;4 y(1-\-х^)-4х— 2х2-4х3_ _ ______1______ 4 л :(1— л:4) 4xX( l + ズ4)2 y 1 十 W i _l xi7 6 3 . // = a r c t g •△ グ1+ (ln2 ぶ)/9 Зх— x (9 + ln 2 ぶ)• 屣7 6 4 . у = ^ - a r c t g ex — ln К 1 + e 2x.Д Записав данную функцию в видеt/= e xarctgex — + ln (1 + е 2х),’получиму ' = ех. 0 + が a rd g W — 去 е ^ -2 -Тогдаили= i + e -2X + eX arotge^— -р+е2л. arctg e*.,- Л- sin X . , 1 + s in Л:7 6 o . г/ = ~ 5 -- + ІП - 丁C O S 2 X 1 C O S XД Преобразуем данную функцию:sin x + ln (1 + sin x) 一 ln cos x.c o s ”, COS2 X C O S X — s i n X - 2 C O S X ( — S i n Л:) , 1 1 , • 、у = ---------------------------i----------- ----------- ~ :— C O S ズ------------------- ( 一 Sin x)yC O S 4 А: 1 + S U 1 Д: C O S A :, — C O S 2 .V + 2 S i n 2 Д:, C O S X ( 1 — S i n x ) . S i n X — C O S 2 Л Г + 2 s i n 2 X . 1 — s i n XJ C O S 3 X 1 — S i n 2 X C O S X C O S 3 X b c o s X, Sin X C O S 2 X-\-2 Sin2A: , 1 2 n *»•A---------- = ------------r.---------------------= — ö— = 2 sec° x. ▲1 pnç V гпч-і У 1 COS X COSa X7 6 6 . " = 去 t g 2 K x + l n COS V X .Л i / - = t g f - x ^ + _ ± _ ( _ s in r ^ ),て r 一 tg V A:(sec2 у x— \)=~ — tg 3 Y~x.2 y x 2 y x

767. г/ = 5 з һ ^ + 3зһ5^ .Д Находимグ= 15sh2Â chÂ.iî+15sh4 吾 chÜ =sh2Ä ch 蚤 ( 1+sh2Ä yоткуда, используя соотношение ch2x — sh2x = \ f окончательно получаем y r == sh2f s ch3Ä - А7 6 8 . у = л:ү2.А Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получимIn у = х 2 ln x. Продифференцируем обе части последнего равенства по х.Так как у является функцией от х, то In у есть сложная функция х и (In у) ' == ~^'УГ• Следовательно,т. е.= » In л:, — = х (1 + 2 1п х) і广 ノ グ = 砂 (1 + 2 111ズ)=ズズズ2 (1 + 2 1п л :)= が 2+ 1 (1 + 2 Іпл:). А(769/ у = ( s i n A :) t § ; v .Д Имеем ln y = ig x -\r\ sin x, откудаニ~ = tg X '--------- cos л:4 -sec2 л: ln sin л:= 1- f sec2 x ln sin x:y sin Xy r = y (\ +sec2 x \n sin x) = (sin x)tg x (1-|-sec2A:ln sin x). ▲770 中 (2ズ- り 丫 碧 .Д Здесь заданную функцию также следует предварительно прологаоифмировать:l n у = 3 I n ( 2 х — 1 ) + -^- I n ( 3ズ+ 2 ) — 2 l n ( 5ズ+ 4 ) — l n ( 1 — ,v );ゲ — 3 о 丄 1 3 _ — 5 , 1 •y 2x— l 1 2 3ズ+ 2 5.V + 4 1 3 (1 — x) ’(2x-_l)3 ]^ 3 F f2 Г б , 3 Ю 1 1 лУ ^ j 5 ^ + 4 ) 3 3/ —1 ニ L 2 - t - l r 2 ( 3 x + 2 ) 5Л- + 4 " 1 3 ( l _ x ) 」. 息Н а й т и п р о и з в о д н ы е ф у н к ц и й :156771. у = 772. у = — х у x.773. у = у х 3\ г~х— уххъУ х + ~ х 1Ѵ х .774. tj = (x2 + 2x + 2)e~x. 775. у = 3х3\п х — х3.2 3ズ r* -776. y = — , 777. y = x2sin л: + cos x — 2 sin .r.7 7 8 . y = \n (2x3 + 3x2). 7 7 9 . y = V l — 3 x \7 8 0 . г/ = л -a r c c o s y — V 4 — x 2.

7 8 1 . y = Y x a r c s i n К 1 一 x.7 8 2 . " = ( s i n 吾 — c o s 吾 ) • 7 8 3 . y = c o s 3 (ズ/ 3 ) .7 8 4 .7 8 6 .7 8 7 .7 8 8 .У :l n 7 8 5 . y = \ n j / l+ s in x[ — sm xУ - t g 2x- + 备 tg 3 2 x + + tg 5 2 x . и Л хy = \ r s i n 3 Y X — ^ s i n 5 Y X + y s i n 7 V X .y = l n ( 3 ズ2+ ド 9 ズ4+ 1)• 7 8 9 . y = で V а1— x 2- \ ^ a r c s i n 一 •7 9 0 .l n ビ 甚 . 7 9 1 . y = 一 c t g 2 音 — 2 1 n s m 普 .] / 4 tg ДГ+1+2 y tgx7 9 2 .Уa r c t g 4л:2— 1 .7 9 3 . y = arctg У 'а 2— х27 9 4 .7 9 6 .7 9 8 .8 0 0 .8 0 2 .8 0 4 .1 _ л Г 1 _ д-2 9ѵЗг/= a r c t g -------- --------------. 7 9 5 . " = a r c s i n , е с л и | ズ| く 1 .y = a r c c o s . 7 9 7 . y = e~x 一 s i n e _A:c o s e ~ v .г/^ a rc tg y 799. " =y = 1 _ ^ 3 , c o s 2 3 A , s o i . у ^ \ п 思 .у = \п (s e c x + tg x). 8 0 3 . у — — ln (c o s e c x + c t g л :) .у = еѵ ^ { Ѵ Т х - \ ) . 8 0 5 . у = \ п ^ .8 0 6 .8 0 8 .8 1 0 .8 1 2 .8 1 3 .8 1 4 .8 1 5 .817.s i n x 8 0 7 . г / = a r c s i n si — ~び 、1+COS X ) • ^ У 1+S in2 Xу — — c ç s e c2 ( x / 2 ) . 8 0 9 . y = s i n ( l n x) • c o s ( l n x ) — 1 д ( 1 / x ) .y = ^ - \ r 3 ) [ l n (xb+ 3)— 1 ] . 8 1 1 . у = a r c s i n 1— 0,2x2." = 0 ,5 [(ズ+ a ) V x 1+ 2ax + ß ++ (ß— a2)ln (х + ос + |/д:2 + 2ал: + р)].у = a r c s i n ex + a r c s i n V 1 — e2x.у = m V x2Jr 2ax + ß + ( n — т а ) l n (л: + а + К x 2 + 2 а л : + ß ) .у = — _ :■ . 8 1 6 . y = x2-{-2x s i n л: c o s x + c o s 2 x.у \ — mx2у = c ig x c o s e c л: + l n ( c t g x + c o s e c x). 8 1 8 . у = — ^ 111' — •8 1 9 .8 2 1 .8 2 2 .8 2 3 .у = Зх s i n 3 х + З c o s x — c o s 3 jc. 8 2 0 . ij = lnу = ex 一 s i n が c o s 3 ex — s i n 3ex c o s ex.卜 a r c t g { x + \) + - ^ + L ^ . .y = x ( l n 3 X 一 3 l n 2 ズ+ 6 \n x — 6 ) ./ 1 + ズ2 十 1157

8 2 4 . у = l n s in V~x t g V x — V x . 8 2 5 . y = a rc tg xX~2x~X.8 2 6 . y8 2 7 . y4 (У 吾 一 咖 4 *) + 去 (w 吾 一 ctS2 音 )+ 鲁 1nfg f= l n t g | - + c o s , + i - c o s 3 , . 8 2 8 . ^ - sb(^ ^ ^ 2 ) .8 2 9 . y8 3 1 . у833. у835. у837. у839. у840. у=y t g 2 s in д : + l n c o s s i n X. 8 3 0 . ÿ = l n ( l — 丄 .ぶ .8 3 2 . y = 2 x t g 2 ; c + l n c o s 2 ; c — 2,V-2.:a r c c o s (2e2x— l). 8 3 4 . y = \n \n x ( \n l n Ӏпд:— 1 ) .ズ 6^^ ooハ i X ІП X —18 3 6 . у = \nx-j-e2x* • u — л: ln л:+ 1•=arctg 8 3 8 . ÿ = l n t g i l Ç l .: 吾 s i n 2 ぶ+ 去 c o s 2 ズ 一 ^ 4 ^ c o s 2x.-.tg3 tg x + 3 tg t g x . 8 4 1 . y = — ^ ^ — ln y ^ r ^ l842. у844. у846. у ;2cos3^-3cos^_ 8 4 7 . y = eX3^ X-.8 4 8 . у850. у8 5 2 . у .lnx ' Л . 8 4 3 . у = l ^ 2 x + l [ l n (2x + 1 ) — 2 ] .パ 1 5.: sec л :( 1 + l n c o s ズ) • 8 4 5 . y = ex \ r 1 — e2x 一 a r c s i n• i . Xx -\-1 л- 1п7ГТ о ЛП • . 1 «,л ズ+1 ö 4 9 . y = x s \r\x COS ^ + -g- C O S2 X .854. у8 5 6 . у858. у8 6 0 . у■l n • ___ ^ --------- . 8 5 5 . t/ = e°'5 x cos x.Ÿ x l + \ + x 2 v9■a r c t g --------- . 8 5 7 . u =2x2ex l n л:.:a r c c o s V 1 — 2х. 8 5 9 . y = l o g A:22 .: 一 т У — x2 + 2ax + ß + (ma + n) a r c s i n ү8 6 1 . у863. у865. у8 6 7 . у868. у:log2 s i n 2A:. 8 6 2 . y = l o g fl { x - \- Y x 2 + 9 ) .: ;carcsin' 8 6 4 , r / = ( ^ т і у .2x (x+\)3 * " 4• ( x — 1 ) 2 к " 2 Л Г + 1: (OT_^1)2 + n2 [( 爪 + 1 ) C O S (n \n x ) + n s i n ( n l n ズ) ] •(x tg x + \n c o s x) . t g (x tg x + \n c o s x) ++ l n c o s ( パ g x + ln c o s x).158

8 6 9 . y = (x c o s x 一 s i n x) [ l n (x c o s x — s in x ) 一 1 ] .8 7 0 . г/ = 3 э і п (xex — cx) — s i n 3 (xex 一 ex).8 7 1 . y = a r c c o s (2x Y 1 — x2). 8 7 2 . シ= 卜 丨 (ズ# 0 ) .8 7 3 . y = \f(x )\. 8 7 4 . y = \ 3 x — 5\.8 7 5 . yz=e^xy 8 7 6 . y = \ x \ - \ - \ x — 2|.877. y = xex ( s m x 一 cos x) + ex cos x.8 7 8 . у = ln [л: s i n л: + c o s x -\~ V (x s i n x + c o s x )2 + 1 ] .879. y = ^ - ( x \ n x —x— 1).880. у = logcos л:sin л:.881. y = \oge 2 (x n + y r x 2n- \ - 1 ).882. у = \ogx e.883. y = log^ x. 884. у = log^ 885. y = x ” ' nx.888. y = x ]nx. 8 8 9 . y = — •(ズーl ) 3 у 5л:— 1890. П оказать, что (sec x ) r = sec x tg x.891. Показать, что (cosec л:)' = — cosec x ctg x.8 9 2 . П о к а з а т ь , ч т о \ a v ) r = v u v ~ 1 - u r A r U v - v ' \ n u .893. Вывести формулы дифференцирования arcsec ズ и arccosec x.8 9 4 . Ч е м у р а в н о в ы р а ж е н и е и = у 2 - \ - у ' 2 + 4 у 2 / у ' 2 У е с л и у — 2 c o s х >895. П оказать, что ф ункция y = ( x 2 J r 1 )( ^ + Q обращает уравнениеу г ------= е х ( х 2 + 1 ) в/тождество.2. Дифференцирование неявных функций. Пусть уравнение F (х, у) = 0 определяету как неявную функцию от х. В дальнейшем будем считать эту функциюдифференцируемой.Продифференцировав по х обе части уравнения F (д:, г/) = 0, получим уравнениепервой степени относительно уг• Из этого уравнения легко находится уг, т.е.производная неявной функции для всех значений х н у , при которых множительпри уг в уравнении не обращается в нуль.896. Найти производную у ’х из уравнения ズ2 + ゲ = 4 .Д Так как у является функцией от x t то будем рассматривать у2 как сложнуюфункцию от x. Следовательно, (у2ү = 2уу,. Продифференцировав по х обечасти данного уравнения, получим 2^ + 2^ ' = 0, т.е. у' = — xjy. ^8 9 7 . Н а й т и п р о и з в о д н у ю у ’х и з у р а в н е н и я д:3 + I n г / — х 2 е у — 0 .Д Дифференцируя по х обе части уравнения, получаемЗд;2 + — ----- х 2 е У у г — 2 х е У = 0 , т . е . グ = :レ'ごタ~ ^ - Л ) 义 . ДН а й т и п р о и з в о д н у ю у гх о т н е я в н ы х ф у н к ц и й :898. x3+ г/3— 3ху = 0.899. Ах2+ 2Вху + Су2+ 2Djc + 2Еу F — 0.900. л*4 一 6,ѵ2" 2+ 9ゲ 一 5ズ2+ 15"2— 100 = 0.9 0 1 . ху— ух = 0. 9 0 2 . x s \n y -{-y s \n x = 0.9 0 3 . éx + ey— 2xy— l = 0 .9 0 4 . s i n (y — x 2) 一 l n (y — x2) + 2 ド y — ズ2— 3 = 0 .159

9 0 5 . У 号 = 0 . 9 0 6 . ^ 2+ у 2l n x — 4 = 0 .9 0 7 . x2s i n t/ + y3 co sx— 2x— 3 t/+ 1 = 0 .3. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Если функцияаргумента х задана параметрическими уравнениями ぶ=ф(/), у = ^ {t), то, 座 ■.и л и 塞 = 1 .~df908. Найти ゲ == 塞 ’ если ズ= ズ3 + 3 , + 1,у^=Ы ь-\-ЪР 1.Д Найдем — = 3/2 + 3, 15^2. Следовательно,デ ^ == 5 / 2 . ▲909. Найти У , - 塞 ,если x = acos t, y = as'm t.9 1 0 . Н а й т и y f = y е с л и x = e~f sin t, y ^ e t c o s t.911. Найти р' — Ф , если + 1 ) a, j/" a eVa.912. Найти = 塞 ,если x = ch /, y ~ s h t.4. Приложения производной к задачам геометрии и механики. Если криваязадана уравнением y ~ f {х), то 厂 (ズ0) = tg a ,где a —угол, образованный с положительнымнаправлением оси Ох касательной к кривои в точке с абсциссой х0.Уравнение касательной к кривой // = / (х) в точке М 0 (ズ0; |/0) имеет видУ — У о ^ У о _ ぶо),где уо есть значение производной уг при х ~ х 0.Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной ипроходящая через точку касания.JУравнение нормали имеет видУ— î/o~'----- г {х 一 ズо),УоУглом между двумя кривыми y ~ f \ (-^) и у = Һ (х) в точке их пересеченияЖ0 (ズい• у о) называется угол между касательными к этим кривым в точке М 0. Этотугол находится по формулеtgcp=1+ f l ( 太 0) f 2 (ぶ0)Если при прямолинейном движении точки задан закон движения s = s (^), тоскорость движения в момент /0 есть производная пути по времени: v = sf (4 ).9 1 3 . К а к о й у г о л о б р а з у е т с о с ь ю а б с ц и с с к а с а т е л ь н а я к к р и в о йг/ = (2/3) x5— (1/9) x3, проведенная в точке с абсциссой л := 1?Д Находим производную уг = (Ю/З) хА 一 (1/3) х2} при х = І имеем グ = 3 , т. е.tg a —3, откуда a = arctg 3 ä ; l \ cZ^r. ▲914. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболеу = x2— Зх-\-5у проведенная в точке Л4 (2; 3)? Написать уравнениеэтой касательной.16Q

915. Составить уравнения касательной и нормали к кривойхг + 2 xiÿ + Зг/4 6 в точке M (1 ;—1).Д Из уравнения кривой найдем производную:2х + 2 у 2 + Ахууг + 12 y Y = 0 , т.е. у г2 х іу + 6 ^ '! + ( — I ) 2 _ 1Следовательно, y l= -•1(—1)+6(—I)3 4Уравнение касательнойУравнение нормали1у л . i = „ (x—1) , или х ~ 4 у —5 = 0.г/+ 1= —4 (x— 1) , или 4ズ+ " —3 = 0. ▲9 1 6 . Н а й т и у г о л м е ж д у п а р а б о л а м и у ^ = 8 — и у = х 2 .Д Решив совместно уравнения парабол, находим, точки их пересеченияЛ (2; 4) и В (—2; 4). Продифференцируем уравнения парабол: уг = —2х, y f — 2х.Найдем угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А (т. е. значе-4 + 4 8ния производных при х = 2): — — 4, 4. Следовательно, tg фі = -^~ = 一 7F ,

s— в метрах). Определить скорость движения в конце второй секунды.Д Находим производную пути по времени:- J = ^ + i - C O S ^ ,П р и / = 2 и м е е м - ^ - = І б + ^ - У 2 « 1 6 , 1 8 . С л е д о в а т е л ь н о , ѵ ä 1 6 , 1 8 м / с . ▲9 3 2 . П о п а р а б о л е у = х ( 8 — х ) д в и ж е т с я т о ч к а т а к , ч т о е е а б с ­ц и с с а и з м е н я е т с я в з а в и с и м о с т и о т в р е м е н и t п о з а к о н у x = t y t( t — в с е к у н д а х , х — в м е т р а х ) . К а к о в а с к о р о с т ь и з м е н е н и я о р д и ­н а т ы в т о ч к е M ( 1 ; 7 ) ?Д ' Найдем закон изменения ординаты; заменив в уравнении параболы х наt Y ' t } получим у = Ы У t — t3. Скорость изменения ординаты есть производнаяот ординаты по времени: ^ = 1 2 一 3t2. Для точки M (1;7 ) значение t равно 1.Следовательно, y t= i = 9, т. е. скорость измерения ординаты равна 9 м/с. ▲9 3 3 . З а в и с и м о с т ь п у т и о т в р е м е н и з а д а н а у р а в н е н и е м s == t \ n ( t + 1 ) ( t — в с е к у н д а х , s — в м е т р а х ) . Н а й т и с к о р о с т ь д в и ж е н и яв конце второй секунды.9 3 4 . П о к у б и ч е с к о й п а р а б о л е у = х 3 д в и ж е т с я т о ч к а т а к , ч т о е ео р д и н а т а и з м е н я е т с я в з а в и с и м о с т и о т в р е м е н и t п о з а к о н у y = a t 3 .К а к о в а с к о р о с т ь и з м е н е н и я а б с ц и с с ы в з а в и с и м о с т и о т в р е м е н и ?5. Нахождение угла между радиусом-вектором и линией. Пусть плоская линиязадана в декартовых координатах уравнением y = f(x ). Направление линии в даннойточке М (х\ у) определяется касательной в этой точке, т. е. углом а междукасательной и положительным направлением оси Ох (отсчитываемым против часовойстрелки), причем tg a = 夕 , . Угловой коэффициент радиуса-вектора точки Мсоставляет tg ф = у/х, а угол между радиусом-вектором и касательной к линиив этой точке есть со = а — ф. Следовательно,t m t g c t ~ t g ф y x x y r — y x d y — y d xl+ t g a t g ( p y x + y y , x d x + y d y1 + У ~Если линия задана в полярных координатах уравнением г = г (ф), то д:== г cos cp, = г sin ф, x dy— у dx = r 2 d(p,x dx-\-y dy = r d rf откудаtgco :r 2 d(p— rr dr935. Найти угол между параболой у = 4 — х2 и радиусом-векторомточки М (1;3) этой линии.Д Находимx y f — y х ( — 2 х ) — у — 2 х 2 — ух + УУ「 ズ 十 ダ( 一 2ぶ)х — 2ху_ 2 — ? уВ точке M (1;3) получаем tg со=~-— ——1, т. е. са = -г- . ▲1— О 4936. Найти угол между окружностью г = а п радиусом-векторомлюбой ее точки.162Д Имеем г = 0;значит, \g (о = г/г = а/0 = оо, т.е. со = л/2. ▲

937. Найти угол между равносторонней гиперболой х 2— у2= 36радиусом-вектором точки М (10; 8).Д Так как 2х 一 2ууг = 0、уг = х!у, тох.(хІу、—у _ x2 — у2— 36 _ 18х + у-(х/у) 2ху 2ху хурадиусомioа в точке М (10; 8) имеем tg (o = -j-^-g= 0,225, т. е. со = arctg 0,225.938. Найти угол между кардиоидой г = а (1— cos ф) ивектором точки М (За/2; 2л/3).Д Здесь г — asm ф, t g « = = —-----------— = tg-i . В данной точке М п оr a sin ф 2лучаем tg со = tg (я/3), о = я/3. ▲9 3 9 . Н а й т и у г о л м е ж д у п а р а б о л о й у 2 = 8 х и р а д и у с о м - в е к т о р о мточки М (2; 4).940. Найти угол между спиралью Архимеда г = аф и радиусомвекторомлюбой ее точки.941. Найти угол между окружностью г = cos ср и радиусом-векторомлюбой ее точки.9 4 2 . Н а й т и у г о л м е ж д у о к р у ж н о с т ь ю ( х — 7 ) 2 + ( ÿ — 5 ) 2 = 2 ир а д и у с о м - в е к т о р о м т о ч к и М ( 6 ; 6 ) .943. Найти угол между спиралью г = ае— и радиусом-векторомлюбой ее точки.944. Найти угол между эллипсом ズ2バ00 + ゲ/ 3 6 = 1 и радиусомвекторомточки М (6; 4,8).6. Производные высших порядков. Производной второго порядка (второй производной)функции у = f (х) называется производная от ее производной. Втораяпроизводная обозначается так: у”,или, или / " (ズ)•Если s = f (/) — закон прямолинейного движения точки, то вторая производнаяпути по времени 硕 есть ускорение этого движения.Аналогично производная третьего порядка функции y = f(x ) есть производнаяот производной второго порядка: y f" = (у”У •Вообще, производной п-го порядка от функции у = f (х) называется производнаяот производной (п 一 1)-го порядка: z/n)= (^{п~1}У • Обозначается n-я производнаятак: у(п) или ^ , или /(72) (д;).Производные высших порядков (вторая, третья и т. д.) вычисляются последовательнымдифференцированием данной функции.Если функция задана параметрически:ズ= ср(0,У = ^ (0» то производныеУх, уXX i вычисляются по формуламг/;= 4 , у'х';х = {- ^ и т. д.Xt Xt XtПроизводную второго порядка можно вычислить также по формуле•■” _ y t t x t — x t t y tУ х х = { х і г - •6 *163

945. у = х5+ 2хі — Зл-3— x2— 0,5л- + 7. Найти у ', у " , ダ" ,Д г/" = 5л:4 + 8х3 — 9л-2 — 2л: — 0,5,i f = 20x3 + 24х3 — 18л: — 2,ゲ" = 6 0 х 2 + 4 8 х — 1 8 , ..ï/IV— 120х+48, уѵ = 120, f/ѴІг-^ѴЦ = ee< = о. ▲946. у = \ п х . Найти уш ,А У' =^ ~ ^ ==х~ 1 >. ゾ= —トг 2’""'ニ 1 . 2 ズー3, ," 1Ѵ = — 1 Л 4,y < "> = 1 • 2 • 3 . . . ( n - 1 ) ( - 1 ) " - 1 = ( - 1 ) " - 1 ~ 1}--. ▲947. x = 2x. Найти t / n\A ゲ= 2 M n 2 ,ゾ" = 2 * 4 n 3 2 ,i ÿ i ) ^ 2 x \ n n 2 .948. y ^ s m x . Найти у ш .у" = — sin Л:= sin + 2 . f )949. Найти ゾ = 窓 ,"" = ■ ,если x^=acos3t t tj = a sin9 t,_ dy (a s in 3 0 ^ — 3a sin2 t cos t — f . .ワ dx (a cos3 tYt — 3a cos2 t sin t ^ ’ず Qt — — sec2 1 1 ▲ .dx2 (a cos3/); _ 3a cos2 1 sin t 3a sin t cos4 tНайти производные второго порядка:9 5 0 . 辜 . 951. у ^ ~ х г (2ІПЛ:— 3).9 5 2 . у = ~ x ^ V \ — x 2 + у | / 1 — ж2+ л. a r c s i n x . '1 2953ф у = -------g- x s i n Зх — ^ c o s Зх»164

954. у = х \ п (х^гѴх2^га 2 ) — Кл:2 + а2.J x = a ( t — s i n t), f x = a r c c o s V t ,955.l j / - a ( l — c o s t). • \ y ^ = y t ~ ß t9 5 7 . П о к а з а т ь , ч т о ф у н к ц и я г/ = s i n l n л: + c o s l n л: у д о в л е т в о р я е ту р а в н е н и ю ズV X + " 二 = 0 .9 5 8 . П о к а з а т ь , ч т о ф у н к ц и я // = x + s i n 2 x у д о в л е т в о р я е т у р а в ­н е н и ю ゾ + 4 " = 4 ぶ.9 5 9 . П р и п р я м о л и н е й н о м д в и ж е н и и т о ч к и з а в и с и м о с т ь п у т и о тв р е м е н и з а д а н а у р а в н е н и е м s ^ V t . Н а й т и у с к о р е н и е т о ч к и в к о н ц е4-й секунды.Найти производные третьего порядка:9 6 0 . у : 9 6 1 .,(ズ+ 1 ) . ------ジ— 2962. у ^ { 2 х + З ү У 2 х + 3. 963. " = sh2x.Найти производные п-го порядка'l n 2 x.ф Учесть, что sh 2A:= 2shA:chA:.964. у --xnV x . 965. У ^ 2 x ^ 1 * 966. = 5— 3cos2^.967.970.973.НИЮ 1)Г974.-2х + 2 - х. 968. г/ = ^ у .969. y ^ e kx.X = 1п /, j x — at-үЪ,-cosx. 9 7 1 .у — \ jt.! し = а Р + У + ү .Показать, что функция у = ех -\- 2е2х удовлетворяет уравне-6/ + 1 1 ゾ 一 6々 = 0.Показать, что функция " = ぷ3 удовлетворяет уравнениюУѵ + УІѴ + y ,r/ + У" + XJ + г/ = x 3 + Зл:2 + 6х + 6 .8. Дифференциалы первого и высших порядков. Дифференциалом (первогопорядка) функции y = f(x ) называется главная часть ее приращения, линейнаяотносительно приращения аргумента. Дифференциаломаргумента называется приращение аргумента:dx = àx.Дифференциал функции равен произведениюее производной на дифференциал аргумента:d y — y ^ x .Геометрически дифференциал представляетсобой приращение ординаты касательной к графикуфункции в точке М (х; у) (рис. 28).Основные свойства диф ф еренциала1°. dC = 0, где C = const.2°. d(Cu) = Cdu.3°. d(u 士 士 d v .4°. d (uv) = udv-]-v du.5°. d分6e. dj (u) = l f (u) du.1G5

Если приращение Дл: аргумента мало по абсолютной величине, то Ау ä dy иf (х-\- Ах) М / (д^) + f (х) Ах.Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенныхвычислений.Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) называется дифференциалот дифференциала первого порядка: d2y = d (dy).Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: dsy = d (d2y).В о о б щ е , dny = d (dn~xy).Если y = f (x) и x — независимая переменная, то ди 中 еренциалы высших порядковвычисляются по формуламd 2y = у ” ( d x ) 2, d 3y = y " r ( d x ) 3 f • * •, d n y = ( d x ) n .975. Н айти дифференциал (ѣункции г/= arctg л:.Д d y = (arctg x ) ^ d x = . ▲976. Найти дифференциал функции s = et5.△ ds=e^-3t^ dt. ▲977. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядковфункции у = (2х— З)3.△ d y = 3 { 2 x — 3 ) 2 - 2 d x ^ = 6 (2 л :— З ) 2 d x ,一d2y ^ \2 (2 x— 3)-2dx2 = 24 (2x— 3) dx2,d3t/= 2 4 ^2dx3 = 48 dx3. Дv = e2t.9 7 8 . Н а й т и д и ф ф е р е н ц и а л ы п е р в о г о и в т о р о г о п о р я д к о в ф у н к ц и иД dv = 2e2t dt у d2v = ^e2t-dt2. ▲9 7 9 . С р а в н и т ь п р и р а щ е н и е и д и ф ф е р е н ц и а л ф у н к ц и и у = 2 х 3 + 5 х 2 .Д НаходимАу = 2 (д:+Ад:)3 + 5 (лг + Ал:)2 — 2х3— 5ズ2 = (6ズ2+ 1 0 ズ)Ад:+(6л:+5) Ад:2 + 2Дд:3,dy = (6х2 + 10ズ) dx.Разность между приращением Ау и дифференциалом dy есть бесконечно малаявысшего порядка по сравнению с Ах} равная (6л: + 5) Ах2 2Ах3. ▲980. В ычислить приближенное значение a rc s in 0,51.Д Рассмотрим функцию г/= arcsin х. Полагая ズ= 0,5,Ал: = 0,01 и применяяформулу arcsin (ズ+ Да:) ä arcsin л: + (arcsin х)' Ад:, получаемarcsin 0,51 ä arcsin 0,5-]— ^ — -0,01 = -^ + 0 ,0 1 1 =0,513. ▲V l- ( 0 , 5 ) 2 69 8 1 . В ы ч и с л и т ь п р и б л и ж е н н о е з н а ч е н и е п л о щ а д и к р у г а , р а д и у ско тор ого равен 3,02 м.へ Воспользуемся формулой S = nR 2. Полагая R = 3 , AR = 0,02, имеемAS ä ^5 = 2л/?-А^ = 2я-3.0,02 = 0,12я.Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9я+ 0,12я == 9 ,1 2 я ä 2 8 , 6 6 ( м 2) . ▲166

Найти дифференциалы функций:9 8 2 . г/ = у К 4 9 — + ^ a r c s i n у . 9 8 3 . л: = ~ ,984.986.987.988.989.у = 2 ln ch (ズ/2).985. у = arctg е2хНайти dy, d2y 、cP у, если у = х ( \п х — 1).Найти d2y, если у = \п ( х + У х2+~4).С р а в н и т ь п р и р а щ е н и е и д и ф ф е р е н ц и а л ф у н к ц и и у = 1 / х .Вычислить Ау и dy для 中 ункщш и = х2—- 2х при х = 3 иAぶ= 0 ,01.990. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.991. Наити приближенное значение х из уравнения ІЗбіпл: —— 1 5 c o s ズ= 0 .Наити приближенное значение:9 9 2 . a r c t g 1 ,0 5 . 9 9 3 . t g 4 6 。.9 9 4 . l n t g 4 7 01 5 / . 9 9 5 . ^ / Т Қ 8 .§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ1 . Теоремы Ролл я, Лагранжа, Коши и формула Тейлора.Теорема Ролл я. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь],дифференцируема в интервале ]а, Ь[ и f (a) —f (b), то в интервале ]а, Ь[ найдетсяхотя бы одно значение x = ^t при котором 广 (g) = 0.Если, в частности, / (а) = 0, f (6) = 0, то теорема Ролля означает, что междудвумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной.Теорема Л агранжа (о конечном приращении). Если функция/ (ズ) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема в интервале ]а, Ь[, тов этом интервале найдется хотя бы одно значение х = g, при котором выполняетсяравенствоf(b)-f(a) = (b-a)f (I).Эти теоремы имеют такой геометрический смысл: на дуге AB непрерывнойкривой f/ = f (x),имеющей в каждой внутренней точке определенную касательную(не параллельную оси Оу、, найдется хотя бы одна внутренняя точка, в которойкасательная параллельна хорде AB. (Для теоремы Ролля и хорда AB, и касательнаяпараллельны оси Ох.)Теорема Коши. Если функции ,(ぶ) и ф (ぶ) непрерывны на отрезке [а, Ь]и дифференцируемы в интервале ]а, Ь[у причем q/ (ズ) 0, то в этом интерваленайдется хотя бы " одно 一 значение х 忘 ,при которомf ( b ) - f ( a )

хп + ^«1Приведем разложения некоторых функций по формуле Маклорена:^ 2 т + 1尺 2,л+і = (— 1 产 +1cos Өл*.(всюду 0 < 0 < 1).^ 2 /л + 2°"V ' ( 2 / n + 2 )!;, m (m— l) (m— 2) a ,1 2] 3 ! 九 , 1+ m ( m — 1 ) . • ■tm 一 ( n 一 01 X t l J ^ _ •m (m— 1)...(m — n)xn + 1 (1 + Өл: 产 一 《- 1( Й 7 ! ) !9 9 6 . В ы п о л н я е т с я л и т е о р е м а Р о л л я д л я ф у н к ц и и f (л :) = х 2 ^ ■一 6 ズ+ 1 0 0 , е с л и а = l y & = 5 ? П р и к а к о м з н а ч е н и и | ?Д Так как функция f (х) непрерывна и дифференцируема при всех значениях хи ее значения на концах отрезка [ 1,5] равны: / (1) = / (5) = 95, то теорема Ролляна этом отрезке выполняется. Значение g определяем из уравнения f f (х) = 2х— 6 == 0 , т. е. ^ = 3. А9 9 7 . В ы п о л н я е т с я л и т е о р е м а Р о л л я д л я ф у н к ц и и f ( х ) = 8 х — х 2 ,е с л и а = 0 } 6 = 8 ? П р и к а к о м з н а ч е н и и | ?Д Функция f (х )= \ / Ъ х —x2 непрерывна при всех значениях х и имеет производную厂 (х) = (8 ~ 2 х )І(з У (8л:—x2)2) при л: 9É 0, л: 8, т. е. дифференцируемав интервале ]0, 8[. Кроме того, f (0) = f (8) = 0. Таким образом, теорема Ролля наотрезке [0, 8] выполняется; действительно, 广 (ズ)= 0 при л:= ^ = 4. Д998. Дана функция f (х) = \ / \ х 一 8)2. Пусть а = 0, Ь = 16. Тогда/(0) = /(16) = 4. Однако производная f r (х) = 2/(3 \ / х 一 8) не обращаетсяв нуль ни в одной точке интервала ]0 ,1 6 [. Противоречит лиэ т о т е о р е м е Р о л л я ?А Нет, так как в точке х = 8 интервала ]0,1G[ производная не существует,и условия теоремы Ролля нарушены. ▲9 9 9 . П о к а з а т ь , ч т о п р о и з в о д н а я м н о г о ч л е н а f ( х ) = х 3 — х 2 — х -\ -1имеет действительный корень в интервале ]— 1 , 1[.

д Найдем корни данного многочлена: л:3— х2 — х -\-1 = 0 или (х— У)2(л:+ 1)= 0,т е. х\ = х2 = 1 ,л*з = — 1.Так как f (— 1)= / (1)=0, то по теореме Ролля Г Wимеет корень в интервале ]— 1, 1[.Найдем корни производной: (х) = Зха — 2х —一 1= 0,т. е. Хі = — 1/3, х2 = \. Таким образом, между корнями функции — 1 и Iсодержится корень производной, равный — 1/3. ▲1000. На дуге AB кривой у = 2х— х2 найти точку М у в которойкасательная параллельна хорде AB, если А ( 1;1)и В (3; 一 3).Д Функция у — 2х— x2 непрерывна и дифференцируема при всех значениях х.По теореме Лагранжа между двумя значениями а = 1 и Ь = 3 существует значениех = іу удовлетворяющее равенству у (Ь)— у (а) = (b — à) у' (g), где y f = 2 — 2х.Подставив соответствующие значения, получим у (3) — у (1 )= (3 — 1)у' (J);(2.3— З2) — (2.1— 12) = (3— 1)• (2—2ミ); —4 = 4(1— . Отсюда ^ = 2, у (2) = 0.Таким образом, точка М имеет координаты (2; 0). ▲1001. На дуге AB кривой, заданной параметрическими уравнениямих = = ^ у у = Р ' найти точку М , в которой касательная параллельнахорде AB, если точкам А и В соответствуют значения t = 1и t = 3.Д Угловой коэффициент хорды AB равен — ,а угловой коэ 中 фицнентx (о) — дг (1 jкасательной в точке М (при / = равен " ;マ^ ~, где x\ = 2 ty = 3t2.x t ( ь )Для определения § по теореме Коши получаем уравнение^ / ( З ) - ^ ( І ) У і (^) ТТГІП 2 7 -1 ЗР 13 3 tт. е. § = 13,6. Найденное значение | удовлетворяет неравенству 1 < | < 3.Пс-дставив значение ^ ^ в параметрические уравнения кривой, получаемх = 169,36, " = 2197/216. Итак, искомая точка М (169/36; 2197/216). ▲1 0 0 2 . П р е д с т а в и т ь ф у н к ц и ю f ( х ) = \ / х в в и д е м н о г о ч л е н а п я т о йстепени относительно двучлена х — 1.Д Вычислим значения функции / (д^) = х 1^3 и ее производных до пятогопорядка включительно при а = 1:/ ( 1 ) = 1 , 厂 (ぶ)= (1/3) л:"*2,3, f r (1)= 1 /3 ; Г (л*)=■= — ( 2 / 9 ) д Г 5 / 3 , Г ⑴ = 一 2 / 9 ; Г (л:) = ( 1 0 / 2 7 ) л Г 8 / 3 , f , " ( 1 ) = Ю / 2 7 ; / ІѴ ( х ) =( 8 0 / 8 1 ) д; 一 1 1 / 3 , / І Ѵ ( 1 ) = — 8 0 / 8 1 ; /ѵ (л:) = ( 8 8 0 / 2 4 3 ) д:- 1 4 / 3 , / ѵ ( 1 ) = 8 8 0 / 2 4 3 .Следовательно, по формуле Тейлора получимV %= 1 + マ (ズ 一 1)— 。. 之 !(х — 1)2+ 27-3!(ズ— り3г _ 8Г4Г (Х~ 1)4 + Ш ^ Г ( ^ - 5)5 + ^5,где1 < レ ズ . ▲1 0 0 3 . П р е д с т а в и т ь ф у н к ц и ю f ( х ) = а х ( а > 0 ) в ивд е м н о г о ч л е н ат р е т ь е й с т е п е н и о т н о с и т е л ь н о х .А Имеемf( x ) = a xt / ( 0) = 1,У (дг) = а х I n а , У ( 0 ) = I n а ,Г (х )= а ^ 1 п 2а, Г (0 ) = 1п2 а,f f , f ( x ) = a x \ n 3 a t f , , f ( 0 ) = l n 3 а уf 1' (x) = ax ln4 a,f lv (Ox)= ln4 a*aQx>1C9

П о формуле М аклорена получаемa X = l + x l n a + ^ f i + xl ^ . + R 3 iгде R3= X ^ а a Qxt 0 < Ѳ < 1 . ▲1 0 0 4 . В ы ч и с л и т ь с т о ч н о с т ь юд о 1 0 ' 3 п р и б л и ж е н н о е з н а ч е н и еА Представим заданный корень так:пользуемся биномиальным разложением( l + x ) m = l + - x + 1 L S ^ l x , + . . ,Отсюда получаем приближенное равенствоД/ЗѴ / 2 9 = > / 2 7 + 2 = 3 ^ 1 + ^; ^ ( 爪 — 1) . . . \tTL — TI —|—1]хП 十 R n *d + _ « • • •+' 中 - 〗).ナ ― d が,n iВ о е -погрешность которогоR n ^ J ! ! L - ^ - ^ х п + 1 { 1 + Ө х ) т - п ^может быть сделана как угодно малой при | ズ| < 1 и при достаточно большом п.Полагая х = 2/27 и т = 1/3, получимз / ^ _ о Л , 2 2 - 2 , 2 . 2 . 2 . 5 2 5 . 5 , , п 、У 2 9 — 0 8 T 8 Î ~ i 8 F + •Оценивая величины последовательных ошибок вычисления 3 |[, находим3 I < ^ < 0,002, 3 I 込 I く - - g ^ 3— 5 < 0,0003.Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять тричлена, которые предшествуют остатку R2i т. е. \ / 29 » 3(1+0,024—0,0006)=1005. Вычислить V e z точностью до 0,0001.Д Воспользуемся формулой Маклорена для функции ех:一 і + 吾 + Ў + . . . + 5 ■ 十 ‘где Rn = -/ 一 ~• ; 、,xn+1y 0 < Ѳ < 1 . Полагая ズ= 1/2, полѵчаем( n + 1 ) !==1+'27Ц ~ ^ 22.2! + k3.3 !+ " .+ 2 « ./z ! + ^ n tГДе A ^ + W + l ) ! ’ 0 < 0 < hß l / 2 , .Так как 0 < Ѳ < 1 , 2 < e < 3, то rRn < 0п + 1 り j • Но е1/2 く 2, поэтомуRn < 之 ,,(ン+ j y i • Требуется определить п так, чтобы выполнялось неравенствоR n < 0,0001.170

Если п = 3 , то尺 3 く 8^24 ; 尺 3 く 面 ’1» /2=4, » Ra < іб . 120, 尺 4 < т ^» п = 5, » Rb く 32-1720’Rb < 0 ,0001.Для определения V~e с точностью до 0,0001 получаемравенство■yf 一 丨 1 , 1 , 1V ß Ä 1- ト 1 卜 11 2 1 22.2! 1 23.3! ' 24.4 丨 1 25.5「Произведем суммирование, обратив все слагаемые десятичные дроби с однимлишним (запасным) знаком. В результате получим У е 1,6487. ▲1006. Дана ф ункция f ( х ) у непрерывная вместе со своими производнымидо ( п — 1)-го порядка включительно на отрезке [ а , Ь ] ии м е ю щ а я п р о и з в о д н у ю п - г о п о р я д к а в и н т е р в а л е ] а , Ь [ у п р и ч е м д л яэ т о й ф у н к ц и и в ы п о л н я ю т с я р а в е н с т в а f (ä) = f = f (ズ2) =•••=== f ( х п _ г) = / ( & ) , г д е а < х і < х 2 < . . . < < b . Д о к а з а т ь , ч т о ви н т е р в а л е ] а у Ь [ н а й д е т с я п о к р а й н е й м е р е о д н а т а к а я т о ч к а Н ,д л я к о т о р о й / ( я ) ( I ) = 0 .1 0 0 7 . Р а с с м о т р е т ь ч а с т н ы й с л у ч а й п р е д ы д у щ е й з а д а ч и , е с л иf (х) = (х— 1 )(jc 一 2) (x— 3) (x— 4), а = 1 , x1= 2, x2= 3, b = 4. Определить1 0 0 8 . П р е д с т а в и т ь в в и д е м н о г о ч л е н а т р е т ь е й с т е п е н и о т н о с и ­т е л ь н о x — х 0 ( х 0 Ф 0 ) ф у н к ц и ю 1 / х .1 0 0 9 . В к а к о й т о ч к е д у г и A B к р и в о й y = x z — 3,ѵ к а с а т е л ь н а япараллельна хорде А В У если А (0; 0), В (3;18)?В ы ч и с л и т ь с т о ч н о с т ь ю д о 1 0 ~ 3 І1010. cos 41°. 1 0 1 1 .у ш .1012. У~ё. 1013. У Ш . 1014. sin 36°.2. Правило J1 опита л я раскрытия неопределенностей. Пусть в некоторойокрестности точки х0 (кроме, быть может, самой точки дг0) функции f (х) и ф (ズ)ди 中 ференцируемы и (х) Ф 0. Если lim / (х)= lim ф (д:) = 0 или lim f (x) =X-^-Xq x -*- Xо л• 一 >ズ0= lim ф (д:) = оо, т. е. частное / М/ф W в точке х = х 0 представляет собой неоп-ДГ~>"ЛГореде лен ность вида 0/0 или оо/оо, тоесли предел в правой части этого равенства существует.Если частное f f (х)/(рг (х) в точке х = х0 также есть неопределенность вида 0/0или оо/оо и производные f, (л:) и q/ (д:) удовлетворяют соответствующим условиям,то следует перейти к отношению вторых производных и т. д.В случае неопределенности вида 0- оо или оо 一 оо следует алгебраически преобразоватьданную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида 0/0или оо/оо и далее воспользоваться правилом Лопиталя.В случае неопределенности вида 0° или оо° или 1°° следует прологарифмироватьданную функцию и найти предел ее логарифма.171

Найти следующие пределы:1015. lim パ ー 丨 + 1п\i е Х ~ еД Числитель и знаменатель стремится к нулю при х 1 , а потому имеемнеопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя, т. е. рассмотримпредел отношения производных заданных функций:1016. limx — sin xlim î ! z d ± l H = lim 2лг + 1/^_3_ех 一 е ズ— i ex▲Д Это — неопределенность вида 0/0. Имеемlim ^ sinf = lim lim sin ^x3 л:-> о За:2 а- -> о 6a; 6так как lim SÎn - = 1. Здесь правило Лопиталя применено дважды.л*-> о xүП1017. lim если п — целое положительное число.л;-> 00Д Это— 一 неопределенность вида оо/оо. Применим правило Лопиталя Ло】 п раз:lim ! = lim 夂 = lim "('づ )す 2= … = lim H ) —- 厂 生 ''し0 . ▲1018. lim .Д В данном случае также имеет место неопределенность вида с о /х . Находимѵ л ^/21+t ) _ 如 " 2( 2+ 音 ).l i m --------= = lim -------^--------- L=z lim>x-{-ex л:-> » 1-\-ex л;-> о. ex1019. l i m ( x 2 l n л :).x — 0= 4 Л " 1» ^ 7 Г - = Т , 1і т » ö ' / 2 ) /^ = 0 - ▲А Здесь мы имеем неопределенность вида 0- оо. Представим произведениефункций в виде частного, а затем, получив неоп редел ен нссть вида о с /х , применимправило Лопиталя:lim (д:21пл:)= lim І £ 4 = l i m 」 在 マ= — 丄 lim д:2 = 0 ▲х-^ 0 0 \/Х2 лс-> О 一 2/JC3 2 о1020. lim1ех •Это — неопределенность вида оо — со. Для того чтобы найти предел функции,приведем дроои к общему знаменателю, з затем, получив неопределенностьвида 0/0, применим правило Лопиталя:172lim ダ 一 1—_ズ= lim _ fV —1_ ニlim eXx-^o x(ex— ]) л:-> о ex — 1-\-xex x-*- о ex (2 + л:) =

1021. l i m ( s i n л :) 'л: -> 0д Это — неопределенность вида 0°. Обозначим данную функцию через у, т. е.г/ = (sin д:)^, и прологарифмируем ее:, , ln sin xln и = х ln sin x = ^ —— •vВычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесьимеем неопределенность вида оо/оо):ln sin x 1;_ cos x/sin xlim ln y = lim;limx о л* -> оx — 0l i m ^ C O S ^sin XСледовательно, lim у = e ° = \. ▲je— о1/jclim X-*COS X --у и прологариф-1022. l i m ( t g x ) 2C0S^ .Х -^ Я/2Д Это — неопределенность вида oo°. Положим (tg x)мируем:In у = 2 cos хЛп tg x2 In t g xl/COSJCПрименяя правило Лопиталя, получимlimX - ^ - n / 2\ ! х 2xsin Xlim \п у = 2 1,ш ІИ ІМ = 2 lim -sec4 離Xて — n/2 S6C X Л sec x tg xsec x=2 一 lirn _ 2 lim secパ gY : lim cos x =X — л/2 tg2 X x — Л/2 2 tgA :sec2 X X JT/2y = e ^ = \. ▲1 0 2 3 . l i m ( l + x ) Injf.Д Это — неопределенность видаталя, получим'Логарифмируя и применяя правило Лопи-lim \ п у = lim (ln x In (1+ Д :) ) = lim 】n ( ' + ズ)' x-*- 0 x -*■0 x -*■o 1/ln XТаким образом,1/(1+ズ)limо — \i(x ln2 x ) —lim у = e°=\. Дlim X ln 2 Xx - \- 1ln X= _ lim (21" ヤ = =2 limл:-> 0 \/X,ЗЛГ— 3 ぶ 一 1lim 1 п 2 л*:0,\/X2 lim —ір - ғ = 0.0 — 1/ズН а й т и п р е д е л ы с л е д у ю щ и х ф у н к ц и й :Неопр е д е л е н н о с т ь вида 0 / 0 .1 0 一д;3 — 3ズ2 + 2ех _ е-хП ш ^ х 3 _ 4 д ; 2 + з1 0 2 5 . І ішх-*-0「п ( 1 + а 0 *1 0 2 6 .я — 2 a r c t g x2 — (ех -{-е~х) cos хlim1 0 2 7 . l i mЛ.—► оо е3/х- 1Х-^ 01028. l i m 、. . 2 г •ズ— о s i n 2 5л*Неоп ределенность вида1 0 2 9 . l i mл* —► 0/ о о .sin Зд:—^хех + Зх21 0 3 0 . Н шх ^ а \ п ( е ^ — е а )1 0 3 1 . ІІШl n x~ х ^173

1 0 3 3 . l i m l g! nx/2) • 1 0 3 4 .• 1ln (1— x)1 і т Ы 'Ү _ ПCtg ЛХНеопределенность вида 0* оо.1035. lim ( ^ c tg nx). 1036. l i m ( a r c s in л :• c t g x ) .1 0 3 7 . l i m ( 1 一 c o s л :) - c t g x .x - ^ 0Неопределенность вида оо — оо.1 0 3 8 . l i m f - i - - ' ) . 1 0 3 9 .1 1 І П Й:ノ1040. lim ( —ctg2x ) .lim1い—XP1—パノНеопределенности вида1 0 4 1 . l i m (n — 2x)cosx.X-^ п/21 0 4 3 . l i m (х-{-2хү іх.0 °, оо», Г .1 0 4 2 . l i m (cos 2か / へ1 0 4 4 . l i m ( {Ä 1 \ ,X\3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Функция f (х) называетсявозрастающей в точке х0і если при любом достаточно малом h > 0 выполняетсяусловие f(x0—h) く / ( ズ。)< f( x 0-\-h) (рис. 29).Функция f (х) называется убывающей в точкех0і если при любом достаточномалом h > 0 выполняется условие / (х0— Һ) > /:(ズо) ( і0) > /(ズо f(x0-{-h) + " ) (рис. 30) 八Функция / (х) называется возрастающей в интервале ja, b[y если для любыхдвух точек х і и х2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству Xi < x2tвыполняется неравенство f (хг) < f (х2).Функция /■(х) называется убывающей в интервале ]а, Ь[, если для любыхточек Хі и х і из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству Хі く ,л:2,выполняется неравенство f (х{) > f (х2).Признаки возрастания и убывания функции.1) Если f, (jc0) > 0,то функция f (х) возрастает в точке х0.2) Если f , レо) < 0,то функция / (д:) убывает в точке х0.Значение f (х0) называется максимумом функции / (д:), если при любом лостаточно малом /і > 0 выполняются условия f (х0—Һ) < f (д:0) и / (л:0 + /і) < / (xQ)Точка х0 называется в этом случае точкой максимума функции f (х) (рис. 31)Значение / (д:0) называется минимумом функции f (х),если при любом достаточно малом h > 0 выполняются условия f (х0—Һ) > f (х0) и / (ぶо + 々) > / (ズо>Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции f (д:) (рис. 32)Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Гочкамаксимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.Необходимое условие экстремума. Если функция / (х) в точке х0имеет экстремум, т о производная 厂 (ぷ0) обращается в нуль или не существует.174

Точ«а х0, в которой f r (х0) = 0, называется стационарной точкой. Точки,в которых / г, (л:) = 0 или / / (х) не существует, называются критическими точками.Не всякая критическая точка является точкой экстремума.ÇC0 - n х 0 ; + / 7Рис. 31f(x0+h]^ o ~ h X o «r0+/7 o:Рис. 32Достаточные усл'овия экстремума.Правило 1. Если х0— критическая тонка функций f (д:) и при произвольномдостаточно малом h > 0 выполняются неравенства f f (х0— Һ) > 0,/' (х^ + h) < 0 ,то функция f (х) в точке х0 имеет максимум', если же (ズ0—h) < 0, f f (ズ0 -{-h) > 0,то функция f (х) в точке х0 имеет минимум.Если знаки f r (х0 一 h) и f r (х0-\-h) одинаковы, то функция f (х) в точкеэкстремума не имеет.Правило 2. Если ] ' (jc0) = 0 , (ズ0) ф 0,то функция f (х) в точке х0 имеетэкстремум, а именно максимум, если /〃(ズ0) < 0, и минимум;если f " (ズ0) > 0.Правило 3. Пусть f r (х0) = 0 , Г (х0) = 0, /(«-D (х0) = 0, / (п) (д:0) Ф 0.В этом случае функция f (х) имеет в точке х0 экстремум, если п 一 четное числоуа именно, максимум при /(⑴(ズ0) < 0 и минимум при f(n) (х0) > 0. Если же п 一нечетное число, то функция f (х) в точке х0 экстремума не имеет.Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции f (д:) на отрезке[а, 6] нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках,принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее).1045. Д а ны точки ズ= 3 , х — І у х = — 1,л: = 0,5. В ка ки х из перечисленныхточек ф ункция у — х 3 — З х 2 возрастает? Убывает?Д Найдем производную у’ = 2>х2 — 6х. Имеем:если х = 3у то уг = 9 > 0------функция возрастает;х = 1 » уг —— 3 < 0 — » убывает;х = 一 1 » グ = 9 > 0 — 》 возрастает;ズ= 0 ,5 » ゲ = — 2 , 2 5 < 0 — » у б ы в а е т . ▲1046. Найти интервалы возрастания и убывания функции у == х(1 + V х).Д Находим ^ = 1 + (3/2) x 1 Z2. Так как производная положительна в промежутке[0, + о о [,то функция возрастает во всей области определения. ▲1 0 4 7 . Н а и т и и н т е р в а л ы в о з р а с т а н и я и у б ы в а н и я ф у н к ц и и у == x — 2 s i n Ху е с л и 0 ^ х ^ 2 я .Д Найдем производную: уг = 1 — 2 cos х. Очевидно, что уг > 0 ъ интервале]я/3, 5л/3[ и ゲ < 0 в интервалах ]0, я/3[ и ]5л/3, 2л[. Таким образом, в интервале]л/3, 5л/3[ данная функция возрастает, а в интервалах ]0, л/3[ и ]5л/3, 2л[—убывает. ▲1 0 4 8 . И с с л е д о в а т ь н а э к с т р е м у м ф у н к ц и ю у = ( х — 5 ) е х .Д Находим производную: у' = (х— 4) ех . Приравниваем ее нулю и находимстационарную точку: ех (;с—4) = 0, д: = 4; у ' (4—Һ) = 一 һе^~һ < 0, у' (4 + /і) == һ е '^ һ > 0. Согласно правилу 1 заключаем, что в точке д: = 4 функция имеетминимум і/тіп = — е4. ▲175

1049. Исследовать на экстремум функцию у = ху 1 — х2.Д Функция определена при — 1く ズく 1 . Найдем производную: уг == ( 1— 2х2) / У 1— х2у ゲ = 0 при 1— 2л:2 = 0; отсюда хг = — \ / У 2, х2 = \ / Ѵ 2(стационарные точки); уг = оо при х = ± 1, т. е. на границах области определенияфункции.Найдем вторую производную: у" = х (2х2— 3)/(1— х2) 3^2. Вычислим значениявторой производной в стационарных точках. При х = \ / У 2 имеемУ " (1 / Ѵ ^ ) = -ѵ —ト (1—3)~ < о;Ÿ 2(1 — 1/2) 3/2следовательно, согласно правилу 2 заключаем, что в точке х = \ /У 2 функцияимеет максимум (/max = (l /У~ 2)У~ 1/2 = 1 /2 . При х = — 1/ド 2 получимУ " ( - 1 / ^ 2 ) = 一 ~ 广 1—3 ) > 0,Ÿ 2(1 — 1/2) 3/2т. е. в точке х = — \ ! Y 2 функция имеет минимум ут \п = — 1/2.В критических точках х = ± 1 экстремума нет, так как по определению точкамиэкстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функции.▲1050. Исследовать на экстремум ф ункцию у = ( х — I)4.Д Найдем производную: уг = 4 (х— I)3; (х— 1)3 = 0; х = 1— стационарнаяточка. Вторая производная у” = 1 2 — I )2 при х = 1 равна нулю. Третья производнаяу ,п = 2 4 (х—1)при х = 1 также обращается в нуль. Четвертая производнаяг/ІѴ = 24 > 0. Следовательно, согласно правилу 3 заключаем, что в точкех = 1 функция имеет минимум ут \п = 0. ▲1051. И с с л е д о в а т ь н а э к с т р е м у м ф у н к ц и ю у = 1 — ( х — 2 ) 4/54Д Находим yf = 一 (x_ 2 ) —1/5 = 一 产 5 , ^ . Производная не обращаетсяу Г х — 2в нѵль ни при каких значениях д: и не существует лишь при х = 2 (критическаяточка).Так как при достаточно малом /г > 0 выполняются неравенства у, (2— Һ) > 0и у, (2+ /г) < 0, то согласно правилу 1 заключаем, что при х = 2 функция имеетмаксимум Ута\ = 1 - ▲1 0 5 2 . И с с л е д о в а т ь н а э к с т р е м у м ф у н к ц и ю у = ( х — 2 ) 2/3 ( 2 ズ+ 1).Д Находим у '= - ^ • 一 -; 一 . Критические точки х = 1 (производная равна0 у x — 2нулю) и :: = 2 (производная не существует). При достаточно малом h > 0 выполняютсянеравенства ゲ (1 一 h) > 0,у , (1 十 A) < 0, ; yf (2 — h) < 0, y r (2 + Л ) > 0.Следовательно, в точке x = 1 функция имеет максимум r/max = 3, а в точкех = 2— минимум ут \п = 0. ▲1 0 5 3 . Н а й т и н а и б о л ь ш е е и н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и я ф у н к ц и и / ( л : ) == З л : — x 3 н а о т р е з к е [ — 2 , 3 ] .Д Находим производную: / ' ( ズ)= 3 — Зх2\ 3— Зхл = 0, т. e. х = ± 1— стационарныеточки. Определяем значения функции в этих точках: / (1 )= 2 , / ( 一 1)= —2.Вычисляем значения данной функции на границах промежутка: / (—2) = 2,f (3 ) = — 18. Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее.Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшееравно— 18. ▲176

1 0 5 4 . Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объемпри данной полной поверхности S.Д Пусть радиус основания цилиндра равен х, а высота равна у. Тогда5 = 2л ^ + 2^ , т . е.Следовательно, объем цилиндра выразится так:V = Ѵ {х) = лх2 • ( 善 — 2 ю с ) = 鲁 ズ — ях3.Задача сводится к исследованию функции V (х) на максимум при д: > 0.Найдем производную — = — Зпх2 и приравняем ее нулю, откуда х :Найдем вторую производную:2- = — бях. Так как при х = У S (6л) вы-полняется условиеd2 V0- < 0,то объем имеет наибольшее значение, причем顾 ま ’т. е. осевое сечение цилиндра должно быть квадратом. ▲Найти интервалы возрастания и убывания функций:1055. у = 2 — Зх + л:3. 1056. у = (х2— 1)3/2.1057. у = хе~х. 1058. у = (2— х) (х + 1 )2.Найти экстремумы функций:1 0 5 9 . у = х2 ( 1 — х Ѵ х ) . 1 0 6 0 . у ^ х -г -Ѵ ^ З — х . 1 0 6 1 . " = ln ( х 2 + 1 ) .1 0 6 2 . г/ = сһ2л:. 1 0 6 3 . У = - ў ~ - 1 0 6 4 . y = x e - x2J2.1065. у = (х— I) 6/7. 1066. у = (2х— 1 )У (х — ЗуК1067. у = хА— 4ズ3+ 6ズ2— 4 х . 1068. у = х — 2 sin2д:.1069. у = е г ' ъ sinズ.1070. Найти наименьшее и наибольшее значения функцииу = х^— 2х2+ 3 на отрезке [ _ 3 , 2].1 0 7 1 . Н а о с и О у н а й т и т о ч к у , и з к о т о р о й о т р е з о к A B в и д е н п о дн а и б о л ь ш и м у г л о м , е с л и А ( 2 ; 0 ) , В ( 8 ; 0 ) .1072. Пункт В находится на расстоянии 60 км от железной дороги.Расстояние по железной дороге от пункта А до ближайшейк пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстояниио т т о ч к и С н а д о п о с т р о и т ь с т а н ц и ю , ч т о б ы з а т р а ч и в а т ь н а и м е н ь ш е евремя на передвижение между пунктами Л и 5 , если скорость движенияпо железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движенияпо шоссе равна 20 км/ч?1 0 7 3 . Н а й т и с т о р о н ы п р я м о у г о л ь н и к а н а и б о л ь ш е й п л о щ а д и ,к о т о р ы й м о ж н о в п и с а т ь в э л л и п с х 2 / 2 Ь + у 2 /9 = 1.1074. Проволока длиною I согнута в прямоугольник. Каковыр а з м е р ы э т о г о п р я м о у г о л ь н и к а , е с л и е г о п л о щ а д ь н а и б о л ь ш а я ?1 7 7

1 0 7 5 . Н а й т и н а и б о л ь ш и й о б ъ е м к о н у с а , о б р а з у ю щ а я к о т о р о г ор а в н а I .1 0 7 6 . Н а й т и н а и б о л ь ш и й о б ъ е м ц и л и н д р а , у к о т о р о г о п о л н а яп о в е р х н о с т ь р а в н а S .1 0 7 7 . Т у р и с т и д е т и з п у н к т а А у н а х о д я щ е г о с я н а ш о с с е й н о йд о р о г е , в п у н к т В , р а с п о л о ж е н н ы й в 8 к м о т ш о с с е . Р а с с т о я н и еот Л до ß по прямой составляет 17 км. В каком месте туристус л е д у е т с в е р н у т ь с ш о с с е , ч т о б ы в к р а т ч а й ш е е в р е м я п р и й т ив п у н к т В , е с л и с к о р о с т ь е г о п о ш о с с е 5 к м / ч , а п о б е з д о р о ж ь ю3 к м / ч ?1 0 7 8 . К а н а л , ш и р и н а к о т о р о г о 2 7 м , п о д п р я м ы м у г л о м в п а д а е тв д р у г о й к а н а л ш и р и н о ю 6 4 м . К а к о в а н а и б о л ь ш а я д л и н а б р е в е н ,к о т о р ы е м о ж н о с п л а в л я т ь п о э т о й с и с т е м е к а н а л о в ?1079. Н а к а к о й в ы с о т е н а д ц е н т р о м к р у г л о г о с т о л а р а д и у с а ас л е д у е т п о м е с т и т ь э л е к т р и ч е с к у ю л а м п о ч к у , ч т о б ы о с в е щ е н н о с т ьк р а я с т о л а б ы л а н а и б о л ь ш е й ?% Яркость освещения выражается формулой I = (k sin ф)/г2, где ф — уголнаклона лучей, г — расстояние источника света от освещаемой площадки, k —силаисточника света.4. Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба. Г рафик функции у = f (х) называетсявыпуклым в интервале ]ау Ь[, если он расположен ниже касательной, проведеннойв любой точке этого интервала (рис. 33).Рис. 33 Рис. 34Гра 中 ик 中 ункции у = f (х) называется вогнутым в интервале ]а, Ь[, если онрасположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 34).Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графикафункции. JZили Если f" I (х) < 0 в интервале ]а, Ь[, т о график функции являетсявыпуклым в этом интервале' если же 广 ,(д:) > 0, тов интервале ]а, Ь[ график функции— вогнутый.Точка (л:0 ; f (х0)) графика функции, отделяющаяего выпуклую часть от вогнутой, называется точкойперегиба (рис. 35).Если х0 — абсцисса точки перегиба графика функцииy = f (х), то вторая производная равна нулю илине существует. Точки, в доторых (х) = 0 или 广 (ズ)Рис. 35не существует, называются критическими точками IIрода.Если х0 — критическая точка I I рода и при произвольном достаточно маломh > 0 выполняются неравенства f" (х0 一 h) < 0, Г (x0-\-h) > 0 (или неравенстваf" (Xq— h) > 0, f ,f (х0 + h) く 0), то точка кривой y = f (х) с абсциссой х0 являетсяточкой перегиба.Если же f ” (х0— Һ) и Г (х0 + ^1) имеют одинаковые знаки, то точка кривойy = f (х) с абсциссой х0 точкой перегиба не является.1 0 8 0 . Н а й т и п р о м е ж у т к и в ы п у к л о с т и и в о г н у т о с т и г р а ф и к а ф у н к ­ц и и у = х ъ - \ - Ъ х — 6 .178

么 Имеем уг = 5л:4 + 5, yn = 20л:3. Если x < 0, то ゾ く 0 и кривая выпукла;если же ズ> 0,то ダ' > 0 и кривая вогнута. Итак, кривая выпукла в промежутке]— оо, 0[ и вогнута в промежутке ]0, + °°[- ▲1 0 8 1 . Н а й т и э к с т р е м у м ы ф у н к ц и и у -•: ( ズ+ 1 ) 2 (ズ 一 2 ) и т о ч к и п е -р е г и б а е е г р а ф и к а .А Найдем первую производную: yr (х2— 1 ) . Корни первой производной:Хі = — 1,х2 = \. Найдем вторую производную: у" = 6х. Вычислим значения второйпроизводной в 'стационарных точках: у (— 1) = 一 6 < 0, т. e. утах = 0; ダ' (1) == 6 〉 0,Т. в. ï/rnin == 4.Найдем точку перегиба, для чего вторую производную приравняем нулю:бл: = 0, т. е. х = 0. Слева от точки х = 0 имеем у" (0— Һ) < 0 — кривая выпукла,а справа от точки х = 0 имеем y,f (0- f /і) > 0 — кривая вогнута; следовательно,точка с абсциссой ズ= 0 является точкой перегиба; t/T пер = — 2. А,1 0 8 2 . Н а й т и т о ч к и п е р е г и б а к р и в о й у = ( х — 5 ) 5 /3 + 2 .Д Находим グ(л:— 5)2/3, у”:1 0Вторая производная не обращаетсяв нуль ни при каких значениях ぶ и не существует в точке х = Б. Значениех = Ъ является абсциссой точки перегиба, так как у" (5— Һ) < 0,у" (5-|-Һ) > 0.Таким образом, (5; 2) — точка перегиба. ▲1083. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой у = хех.1084. Найти точки перегиба кривой у = {х— 4)5+ 4;с + 4.1 0 8 5 . Н а й т и т о ч к и п е р е г и б а к р и в о й у = ( х — 1 ) [ / ( х — I ) 6.1086. Найти точки перегиба кривой у = х ^ — 8ズ3 + 24ズ2.5. Асимптоты. Прямая L называется асимптотой кривой y = f (х)у если расстояниеточки М (х\ у) кривой от прямой L стремится к нулю при неограниченномудалении этой точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлениихотя бы одной из координат точки к бесконечности).Прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой у = f (х)、еслиlim f = оо или ] іт ] (д:)= — оо.x a x -*■ аПрямая у = Ь является горизонтальной асимптотой кривой у == f (х) ,еслисуществует предел lim f (x) = b или lim / (x )= b .Л: + СО ズー► 一 00Прямая y = kx-\-b является наклонной асимптотой кривой у = [ (х)^ еслисуществуют пределыk = l i mァ⑷ b ~ lim[/ ( x ) — k x ]илиlim / W A;lim[/(ズ) 一 々ぶ].1 0 8 7 . Н а й т и а с и м п т о т ы к р и в о й у = Ѵ х 3 / ( х — 2 ) .А Функция определена в интервалах ] — оо, 0[ и ]2, + о о [. Так какlim У 'х 3/(х — 2) = + оо, то прямая х = 2 является вертикальной асимптотойл:-> 2 + окривой.Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как lim \ г л;3;(х — 2)___ _ x -*■ + соlim У х ^ ( х - 2 ) не являются конечными величинами.179

Определим, существуют ли наклонные асимптоты. Находим:x1) k i = lim lim Ÿ хл — lim+ сс Л X-*- + СО X x-*--i-cc f X — 一 -с= lim і / ___ 一 — i+ « Г 1— 2/л: ’x 3bi = lim [/(ズ) 一 k±x]= limА* -> + оо д : ->• + oo ^ Y X — 2 .ノlim ロ )= lim - ネ _ ^ ± 2Lx —>■+ со x — 2 x ->■ + со y/~x — 2 ( x + x — 2)= limx -Ѵ 1- т \ 1+91 —XТаким образом, существует правая наклонная асимптота у = х - \ - 1;2 ) lirn 出 = lim lim ド W 一 2!, - ぶ r — 一 с» 又(разделили числитель и знаменатель на положительную величину 一 х),k 2 = - J ^ У ロ 瓦 一 1 ’Ь2= lim U (x )~ k 2 x ] = lim ( 1/ + xX — — со A: — со \ ' x ム /| / 2 ^ сlim し — lim バ ー ト 叫 )л• 一 一 с» У 2 — x x ^ У ^ 2 一 x ( У — Д Г + Y 2 — x )Итак, существует левая наклонная асимптота у = — х — 1 (рис. 36). ▲1088. Найти асимптоты кривой y = x + 2arctg х.Д Нетрудно видеть, что вертикальных игоризонтальных асимптот кривая не имеет. Ищемнаклонные асимптоты:л: + 2 arctg ズ1) kx= limxJim ( 1-|2 arctg x \xЬг = lim (x-{-2 arctg x 一 дг) = 2 (я/2) = я;л:-> + СО-х-{-тс 一 правая наклонная асимптота;2) k2^-= limx -дг + 2 a r c t g xxlim Г і + - аГ-С-е— U l .•—CDl i m (,v + 2 a r c t g x — дг) = 2 ( — я / 2 ) = — тг;y = x 一 n — левая наклонная асимптота. ▲

1 0 8 9 . Н а й т и а с и м п т о т ы к р и в о й у = х 2 е ~ х .Д Очевидно, вертикальных асимптот нет. Если x ~ ѵ оо, то у ~ у 0. Следовательно,ось Ох является горизонтальной асимптотой данной кривой. Определим,существует ли наклонная асимптота:k = ノ, ギ = lim А = 0.Таким образом, имеется только горизонтальная асимптота у — 0. ▲1 0 9 0 . Н а й т и а с и м п т о т ы к р и в о й у = х 入 ■ 丄 3 •Д Если x — 2, то у ~~>-оо, т. е . ズ= 一 2 — вертикальная асимптота.Вайдем невертикальные асимптоты:ズ2 — 2 а:+ 3= 1іт - х ( х л Г 2 ) Ь = 1ітЛ:-> со л ѴЛ i ズー>сс4 -Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у = х — 4. ▲Найти асимптоты кривых:1091. у = 2 х - ^ ^ - . 1092. у = — _ 3 х . 1093. у = у х3~ 6 х \1 0 9 4 . і / = 0 ,5 а : + a r c t g л:. 1 0 9 5 . у = — л: a r c t g х .6. Построение графиков функции по характерным точкам. При построенииграфика функции у = f 、х) полезно выяснить его характерные особенности. Дляэтого надо:1) найти область определения функции;2) исследовать функцию на четность и нечетность;3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;4) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если онисуществуют) и установить характер разрыва; найти асимптоты кривой у = f (л:) ;5) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;6) найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.1 0 9 6 . П о с т р о и т ь г р а ф и к ф у н к ц и и у = — ^ — .А 0 Область определения функции — вся ось Ох, за исключением точки д: = 0,т. e. D (у) = ] — оо, 0[U] 0, +оо[.2) Функция не является четной или нечетной.ѵ3 I А3) Найдем точки пересечения графика с осью Ох, имеем -~ = 0; х = — シ 4.4) Точка разрыва л: = 0, причем lim у = оо; следовательно, х = 0 (ось О у) яв-ляется вертикальной асимптотой графика.Найдем наклонные асимптоты:Xоb =lim [/ (x) 一 kx] = lim ( ------lim - ^ - = 0.Наклонная асимптота имеет уравнение у=х.5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. ИмеемУг = \ — 8/л:3 = (л:3 — 8)/дс3; уг = 0 при х = 2; уг = сс при ズ= 0 (точка разрыва функции).Точки л, = 0 и х = 2 разбивают числовую ось на промежутки ]— со; 0[,181

jö, 2[ и ]2, +oo[, причем ゲ > 0 в промежутках ] 一 оо, 0[ и ] 2, +оо[ (функциявозрастает) и ゲく 0 в промежутке ] 0, 2[ (функция убывает).Далее, находим у г' = 24/х4; у " (2) > 0,' следовательно, х — 2 —точка минимума;Ут\п 6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутостикривой и точки ее перегиба, Так каку” > 0,то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.Используя полученные данные, строим график функции (рис. 37). ▲1 0 9 7 . П о с т р о и т ь г р а ф и к ф у н к ц и и у = Y 1 一 x 3 .Д 1 ) Область определения—вся ось Ох, т.е. D (у) = ] — оо,-f-oo[.2) Функция не является четной или нечетной.3) Точки пересечения с осями координат: если лг = 0, то у = 1; если ダ= 0, то1.4) Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. Имеем:lim V -Л:3- 1;- 0 .Итак, наклонная асимптота у = — х.5) Находим у г= 一 х 2 І \ / (1 一 д:3)2; ゲ = 0 при л: = 0 ;ゲ= оо при х = 1 .В окрестностикритических точек производная не меняет знака, экстремумов нет. Гак какy f < 0 при всех л: ÿé 0, то функция убывает на всей числовой оси.6) Находим у" ==^—2 х і\/ (1—л:3)5; yf,= 0 при х = 0 \ у"=оо при х=[\ у" (-Һ ) > 0;t/r (h) < 0 , , ( 1— h) < 0;у " ( 1-\-h) > 0. Следовательно, в промежутках ]—оо, 0[и ] 1,+°°[ кривая вогнута, а в промежутке ]0, І [ 一 выпукла. Точки перегибаимеют координаты (0; 1) и (1; 0).Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 38), ▲П о с т р о и т ь г р а ф и к и ф у н к ц и й :1 0 9 8 . y ^ s m ^ x . 1 0 9 9 . у = 3 у ^ х — х.1 1 0 0 . у = ^ \ п х 一 l n ( х 一 1 ) . 1 1 0 1 . y =1102. ÿ = 右 . 1103. =1104. у = :16х 1105. y = (x— \) V x .182

1 1 0 6 . у = х-\-е'~х. 1 1 0 7 . у = \п (х + У х 2 + 1) .1 1 0 8 . = 1 1 0 9 . у =. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ л и н и иУглом смежности дуги AB плоской линии называется угол ф между касательными,проведенными в точках А н В этой линии (рис. 39). Отношениесмежности к длине s дуги AB называетсясредней кривизной дуги AB, т. e. kcv = (p/s.Кривизной данной линии в точке А называетсяпредел средней кривизны дуги ABпри В ^ А } т.е. k^=\im ((p/s).s->0Кривизна окружности fe0Kp= 1/а, гдеа — радиус окружности; кривизна прямойравна нулю.Если линия задана уравнением y = f (х)гто ее кривизна вычисляется по (формулеば IЕсли линия задана параметрическимиуравнениями х = (р (/), у==ур (t)t тоѣ __ \ху—ух\(x2+ y 2)3/zdx • d y •• d 2x •• d 2yгде X -ЧГ' У= Ч Г ’ Х ==1 Ғ ' y = ~ wЕсли линия задана в полярных координатах уравнением р = /(Ѳ), тогде卜 — 丨 Р2 + 2р'2— рр"|(р2 + р,2)3/2 ’p,=S 'Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне: / ? = 1/| ^ |.Окружностью кривизны данной линии в ее точке А называется предельноеположение окружности, проходящей через три точки А, В, С кривой, когдаВ А и С ^ А .Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны. Центр окружностикривизны называется центром кривизны и находится на нормали к линии, проведеннойв точке А в сторону вогнутости этой линии.Координаты g и т] центра кривизны линии y = f (л:) вычисляются по формуламグ (1 + グ2)_____ , 1+І//Г--У +Эволютой линии называется множество ее центров кривизны. Формулы длякоординат центра кривизны можно рассматривать как параметрические уравненияэволюты (где параметром является абсцисса х исходной линии).1 1 1 0 . Найти кривизну линии у ニ — х3 в точке с абсциссой х = 1/2.Д Имеем у' = _ Зх2, у” = 一 6х. При х = \/2 эти производные принимают значенияуг = —3/4, у” = 一 3 и3 192 А(1+9/16)а/2 125/64 1251 8 3

1 1 1 1 . Н а й т и к р и в и з н у в л ю б о й т о ч к е ц и к л о и д ы x = a ( t - ^ s \ n t ) 9~а(\ — cos /).Д х = а (і — c o s t)} л: = а sin t y y==asin t y y==a cos t %xÿ—yx = a2 (cos t 一 cos2 t — s in 2 1) = — а2 (l —cos t)y'хг j^2 = (i 一 2 cos ^+ cos2 Z+ sin2 t) = 2а2 (1—cos t)9一 а2 (1— cos 023/しo3(l 一 cos t) 2 3,2а (1—cos f 21112. Найти координаты центра кривизны линии ぶ3+ " 4 = 2в т о ч к е М ( 1 ; 1 ) .д Продифференцируем уравнение данной линии дважды:3ズ2 + 4ゲ ゾ = ()(り , 6лг+12//У2 + 4^/У = 0 ( u ) .Так как х = \, у=1, то из уравнения (*) находим уг = —3/4, а из уравнения (* *)получаем б + 2 7 /4 + 4 ^ = 0, т.е. у” = —51/16. Тогда( 1 + グ 2)ゲ t (1+9/16) (-3 /4 ) 43у" — 51/16, l+y,2_ t , i+ 9 /1 6 _ 2 6i 卜 !/ 丨 y r — i 十 — 5 1 / і(з — 51,■ 6 8 ,. С ( 4 3 / 6 8 , 2 6 / 5 1 ) . ▲1113. Составить уравнение эволюты параоолыД Продифференцируем дважды уравнение параболы:4 " ゲ = 2 ,ゲ = 士 ; 切 , 2 + 切 " = 0 , / = — y = —Определяем координаты центра кривизны:( 1 + ,,2)•ゾ 1 Q j j p r AУ " — У 2 一 1/(4ゲ) 一 У ,I 4-» ) -. = y - ザ 一 у = - 4 ゲ .Получаем уравнение эволюты в параметрической форме: g = 3г/2, т] = —4у3.Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в явном виде: rj2 = 1б$3/27. ▲1114. һ а и ти р а д и у с к р и в и з н ы э л л и п с а х2/25 - f у2/9 = 1 в т о ч к еМ ( 0 ; 3 ) .1 1 1 5 . һ а и т и р а д и у с к р и в и з н ы в л ю б о й т о ч к е к а р д и о и д ы р == а ( 1 + c o s Ѳ ) ( а > 0 ) .1116. Найти кривизну линии x = et s in tJ у ~ e t cos t в точке / = 1 .1 1 1 7 . Н а й т и к о о р д и н а т ы ц е н т р а к р и в и з н ы л и н и и у = \ / х в т о ч к еМ ( 1 ;1 ) .1118. Составить уравнение эволюты кривой x = t sin t + cos t 9y = t sin t 一 sin t.184

§ 4. ПОРЯДОК КАСАНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХЕсли кривые y = f(x) и у = (Ç(х) имеют общую точку М (л:0; і/0), т.е. yQ=5= f (х0) = ф (л:,)), и касательные к указанным кривым, проведенные в точке М (х0;ダ0), не совпадают, то говорят, что кривые у = / (х) и у — (р (ぶ)пересекаются в точке М .Условие пересечения этих кривых в точке М (х0; у о) таково:f レо) = ф(ズ0),ff (Ч) Ф Ф' W.Если же эти кривые имеют общую точку М (л-0; у0) и касательные в этойточке к обеим кривым совпадают, то говорят, что кривые касаются в точке М .Условие касания кривых в точке М (л:0; у0) таково:Если, наконец,/ ( ^ о ) = ф ( ^ о ) . Г Ы = ф / ( ^ о ) */(дг0)=ф W» 厂 (ズо) = ф '(ズо),/ " (ズо)=ф "(ズ“),… ,/(л)(^) = ф(и)Ы *н о ^ + ( х 0 ) ф ( « + ! ) (л:0) , г о п р и н я т о г о в о р и т ь , ч т о в т о ч к е М ( х 0 ; у 0 ) к р и в ы еij — f (х) и у = ц> (х) имеют касание п-го порядка.Если 2, то кривые у = f (х) и у = (х) в точке М (х0\ у о) имеют не толькообщую касательную, но и одинаковую кривизну.1 1 1 9 . К а к о й п о р я д о к к а с а н и я и м е ю т к р и в ы е у = е ~ х и х у = 1 / ев т о ч к е х = 1 ?А Пусть / (х) ~е~х, ф (х) = \'(ех). Найдем последовательные производныеэтих функций: / ; (х) = — е_х ,f" (х)=е_х,(pf (х) = 一 l/(ex2)t (х)= 2 /(ех3) .........Теперь вычислим значения данных функций и их производных в точке х = \;(1). Следовательно, ука­Таким образом, / (1) = ф (1), "(l) = q/(1),но f ,r (1) Фзанные кривые имеют касание первого порядка. Д1 1 2 0 . П р и к а к о м в ы б о р е п а р а м е т р а а к р и в а я у = е ах и м е е т в т о ч к ех = 0 к а с а н и е п е р в о г о п о р я д к а с п р я м о й у = 2 х - { - \ ^Д Пусть f (x) = е ах и ф (л:) = 2 x -j-1.Для того чтобы указанные линии имелив точке х = 0 касание первого порядка, необходимо выполнение равенств / (0)=ф (0)и 广 (0) = ф, (0), т.е. еа,° =2*0 -j- 1 и ае^ = 2. Отсюда а~2. ▲О п р е д е л и т ь п о р я д о к к а с а н и я з а д а н н ы х к р и в ы х :1 1 2 1 . у = 1 + c o s j c и у — 2 — x 2 в т о ч к е х = = 0 .1 1 2 2 . t / = s i n 2 x и о с и О х в т о ч к е х = 0 .1 1 2 3 . Ц е п н о й л и н и и у = J r e ' ~ x ) / 2 и п а р а б о л ы у = 1 + 0 , 5 л * 2в т о ч к е х = 0 .1 1 2 4 . О к р у ж н о с т е й х 2 - \ - у 2 = 2 у и х 2 - \ - у 2 = в т о ч к е х = 0 .1 1 2 5 . П а р а б о л ы у = х ^ w о с и О х в т о ч к е л: = 0 .П 2 6 . у = \ п ( \ - \ - х ) и п а р а б о л ы у = х — х г в т о ч к е х = 0 .§ 5. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТАИ ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯПространственную кривую можно задать параметрическими уравнениямих ~ х (t), у = у (t) ,2 = 2 (/) или векторным уравнениемr = x(t) i + //(0 j + 2 (/)k .Последнее уравнение определяет переменный вектор г как вектор-функциюскалярного аргумента t ’ т.е. г = г (/). Кривая, заданная уравнением г = г (/), называетсягодографом переменного вектора г.185

Производной вектор-функции г = г (/) по скалярному аргументу t называетсяновая вектор-функция, определяемая равенством, ..ч dr .. Дгг ( h Ü Ä F .Производнаявектор-функции может быть вычислена по формулеПроизводная备 есть вектор, направленный по касательной к годографу век-тора г в сторону возрастания параметра /.п . dr сі2гЬсли t есть время, то — — вектор скорости конца вектора г, а —г — векторускорения.Основные правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента:10- I I {н+Т2~ Тз)^ Ш + Ш ~ 1 І ;2°. , где с— постоянный вектор;3°. ^ ■( 入 1*)= 入 *^7 + г » где À = Â (0 一 скалярная функция от /;4°- 丟 (Гі.Г2)=ж .Г2+Гі 令 ;5 。. 去 ( r i X r 2) = 卷 x r 2 + r i x 金 .Уравнения касательной к пространственной кривой г = х (t) i -\-у (t) j + г (0 кв точке М 0 (jc0; г/о;z0) записываются в виде(х—х0)/х0 = (у—Уо)/Уо = (г— г0)/г0,где х 0 = х ^ 0) , y 0 = y ( t 0)y z 0 = z ( t 0)y x 0 = x f (О о , y 0 = y r ( t 0) t z 0 = z r (/0).Нормальной плоскостью называется плоскость, проходящая через точку касанияи перпендикулярная касательной. У равнение нормальной плоскости имеет видズо (х 一 ^о) ~Ь У о (У 一 Уо)~\~г (z— zo) = 0.Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется по формулеds = \^x2 у2 z2 dt,1 1 2 7 . К а к а я л и н и я я в л я е т с я г о д о г р а ф о м в е к т о р - ф у н к ц и и г == а \ c o s / + ß j s i n 《 + c t k ?Д Эта линия имеет параметрические уравнения ズ= ßcos/, у = a sin t ,z = ct,определяющие винтовую линию. ▲Н а й т и г о д о г р а ф ы в е к т о р - ф у н к ц и й :1 1 2 8 . r = icosi + j + k s i n / . 1129. г = / (i + j + k).ИЗО. г = і + j + /k. 1131. r = ic h / + js h f.1 1 3 2 . Н а й т и п р о и з в о д н у ю с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и я в е к т о р о вr 1= 3n + 2j + 5k и г2 = 2і — 3 /j + k.Д Имеем186= (3 /i + 2j + 5 k ) . ( - 3 j) + ( 2 i - 3 / j + k ) . З і = - 6 + б = 0.

Полученный результат объясняется тем, что скалярное произведение гі*гг = 5,т является постоянной величиной. ▲1133. Показать, что векторы г = і cos / + j sin / + к и 令 перпендикулярны.д Имеем — = — i sin t-\~) cos t. Находим скалярное произведение:= 一 c o s f s i n ォ+ s i n / C O S / - ( - 1 . 0 = 0 .ハ, 'drС л е д о в а т е л ь н о , r ± . - у т • А1 1 3 4 . Н а й т и п р о и з в о д н у ю в е к т о р - ф у н к ц и и r = i c h 2 f + j s h f c h # ++ k sh21.1135. г = i sh / + j ch / + k J^ch2/ — 3 sh21. Найти1136. Гі = і/ + j^2 + k /3, i^ = i/ 2+ jZ3+ k た Найти ■ど1 1 3 7 . С о с т а в и т ь у р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й и н о р м а л ь н о й п л о с к о с т ик к р и в о й д; = a s i n 2 へ y = b s i n t c o s t , z = c c o s 2 1 в т о ч к е ^ = я / 4 .Д Находим д: = а sin 2t, y = b cos 2 ty z = — с sin 2t. При t = я/4 имеем: x0^=ci/2tУо= ^/2 , Zq= c/2, Xq = cl, ï/o = == c.Уравнения касательной:Уравнение нормальной плоскости:(x— a/2)/а = (y— b/2)/0 = (г— c/2)/( — с).g ( д : — 吾 ) — с ( г — 备 ) = 0 , и л и а х — c z — ? — 9 - с = 0 . ▲1 1 3 8 . С о с т а в и т ь у р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й и н о р м а л ь н о й п л о с к о с т ик в и н т о в о й л и н и и г = = i c o s f + j s i n ^ + Ѵ ^ З / к в т о ч к е t = я / 2 .1 1 3 9 . Н а к р и в о й x = t + 1 , y = t 2 — 1 , z = P н а й т и т о ч к у , к к о т о ­р о й к а с а т е л ь н а я п а р а л л е л ь н а п л о с к о с т и x - \ - 2 y - \ - z — 1 = 0 .1140. Какой угол образует с плоскостью хОу касательная в винтовойлинии x = cos t, y = sm t, 2 = 2 V 2 t в точке t = я/4?1 1 4 1 . С о с т а в и т ь у р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й и н о р м а л ь н о й п л о с к о с т ик к р и в о й х = ( і / Ѵ 2 ) ê s i n t , y = l y z — ( l / K 2 ) e i c o s t в т о ч к е t = 0 .1 1 4 2 . С о с т а в и т ь у р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й к к р и в о й х = е г ( с о з t ++ s i n t ) , y = e f ( s i n t — c o s り, z = e f в т о ч к е ^ = 0 .1 1 4 3 . С о с т а в и т ь у р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й к к р и в о й г = / 2 і + f ) ++ ^ 4 k в т о ч к е t = l .H 4 4 . П о к а з а т ь , ч т о к р и в ы е r = ( w + 1 ) i + w 2j + ( 2 以 一 1 ) к и г == 2u2i + (3u— 2 )j + u2k пересекаются, и определить угол между кривымив точке их пересечения.1 1 4 5 . С о с т а в и т ь у р а в н е н и я в и н т о в о й л и н и и , е с л и р а д и у с о с н о ­в а н и я ц и л и н д р а R = 4 у ш а г / і = 6 я , и н а й т и д и ф ф е р е н ц и а л е е д у г и .Д Уравнения винтовой линии имеют вид х = 4 cos /, t/ = 4 sin t y г = 3/, таккак z = h при t = 2л. Продифференцируем эти уравнения: х = —4 sin t t &==4 cos/,187

z = 3 . Следовательно, дифференциал д у ги равенds = \ ^x2 у2 z2 dt = У 16 sin2 /+ 1 6 cos2 1-\-9 dt == V 1 6 ( s i n 2 / + c o s 2 t ) - \ - 9 d t = 5 d t . ▲1 1 4 6 . Н а й т и д и ф ф е р е н ц и а л д у г и к р и в о й х = а c o s 2 1 、 // ===\^a2+ b2 sin t cos /, 2 = 6 sin21.И 4 7 . П р и к а к о м ш а г е h д л и н а д у г и о д н о г о в и т к а в и н т о в о й л и н и иx = c o s y = s m t y z = c t р а в н а 4 л ?О Воспользоваться тем, что при развертывании цилиндра на плоскость одинвиток винтовой линии превращается в отрезок прямой.1148. У р а в н е н и е д в и ж е н и я и м е е т вид г = Зі cos t + 3j sin t + 4/k,г д е t — в р е м я . О п р е д е л и т ь с к о р о с т ь и у с к о р е н и е д в и ж е н и я в п р о и з ­в о л ь н ы й м о м е н т в р е м е н и .1149. Уравнение движения имеет вид r = /i + /2j + Pk. Определитьскорость и ускорение движения в момент / = 1 .§ 6. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ.КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕВо всякой точке М (х; у\ г) пространственной кривой г = г (t) можно построитьтри взаимно перпендикулярных единичных вектора (рис. 40); единичный векторкасательной (тангенциальный единичныйвектор)__ dr 一 dr/dt •Т ds I dr/dt I ,Рис. 40Рис. 41единичный вектор главной нормалиdr/dsх ~ I dl/ds I ,единичный вектор бинормали1 88ß = TXv.Соответствующие неединичные векторы можно найти по формулам:T = w (вектор касательной),D dr d 2rВ = Т /7 ^^2 (вектор бинормали),N = В х Т (вектор главной нормали).

Плоскость, содержащая векторы т и ѵ, называется соприкасающейся плоскостью;содержащая векторы ѵ и ß,— нормальной плоскостью; содержащая векторыß н т , 一 спрямляющей плоскостью. ц uТрехгранник с вершиной в точке М , образованный соприкасающейся, нормальнойи спрямляющей плоскостями, называется сопровождающим трехгранникомпространственной кривой (рис. 41).Кривизной линии в точке М называется число К = lim -7—A s - > oповорота касательной (угол смежности) на дуге M N , As 一 дли на этой дуги.Если кривая задана уравнением г = r (s), то К -Если уравнение кривой имеет вид г = г (/), тоd sA sгде ф — уголК - -d rd rЖd 2r研Кручением кривой в точке М называется число с г = limAs->-0поворота бинормали (угол смежности второго рода) на дуге M NЕсли г = r (s), то о =направления векторовпаправления.Если г = і• ひ),тоІdsиѵ’, где Ѳ— угол, где знак《минус» берется в случае одинаковогознак «плюс»— в случае их противоположногоd r d 2r d 3rжиd rd 2c1 1 5 0 . Н а й т и т а н г е н ц и а л ь н ы й в е к т о р т к р и в о й г = / 2і + / 3j + / 6кт о ч к е / = 1 .Д Имеем| = 2 a + 3 P j + 6 P k , 备 = ド《2+ 9 0 + 3 !^ о .При t = 1 находим^ _ 2 i + 3 i + 6 k , | * | = ^ 4 + 9 + 3 6 = 7> j + y k А1 1 5 1 . Н а й т и т а н г е н ц и а л ь н ы й е д и н и ч н ы й в е к т о р к р и в о й г = 5 / і +- f l 2 j c o s t + 1 2 k s i n t в п р о и з в о л ь н о й т о ч к е .1 1 5 2 . Н а й т и т а н г е н ц и а л ь н ы й е д и н и ч н ы й в е к т о р к р и в о й x = t s i n t ++ c o s t , y = t c o s t — s i n t , z = t 2 V 2 в т о ч к е t = n / 2 .1 1 5 3 . Н а й т и в е к т о р т в и н т о в о й л и н и и x = a c o s i j = a s i n t ,г = Ѵ 尺 2 一 a 2/ , 尺 > a > 0 в п р о и з в о л ь н о й т о ч к е .A г = аі cos sin / + R -—û2/k, — d sin / + ûj cos f + ド 尺 2—a2 k,189

d r■У ~ a 2 s in 2 t - \ - a 2 cos2 t - { - R 2— a 2 = R ,dvjdt— — a\ sin t-\-a) cos t-{- У R2— a2k _T = l d r / d n = R ^— 手 + ^ i j + l ^ Z k. ▲1154. Найти вектор ß винтовой линии в произвольной точке.d r d 2 rД Имеем 一 ßf sin t - \ - a ] cos i - \ - У R 2 — a 2 k,- a i cos i — a ) sin LНайдем векторное произведение этих векторов:I B 1d rd rd 2r-asint a cos t У R2 — a2- a cos t 一 a sin t 0оУ~R 2—a2 sin t-\ 一 a У~R 2— a2 cos t-)-\-a2k\d 2rч г х ш ^-У~a2 (R2_ a2) sin2 t-\-a 2 (R2—a2) cos2t-\-a^ = aR,Следовательно,ß -—В _ а У R2—a2 i sin t~ a У~R2—a2 j cos t-\-a 2k|B|Y , û t A= ------Б----- sin ^-i---------- ô------соз ▲1155. Найти вектор v винтовойД Так как v = ß X т, тоі_________ 3 _У R 2— л2 sin t У R 2 — a2 cos ta sin ta cos iлинии в произвольном точке.k_a_î cos t — j sin t .Y 尺 2— a21156. Найти кривизну К винтовой линиипоэтомуД В задачах 1153 и 1154 было найдено, чтоК :dr d2rT t x aR adrdt3 R3 R 2d r~dtd v d 2r— У —d t Л d t 2- a R ;1157. НайтиД Имеемd 2 rd t 2кручение a винтовои линии.d v— ai sin t-\-a) cos t - \ ~ y R 2 — a 2 k,: — al cos t — aj sin t , - ^ = a \ sin t — a ) cos t .190

Найдем смешанное произведение этих векторов:dr d2r d3rdt dt2 dt3a sin t a cos t У R2— a2a cos t — a s in t 0a s in t 一 a cos t 0а2 У R^—a2.dr d2rВ задаче 1 1Ь4 было н а й д е н о , ч то =iaR . Следовательно,, dr dh I 2 9П9 т ^ 02 ү R2 _ a2 y R2__a2\ l t d t^\ = ü R ' ТаКИМ 0бРа30М, а = ------^ 2 ----- = ------^2 一 - • АИ 5 8 ѣ Составить уравнение соприкасающейся плоскости винтовоилинии в произвольной точке.Д Эта п л о с к о с ть п р о х о д и т через т о ч к у ( a cos t; a s in t ; V R 2— a2 ï) и ne p-^ R 2— a 2 s in t . R 2 — a 2 cos t aпендикулярна вектору бинормали p = ----------- Б----------- i ------------------Б----------- J + Ъ" k -К К КПоэтому уравнение соприкасающейся плоскости таково:илиf( X - flc o s 005• - ( K - fls in /) + |- (Z- У /?2- а 2 /)= 0 ,X Y 尺 2— ü2 sin t — Y У R 2 — a2 cos t + aZ— а У R2— a2 t = 0. ▲1159. Составить уравнение спрямляющей плоскости винтовойлинии в произвольной точке.Д Эта плоскость п р о х о д и т через точку (a cos t ; a sin t; У R2— a2 і) перпендикулярновектору главной нормали ѵ = — i cos t — j sin t. Поэтому искомое уравнениеимеет вид一 (X — a cos t) cos t — (y — a sin f) sin f = 0,т. e. X cos t-\-Y sin t — a = 0. Д1160. Составить уравнение нормальной плоскости винтовойлинии в произвольной точке.А へ , 》 о s in / . ,А Э т а л п л о с к о с ть п е р п е н д и к у л я р н а в е к т о р у к а с а т е л ь н о й т = ---------- ------- і +______+ ~ ~ j + ------—:а— к и проходит через точку (a cos t; a sin t; Ÿ R 2 — a2 t).A AПоэтому искомое уравнение имеет видили— IIE J . ( х - а cos 0 + ^ ^ (К - a sin { z - V W ^ 0 = 0,Xa sin t — Y a cos t — Z Ÿ 尺 2 — a2 + (/?2— a2) ^ = 0. ▲1161. Найти вектор т кривой x = 6 ty y = 3t2, z = P ъ точке t = \.1162. Н айти вектор ß той же кривой при ^ = 1 .1ІоЗ. Найти вектор ѵ той же кривой при t = \ .1164. Найти кривизну К той же кривой при t = 1.И 65. Наити кручение a той же кривой при ^ = 1 .П 6 6 . Составить уравнение соприкасающейся плоскости той жекривой при f = 1 .П о7. Составить уравнение спрямляющей плоскости той же кривойпри / = 1 .И 68. Составить уравнение нормальной плоскости той же кривойпри / = 1 .R

ГЛАВА V I IIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦ ИЙНЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1 . ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Ф У Н К Ц И И .Л И Н И И И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯПусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительныхчисел (ズ;у), принадлежащей множеству D , по определенному правилу ставитсяв соответствие один и только один элемент и из ひ, то говорят, что намножестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U . Приэтом пишут D ~ > U ,или /: D ~ > Ü , или u = f(x , у). Множество D называетсяобластью определения функции, а множество U t состоящее из всех чисел видаf (x,у) , где (x; у) Ç D ,— множеством значений функции. Значение функцииti = f (X,у) в точке М (х0; у0) называется частным значением функции и обозначается/ (х0, у0) или / (М).Область определения функции u = f(x , у) в простейших случаях представляетсооои либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этойкривой (границы области) могут принадлежать или не принадлежать областиопределения, либо всю плоскость, либо, наконец, совокупность нескольких частейплоскости хОу. Геометрическим изображением функции u = f(x , у) в прямоугольнойсистеме координат Охуи (графиком функции) является некоторая поверхность.Аналогично определяется функция любого конечного числа независимыхпеременных u = f( x ’ у, 2 , . . . ,Линией уровня функции и = f (х,у) называется линия f (х, у) = С на плоскостихОу,в точках которой функция сохраняет постоянное значение и = С.Поверхностью уровня функции u = f (x, у,z) называется поверхностьf (X,у ,г) = Су в точках которой функция сохраняет постоянное значение а = С.1169. Найти область определения функции и = Ѵ а1 х2— у 2.Д Ф ункция и принимает действительные значения при условии а2—От. е. ^ 2 + і/2^ а2. Областью определения данной функции является круг радиуса ас центром в начале координат, включая граничную окружность. ▲1170. Найти область определения функции w = arcsin (х/у2).Д Эта функция определена, если у 0 и — 1 く x jy 2 く 1,т. e . —у2 く х く у2•Областью определения функции является часть плоскости, заключенная междудвумя параболами у2 = х и у2 = 一 х, за исключением точки 0(0 ; 0). ▲1171. Найти область определения функции и = \п (2г2— 6л:2——зゲ 一 6).Д Данная функция зависит от трех переменных и принимает действжёльныезначения при 2г2 — 6л:2 一 3ゲ 一 6 > 0, т. е. х2/\-{-у 212— z2/3 < — 1 . Областью определенияфункции является часть пространства, заключенная внутри полостейдвуполостного гиперболоида. Д1172. Найти линии уровня функции и=^х2 + у2.А Уравнение семейства линий уровня имеет вид х2-\-у 2 = С (С > 0). ПридаваяС различные действительные значения, получим концентрические окрѵж и осіііс центром в начале координат. ▲192

1173. Найти поверхности уровня функции и = х2-\- z2— у2.Д Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид x2- f z2 — /ダ2 = С. ЕслиС = 0, то получаем x2-\-z2 — у2 = 0 — конус; если С > 0, то х2 + г2 — у2 = С —семейство однополостных гиперболоидов, если С < 0, то х2-\-г2 — у2 = С — ctwAiстЕОдвуполостных гиперболоидов. ▲Найти области определения функций:1174. и = Ѵ x2+ î f — \. 1175. и--1176. и = arcsin 1177. и :1/|/ 1— д:2-У cos (ズ2+ " 2).1178. и = \п ( 一 х-\-у). 1Î79. и - у -\~Ѵ ^ •1180. и = у а2— л:2— у 2 — г 2. 1181. и = arcsin (г jV х1+ у2).1182. и=1/1п(1 — х2— у2 — г 2). 1183. и = V x + y + z.Найти линии уровня функций:1184. г — 2 х - \ - у . 1185. z = х / у . 1186. г = In {/*yj'x.1187. z = VxJIj- И88. z = exy.Найти поверхности уровня функций:1189. u = x - \ - y - \ - 3 z .1190. w = x2 + ゲ+ г2. 1191. и = х2— у2 一 z2.§ 2. П Р О И З В О Д Н Ы Е И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ы Ф У Н К Ц И ЙНЕСКО ЛЬКИХ ПЕРЕМ ЕННЫ Х1 . Частные производные первого порядка. Частной производной от функцииz = f (x,ij) по независимой переменной х называется конечный пределвычисленный при постоянном у.Частной производной по у называется конечный пределвычисленный при постоянном х.Д ля частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.1192. и = х2— Зху — Aif-— х -\-2 у -\-1 . Найти и .А Рассматривая у ка к постояпную величину, получим — — 2д:— Зу — !.Рассматривая х как постоянную, найдем щ = —3ズ— 8у + 2. ▲1193. z = ex2+y2. Найти и .△ - | j = e ï!+ у2 (*2 + і/2);= 2 ^ г+ У \ ^ . = е х, + У' (x2 + у% = 2yext+Уг7 So 1474 193

1194. p = a4 cos2 ф. Найти 备 и 鸯А ^ - = 4 и 3 cos2 ф, - ^ - = а4*2 cos ф (— sin ф) =“ 4sin2

1203.^ a r c t g - p ^ . Найти Ц1204.z = е^х3 切 2)2. Найти•1205.и = {х — i]) {х — z) {у '— z) • Н аитидидхди диду * дг1206.u==ezx^+2y^xyt Найти 每 ,^1207.1208.u ^ ^ - s ï n — . Найти .ズ2Показать, что функция z==2ÿ• 土 .удовлетворяетуравнениюズ2 备 + ゲ 鸯 = 爷 .дх дх1209. Найти , если A:= pcos0, y = psin0.ду дуЖ2. Полный дифференциал. Полным приращением функции z = f( x ,у) в точкеМ (х; у) называется разность А г = / ( д : + 厶 ズ,у-\-Ау) — / (х, у), где Ах и Ау— произвольныеприращения аргументов.цФункция z = f (х, у) называется дифференцируемой в точке (х\ //), если в этойточке "полное приращение можно представить в видеДг = Л △дг+Б Ау + о (р), где p = Ÿ~ Ах2 +Полным дифференциалом 中 ункции z = f(x , у) называется главная часть полногоприращения Az, линейная относительно приращений аргументов Ах и Аі/,т. e. dz = A Ау.Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е.dx = Ax и dy = Ay.Полный дифференциал функции z = f( x ,у) вычисляется по формулеdz:dz^dzdx+ w dyАналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u = f(x , у、г)вычисляется по формуледи , . ди , , ди ,du-- d ^ dx+ w d y + ^ dz-При достаточно малом р = ]/*Ajc2 + Aワ2 для дифференцируемой функции=/ (х, у) справедливы приближенные равенстваAz ä dz\ f (х + Лх,у-\-Ау) « / (xt у) + dz.1210. г = arctg Х + У Найти dz.х— уД Найдем частные производные:己 2 1 —2ij — у dz 2хдх1+ f x ± j , y ( х - у Ү

1211. и = лッ2へ Найти du.△ Имеем du = 石 dx+ 瓦 甸 + 瓦 dz,гдеСледовательно,室 ネ ゲ г . д :, 卜 1, ^-= -х У 2г-\п x -2yz, ^ - — хУ2гЛп х-у 2.duу~гхУ-г - 1 Ja: + 2yz • хУ^г Л пх dt/-\- у2хУ2г Л их dz ▲1212. Вычислить приближенно у sin2l,55 + 8^0,015t исходя иззначения функции z = y rs\n

3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Частными произсо^нымивторо:о порядка от функции z •■= f (х,у) называются частные производкыеот ее частных производных первого порядка.Обозначения частных производных второго порядка:й(й)=й о ’ у)' = 0 уУ'і ( г у ) = і і һ =Аналогично определяются ивысших порядков, например:(ズ’ у、' 4 ( S ) = W2 = fyy レ’ y、.обозначаются частные производные третьего иâ ( f e ) = ë = (х'уУ' = (х' y) и т. д.Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишьпоследовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непреd2zd2zрыпны, например 办 办 一 如Дифференциалом второго порядка от функции z = f(x , у) называется дифференциалот ее полного дифференциала, т. e. d2z = d (dz).Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:d^2 = d {d2z)\ вообще dnz = d (dn~1z).Если x и у — независимые переменные и функция / (х, у) имеет непрерывныечастные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формуламめ = & 办 2+ 2 Л む 斜 祭 妒ぬ が + 3 - ѣ - у dxi 料 3 w k dx dy2+w dy3-Вообще, имеет место символическая формулаdnz-{ê c dx+§ydy)n г'которая формально раскрывается по биномиальному закону.1228. z = y \n x . Найти 硬 ,^ ^ , vА u „ дг уА Найдем частные пр оизво д н ы е : 石 = — •’торно, получимй"=й(т)=_ 吾 ; 0 =ê (lnjc)=o:1229. г = ln tg (yjx). Найти— = l n x. Дифференцируя повd2zd f ydx dy dy \ x J xA . Sec2{У/Х)( — 吾 ) =d2z 丄 ___2 _____Ц — 2 cos {2y!x) • (2 x)dx dy x2 sin (2t//x) x2 sin2 (2y/x) —= ^ in 22(2y x) ' x)). ▲197

1230. г = sin jc sin у. Найти d2zл dz — COS X s in у 、^ sin'x cos y 、л д Гd2zd2z d2z , ,-sin^sm yt cosa; cos y; ^ ■ゴー sin д: sin めd2z =sin x sin у dx2 - f 2 cos x cos у dxdy— sin ぶsin y dy2.1231. z = x2y. Найти cP z.л dz d2z2xy,ä F : -2і/ д3г- о2 _П—2у’ズ’W 1æz d3z dzz=0, =2, =0;ду3 дх2 ду — , дх ду2cPz = 0-dx:i -{-3'2dx2 dy-\-3-0-dx»dy2-\-0>dy3 = 6dx2 dy, ▲I!д^и1232. w = 4х3+ Зх2у + Зху2 — г/3. Найтидхду9д2и1233. U = xy + sm (х + у). Найти ^1234.1235.1236.1237.1238.д2иu = \n tg {х + у). Найти 巧г = arctg j х + у-ХУX21п {х + у). НайтиНаитиd2zдхду*u = x s in xy + y cos ху. һаитид2ии = sin (A:+ cosr/). һаити -^ 2^ .1239. г = 0,5 ln {хг + у2). Найти d2z.1240. 2 = cos (x-\-y). Найти d2zd3z1241. z = Qos(ax + ey). Найти дх_ x4 一 8ХУ3 тт_.ч._„ д3и1242.Наити々Удх2 ду1дъгдъг1243. z = x2y3. Проверить, чтодх2 ду3 ду3 дх2 •1244. г = X2 + ÿ2 一 х у — 2х-\-у-\-7. Найти d2z.1245. Показать, что функция г = Ф (x) g" (у) удовлетворяет уравd2z__ dz dzненню zдх ду дх ду.1246. Показать, что функция z = g (x) + у g' (х) удовлетворяетуравнению | = | + У ^ . г г1247. Показать, что функция и = уех —タ удовлетворяет уравнению1 да . \ ди и7 . 5 十 7 • 而 = 7 * .1248. Показать, что функцияди 9д2иуравнению ^ = а198ѵ т-хг/(іа2і)Jудовлетворяет

1249. и == ехУ. Найти d2ti. 1250. и = \п Найти d2a.1 251.и = у/х. Найти d3u. 1252. и = xyz. Найти d^u.1253. и = х \п у . Найти d4u. Î254. и^=ех+У. Найти d5u.4. Дифференцирование сложных функций. Пусть г = / ( ズ,у), где х = (р (/),(t) и 中 ункции /(д:, 夕 ) , ф (0» "Ф (0 дифференцируемы. Тогда производнаясложной функции 2 = / [ф (/), (0 ] вычисляется по формулеЕсли z = f( x t y)t гдепо формулеЕсли же z = f (Xy "),выражаются так:dz dzЩ ГГхdz dz dx 丄 dz dydt dx dt 十 dy dt.=Ф (д;), то полная производная от 之 по ズнаходитсяd z 如 丄 dz dydx dx 卞 dy dx.где х = ф (g, r]), y = d rj), т о 【частные производныеdXj^dz ду и dz _ dz dXj^dz ду1255. z = ex2+y2, где x = ac.os t, y = a s m t. Найти clzТ гД Имеем1 = 1 • § + | • 室 = ド*” *ふ ( - a sin i ) + e ^ . 2 y (a cos t) =Выразив х н у через t, получим= 2аех2+У2 (уcos t 一 ズ sin t).с-^ = 2аеа2 (a sin t cos t _ a cos / sin /) = 0. ▲1256. 2 = ln (x?— ÿ2), где у = Найти ■*, 装 .^2. 2хД Имеем ------s . Используя формулу полной производной, находимdz dz .d z dy— —2х____ 2уех 一 2'(х—уех)dx 一 дх 十 ду* dx— х2 一 y 2 x 2— y2~~ x2 一 y2 • ▲1257.1258.1259.1260.1261.= 士 ln 吾 ,где м = tg 2ズ, Ü = ctg2x. Найти 芸 .где У = 3х+1. Найти g .:х 2у 、где у = cos x. Найти ^ иi x _ У x2 一 у2 тт о dzln ------- ” ■,где у = х cos ос. Наити -г-.х -^ у x2— у2ахг = х2+ у \ где ズ= 忘 + г], ÿ = | — іѵ Найти 靠 ,1262.« = ln (х2 + у2), где x = tx], У = 吾 . Найти щ , 驾 .1263. Показать, что функция и = \п (1/г), гдед2и , д2и(х— а)2+ { у — Ь)29 удовлетворяет уравнению 研 + 硕 = 0-199

5. Производная в данном направлении. Градиент функции. Производной функцииz = f (xt у) в точке М (х; у) в направлении вектора 1= М М 1 называетсяпределт - 1м ]мт ^ 0 \М) - р]іГо f ■ где р =в данном направ­Если функция / (х, у) дифференцируема, то производнаялении вычисляется по формулеl = X sina’где а — угол, образованный вектором 1 с осью Ох.В случае функции трех переменных u = f ( x ,у, г) производная в данном направленииопределяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид| = | C0Sa+| C0Sß+j C0SY)где cos a, cosß, cos у — направляющие косинусы вектора 1.厂 радиентом функции z = f( x , у) в точке М (х\ у) называется вектор с началомв точке М , имеющий своими координатами частные производные функции z:^ г= Ё > + |ьГрадиент функции и производная в направлении вектора 1 связаны формулойdz Лg7 = np;gradz.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функцииточке. Производная ^ в направлении градиента имеет наибольшееравное(S)Hail6=|grad"|= (I) +(|) •В случае функции u = f ( x , у, z) градиент функции равенв даннойзначение,grad и = — Ï-4-— ІЧ --Г -11264. Найти производную функции г = х2— у2 в точке M (1;1)в направлении вектора 1,составляющем угол а ^ 6 0 э с положительнымнаправлением оси Ох.^2 dzД Найдем значения частных производных в точке М : ^ = 2дг, — 2у,( ^■'] = 2 ,( き ) = —2. Так как cos a = c o s 60°=1/2, sin a = s in 6 0 ° = ) A 3 /2 , то\d x jM \ду J м宗 = 2 ■ノ= ж - 0 , 7 ▲1265. Найти производную функции и = xy2z3 в точке М (3; 2;1)в направлении вектора M N y где N (5; 4; 2).へ Найдем вектор M N и его направляющие косинусы: /W/V = 1 = ( 5 — 3) і ++ (4 — 2) j + (2 — 1 )к = 2і + 2j + k; cos et = 2 /}/"2 2 + 22 十 Р = 2/3; cos ß = 2/3;200

cos ү = 1/3. Вычислим значения частных производных в точке М(ди\ . ди\装 -ニ 作 ' % - 2ХУг3' ді г гху4" V( 1 ) j М м •- = 4; 、U ( | ) ; д ! = 12;( Ï J AIdu . 2 . 10 2 . огСледовательно, ^~ = 4 . 了 十 12• 了 + 3 b .JL=-22 --.1266. Найти производную функции г = ln (x2 + у2) в точке М (3; 4)в направлении градиента функции z.Д Здесь вектор 1 совпадает с градиентом функции г = 1п(л*2+ у 2) в точкеМ (3; 4) и равенСледовательно,grad г= ( P - f p ) ノ + ( _ ) і = 4 i+ Ä і .汾 — grad г 丨 =f 6 уV25j1267. Найти величину и направление градиента функции и= ig x — x + 3s\ny — sin3у + г + ctg г в точке М (я/4; л/3; л/2).д Найдем частные производныеди « , да 0 0. 2 г. . ^L i パハ2,, ニ sec2л: —1,— = 3 cos y ~ 3 sin2 y cos 1— cosec』2и вычислим их значения в точке М (л/4; я/3; л/2):îА( £ ) л Г 2~ 1= 1' ( I L : 3• 去 —3( 了 ) 飞 ( Ï ) m = 1 _ 1 = °-Следовательно,(grad w)M = » 4 --^ -j; |g ra d w |A1 = } / ' l 2 + (3;8)2 = ] /~ 73/8;cos ß = s in a =|/*73/8 y^73 У 731268. Найти производную функции г = x2— ху + у2 в точкеM (1 ;1 )в направлении вектора 1 = оі + 8j.1269. Найти производную функции и = arcsin (г ] х2+ у-) в точке(1 ;1 ;1 ) в направлении вектора M N , где N (3; 2; 3).1270. Найти производную функции и = In (х1+ у2 + г2) в точкеAl(1;2;1)в направлении вектора r = 2i + 4j + 4k.1271. Найти величину и направление градиента ф ункции и = \ 丨 г 、где г = х2 + y2-\-z2, в точке М (х0; г/0; z0).Î272. Найти величину и направление градиента ф ункции и = хугв точке М (2;1;1).1273. Найти производную функции w = л*/2 + ÿ/З J「г/6 в направленииI = 6і + 3j — 6k в произвольной точке.6. Дифференцирование неявных функций. Производная ?неявной функцииУ ~ У (х), заданной с помощью уравнения F (х, у) = 0 , где F (xt у )— дифференцируемаяфункция переменных х и у, может быть вычислена по формуле, дҒідх дҒ , Лу г — — при условии マ 一 U.дҒіду F J ду ^201

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательнымдифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом у какфункцию от X.Аналогично, частные производные неявной функции двух переменныхг = ср (ズ,у),заданной с помощью уравнения F (x, у 、z) = 0 , где F (x, у 、z)— ди 中 •ференцируемая 中 ункция переменных х, у и 2 , могут быть вычислены по формуламdz дҒ/дх dz дҒ/ду дҒ , ЛёГх— ё т ’ д-У= ~т ғг при условин 石 芦 0-1274. cos (х + у) + у = 0. Найти y f •дҒД Здесь F (x, y) = cos (x-\-y)-{-y. Найдем — sin (x-\-y)t: — sin 1 . Следовательно,— s in ( x + y ) s in ( x + y )— 1—sin — 1— sin (х -]г у У 泰1275. y —siny = A:. Найти y r и y \dF¥откудаД Здесь F (x} y) = y — sin y —x. Имеем -т —=— 1 ,- ^ - = 1— cos(/ = 2 sin2у,==~ 2 Т т 2(j//2)= T COSec2T .Найдем вторую производную:У” = 去 .2 cosec 普 ( — cosec 音 ctg 吾 ) • + ゾ = — 士 cosec41276. г3 一 3xyz = а3. Найти ^ и ^ .КА Здесь F (xt у, г) = 23_ 3xyz_ û3. Находим —Зуг’ —3xzt -^ -=Зг2 一 Зху. Тогдаdz —3yz yz dz — 一 3x2 __ xzdx 3z2—Зху z2—xy ’ ду — 3z2—Зху — г2 一 ху • ▲1277. xyz = x + y-\-z. Найти dz.Д Как известно, d z = -^ d x -\--^ d y у поэтому найдем сначала ^ и щ :Следовательно,d z =dz — yz 一 1 dz__ xz — 1dx xy 一 1 , dy xy— 1•[(Уг— 1) dx + (xz — \) dy}. ▲2021278. x2 + y2 + ln (x2 + у2) = а2. Найти у ,•1279. {уIx) + sin (уIx) = а. Найти y r.1280. (xy— а)2 + (xy— ß)2 = r 2. Найти y \ i f .1281. x3 + 2 if — 2 x y V 2 x y -\-1=0. Найтн y f.1282. ln tg (y/x) 一 y/x = a. Найти y \1283. (x2+ y2— bx)2 = a2 (x2 + y2). Найти ij в точке M (b; b).1284. 3sin (V x !y ) — 2cos\/r x jy + 1=0. Найти y r•

1285.1286.1287.1288.0,51п(л:2+ " 2) — arctg {уIx) = 0 . Найти y r.x2 一 x-2y+1 -\-4y 一 jc + 2^ + 2 = 0. Найти y.x-^-y 一 ゲ+!/ = 0. Найти y r,у”.x + y + z = ez. Найти 石 ,1289.1290.1291.1292.1293.1294.ズ3+ ゲ + 23— 3xyz = 0. Найти み , 一 •x = z \n (z/у). Найти dz.x sin y + y sin x-\-z sin x = a. Найти ^ .xy-\-xz-{-yz = \. Найти dz.+ = а. Найти 石 •dz= x+ arctg . Найти' z — xdx3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ ПОВЕРХНОСТИКасательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, содержащаяв себе касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности черезточку М .Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая черезМ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.Если поверхность задана уравнением F (xt 仏 z) = 0 и в точке M (xQ\ у0; z0)частные производные I ^ ~ду~) , конечны и не обращаютсяв нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеМ (х0; у0\ z0) записывается в виде[-д ғ )м {x- x°) + [~w ) m (у- уо) + [ ^ г ) м (г _ г °) = 0'а уравнения нормали к поверхности в этой же точке— в видех — хд У_ Уо z — zo( dZ \ l dS、dx ノm \d y J m \dz y MЕсли же уравнение поверхности задано явным образом: z = f ( x ,у), где частныепроизводные ( 塞 ) и J в точке M (х0\ у0; z0) конечны (и могут бытьравны нулю одновременно), то уравнение касательной плоскости в точке М записываетсяв видеауравнения нормали — в виде、 石 ル (Н о ) + ( | ) м ( " 。)’IXх一一 хо У 7 一 寒 Уо . z 一 zo由l\MкРавенство нулю, например [ —~ і,означает, что касательная плоскость параллельнаоси Ох, а нормаль лежит в плоскости х = х 0.1295. Дана поверхность z = x2— 2ху + у2— х + 2у. Составить уравнениекасательной плоскости и уравнения нормали к поверхностив точке M (1;1;1).203

Д Найдем частные производные 塞 :ニ 2л:— 2"— 1 и 靠 = 一 2х + 2 //+ 2 и ихзначения в точке A l (1;1;1):% )м = ~ и ( ï ) « = 2-Уравнение касательно!! плоскости:Уравнения нормали:2 — 1 = — (д;— 1) + 2 ( " — 1 ) ,или x - 2 y - \- z = 0.( x - 1 )/(-1 )= Ö / - 1)/2 = ( г - 1 ) / ( - 1 ) . 41296. К поверхности л,2 + 2 " 2 + Зг2 = 11 провести касательныеплоскости, параллельные плоскости x -{-y + z ~ 1.Д Здесь F (л% у, z ) = x 2-\-2у2-|-З г2— 1 1 . Найдем частные производные:— 2л:, = = б г . Из условия параллельности касательной плоскостии данной плоскости следует, что (дһ;дх)/\ = (дҒ/ду)/\ = (дҒ/dz)/\, или (2л:)/ 1 == (4г/)/1= (бг)/1. Присоединив к этим уравнениям уравнение поверхности х2 ++ 2 " 2 + Зг2= 1 1 , найдем координаты точек касания: ( У 6; У 6/2; Y 6/3) иМ 2 (— Y 6 ; — Ÿ 6/2; — У 6/3 ). Следовательно, уравнения касательных плоскостейимеют видт. е.1.(ズ± Ѵ "б ) + 1-.(і/ ± К ё / 2 ) + 1.(г ± K " ê / 3 ) = 0 ,х -\-у -\-г -{-1\ І У 6 = 0 и x -\-y -\-z — 1\ ! У 6 = 0. ▲1297. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиг = 1 + л*2+ у2 в точке M (1;1;3).1298. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиぶ2+ у2— г2= — 1 в точке М (2; 2; 3).1299. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиг = ln (х2 + z/2) в точке M ( 1 ;0 ; 0).1300. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиг = sin x cos у в точке М. (л/4; п / 4 ; 1/2).1301.Составить уравнения касательных плоскостей к поверхностих2+ 2"2+ Зг2 = 21, параллельных плоскости х-\-Ау-\- 6г = 0.1302. Доказать, что касательные плоскости к поверхности У ズ++ Vr ÿ + V 7 = V û (а > 0) отсекают на осях координат отрезки, суммакоторых постоянна.Î303. В какой точке эллипсоида х2/4 - f і/2/4 + г 2= 1 нормаль к немуобразует равные углы с осями координат?. пп.л гт dz cos a dz cos ß 01304. Доказать, ч т о з - = ---------- , = ----------- , если cos a, cos p,ハ dx cos у ,ду cp s 7 , i ,cos y 一 направляющие косинусы нормали к поверхности z = f (х,у).§ 4. ЭКСТРЕМУМ Ф У Н К Ц И И ДВУХ НЕЗАВИСИМ Ы Х ПЕРЕМ ЕННЫ Х1 . Экстремум функции. Ф ун кш ія z = f (х, у) имеет максимум (минимум)в точке М 0 (х0; ус), если значение функции в этой точке больше (меньше), чемее значение в любой лругсй точке М (х\ у) некоторой окрестности точки уИ0,т. е./ ( ズо,Уо) > f (х,У) [соответственно / (xQ, у0) < f (х, у)] для всех точек М (х\ у), удовлетворяющихусловию I М 0М I < Ö, где 6 — достаточно малое положительное число.Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка M 0tв которой функция имеет экстремум, называется тонкой экстремума.201

Если дифференцируемая функция z = f (х,у) достигает экстремума в точкед |0 (л:э; у0), т о ее частные производные первого порядка в этой точке равнынулю , т . е.àf (х0, Уо)__0 àf (х0, у0) _ пдх ’ ду(необходимые условия экстремума).Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарнымиточками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.Пусть М 0 (х0; уо) — стационарная точка функции z = f (х} у). ОбозначимЛ—が/ (ぶо, Уо) D—が/ (ズо,Уо) p _ d2f (ル,г/о), 一 дхду ’ — ~д і2— "и составим дискриминант А = АС— В2. Тогда:если А > 0, то функция имеет в точке М 0 экстремум,а именно максимумпри Л < 0 (или С < Ô) и минимум при Л > 0 (или С > 0);если А .< 0,то в точке М 0 экстремума нет (достаточные условиян аличия или о т с у т с т в и я экстремума);если Д = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).1305. Найти экстремум функции z = x2-{- ху + у 1— Зл:— &у.Д Находим частные производные первого порядка: — = 2 х - \-у — 3, ^ =^=х-\-2у— 6. Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находимстационарные точки:12x4- //— 3 = 0, л л 0{ . 0 г ハ откуда х = 0 ,у = 3; М (0; 3).\ x + 2y — 6 = 0 tНаходим значения частных производных второго порядка в точке М :d2z d2z __0 d2z tдх2 — , ду2 ,дх дуи составляем дискриминант Д = А С _ ß 2 = 2.2 — 1=3 >0; А > 0. Следовательно,в точке М (0;3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этойточке 2min = —9. ▲1306. Найти экстремум функцииг = ү(47;~ x —у) ( у + f ) •Д Находим частные производные первого порядка:dz 1 2 , 47 02 1 1 , 4 7Ш ^ ~ Т 2 У~ 1 - Х+ Т ' ^ ~ Ү У~Т2Х + Т -Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находимные точки:47I む + г/= 1 8 8 ,I - T2ÿ_T-v+T=0,j — 士 " — 士 АГ+ 芽 =0,\ A-+6ÿ=141.стационар-Отсюда л* = 21, " = 20; стационарная точка М (21; 20).о 一 が2 2 d2zНайдем значения вторых производных в точке A i: — — , - ^ - = :С/л"* «Э (У1/'л= 2 " ’ ~дх~ду= ~ І 2 • Тогда А = АС — В 2 = ( 一 2 ,3 )( 一 1 / 2 ) — (— 1 /1 2 )2 = 1/3 —一 1/144 > 0.Т ак как Л く 0, то в точке ルÎ (21;20) функция имеет максимум: г тах = 282.Д205

Найти экстремумы функций!1307. z :1309. г--:ху2(1— х — у).:4 — (х2 + у2) 2/3.1308. z = x3-\-у9 — 15ху.1310. z = (x2 + y2) (е -^ 2+у2)— 1).1311. г : (ß—х) (ß—у) (х ~\~у- -а).2. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функциив замкнутой области. Условным экстремумом функции z = f (х,у) называетсяэкстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаныуравнением ф (х, у) = 0 (уравнение связи).Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычныйэкстремум так называемой функции Лагранжа u = f (х, у) + Яф (x, y)t где 入 一 неопределенныйпостоянный множитель.Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:0,作 ,") = 0.Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные x, у vlД ля того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутойобласти, надо:1 ) найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислитьзначения функции в этих точках;2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующихграницу области ;3) из всех найденных значении выбрать наибольшее и наименьшее.1312. Найти экстремум функции г у при условии, ЧТО X И усвязаны уравнением 2х-{-Зу — 5 = 0.Д Рассмотрим функцию Лагранжа и = ху-{-Х (2х-\-Зу -ии мс 一:у+2 入 ,диd'y ニл :+ 3 入 . Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)( у + 2 入 = 0 ,■! % + з 入 = о ,ダ ー 5 = 0находим Х = — 5/12, л: = 5/4, г/= 5/6. Нетрудно видеть, что в точке (5/4; 5/6) функцияz = x y достигает наибольшего значения 2тах = 25/24. ▲1313. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадьюS найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.Д Пусть x и у 一 катеты треугольника, a z — гипотенуза. Т ак ка к z2 = x2-\-y2tто задача сводится к нахождению наименьшего значения функции х2-]-у2 приусловии, что х и у связаны уравнением ху/2 = 5, т. е. ху—2S = 0. Рассмотрим функциюu = x 2Jr y2-\-'k{xy— 2S) и найдем ее частные производныеш = 2 х+ 1 у' ^ 2у+кх-Так к а к ズ> 0, у > 0, то из системы уравненийполучаем решение 入 = —2, х = у = У ^ 2S,206f 2ズ+ 入 夕 = 0 ,•j 2y-\-}jc = 0y( a^//2 = *Sズ

Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольникаравны между собой. ▲1314. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z == X2 + У2 в круге (х —К 2 ) 2 + {у — Ѵ ^ ) 2< 9. _Д Здесь рассматривается область D , ограниченная окружностью (х — У 2)2+十 ^ /— У 2)2 = 9, включая и точки окружности.Найдем стационарные точки данной функции; имеем ^ = 2^, — = 2 г/; в силунеобходимых условий экстремума находим ズ= 0 ,у = 0 .Нетрудно видеть, что в точке (0; 0) функция z = x 2-\-y2 имеет наименьшеезначение гнаим = 0,причем указанная точка является внутренней точкой области D.Исследуем на условный экстремум функцию z = x 2-\-y2, если х и у связанысоотношением (л:— У~2)2 + (у— Y 2)2 = 9. Рассмотрим функцию и = х 2-\-у2 ++ 入 [(jc 一 У^~2)2-\-{у — V 2)2 — 9 ]. Находим частные производные 2ズ++2Х (х— У~2) , = {ÿ— Y 2). Для определения x, у п к получаем системууравненийГ а: ( л: — 2) = 0,I У+ 人 0/— V 2 ) = 0 ,{ ( Х- у - 2 У + ( у - Г - 2 У = 9.Эта система имеет два решения: х = у = ЪУ 2 / 2 , 入 = — 5/3 и 2 = 25; х = у == 一 У 2 / 2 , 入 = — 1/3 и 2 = 1 . Значит, наибольшее значение функция принимаетв точке (5 V 2/2; 5 У 2/2). И так, г паим = 0, zHaH6 = 25. ▲1315. Найти экстремум функции z = x2-{-y2, если х и у связаныуравнением х/4 + у/3 = 1.Найти наименьшее и наибольшее значения функций:1316. z = x2— ху-\-у2— 4х в замкнутой области, ограниченнойпрямыми х = 0, у = 0 ,2х-\-Зу— 12 = 0.1317. z = х у -\-х -\-у в квадрате, ограниченном прямыми х = І уx = 2у у = 2,у = 3.1318. z = xy в круге х1+ у21319. г = х2+ Зу2 + x — у в треугольнике, ограниченном прямымиX = I у у = 1 у х -\- у = 1.1320. z = 1 — x2— у2 в круге (х 一 1)2+ (у— 1)2^ 1.1321.г = sin ズ + sin y sin(;c + ÿ) в области 0 く ズく я/2,О ^ .у ^ .п /2 .1322. г = sinA;+ sin y + cos(A:+ y) в области 0 く л: く Зя/2,О ^ .у ^ З л /2 .1323. z = cos x cos у cos {x-\-ÿ) в области 0 く л: く л, 0 く у く я.1324. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот,площадь которого наибольшая.1325. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найтинаибольший по площади.1326. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найтитакой, периметр которого имеет наименьшее значение.1327. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющегопри данной полной поверхности S максимальный объем.

Г Л А В А I XНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ§ 1 . НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.ЗАМ ЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ1 . Непосредственное интегрирование. Ф ункция F (х) называется первообразнойдля функции / ( ズ),если Ғ ' (x) = f (х) или dF (л:) = / (д:) dx.Если функция / (д:) имеет первообразную F (х)ч то она имеет бесконечное множествопервообразных, причем все первообразные содержатся в выраженииF (.y) + Су где С— постоянная.Неопределенным интегралом от функции / (ズ) (или от выражения / (дг) сіх)называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: [ / (a:) dx = F (д:)+С.'JЗдесь ^ 一 знак интеграла, / (л:)— подынтегральная функция, / (дг) dx--подынтсг-ральное выражение, х — переменная интегрирования.Отьісканне неопределенного интеграла называется интегрированием функции.Свойства неопределенного интеграла(правила интегрирования)f J / (л:) dx^j = f ( x ) .2。 d (、\ f (x) d x) = f (x) dx.^ dF (x) = F (x) + C.\ af (дг) dx — a f f (x) dx, где a 一 постоянная.\ U l (x) ± / 2 (x)]dx= ^ fi( x ) d x ± 丨 f 2 (x) dx.Если [ f (x) dx = F (x)-\-C и u = (p (x), то [ f (u) du = F (u) + C.Таблица основных интеграловII.I I I.IV .V.dx = x-\-C,1 jçTTl +1xm d x = + C 1 при m Ф 一 1.m + 11dx:ln I л: l + C.dx\ + x 2dxVT-=arctg дг+С.= arcsin ズ+ C.V I. ^ ex d x = e x -{-C.nXV II ax dx = -:------ C,ln a 1V III. J sin д :^ = 一 c o s +IX . ^ cos д:cfズ= sin ズ + С.X . ^ sec2д; = л: + С.X I. (J cosec2 x dx = 一 ctg x-{-C.X I I . ^ sh x ^д: = сһ д:4 - С .X III.ch x dx = sh x-]-C.X IV .dxI 病 =thAr+cXV.П dxJ sh2ズー• cth д :+ С .208

1328. Н айти интеграл ^ (2л:3 一 5ズ2 + 7ズ 一 3) dx.Д Используя свойства 4° и 5°, получаем$ (2х3 — 5х2 + 7х—3) dx = 2 f x3 dx—5 ^ x2 dx-]-7 dx—3 ^ dx.К первым трем интегралам правой части применим формулу II, а к четвертомуинтегралу — формулу I:С (2 л;3 — 5ズ2 + 7ズ 一 3) dx = 2• *- 5 * ~ 7• — 3ズ + С* == j ^ - ^ x ^ + L x ^ - 3 x + C. A _” 士 』1329. Найти интеграл j (К л : + ジ - ケ 办 . 'л J (ハ + 由 )2ぬ=«f ( 对 2. # + 古 ) 办 == $ (л: + 2л:1/6+л:- 2/3) Лс = $ xdx + 2 $ x1/e d x + ( дГ2/3 dx =4 + 2 . 1 + 餒 + C 4 + V 2 A 4 K + ▲1330. Найти интеграл ^ 2х • 32x • 53x dx.Д C2ズ.32ズ.53ズ 办 = f (2.32.53ドゴズ= С2250^ dx = - ^ ^ + C . ▲Свойство 6° позволяет значительно расширить таблицу основных интеграловс помощью приема подведения функции под знак диффе рен циала.1331. Найти интеграл ^ (1 + х 2)1/2 xdx.Д Этот интеграл можно привести к формуле I I ,преобразовав его так:^ (1-\-х2)1/2 xd x = 七 Г (1-\-х2)1^2-2xd x = ~ Ç (1 + д :2) 1/2 d (1 + х 2).Теперь переменной интегрирования служит выражение 1+ д :2 и относительноэтой переменной получается интеграл от степенной функции. Следовательно,-i-1((1 + x y / 2 xd x (1 + х У ^ + С . і1332. Найти интеграл ^ («^2— Зл:+ I) 10 (2х — 3) dx.Д Здесь, поступая так же, ка к и в предыдущем примере, имеемj (х2— 3 х + \уо d (х2 — 3 х + 1) = ^ - (л:2— Зл:+ 1)п + ^ . ▲1333. Найти интеграл ^ (ln ty -Д Выражение — можно записать ка к d (ln /), поэтомуdt(ln ty d (ln 0 = y ( I n / ) 5 + C.209

1334. Найти интеграл ^ e3cos х sm x dx.Д Заданный интеграл можно представить так:j e3 C0SJ:sinA:rfA:=l J e 3COSJC.3sinArrfA:,но 3 sin д;ぬ = — d (3 cos x) , а потому:sin x dx :f e3 cosxd(3 cosx),т. e. переменной интегрирования является 3 cos x. Следовательно, интеграл беретсяпо формуле VI:: sin x dx =■"3éК+ С .1335. Найти интеграл ^ (2 sin л: -'г 3 cos x) dx.Д Находим^ (2 sinA;+ 3 cos x) dx = 2 J sinxdx-\-3 ^ cos xdx = 一 2 cos лг+З sin x-}-C(см. формулы V III и IX). ▲1336. Найти интеграл [ {tg x -\-c \g x )2dx.Д Имеем[ (tg x + c tg x ) 2 d x = ^ (tg2A:+ 2 c tg A :tg ^ + c tg 2jc) dx =(tg2A:+ l + l+Ctg2A:) ^ (tg2x + l)d x + Г (\^-ctg2x)dx =(см. формулы X и XI). ▲Найти интегралы:■J sec2 x d x J cosec2 = x — ctg x-\-Cdx1-Л :21337. [ x l^ x d x . 1338. 1339.dx./ X J У 1— Л:22—1340. dx. 1341. e3x -3X dx. 1342. Г tg 2 x dx,) l+JC1343.(shx— sin x) dx. 1344. j'x ------ し ) dx.1345.1347.1349.1351.I (2 tg x + 3 ctg x f d x . 1346. 5 x cos (x2) dx.Г dx 1348. ^(ax2 + b )^ -x d x .:ІП •^ V sinx cos x d x . 1350. ^ sin (a + bx) dx.[ cos (sin x) • cos x dx.2. Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неоп ре.деленном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:1 )д: = ф (/), где ф (0 — монотонная, непрерывно дифференцируемая функцияновой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет видJ f( x )d x = ^ f [ф (01 ф' (0 dt;

2) и = 中 (ズ) , где и — новая переменная. Формула замены переменной при такойподстановке:•J /№ W ] V W d x = ^ / (и) du._ 3 г"~1352. Найти интеграл \ 3■に dx.X2Д Произведем подстановку t = \ ^ х, т. e. x = t3. Эта подстановка приведетк тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не кореньиз нее. Найдем дифференциал dx = 3t2 dt. Отсюда получаемrs in ГЗ/2 ユin i d( = 3 Г s in /d / = - 3 c o s t+ C .•Отңет должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в результатинтегрирования t = \ / x t получимГ•sin Ѵ ~ х-dx = — 3 co s]/ ズ+ С .1353. Найти интеграл ^ (2л: + I) 20 dx.Д Этот интеграл можно найти и не производя замены переменной. Здесьдостаточно развернуть выражение (2д:+1)20 по формуле бинома Ньютона и применитьпочленное интегрирование. Однако этот прием связан с большим количествомвычислений. С помощью замены переменной можно сразу свести данныйинтеграл к табличному.Полагая 2л:+1= t f имеем 2dx = dt, т. e. dx = (\/2) dt. Отсюда получаемГ (2 л -+ іГ Л = 1 \ … 沿 = 士 士 21+ С = А (2 ズ+1)2і + С_ ▲Вообще, если интеграл ^ f (л:) dx является табличным, то интеграл ^ / (ax-]-b) dxможет быть легко найден с помощью подстановки ax-\-b = t.Например, применим эту подстановку к интегралу ^ sin (ax-\-b) dx. Имеемax-\-b = ty a d x ~ d t и dx = (\/a) dt. Следовательно,$ sin (ax-f- b) dx = J sin t ---- --- 丄 Ç sin t dt = -----!~cosВозвратившись к старой переменной, получаем$ sin (ax-j- b) d x = ------ cos (ax-\-b)-\-C.Аналогично можно показать, чтоj cos (ajc + Ь )ぬ : = 丄 sin (ад;+h) + C, Ç ぬ : = 丄 .е 似 + 办 + (Г и т. д.При нахождении интеграла \ f (ах-\- b) dx записи самой подстановки a x + b = tможно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, чтоd x = — d {ах-\- Ь). Таким образом,f (ах + b) d x = 一 F (ûjc+ ô) + C,где F — первообразная для211

1354. Найти интеграл ^ х 2 Ѵ х 3 -{-5 dx.А Положим |/^ズ3 + 5 = /; тогда x3- j- 5 ~ / 2. Дифференцируем обе части равенства:Зл:2 dx ~ 2і dt. Отсюда x2 dx = (2/3) t dt и, следовательно,^ x2 Y^ х6-{-5 dx = ^ ] / ^ 3 + 5 ズ2 d x = J t - 4- t dt = -^ ^ t2 dt == | я + с = 吾 ( j A i q r g ) 3+ c = | ( j c 3+ 5 ) \ Г 1 Ғ ^ Ъ + С .Данный интеграл можно найти и с помощью подстановки а:3 + 5 = た Эта подстановкасразу приводит интеграл к табличному вследствие того, что первый множительподынтегрального выражения х2 отличается от производной подкоренноговыражения л;3 + 5 только постоянным множителем 1/3, т. е. л:2 = (1/3) (л:3 + 5 )'. АВообще, если подынтегральная функция является произведением двух множителей,один из которых зависит от некоторой функции (ぶ),а другой являетсяпроизводной яр (дг) (с точностью до постоянного множителя), то целесообразносделать замену переменной по формуле г|) (л:) = t.1355. Найти интеграл С--------dx.А Перепишем данный интеграл в виде ' (2 1пд:+3)3ная выражения 2 】п л:+ 3 равна 2/х, а второй множитель 1/хиз водной только постоянным коэффициентом 2,то нужно2 In x-j-3 = L Тогда 2 .〜 = dt, 一 = - ^ dt. Следовательно,dx. Так как производотличаетсяот этой проприменитьподстановкуI (21n,+ 3 )3 f = ^ 3 . ^ ^ j /3(i, = ^ 4 c = |(2 1пл:+ 3)4 + С.1356. Найти интеграл J 4 ^ dx,А Произведем подстановку / (x) = t. Тогда / , (х) dx = dt иГС#« • d x = С Càt 丁 = l n 11 [ -(- С = ln I / (д:) I + С.J f(x)Например,语 = + 尚 如 + 丨 )+にЗдесь знак модуля опущен, так как х2- { - 1 > 0 . ^1357. Найти интеграл i , .А Положим f (к) = t . Тогда f 1(x) dx = dt иГ Г (X)d x = t ~ 1/2 dt = - ~ - - + C = 2 | ^ Т + С = 2 W + C.j v m J v~t J " 2_3аметим, что данный интеграл можно было найти с помощью подстановкиѴ Ш = ( - А1358ѳ Найти интеграл \ -,2+ $ , если a Ф 0.212

Д Д ля того чтобы свести интеграл к табличному (см. формулу IV ), разделимчислитель и знаменатель подынтегрального выражения на а2:Г dx _ Г _(dx) fa2 _ _1_ С d (х/а) _J A:2 + a2"~ J 1+ (x/a)2 ~ a J 1+ (x/a)2 *Мы подвели постоянный множитель 1/а под знак дифференциала. Рассматриваях,а как новую переменную, получимГ dx 1 . x . ^.arctg — [-С.J х2-\-а2 — а аК этому же результату мы пришли бы и с помощью подстановки x = at.с* dx ハ1359. Н а й т и и н т е гр а л \ マ! 二 了 ,если а > 0.J у а2—x2Д Разделив числитель и знаменатель на а, получаемÇ dx _ f (dx)/a p _ d (x/a), 1 ド a2—P 一 J ,]/ \ - ( x / a ^ 一 j V \~ (x /a y •Принимая xja за новую переменную, получимf dx x . ^\ .............. — = 3 г c s i n -------j- C .J ド a2—Л:2 aДополним теперь таблицу основных интегралов следующими формуламиXVI. ^ j ÿ d x = \n \f( x ) l + C.X V II. Г dx = 2 ]А /]7 ) + С.J У f (X)謂 1- L 為 = Х + С .x 丨Г , dX =arr.sin -4 -С .J У a2—хг aXXI. Г = ln \ x + V " ^ + J . \ + C.J y x2~\-XX X II. J ■ = ln 丨 tg 去 + C = In I cosec д: — ctg д:| -j-C .V c ô s x ^ ェ11 f g ( j + T ) = ^n I sec xJr ^ x\-\-C.XXIV.xdx —— In I cos x\-\-C.XXV. ^ ctg a: с/д:= In I sin jcI + C.Формулы I—XXV нужно знать наизусть, так ка к большинство интегралов,используемых на практике, сводится к интегралам, берущимся по этим формулам.1360. Найти интеграл ^ — ^ •213

Л Произведем подстановку У 2x—9 = t\ тогда 2x—9 = t2f лг= ひ2+ 9)/2 иdx = t dt. Итак,dx ^ t dt р dtx y 2x t2+ 9 . /2+ 9Применив формулу X V III,получимГ dx —------------— a rc tg y + С = — arctg 1~ 7^ +J х У 2 х ^ 91361. Найти интеграл( sin 2х dxѴ ^ З — c o s 4 a;А Произведем подстановку cos2 = тогда — 2 cos л: sin xdx = dt,sin 2х dx = — dt. Теперь находимsin 2х , Г dt t ハ— ——— — dx = — \ _— . = — arcsin - /__4 -С = — arcsinŸ 3 — c o s 4 a: J У 3— P Y 3(мы использовали формулу XX). ▲1362. Найти интеграл J 2 sin -|- + З^2c o s dx.cos^xД Применим подстановку 2 sin (jc/2) + 3 = /; тогда cos (х/2) dx = dt иj (2sin-J+3ycos|-dA := J = j p + c = + ( 2 s ln |+ 3 ) 3+C.1363. Найти интеграл Г —~-dxJ Y x w—2Д Применим подстановку xb = t\ тогда 5д:4 dx = d tt x4 dx = (l/5) dt и(см. формулу XXI). Итак,jx4 dxГ - 4 І-2J W=+17 f c =11пい+г и 丨 ド1364. Найти интеграл J パ+ 2лг2+ г .\п\хь+ У х ^ ^ 2 \ + С. ▲Д Преобразуя знаменатель дроби, получим д:4 + 2л:2 + 5 = (х2 + 1 )2 + 4. Произведемподстановку л;2 + 1 = /; тогда x dx = (\/2) dt. ОтсюдаГ x dx 1 С Г dt 1 1 . t . пJ а:4 + 2л:2 + 5 — 2 J T/2 H+ T 4 = 2','2 arctg" 2 + C(см. формулу XVIII). Таким образом,С x dx 1 , х2-\-\ѵ — -a rc tg ~ズ4 + 2ズ2 + 5 4Г е2х1365. Найти интеграл \ Fdx.Д Положим е2х = t t тогда е2х dx = (l/2) dt ие2х dx 1 +— i / " r' ポ ー i . 丨 - 1п t - V l ,е ^ —5 2 5 2 2 y S t + V l+ С214

(мы применили формулу X IX ). Итак,r e2x dx 1 } e2x — Y 5) タ _ 5 4^-5 n е2х + У ~6 + С.1366. Найти интеграле2х dxД Произведя ту же подстановку, что и в предыдущем примере, получимi е2х dx \ Г dt 1: + 5 一 2 J Z2 + 5 一 2 ド 5лос- тт о Р sin X + COS ド •13d/. Наити интеграл J ~ ^ ■ニ •-----—+ С =2 У'Ъ■dx.,2хarctg て7 ^ +АД Полагая У x = t ,x = t2,dx = 2t dt,получим• sin У X + COS У Xl/"x s in 2 |/"x' sin f + COS t 1 , 1dtsin t cos t. (sin f + cos t)-2tt sin 2tdt--:!( cos t 1 sin t I dt = \n tg T + T + ІП tg(см. формулы XXII и X X I II ) . Возвращаясь к старой переменной, получим(sin x cos У х )У~x sin 2Найти интегралы:d x = \n tgl + ln tg + し1368.1370.1372.1374.1377.1379.13801382dx.J V " 2 x - lsin (2— Зл:) dx.1369. ^ x3( l — 2 x y d x1371.^ д: ch (5x2+ 3) dx.dx1373. [ x ( x 2+ l ) ^ 2dx.(ДГ+ 1)V xxdx Г x dx Г sin 4x dx1375. 1376.ズ2—1•cos4 2ズ+ 4 •dx( х - 7 ) У х1378.У 2 — x2+ Ÿ 2 + ズ2У 4 一 ズ4dx.ex/2 dxY 16—パПредставить интеграл в виде суммы интегралов.x2 dx ч Г 5ズ+ 31381. 丨У 2 — За:3dxx2 — 6л:+ 2 5.1383.у 3—Д:2 dx.у Зд: + 5 dx. 1384.x dx"2л:4+ 53. Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называетсяхождение интеграла по формулеdx-на-и dv = иѵ — f v dut215

где и = ф (л:), с;= -ф(д:) — непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощьюэтой формулы нахождение интеграла ^ и dv сводится к отысканию другого интеграла^ v du\ ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграллибо проще исходного, либо ему подобен.При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается,а за dv— та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известенили может быть найден.Т ак, например, для интегралов вида ^ Р (д:) еах dx, ^ Р (д:) sin ах dxt^ Р (х) cos ах dx, где Р (х) 一 многочлен, за и следует принять Р (х),а за du 一соответственно выражения еах dx, sin ах dx, cos ах dx; для интегралов вида^ P (x) ln x dx, ( P (jc) arcsin x dx, ^ P (x) arccos x dx за и принимаются соответственнофункции ln x, arcsin x, arccos x, a за dv 一 выражение P (д:) dx.1385. Найти интеграл \ \nxdx.ИでД Положим и = \п х , dv = dx; тогда и==х, du = — . Используя формулу интегрированияпо частям, получаемJ ln x dx = x \п x — Г х ~ = х ln x — ^ dx == х ln x — х-\-С = х ^ п х — 1) + С. ▲1386. Найти интеграл \ arctg xdx.d уЛ Пусть u = arctg x, dv = dx, тогда du = -■2- , ѵ = х . По формуле интегрированияпо частям находимp p x dx 1j arctg = xarctg j ^ ^ 2 •= xarctgx— T ln ( i+ x 2 ) + C. 41387. Найти интеграл [ x sin xdx.Д Положим u = x f dv = sin x dx; тогда d u = d x , x = 一 cos x. Отсюдаf xsin xd x= ^ 一 x cos x-\- ^ cos xd x = 一 x cos A:+ sin x-\-C.Если бы выражения и и dv мы выбрали иначе, например rz = sin x, dv = x dxfто получили бы du == cos x dx, г = (1/2) x2t откудаГ 1 Г 1 1 1 Г\ x sin xdx = y x2s in x ~ ' ү x2 cos xdx = ү -^2 sin x — j x2 cos xи пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный,множителя при тригонометрической функции повысилась на1388. Найти интеграл [ х^ех dx.так ка к степень соединицу.▲Д Положим и ~ х 2, dv = ex dx; тогда du = 2х dx, v = e x.интегрирования по частям:Применяем формулу▽ х-ех dx = х2ех — 2 [ хех dx.21G

Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти \ хех dx,применимеще раз интегрирование по частям. Полагаем и = х , d v = e x dx; тогда du == dx, ѵ ~ е х иx2ex dx -~-x2ex - 2 ( ズ^ " 一 J exd x sj = x 4 x— 2xex-ir 2e^-\-C=ex (x2~ 2 x + 2 ) + C.1389. Найти интеграл I = \>ex sm xdx.Д Пусть u = e x , dv = sin xdx\ тогда du = e x dx, v = — cos x. Следовательно,- —t -ex cos x-4- \ ex cos xdx.Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, таккак интеграл не упростился. Попробуем, однако, еще раз проинтегрировать почастям. Приняв и = е х , d7J = cos xdx, откуда du = е х dx, u = sin x, получаемI = 一 ех cos х-\-(ех sin x — / ) ,т.е. I = —ex cos A^+e^.sin x — I .Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой частиснова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неиззестныминтегралом I . Из этого уравнения находимех2 / = ~ ех cos х-\-ех sin х, т.е. I = ~ 2 (sin х — cos х) + С.В окончательном результате мы прибавили к найденной первообразной функциипроизвольную постоянную. ▲1390. Найти интеграл [ V а и 一 x2 dxt если а > 0.x dxД Положим и — Ÿ от— x2, du = dx, откуда du = ------ — , ѵ^=х. Следо-У а2 — x2вательно,У а2 ~ х 2 dx = x У а2 一 х2 一 ^ ド ミ - = х У а2— д;2— J й- ~ : dx’илиОтсюда получаемт. e.Г (/" а2— x2 с іх = х У а2— х2 ^ У а2 一 хг dx-\-a2 arcsin — .J り аへ2 У а2— x2 dx = x l^ a 2— ズ2 + a2 arcsin 三 ,f У a- —x2 dx = ү x y^a2—arcsin —+ C ▲1391. Вывести рекуррентную формулу для интегралаД Заданный интеграл можно преобразовать так:, _ С dx 1 Г а2 + х2~ х 2п= ] (x°- + a2)fi~" J T^2+ û2)ri_ 1 f dx 1 Ç x-xd x _ 1 J 1 г .. xdxa2 J (a:2+ û 2), 卜 1 a2 J (Ar2-j-û 2) ^ ~ a2 , 卜 1—a2J л.—レ2 十 а2рdx(x2-\-a2)n '217

Положим и = х. dv =» тогда du = dx,(х2-{-а2)п(x2-\-a2)'-n-d (Jt2 + а2)=и = 2* J い ^ и ) .“ い 卞 り — 一 2(/г-1) (х^ + а ү -откудаГ 1 іГ dx 1^n~~zr а ん-ï + [2(«~ _ . 1 ) (х2 + а2) « - 1 2 (п — 1).) (х2-\-а2)п~ 1 \илиг _ 1 r , x In — a2 卜 1 十 2û2 (n — 1 ) ( ^ + а2) « - 1 2а2 (n — 1) n"uT* e# x . 1 2«—3n 2a2 (な 一 1 )(W + a 2) « - 1 十 " п'ьПолагая п = 2, получаем выражение интеграла / 2 через элементарные функции.Полагая теперь п = 3, находим интеграл / 3 (ведь интеграл / 2 уже найден).Таким образом, можно найти I п при любом делом положительном п. ▲Найти интегралы:1392. \ х \п х dx. 1393. ^ arcsin1394. ^ x2arctg x d x . 1395. ^ (ズ+ 1)が dx.1396. ^ x2sin x dx. 1397. \ хъех2 dx. 1398. \ l / x 2+ À dx.О Положить X2 = t.1399. ^ {x2+ 2л: + 3) cos x dx. 1400. J e2x cos xdx.1401.J sin \nxd x. 1402. j sin Кл: dx.Ф Положить Y^X = t .§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИО Н А ЛЬН Ы Х ДРОБЕЙI . Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется дробьвида P (x)/Q (jc), где Р (х) и Q (л:) — многочлены. Рациональная дробь называетсяправильной у если степень многочлена Р (х) ниже степени многочлена Q (х)\ в противномслучае дробь называется неправильной.Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующеговида :! . 丄 ;x 一 аj[II. -------— , где т —целое число, большее единицы;(ズ 一 а)■^ズ I В п2I I I . , где ------- ^ < 0, т.е. квадратный трехчлен x2-\-px-\-q неимеет действительных корней;IV . ---5—— 石 где п — целое число, большее единицы, и квадратный(x2 + p x + q ) n и гтрехчлен х2-{- px-\-q не имеет действительных корней.Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р,q,a 一 действительныечисла. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробямиI , I I , I I I и IV типов.218

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеемj - - dx = A \n \ x — а І + С;Ç A d x — А 1 丨II,J (jc— а)гп~ m — l ( ズ 一 一 3■ 十ттт f dx 2 , 2 jc + p . - ,I I I. \ -тл------- 厂 = r — -------arctg ■■ 厂 1 二 Г - + ( :•J x -\~РХ~\-Я 4g— p2 Y — p2Действительно, для этого частного случая простейшей дроби I I I типа получаем•*z+ P X + < 7 = ト + 4 ) + 9 — や ,или x2-\-p x + q = t 2+ a 2,Р Т / ~ 丨где / = ズ+ 令 ,а = ~ ~ ~ 2 ' (здесь •■ 一 Я < °)> откудаf dx f dt \ 丨 t , 广 2 2x-\-p .1 — 1 . arc^g• 一 + C = - ニ------------ arctg ■ r —-\-C.J x2 + p x + q J / 2+ a 2 a a ү 4q— p2 Y A q — p21403. Найти интеграл j ズ2+6ズ+ !^ ~.△ Г _ _ ds ____ = Г____ dJL_ = r_A(f+3) .= i arct £ ± g +じ J ズ2+ 6 ズ + 25 J (JC+3)2+ 1 6 J (Л:+ 3 ) 2+ 1 6 4 8 4 卞1404. Найти интеграл J 2 ^ —2л:+ ° " e△dx 1 Г dx _ - 1 [ . dx2x2 — 2x-{-32 J ズ り + 吾 2J Н ) Ч 4 - І )1f a {X^ Y J : 1 2 … X~T ^="2 ' ~ — " . 、* ( >^5 V = 2 " W g "F ^ 2 + C :9jh—1J - + C .Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби I I I типа.Требуется найти ^ р + + 丨 . dx, -----q < 0. Выделим в числителе дробипроизводную знаменателя. Для этого числитель представим в видеА х-\-В = (2х JrP ),~2-------- 卢 + 凡г ^ ± £ _ „ = 4 г _ ^ ± £ _ , х + ( в _ ^ е ^J x2 + p x + q 2 J x2+ p x + q 丁 、 2 ノJ ズ2 + 厂 ズ+マВ первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому^ x ^ r ^ x P+ q d x = ln (x2 + px + q) + C,так как x2 + p x + q > 0 для любого значения х. Второй интеграл, как уже былоотмечено, находится по формулеГ-----—----- = ------ ‘ arctf7 2ズ+ р I rJ ^2+ p x + g ^ 4 ^ 2 c g ド^ Z i p 十 し219

Итак, X+B dX = 4 ln Cc2 + f + 9 ) + — ニ arctg — ^-j-px-j-ç 2 ' У \q —p2 Ÿ \q — p2_ S x ~ \ _1405. Найти интеграл Г — dxx2 —4 л:+ 8Зд:— 1(2л:— 4)— 1△ J Р — む+ 8 d x = ) ж2__4д. + 8 dx =T і -Ғ ? 4 ^ І8 Л +^ - £ + 8_=Т 1п(а:27 4Л:+ 8) + 51 (х~2У + 2^= ln (х2 — む + 8) + 万 arctg — -----\-С. ▲xdx1406. Найти интеграл2ズ2 + 2ズ+ 5 .ГЛ j2^+2x + 5 = j 42х^ + 2х + 52 办 =I І が .ぶL 将= 了 ln (2ぶ2 + 2ズ+ 5)---- 2"~2 Г --------------5~ ~"4" (2ズ2 + 2ズ+ 5)—J л+ ズ+ Т~ Т f ( i у Л з у = т 1п(2^ + 2 ^ + 5 ) _ Т ' 3 ^ arctg'i 1 7 ^ '+ c =J [ x+ Y ) + { - 2 ]= - |- ln (2^2- f 2 ^ + 5)-4-arctg ^ j ^ + C. ▲1407. Найти интеграл ^ ヌュユ:, 丨 dx.А Предварительно в этом интеграле произведем замену переменной х2 =тогда 2х dx = dtf x dx = (\ /2) d t• Следовательно,(2x2 + S)xdx __ 1 Г (2/ + 3) dt 1 +1) + 2W + P + l T J t2+ t + \ 2 J i2+ t + \=-2-ln(/2 + /+l) + -pr^arcig

Эта формула позволяет после (п — 1)-кратного применения свести данныйdtинтеграл I п к табличному интегралу ^/2 + а21408. Найти интеграл / 3dx(jc2+1)3Д Здесь п = 3. После первого примененияТг г Г dxі\ интегралу / 2 = J снова применяемлагаем п = 2):Итак,рекуррентной формулы получаем1 x ^ 2-3 — 3 1 x i 3 ,3 ~ 2 (3 — 1) ( л - 2 + 1 ) 3- 1 1 2 - 3 — 2 сト 卜 Т (ズ2 + が 十 Т ゾ2.рекуррентную форшглу (здесь по-j 1 x - 2*2—3 j/2==272—1)* (^ + І)2- 1 十 2.2 —2 2 2 ズ2+1 1 2Һ:x . 1 p dx x i 1 + ,ハ— 2(x2+ l ) (■ 1 2 万 J \ x2+ ѵ2 丄 \ 1 =2(л:2+9 〜2 丄 1П)~Һ"9" аГС^ x i C.Окончательно имеемJdx x , 3 「 x , 1 arctg л:(JC2+ 1 ) 3 — 4(x2+ l) 2 1 4 L2(JC2+1) [-+ C.Г 似 X + ^ 6 r î r + 4 a r c t g x + C .(x2+ l ) 3 一 4 (ズ2+1)2 1 8(л:2+ 1 )Покажем теперь в общем виде, ка к интегрируются простейшие дроби IV типа.で 产 Г Лх + В , > 2 ノлТребуется наити j レ2 + рх + ?ў Г み’ j — ? < 0.Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:Г Ах + В, Г^-(2Х+ р) + (^В— ~ 厂 ノJ (л-4-/« + ?)" dX = J (x^-px + q) - き= А Г_ _ 2л ± і_ _ ах+ ( в - ^ Л Г _____^ ____2 J (x2 + px + q)n V 2 ノJ (x2 + px + q)n *Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью подстановкиҳ2-\-px-\-q = t, а второй преобразуем так:ах ** dx(x2 + px + qytl 、 十 2 ノ2+ Ю _пп2Полагая теперь dx = dt и обозначая q— -г - = а 2, получаемГ cîx С dtJ { ^ - \ - p x + q)n — J ( t 2+ a 2)nТаким образом, интегрирование элементарной дробивыполнено с помощью рекуррентной формулы.1409. Найти интеграл J ■ 丄 ‘)フ 丄 丨 , ぬ .IV типа может быть221

Д Имеем3ズ+ 2 , [- 2 (2 ^ + 2 ) + ( 2 - 3 )- d x = \ — , 0 , ^ ~ , ハ、0~ ~ ах-J (х2 + 2х + 10)2 J (ズ2 + 2ズ+ 1 0 ) 2_ 3 Г 2х + 2 , Г dx. ~2 J (л;2 + 2л:+1б)2 J [(л:+1)2 + 9]2-В первом интеграле произведем замену д:2 + 2д:+ 10 = 2 , (2л:-f-2) dx = dz, а вовтором интеграле положим х -\- 1=/, dx = dt. ОтсюдаГ Здг+2 3 Г rfz С dt 3 Г м Г dt) (ズ2+ 2ズ+10)2 Х = - 2 ) ~ 7 ~ ) (/2 + 9)2 2 J г J T ^ + 9 )21 t , 1 2.2 — 3 Г dt~2Z —1_2(2— 1).9. (Р + 9)2- 1_г¥ . 2-2 — 2 * J /2 + 93 1 t 1 1 , / , ^= 一 石 — 一 Tâ• 了 a rc tg T + c -Возвращаясь к старой переменной, получаемЗх-\-2 Â 3 1 л г + 1 1 ハ” ハ+ЛЧ• ズ+ 1 t г{x^ + 2 x + W 2(л:2 + 2л: + 10) ~І8* (ズ+ 1)2 + 9 " 5 4 3 ° g ~ 3 ^ し:_______ ^______ 丄 ___ І+ І____ J-arct^ + ▲2 レ2 + 2ズ+ 1 0 ) 18 л:2 + 2л:+10 54 ё 3 卞 し. ÄНайти интегралы:1410.1413.1415.1417.dx 1 4 1 1 . 1 4 1 2 .(x— l)4 .J (2 л: + 3)3'x2dx 1 4 1 4 . し 々 2ズ6 + 2ズ3 + 3 ................... J x2 — 4x-i-75 ズ+ 3 .dx. 1416. 「 X+1л:2+ 1 0 х + 29 J Ъх2 + 2 х + 1dx 1418. Г ;o2x+ 3— dx.(ズ2 + 2)3 • J (ズ2 + 2ズ+ 5)2dx.idxx2—6л; +18 '2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшиедроби. Перед интегрированием рациональной дроби Р (x)/Q (ぶ)надо сделатьследующие алгебраические преобразования и вычисления:1)если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целуючасть, т. е. представить в видеР (ズ) = jy [ (д.) ! 尸 1 (ズ) ^Q (x )~ ( ) + Q(x) fгде М (д:)— многочлен, a P i (x)/Q (x) — правильная рациональная дробь;2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:Q (х) = (х— а)т •. • (x2-\-px-\-q)n ..ѵ2где —------^ < 0, т. е. трехчлен ズ2+ /?д: + g имеет комплексные сопряженные корни;3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби;дPi 1 (x) い7 — ん“ 丄 ! … IQ (x) — (x — 丁 (ズ 一 - 1 X — CL, __O lズ+ し1___ , 02АГ4■し2 J_ I Dnx ~\~^n 丨 ー •••• 丁 (x2+ px-{-q)n 十 (ぷ2+ Pズ+ 介 卜 1 十 … 十 ズ2+ /7ЛГ+ ヴ … ,4) вычислить неопределенные коэффициенты А2, ...? Лт і . .. ? B i,CùВ2у С2у , Вп, Сп, для чего привести последнее равенство к общему знаме-222

нателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правойчастях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительноискомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом,придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовыезначения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождениюинтегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.Случай 1 . Знаменатель имеет только действительные различные корни,т. е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.1419. Найти интеграл Ç ズ2 作 +6 -dx.(x— 1)(х— 2) (х— 4)Д Так как каждый из двухчленов х — 1,х —2, х 一 4 входит в знаменательв первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представленав виде суммы простейших дробей I типа:Ь ズ2 + 2ズ+ 6 Л , ß 丨 С(х — 1)( х — 2) (х 一 4) x — 1 丁 ぶ 一 2 丁 欠 一 4.Освобождаясь от знаменателей, получим ,х2 + 2х + 6 = А (х— 2) (х—4 )+ В (дг— 1) (а:— 4)+ С (д:— 1)(д:— 2).(*)Следовательно,х^ + 2х + е = А (л:2—6л:+8) + 5 (л:2 — 5дг+4) + С(л:2—3ズ+ 2).Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:^2 + 2 л ;+ 6 = (Л + Б + С)а:2 + (— 6Л — 5 5 — З С )л;+ (8Л + 4Б + 2С).Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений( л ß С = 1 ,イ — 6Л — 5ß — ЗС = 2,I 8Л + 4Б + 2С = 6,из которой найдем Л = 3 , В = — 7,С = 5.Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид_ х 2 + 2х + 6 ___ _3___ 7 , _ 5(х— 1) (х — 2) (^ — 4) 一 x — 1 х —2 х — ^ 'Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. Послеосвобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколькосодержится в системе неизвестных, в данном случае— три частных значения.Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнямизнаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобожденияот знаменателя мы получили равенство (*). Действительными корнями знаменателяявляются числа 1 ,2 и 4. Положим в этом равенстве x = \ t тогда12 + 2.1+6 = Л(1—2)(1—4)+ß(l —1)(1—4) + С(1 —1)(1-2),откуда 9 = ЗЛ, т. е. А = 3 . Полагая х = 2, получаем 14 = —2В, т. е. В = —7;полагая д: = 4, имеем 30 = 6С, т. е. С = 5. В результате получились те же значения,что и при первом способе определения неизвестных.Таким образом,「 ^ + 2д: + 6 .dx = 3 [ J ^ L _ 7 ^ + 5 r d xJ (х — 1)(ズ _ 2) (х — 4) 0 x — 1 J x — 2 j x — 4=3 1п ] x — 1 I 一 7 ln I х — 2 1+ 5 ln I x — 4 | + С = ln — ~ " (ご、プ )I \х~^)+ С.223

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторыеиз них кратные, т. е. знаменатель разлагается на множители первой степении некоторые из них повторяются.1420. Найти интеграл j (а-_ ^з~ |Л.1+ 3 ) dx.Д Множителю (x— I)3 соответствует сумма трех простенших дробей --------j-pВ с■|--------- 「 ,а множителю дг+З — простейшая дробь . Итак,(ぶ 一 1)JC2 +С , D(л:— 1)3 (ズ+ 3) (л:— I)3 丁 (x— +Освободимся от знаменателя:л:2 + і = л (х + 3 ) + В (х— 1) (л:+ 3 ) + С (л:— I) 2 (x + 3 )-\-D (х— \)3.Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и 一 3. Полагаяズ= 1 , получаем 2 = 4Л , т. е. Л = 1 /2 . При х = — 3 имеем 10 = —64D, т. е.D = 一 5/32.Сравним теперь коэффициенты при старшей степени дг, т. е. при д:3. В левойчасти нет члена с х3, т. е. коэффициент при х3 равен 0. В правой части коэффициентпри x3 равен C + Z). Итак, C + D = 0, откуда С = 5/32.Остается определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь еще одноуравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов приодинаковых степенях х (например, при х2) или придав х какое-нибудь числовоезначение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможноменьше. Полагая, например, х = 0, получаем\ = 3 A - 3 B + 3 C - D , или i = | _ 3 ß + 碧 + А , т. е. ß = 音 .Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет видх2+ \ _ 1 3 5 5(jc— 1)3 (л: + 3) 2 (x— り3 十 8 {x— I)2 十 32 (л;— 1 ) 32(ズ + 3) •Таким образом, получимГ х2+ \ r f 1 Г dx 3 Г dx 5 Г dx 5 С dxJ ( ^ - і ) 3(^ - 3 ) х =~ 2 ) (ズーi)3 十 (ズーi) 2 十 恧 一1 3 5 . x — \4 (x— \)2 一 "8(jc— 1 ) 十Тогдаニл у ч а й 3. し реди корней знаменателя имеются простые комплексные корни,разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.dx1421. Найти интеграл [ хъ-Д Разложим знаменатель на множители:x 5 一 х2 = х2 (х3— \) = х2 (х— 1)(л2 + л:+ 1)._ J ___ _____________ 1 А В f С _ _ D x + EХЪ— X2 — X2 (х— 1)(д:2 + Д:+ 1 ) X2 X X— 1 Л2 + Д:+ 1Освобождаемся от знаменателя:224\ = А ( х - \ ) ( х 2 + х-\-\) + Б х(х — \) (х2- \-х + \) ++ Сх2 (x2-\-x -\-\)-\-(D x + E ) x2 (дг— 1).

Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1.При х = 0 имеем 1 = — А, т. е. А = 一 1 ; при х = \ имеем 1 = 3 С, т. е. С = 1 /3.Перепишем предыдущее равенство в виде\ =zA (x ^ ^ \) + B (xi —x)-\-C(xA+ x i + x 2) + D x A+ E x ^ —Dxi — Ех2.Сравнивая коэффициенты при дг4, дг3, х2, получаем систему уравнений( B + C + D = OiI Л + С + £ — D = 0 #I С 一 Е = 0^из которой найдем В = 0t D = 一 1/3, £ =1/3. Итак,Следовательно,,1 1 . 1 ズー1х^—х^ Jt2 卜 !"(ズ ー 1) 一 3(x2+ x + l> . . . グ ,. ‘ •) = — J -X^ x + T dx^T + T l n ^ - l | —g 1 C 2 x + l- dx:J ズ2+ ズ+1+ 音 ln I(x 一 1)I 一 耳 ln (x2 + ズ+ 1). 1 t (x— \)2 , 1 . 2 x + \ .: +"6 ln x2+ .^ + r + T î arc g y rСлучай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни,т. е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.1422. Найти интеграл ^ dx.Д Так как ズ2 + 1 есть двукратный множитель, тоズ3 — 2х Ах-\-В . Сх-{- D一 +(ズ2+ 1 ) 2 (ズ2+ 1 ) 2 * x2+ lОсвобождаясь от знаменателей, получимx3— 2x = A x + B + (Cx + D ) (ズ2 + 1).Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:?f 1=С,0 = D,一 2 = А С \ А = 一 3|он О== В -j-D; В = О,Следовательно,Г x3 — 2х _ Р 一 Sx'dx . С 'x d x _ 3 Г d (д:2 + 1). 1 Г^(Д:г+1)J ( ^ + І ) 2 = J (A;2 + 1)2 --2 J (^ + 1 ) 2 十 2 J W+l!(パ+ 1 )ln (x2 + l) + C.Заметим, что данный интеграл можно было найти проще с помощью подстановких2-\- \ = Л ▲8 № 1474 225

1423. Найтн мнтеғрал j* パ 十 g 十 7“ .Д Выделим целую часть данной неправильной рациональной дробизズ + 3 ぶ2 + 5 х + 7 |д:2+ 2Итак,Отсюда находимЗ х + І9+ Зд:2 + 5д:+7— 太 + 3 + Зд:+1パ 十 2 叫 х2 + 2 •j む ^ ± Z K 苟 卜= У д: 办 + 3 j 办 + j 4 パ + 3 jf + 1 j j= = ' 2 x2~\-^x + " 2 (^2 + 2) + p ^= arctg -pr= + C. ▲1424. Найти интеграл j - ? ^ 6-^^.411х+6- dx.dx72+ 2 :i;Д Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то ееследует сразу представить в виде суммы простейших дробей. Легко видеть, чтомногочлен д^ + 6д:2+ 1Ідс+6 обращается в нуль при х = 一 1Упоэтому он делитсябез остатка на х-{-1 . Выполним деление:226Следовательно^—パ+ 6 ズ2+11ズ+ 6 卜 +1х3+ パ F + ö F fö5a:2 + 1 U5х2+ 5х6x-j-66ズ4"6^ + 6^2+ 1 1 ^ + 6 = ( ^ + 1 ) (д:2 + 5д: + 6) = (л:+1) (х + 2 ) (х + 3 );д:+4 — дг+4 _ Л . ß . Сл:3+ 6л:2+11л:+6 (jc+l) (х+ 2) (лг + З ) 厂 「Г 十 开 2 '"і+З*Освобождаясь от знаменаг ей, получимд:+4 = Л (д:+ 2 ) ( л:+ 3 ) + Б ( л:+ 1 ) ( л:+ 3 ) + С (л:+ 1 ) ( л:+ 2 ).Полагая х = — 1,найдем 3 = 2Л, т. е. А = 3 /2 . Если х = —2, то получим: 一 В, т. е. В = —2. При х = ~~3 получим 1=2С , т. е. С = 1 /2 .Итак,Г х + 4 ^ 3 Ç dx a Ç àx , 1 f ^ _J ^+6л:2+ іи + 6 — 2 J х + і ^ J Г + 2 + "2 J Г+3= ln I ДГ+11 一 21п|д г+ 2 | + 了 1п|дг+3| + С. ▲1425. Найти интеграл ^ dx.

А Прежде всего нужно выделить целую часть:Следовательно,— л5+ 1 \х^— 8х2+ \ 6ニ ど 一 8ズ3+ 1 6 ズ ( Sx3— \6 x + l8л3 — lo ^ - f 1 х 十 # 一 8х2+ 1 6jf5+ î , 8х3— 1бд: + 1 , 8д^—16jc+ 1д4 —8ズ2 + 16— 丁 十 一 一 8ズ2+ 0^2 I 16—み ӀЛ =Д:+ 丁 (ズ 一 2)2(ズ+ 2)2Разложим теперь правильную дробь на простейшие:8パ 一 16jc+1 A ß 丨 С 丨 D(х — 2)2 (х + 2 )2~ (х— 2)2 十 ; ^ 十 ^ Г Р ^ )2 Гх -Ү 2 'Освободимся от знаменателей:8ズ3— 16а:+ \ = А (х+ 2 )2+ В (х —2) (х+ 2 )2 + С (x —2)2 + D (х — 2)2 (дг+2).Полагая дс= 2, найдем 33 = 16Л, т. е. А =33/16; При х = 一 2 получим—3 1 = 16С, т. е. С = —31/16; Если x = 0t то 1= 4 А 一 8ß-)-4C + 8D. Заменив Аи С их значениями, получаем1 = 穿 —85— 专 + 8Л, или — 1 6 ß + 1 6 D = l.Для того чтобы найти ß и D, составим еще одно уравнение. Сравнив коэффициентыпри x3, получим 8 = ß + D. Решив систему уравнений( ß + D = 8,I6ß + 16D = 1,находим D =129/32, В =127/32.Итак,Р хъ+ \ ,, г f 「 Г , 33/16 バ 6 ,127/32 31/16 129/32àxf— 8ズ2+ 1 6 ド以 — う J 卜 丨 ■' + 丁 (ズ ( х一 - 2)2 ) ^1 х ~ 2 (х + 2 )2 1 х + 2x2 33 ,127. , ОІ . 31.129. . , ОІ , ^■ln [дс—2 | + 1C , . 4 - ^ 1 п | ^ 4 - 2 | + С.一 2 一 16(jc—2) 丁 32 1 1 「16(дс + 2 ) 1 321426. Найти интеграл 'Д Подынтегральная функция является правильной рациональной дробьюи можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы простейшихдробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произвестизамену переменной х —1= t \ тогда x = t-\-1 ndx = dt.B результате получаемJ _____2_ 1 一 小 厂 , _______1 - 2 -• f " 3 P 一 40 丁 — 2(jc— l) 2 3 (x— 1)^1 . r 6x2—4 x + \ r+ C= ----- 19/v—Üi~ + C. ▲4 0 — 1)4 丁 12 (ズーり41427. Найти интеграл j* 》 .+ 6л:2:|:-ғ •Д Преобразуем знаменате‘іь: x4 + 6х2 + 5 = (л2 + З)2 一4. Теперь имеем8* 227

Произведем замену д:2 + 3 = ら тогда 2xdx = dt иГ xdx — С xdx — 1 С dtJ л^+6л:2 + 5 — J (パ + 3)2 — 4 — 2" J F — 4 '+ ln |h^|+c=+ln^TÈ+c.Из последних двух примеров вң^им, что иногда перед интегрированием рациональнойдроби сл'ёдует произвести замену переменной. ▲һаити интегралы14281430.1432Г Бх3— 17ズ2+18ズ 一 5 t -01. Г dx) - {х- Щ 7 - 2 ) dx' >431.! 装 - 1433, J (je2—2д:)2 •1434.1436." + h 1435. f m 料 し 、dx.(ズ2+ 1 ) い 2 + 9) * J (jc2 + 4) (л:2+ 2 л :+ 5 )ズ2+ 2 也 1437. f x2dxj^ + 4 マリ“ Jjc2 — 4л: + 3.• Представить знаменатель ввиде л^ + 4 = (х2 + 2)2—4х2.Ш 8 . 1439-1440. ^ 3x3 + x^ 5 x + ldx3. Интегралы вида \ R (ех) dx, где R — рациональная функция. С помощьюподстановки ех = /, откуда ех dx = dty dx =преобразуется в интеграл от рациональной функциир 3^2л:_І^ЛГ 11441. Найти интеграл \ ど2ズ 0 dx.= - ү - , интеграл указанного видаД Положим ех = /; тогда ех dx = dt, d x = 了,откудаSe2x+ e x + 1 ふ— Г ^ + t + \ dLJ W —0が ー 3 dx^ J ~ t (/2— 2^ — 3). Так как t( t z — 2t — 3) t (t-{-\) (t — 3)9 то разложение на простейшие дробиимеет вид3/2+/+І A B Ct ( t + \ ) ( t —3) Т 十 ! " + 1 卜 / —3、Освобождаясь от знаменателей, получим3t2 + t + \ = A ( t + 1)( t - 3 ) + Bt (t— 3) + Ct ( t+ 1).Если f = 0, то 1=— ЗЛ, т.е. Л = —- 1/3, если же t = 一 1,то 2 = 45, т.е.В = 1/2, наконец,■'если / = 3, то 3 1 = 12С, т.е. С = 31/12.И так,3/2 + / + 1 —1/3 ,1/2 , 31/12— +7 --------^(/2— 2^ — 3) t 1 ^ + І 1 t-m

[ значит,r%3e2x + e x + \\eix — 2ex — 3 dx- — l ln/+ 如 1 — 3i+c=Наити интегралы:= _ 去 lnex + + in (パ + i ) + 岛 1 п |е *— 3 |+ С == 一 皆 + 去 1п(г* 十 1 )+ 菩 ln |0 —3|+С. ▲Ш 2 イ ^ ^ . / '1443 Г _•_____2パ+ 3______l440e j (2e ^-e ^-^l) (e^ + l)§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦ ИО НАЛЬНЫ Х Ф У Н К Ц И Й1 . Интегралы вида \ R (х, {а х + Ь )т і Пі, ( а х Ь)т2-Пі, . . . ) dx, где R 一 рациональнаяфункция; m lt П і,т 2’ rt2,• • • — целые числа. С помощью подстановкиax-\-b = tsу где s — наименьшее общее кратное чисел п^,п2і •... , указанный интегралпреобразуется в интеграл от рациональной функции.г* dx1444. Найти интеграл / = \ --------- ^ ---------:— гтг •r J (2л: + 1)2/3•—(2АГ+1)1ゾ2Д Здесь /іі = 3, n2= 2; поэтому s = 6. Применим подстановку 2х-{-1= / 6; тогдаx = (t6— 1)/2, dx = 3t5 dt и, следовательно,, г ъіыі 0 г t^dt _ 1+ 1, う - C T = 3 J 7 = Г = 3 3 ~ T ^ r ~ dt == 3 ^ ( / + 1 + ^ ) Л = |-

3. Интегралы вида I , + 及 dx. Для нахождения этого интегралаJ Ÿ ах2+ Ьх+свыделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знакомкорня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов:А х + В ' А (2 « + 6 ) + й _ ^ А ,\ パー- 二 — ■■■ ■ d x = \ ----------「 一 = = ------- dx=^J Y ax2 b x c J Y ax2-\-bx-\-c_ Л Ç d (ax2 + bx-}-c) ^ M ) Г むJ Y a x2-^- bx-\-c \ 2a J J y Ьх-\-сПервый из полученных интегралов есть табличный интеграл X V II, а второйрассмотрен в п. 2 § 3.л 5 ズ_ з1447. Найти интеграл I 「 ------dx.ド J ]Л2^ + 8 ズ+1Д Выделим в числителе производную подкоренного выражения:Л 5^—3 |(4лг + 8) — 13•d x=У 2х2 + 8х-\-\1 ~ ノ ■dx=sJ У 2^2 + 8jc+15 ^ 4х+ 8 • ぬ 一 13 「 dxJ Ÿ 2 x 2+ 8 x + \ • J Ѵ '2 х^+ Ъ х-\-\У 2 х 2+ 8 х + \ 13 广V~2ズ2+4ズ+ ★13= = y ド 2ズ2 + 8ズ+ 1— 7^=- Jn ^ + 2 + y ズ2 + 4ぶ 千 で+C .1448. Найти интеграл Г + 尋 ■■■ニーdズ.У 一 ズ2 + 6ズ 一 8△3ズ+ 4 « — 可 ( 一 2ズ + 6) + 13d x = I ----.■ 一 — dx-> ^ - л 2 + 6л:—8 J パ + 6 Х - 8■а= - T . f )/_ ~ 2 +6^ _ 8 ^ + 13j= —3 - 6ズ 一 8 + 1 3 arcsin (ズ 一 3) + C. ▲, Г d x nИнтегралы в и; \ ---------------, ........ - •しпомощью подстановки х -J (х — а) / а х2 + Ьх + с\jt этот интеграл приводится к рассмотренному в п. 2.1449. Найти интегралdxс } ^ Ь х ^ - 2 х + \Д Положим х = \/t, тогда àx = — (I//2) dt иГ dx С (dt)/i2х у Ьх2— 2 х + \ J (1/0 У 5//2—2// + 1Г , dt - - 一 ІпМ —1+ ]Л 2—2/+ 飞 丨 +С = :J か 一 2 /+ 51—x - \ - V 5jc2—2 x + 1

Гdx1450. Найти интеграл | ----------- ------ .ド J レ 一 1)ド 一 パ+ 2ЛГ+3Д Полагаем к — 1= 1//, тогда х = 1 / / + 1 и dx = — (\/t2)dt. Следовательно,Г dx Г (dt)!^ ____________(x— 1) V — хг + 2 х+ 3 і + 7 ) 2+ 2 ( і+ ү ) + 3dtdt丨 Ж + з y 4t2-dtln し+め 2- ++C =lnln/--Je-2 + |^ —x2+ - 2jc+ 3丨—12 (ズー1)\1142_+C.+ C:1451. Найти интеграл / = Г------------Fk = = = dx.V J ( д : + 1 ) х^+Зх+ЗД Записав числитель подынтегральной функции в виде Здг+ 2 = 3 (jc-J-1) 一 1,получимг Г 3(ズ+ 1 )— 1(ズ+ і Ж + З х + зПредставим данный интеграл как разность двух интегралов:dx., -О f & Г &J У х ^+ З х + З J (л г+ 1 )у Л:2 + З л :+ 1 •К первому интегралу применим формулу X X I, а ко второму 一 подстановкух + 1 = 1/ た1 = 3 ln I ズ+ 1 + V" x2 + 3jc + 3 剛 2=3 ln/ ( T 1j + 3 (T .ХЛ~~2Ш\"Ѵ~ ズ2+ 3 ズ+ 3dtз i + + f + » ^ 2+ 3 ズ+ з |+ 1 п 丨y x2 + 3 x + 34 "2 "+ )^ ズ2 + 3ズ+ 3 +ІП I\x + l x + l+ C =+ 3丁 C.广 p / ゴア5. Интегралы вида I — .H ■ ---- , где Pn (x) — многочлен я-й степени.J У a x 2+ b x + cИнтеграл такого вида находится с помощью тождестваГ _ Pn W ハ ,л о , .— г— . ч Г dx- dx = Qn^ i (дг) У ûA.2 + h + c + 入У ахг + Ь х+і У ахг -\-Ьх-{-с231

где Q«_ î (x) — многочлен (n 一 1)-й степени с неопределенными коэффициентами#Я—- число.' に .‘ •Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю,получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициентымногочлена Qn^ i (л:) и число "к,1452. Найти интеграл Г ■ズ■.キ ^ ナ 3ズ+ 4 バу) V х2+ 2 х + 2А Здесь л = 3, поэтому соответствующее тождество имеет видДифференцируя обе его части, получаемх^+2х2 + Зх + 4: (2&о^ + ^ і ) ドズ2+ 2л:4~ 2 +V х2+ 2 х + 2х + 1+ ФоХ2 + Ь\Х + &г)V х2 + 2 х + 2 + У л: 2 十 2л:+ 2Освобождаемся от знаменателя: • >x^ 2 x 2+ 3 x + 4 = ( 2 b 0x + b l )(x2+ 2 x + 2 ) + ( b 0xi -\-b1x + b 2) ( x + \) + X9i • へ • • . • •.+ 2х2+ З х + 4 = З Ь ^ + (БЬ0 + 2Ьг) xz-\-( Щ + ЗЬг + Ь 2) х + (2Ьі + Ь2 + Х).Сравнивая коэффициент при одинаковых степенях х, получим3^?0= 1,bbo-\-2bî = 2tI 4b0-j-3 6 i-f- Ь2 = 3,2 Ь \ + + 人 = = 4 .Решая систему, найдем Ь0 = 1/3, Ьі = 1/6, Ь2 = 7/69 \ = 5/2. Следовательно.十 "?Найти интегралы:1453. Г dxV I 2хdx1455.1457.1459.1461.Ÿ x2 — x — 15 х + 3 _— х2 + 4х + 5dx(х + 2) У х 2 + 2х_____ х —\ 一(ズ+ 1 ) / > + 1In х + \ + У х^ + 2х + 2\ + С.-2х1456.dx. 145814601454.у + Ѵ -dx]/■ 一 Л-2—2ズ+ 8Sx + 2V x2 + X + 2dx■dx.dx.x У 2xi — 2x— 1dx. 1462. j ^ + 2 x + .:L dx.6. Интегралы от дифференциальных биномов ^ х т (а + b xn) p dx, где т , п,р — рациональные числа. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальныхбиномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:232

1 ) д — целое число, тогда , данный интеграл сводится к интегралу от рацио,нальной функции с помощью подстановки x = ts,где s — наименьшее общее кратноезнаменателей дробей, т и п;2) ( т + 1}//і — целое число, в этом случае данный интеграл рационализируетсяс помощью подстановки а-\-Ьхп = і 5\3) (гп-\-\)!п -\-р 一 целое число, в этом случае к той же цели ведет подстановкаа х ^п b = t s, где s — знаменатель дроби />.1463. Найти интеграл f*Д Здесь подынтегральную функцию можно записать в виде 尤 龜 1ノ2 (л:1ゾ4 + 1) 一 】0,т. e. р = — 10—целое число. Значит, имеем, первый случай интегрируемости дифференциальногобинома. Поэтому следует применять подстановку x = t A\ тогдаdx = 4t^dt и искомый :интеграл принимает видПоследний интеграл находится так:dx __ Г 4 /3 dtt2 (/+ .1 )10't dt — П 屮 1 一 1 ぶ ー (' 二 ぬ10 -” + l)s 19:.(i+ l)eТаким образом,ん)8+9( / ; + 丨 )9+c‘ À1464. Найти интегралズ3 dx(a2— х2) У а2— х2Д Переписав подынтегральную функцию в виде ズ3 (û2— ;с2) 一 3, 2,имеем m = 3ÿп : -2, р = 一 3/2. Так как ( m + 1)/п = (3 + 1 )/2 = 2 — целое число, то имеет местовторой случай интегрируемости. Используя подстановку а2 — х2 = і 2} получим一 2х dx = 2t dt, xdx = 一 t d tt x2 = a2 一 t2. Следовательно,{ x3(a2~ x 2)-3/2äx = — [ (a 2 - / 2) t ~ 3- t d t =dtW—a2ハ2 Г-沿^ tv+,-rа2+C, ^= ---/2+------û 21-I ハ 2ß2—ズV a 2 - x 21465. Найти интегралズ4dx+ x2A Здесь m = — 4, n = 2, p = — 1/2 и (m + 1)/п + p = ( ― 4 + l)/2 ― 1/2 = — 2—целое число. Поэтому имеет место третий случай интегрируемости дифференциальногобинома. Полагаем х~2+ 1 = і2; тогда — 2х~ 3 dx = 2t dt, х ~ 3 dx = _ t dt.Преобразуем данный интеграл таким образом:J хАУ \ + х 2^ х - Ң х 2 ( х ' 2+ \ ) Г 1/2сіх= [ ズ_ 2 (ズ_ 2 + 1 厂 1/2ズ- 3 办 .233

Следовательно,V \ + ^ v ( i + j c 2)3 , 广 ( 2 х ^ - \ ) ѵ т + ^ ,- + c = --------- a?---------+Зл:3Найти интегралы:1466. ^Л + і )1468.1470.І ғ "1 + ズ3V x Ъх у / x + 3dx.1467.1469.1471.[ ^ 2 = ä X.j K ^ + i「 dxГdx§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ Ф У Н К Ц И Й1 . Интегралы вида ^ R (sin x, cos x) dx, где R — рациональная функция.Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функцийс помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановкиtg(jc/2) = た В результате этой подстановки имеем:Sin JC=2 tg (х/2) 2t • _ 1 —tg2 (jt/2)i- イ2cosx =1+tg2 (ЛГ/2)1 + / 一 1+ 洧 2(ズ/2 厂 1 ^ ;лг = 2 arctg t; dx2 dt•1+Р'1472. Найти интеграл jdx^А Подынтегральная функция рационально зависит от sin х и cos х; применим, . /оч , 2t \ — Г- ^ 2 dtподстановку t g (дг/2) = г, тогда sin д: = , , , cos х = t , ^ , dx:1+ /2’ 1+ Р,2 dtdx \ + t 24 sin JC+3 cos jc+ 5 2tЛ Г dt\ + t2dt\ + t 21一 J 2tz+ S t + 8 J (/ + 2)*~ * 十 2 K .Возвращаясь к старой переменной, получимГ dxJ 4 sin дг+З cos JC+5tg ( A :/2 ) + 2dx1473. Найти интеграл J ぜ ,+ が) ニ ニ ”cos X234

Д Полагая tg (лг/2) = /, получим2 dtdx(а2 b2) —(a2—b2y cos x(a2+ b 2) - ( a ^ - b 2)- \ + i2dtdt(a2 + ô2) (1+ P) —(o2 —…( 卜 t2) ~ a42+b^d (at) 1 . ai \x *arctg — + C = arctg(at)2-\- b2 ab•ab , f tg2 + C.Универсальная подстановка tg(x/2) = t во многих случаях приводит к сложнымвычислениям, так как при ее применении sin х и cos х выражаются через tв виде рациональных дробей, содержащихВ некоторых частных случаях нахождение интегралов вида ^ R (sin x, cos x) dxможет быть упрощено.1 .Если R (sin x, cos х) 一 нечетная 中 ункция относительно sin дг, т. е. если尺 ( 一 sin x、cos x)= — R (sin Xy cos x),то интеграл рационализируется подстановкойcos x = t.2. Если R (sin x, cos x) — нечетная функция относительно cos xf т. е. еслиR (sin x , — cos x )= — R (sin x, cos x), то интеграл рационализируется с помощьюподстановки sin x = t.3. Если R (sin Ху cos jc) —четная функция относительно sin х и cos х у т. е.если R (— sin x, 一 cos x) = R (sin xt cos дг), то к цели приводит подстановка Xgx = t.m ТТ » Г (sin дс+ sin3 д:) dx1474. Наити интеграл \ -------cqs 2у- . — •Д Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаемcos x = t. Отсюда sin2ズ= 1 — t2,cos 2x = 2 cos2a:— 1= 2 t 2— 1, dt — — sin^dズ.Таким образом,Г (sin x + Sin3 X) dx r (2 — t2) (— dt) С (t2 — 2) dtJ cos 2jc — j 2/2—1 —J 2/2 一 1 —Следовательно,—2 丨 J 2/2—1 货 Ü 2 J : 2 J 2t2— d t \t 3 C d U V 2 ) _ t 3 —1| , ハ= 了 - 巧 J \ Т Ѵ Т Г і\ +Csin дг-1-s in 3 x) dx 1 ^ ,^ = т с05д:- ^ 7 1 1пŸ 2 cos x — 1 + C.Ÿ 2 cos x -\-1Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записанв виде [ R* (sin2 Ху cos x) sin x dx. ▲1 /I-7C U « С(cos3 Д:-|-С085д:) dx1475. Наити интеграл \ - 一 一 —9 -,~ т-г- •r J Sin2 A:+S in4 XА Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса.Поэтому применяем подстановку sin x = t\ тогда cos2 x — 1 一 sin2 1 一 t2tcos x dx = dt. Следовательно,Г (cos3 x + cos5 x) dx _ Г cos2 ズ(1+ cos2 x) cos xdxf (1— t2) (2 — t2) dtJ S ill2 A:+ S in 4 ズ _ J + 一 j •235

(1-/2) (2-/2) 2Так как- /Ч /2(1 Г + /2) 1tyОкончательно полѵчаемf(l 一 /2)(2— /2) 沿 , 2 . . .,^3 ~ ^ ( 1 + 7 ^ ~ ~ = 卜 了 一 6a「ûtg^ + C.Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда Может быть записанв виде J R* (sin x, cos2 x) cos x dx. ▲1476. Найти интеграл j sin, х + 2 sinf cos х ^ х •Д Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Пола-, tg x t 1гаем, tg x = t; тогда sm jc— — . ハ v — 一У l+ tg 2A: У 1 -j-/2 / Y l+tg2; A:= arctg t\ d x ~ ■-2 . ОтсюдаV i + /2* ’ i + Pdtdx V 1+ ^sin2Jk:+ 2sin x cos x — cos2 x — 1 t2 , 2tДалее, имееми, следовательно,Г dt Ç d ( t + \ ) 1 ,J " + 2 ト 1 — J 斜 " 2 — ( W 一1+

sin3x dx1478. Найти интеграл i -J ( cos x y COS XД Имеемf ~ f in ^x dx _ __ Г Sin3 x COS-4 /3 д;^Д:= (* (I — cos2 x) cos-4 ,3X sin X dx.J COS X y / COS X J ^Полагая cos x = t, —sin x dx = dt, получимf Sir)3 ҳ dx _ Г n /2\ /-4/3 dt — (1 3 /%) COS X у COS X 、 J• 4/3 d( - { - [ t 2/3 dt±==3 厂 1 3 + 了 P /3 + C' = T "7= 十 -^ cos ж. у cos2д: + C .• y cos xСлучай 2. Оба показателя степени т и п — четные положительные числа.Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формулsin x cos х = -^- sin 2xt(1)sin2 =(I 一 cos 2х) і(2)cos2 x - = ^ (1 + cos 2x).(3)1479. Найти интеграл ^ sin2xcos2xdx.△ Из формулы (1 )следует, что/1 ヽ2 1sin2 x cos2 x = (sin x cos Jt)2 = ( -2 * sin 2x J = - j- sin2 2x.Применив теперь формулу (2), получаемИтак,. 9 9 1 1 — cos 4х 1 . чsin2 д: cos2 х = -^ -------- ö------= -g - (I 一 cos 4х).j sin2 x cos2 xdx = -^ \ ( 1 cos 4a:) dx =; dx— ^ cos 4ズゴズ= 1 ズ 一 — sin 4д; + С. ▲1480. Найти интеграл ^ cos6x dx.Д Используя формулу (3), получимС (1 +cos 2 х \9^ cos6 x d x = ^ (cos2 jc)3 dx = J [ ~ 2 ) dx== ^ G + 3 cos 2л:+ 3 cos22x + cos3 2x) dx == ~ J dx~\r-^ ぐcos 2x ぐcos22jcdA:+ 士 j* cos^2xdx=ニ= 去 荅 s ln 2 x + | j - +c| s4*d x +237

+ 4 - ぐ(1— sin22jf) cos 2 x d x = Y x - ]- ^ s in 2 x - \-+ ^ ^ + j g J cos 4 x d x + - j^ c o s 2 x d x ^一 去 j sin2 2A:~ d ( s i n 2дг) = + д с +备 s in 2 j:++ Тёぷ+ ê î Sin む + 1 5 が11む 一 福 sin3 2ズ+ С == Тб sin sin ^"~4g sin3 ^ + ▲1481. Найти интеграл \ s\r\2 x cosAx dx.Д \ sin2^ cos4 x d x = S (sin x cos x)2 cos2 A:^ jr = Jsin 2x2 1+ cos 2x= 去 ^* sin2 2x cfx+ 去 \ sin2 2x cos 2x dx —= 去 j d x + ^ ^ sin22A:~ d ( s in 2x) == ゴX- ] cos 4д: dA:+ - j ^ ^ sin 2 2x d (sin 2x) =一 iSin4v+i Sin32x + C. ▲3. Интегралы вида Çtgm x dx и ^ ctgm x dx, где m — целое положительноечисло При нахождении таких интегралов применяется формула tg a x = sec2 х — 1(или ctg2 л = cosec2 x — 1),с помощью которой последовательно понижается степеньтангенса или котангенса.1482. Найти интеграл ^ tg 7 xdx.Д j t g 7 x dx = ^ \ g b x (sec2 ズ ー 1)dA:= f tg 5 x d (tgA :) — J tg^xdx == Ц Д — Г tg3A:(sec2 1) dx = = ^ ^ - —^ т ^ - Г tgJC (sec2 ズ ー l) d ぶ=:l ^ _ 1 4 i Æ + ,n |cos,H-C.1483. Наити интеграл ^ cigQxdx.Д J ctg6 xdx = ^ ctg4x (cosec2 ズー1) 办 = 一 ^4ctg4 x d (ctg д:) — j ctg4 xdx == —c^-~ 一 Ç ctg2 x (cosec2 x 一 1) dx =ctg5X . ctg3x , f . о 14 , ctgbx . c t g 3 ^= ------1 I ^ — 1-\ (cosec2 x — \)dx = ------I ----------------- ctgA:—д: + С. ▲4. Интегралы вида ^ tg 成 дс secn x dx и ^ctgw x cosec71x dx, где n 一 четное положительноечисло. Такие интегралы находятся аналогично рассмотренным в п. 3с помощью формулы sec2д := 1+ t g 2х (или cosec2д:= 1 + ctg2х).238

1484. Найти интеграл ^ tg 4xsec® дггід:.Д $ tg 4ズsec3xdx = $ tg4a:sec4jc.sec*xd x == $ tg4 ズ(1 + tg 2 x)1 d (tg д:)= Çtg4 a: rf (tg л:)+2^ tg :« x d (tg x)+ ^ tg 8 a: rf (tg x)y tg^ + y tg7^ + —tg»A:+ C. ▲dx1485. Найти интегралsin4 д:'Д J cosec4 xdx=^\ cosec2 x . cosec2 x dx= [ (1 + ctg2 x) cosec2 xdx =cosec2 xdx — S ctg2 x d (ctg a:) = —ctg x —ctg3 x-\-C, ▲5. Интегралы вида ^ sec2n + l x d x и ^ cosec2n+l x dx. Интегралы от нечетнойположительной степени секанса или косеканса прощ« всего находятся по рекуррентнымформулам:] secîn+1… ^ . S ^ r K 1— 去 ) Ь сгп_1д^ , ⑴j cosec*"+iK dx = - - ^ . ^ ^ - x + 1 1 - 士 ) jcosec 如 - 1“ *. (2)1486. Найти интеграл ^ cosec5x dx.Д Применяя рекуррентную формулу (2) при 2n + 1=5, т. е. при п = 29получимГ . . 1 COSA:. 3 f „ .J cosec5 xdx = — j . ^ 4- ^ + J j cosec3 ic dx;полагая теперь 2n + 1=3, т. e. n = \ y по той же формуле имеемГ ^ о 1 cos x 1 ^cosec3 x dx = ---- • -.-л 4--7Г \ cosec x dx,2 sin2л: 1 2 JТак как f cosec x d x = Ç —— = lnJ J sin Д:tg+ C, тоі со5ес3дг^ = - 2 И + Т Іп| ^ Т І + с -k cos x 3cos л: . 3 . . xcosec» x dx = — j — j----- Q . о +-Q- «n4sin4 x 8sm2 x ' 8 tg 2I+c.6. Интегралы вида \ sin mx cos nx dx, ^ cos m x cos n x d x t ^ sin mx sin nx dx.Тригонометрические формулыsin a cos P = y [sin (a + ß) + sin (a —ß)], (1)cos a cos ß = ү [cos (a + ß) + cos

1487. Найти интеграл ] sin 2х cos Ъх dx.Д Используя формулу (1), получимJ sin 2xcos 5xdx==-^ J [sin 7x-\-sin ( ― 3ズ) ] dx =1 Г 1 Г 1 1= ~ 2 \ sin 7ズdx— 了 у sin 3xdx=^ 一 cos + — cos Зх-\-С. ▲1488. Найти интеграл ^ cos x cos у cos ^ dx.Д Применим к произведению cos x cos (формулу (2)|Г x x , 1 Г / Зх x \ x\ COSA:COS COS - r d x ~ - ^ \ (cos 了 +COS 万 J cos —\ Ç 3x x л . 1 Г x x ,= ~ 2 \ cos COS — + Y \ COS у cos dx.dx-Снова используя ту же формулу, находимX x ]COS X COS COS dx = i j cos-T 41+ -cos^') ^ - 4 dx + ~ J (cos: + cosT I dx :1 ? 11 十 1 s nSL5Д: 1 . 3x . x r75 マ sm 了 + sin 了 + C.4Найти интегралы:1489. Г dx3 + 5sin x+3cos x *1 cos2x dx1491.sin2 ^+4sinjic cosxФ Положить c tg x = /.1493.1496.1498.1500.1502.sin 2x dxJ COS3 X 一 sin2 X— 1 *^ sin2(x/A) cos2(x/4) dx.S^ ( x /2 ) d x .^ sec6x dx.^ sec3 xdx.1490.1492.dx11—sin x' cos3x dxsin2x + sin;c *1494. Çsin3xdx. 1495.1497.1499.1501.cos^ X dx.sin4 X1503. ^ cig2 x cosec x dx.• cos5x dxsin ズ'1504.\ sin Зх sin xdx.1505. [ cos (x/2) cos (x/3) dx.7. Тригонометрические подстановки. Интегралы вида J/? (х, У a2 — x2)dx,^ R (л:, a2 x2) dx, $ R У x2— a2) dx приводятся к интегралам от рациональнойотносительно sin t и cos t функции с помощью надлежащей тригонометрическойподстановки: для первого интеграла х — а sin t (или х=^а cos і), длявторого x = a tg t (или д; = û ctg і) и для третьего x = as^ct (или дс= а cosec t).240

1506. Найти интеграл I = i —Q--~ —dx.J xД Положим x = a sin /, тогда dx = a cos t dt и заданный интеграл примет видj ( V а2 — a2 sin2 t , ,J = \ ---------- :~ :-------a cos t dt =J a sin tf cos2 t ,. Ç 1— sin2 t f dt Г . .= a \ —~ r - dt = a \ ------ :~ ~ d t= a \ —~ — a \ sin t dt =J sin t J sin t J sin t J= a In I cosec t — ctg 11-f-a cos t-^-C.dtД ля нахождения интеграла ^ ~ r мы воспользовались формулойsin t= ln I cosec t — ctg t \-\-C, так ка к с ее помощью легче перейти к прежней переменнойX.Таким образом, получаемcos tI = а In ! cos / + С,sin t sin tгде sin t = xja, cos t = y~a2— x2/a. Следовательно,-У a2 — x2I = a ln - \ - V a2— x2 + C.dx1507. Найти интеграл / = i ______j x y a2+ x2Д Применим подстановку х = а tg t y откуда d x = a sec21 dt. Тогда получимj _ Ç а sec2 t dt __ 1 sec2 1 dt —_ Ja tg / ]/ ö2_j_a2tg2 tsecZ 一= = i ln I cosec ;_ d g t \ + C,где tg t = x/a и, следовательно, ctg t = a/xtИтак,cosec / = ] / 1- f ctg2 t = y a2 + x2!x.1508. Найти интеграл / = Г— .J y x2— a2А Применим подстановку х = а sec t ,откуда d x ~ a sec t ig t dt. Тогда получим/ = Г fl2 弓 ヴ 縱 … dt = a- Г seC3 t dt.J y a2sec2/ —a2 JДалее применим рекуррентную 中 ормулу (1)п. 5 при п = \:Г с^ 3 , 1 sin / 1 f sint , 1 Г dt\ sec t dt —-рг s- ;~j \ sgc/ d t= —---- --j—jr- \J 2 cos2 / 1 2 J 2cos2 t * 2 J cos ^= 2 ^ 7 + Т 1пІ£ес;+ 1е^ + С'где sec t = x/a, cos t = a /x ,sin t = Ÿ~x2— a2lx, i g t — ^ x 2 — a2/a.r a2 sin / , a2 , . ^ , ハ+ -n -ln f sec/ + tg/| + C==2cos2 tСледовательно,ド^2—°2+ -2 ln c + y x2~~c + C.9 № 1474 241

Найти интегралы:1509. Г dx 1510.( 1 ー ズ 2):dxI (а2 十 л;2)3/21511.dxレ3 Y x2— 15. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫ Х Ф У Н К Ц И ЙНайти интегралы:1512.1514.sin2л: sin àx dx.1 l n X■dx.1513. J (2x2— 2 x + \) e ~ x^d x.1515. J A2~^arctg x dx.1516.1518.\ (2x2— 1)cos 2x dx.P 2e2x—ex ~ 3e2^-^2ex—3 dx.1517.1519.\ x \n 2 xdx.丨 arctg Y xdx.1520.1522.^ К б + 4x— 2ぶ2dx.1521.1523.f F f c -\ e2x sin ex dx.1524.1526.1528.1530.1532.1534.1536.r___________d x ____________J c o s 2 x Y 2 -\-Ъ t g 2 xY(ぶ+ 2 ) cos(.v2+ 4 x + l)dx.x e xax.) y 丨 +ドГ* d xレ +Д:2 •i■ у -(Ѵ ~ х - У ~ х)eaxcos ßx dx.dxs i n 2 X COS2 X •• dx.1525. ^ sm 2x\nzosxdx.P x c o s x d x1527.J s in 3 x *1529. ^ ln (x2 + x) dx.1531. ^ cos ln Л:dx.1533. ^ eaxsm ^xdx.P _ d x_______1535.j a 2 c o s 2 x~\~ b 2s \n 2 xP dx1537.(î+A-y

ГЛ А В А XОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ§ 1 .ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО И Н ТЕГРАЛАПусть функция / (х) определена на отрезке [а, Ь]. Разделим отрезок [а, Ь]на п произвольных частей точками a = xQ< х± < х2 < •• • < 尤 《_ і < хп = b, выберемна каждом элементарном отрезке [xjz_ 1, х^] произвольную точку ^ и найдемдлину каждого такого отрезка: Ах^ = — хレト Интегральной суммой для функпции / (ズ)на отрезке [а, Ь] называется сумма вида а =Ax^t причем эта/е=1сумма имеет конечный предел / ,если для каждого 8 > 0 найдется такое числоö > 0, что при шах Ах^ < Ô неравенство | а — I | < е выполняется при любомвыборе чиселОпределенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а, Ь] (или в пределахот а до Ь) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшегоиз элементарных отрезков (шах Ал:^) стремится к нулю:/ (д:) dx = lim а-ш а х Д.ѵь->0: limm ax ,/ (Ы ^ k.Если функция / (х) непрерывна на [а, 6], то предел интегральной суммы существуети не зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь] на элементарные отрезкии от выбора точек ^ (теорема сущ ествования определенногоинтеграла).Числа a n b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования,ьЕсли / (д:) > 0 на [а, Ь], то определенный интеграл ^ / (x) dx геометрическиапредставляет собой площадь криволинейной трапеции— фигуры, ограниченнойлиниями y = f (х), х ~ а , х = Ь , у^=0 (рис. 42).О сновные свойства определенного интеграла1° ^ f (x) dx = — \ f (x) dxtbаа2°. ^ f{x )d x = 0,аb e b3°4°/ (Д:) / W dx-}- ^ / (ズ)dx.асb[ / i W 土 h W I dx ニ[ h (X )ぬ: 土 ( A (X) dx.b5°. ) (x) f {x) dxt где С — постоянная.9»243

6°. Оценка определенного интеграла: если m ^ f ( x ) ^ . M на [ а , む】,,тоьm (Ь—а) < [ f (x) dx < M (Ь—а),аПравила вычисления определенных интегралов1. Формула Ньютона—Лейбница:ьb^ / W d x = F (х) = F (b )~ F (а),аагде Ғ (ズ) — первообразная для / (х), т. e. Fr (х) = / (х).2. Интегрирование по частям:и dv — uvгде и —и (д:), ѵ = ѵ (х)— непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а, Ь],3. Замена переменной:ь ßС / (x) d x ^ [ f[(ç (01 ф, (0 dt>где аг = ф (^) 一 функция, непрерывная вместе со своей производной фг (t) на отрезкеа ^ ^ ß, а = ц> ( a ) , ö =ср (ß), / [ф (/)] — функция, непрерывная на [а , ß ],4. Если f (xj — нечетная 中 ункция, т. е. / (— х) = — f {х), тоа^ / (x) dx = 0.—аЕсли / (л:) 一 четная ф ункция, т. e. f (— x ) ~ f (х), тоа$ / (x) dx~ 2 ^ f (x) dx.— а 011538. Вычислить интеграл ^ x2dx как предел интегральнойосуммы.Д Здесь f (x) = x2, а — 0, 6 —1;разделим отрезок [0 ,1 ]на п равных частей,тогда Axji = (b— ä)in = I/n ; выберемИмеем:л 1 2 ti —1 n tズо = 0 ’ = ~ … ’ ろ ト i = ~ ’ = ~ = 1 :244,ぬ)= ( i ) ;,ぁ)=(|) ’ ,(し) =⑴ ;,(ь)Дл) = ( 4 ) . 去 .Следовательно,ix2 ax =а12 + 22+ 32+ … + я2limn3士 ) ( 2 + '= lim l i m 、 tl.lS りЗдесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел.

1539. Вычислитьл /6dxпо формуле Ньютона — Лейбница.△л /4л / 6dx--igxл /б, я , л: У 31540. Оценить интегралcos x dx/ і + パ10Д Так ка к | cos л:| ^ 1,то при х > Ю получим неравенствоV і + #Следовательно,J818cos x dxcos x dxく8* 10~2 < 10—1,т.< 0,1.1010л/2dx1541. Оценить интеграл5 + 3 cos2 jc*о< 10-».Д Поскольку 0 ^ cos2a:^ 1 , имеемл/21 1 1 я ^ P dx ^ 71T く 5 + 3 c o s ^〜 T и Тб^ J 5 + T c ô s ^ ^ T Ô 'о1542. Вычислить \ хе~х dx.匕 Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим яоткуда du = dxt v ~ — е~х. Тогдаdv=e~xdx,хе~х dx = хе^х ▲1543. Вычислить J dx.i ノ.dx■А Положим \n x ~ t\ тогда — = d i\ если х ~ \ , то / = 0;если х = е , то / = 1.Следовательно,! 宇办 t2 dt :оィ31544. Вычислить 丨 V г2— x2dx.

Д Положим д: = г sin t\ тогда dx = r cos t dt\ если x = 0, то f = 0; если x = r^то t = л/2. Поэтомуг я/2 я/2^ — x2 d x = $ f 2— /*2 sin2 1 r cos t d t= r 2 ^ cos2 1 dt =о о оЯ/2J (1 + cos 20 d t = Ysin 2tя/2,1 [( 吾 ++sinJI) —(0+Tsin0)]л/з1545. Вычислить / = ^ ~~т^ ^х --я/Зяг2Д Подынтегральная ф ункция 一 четная, а потому Ixsmx— ~2Т dx. Интегри-j sin xdx ,руем по частям, полагая и = х, а ѵ = ------^ ~ ; Т0ГДа duОтсюдаcos xнаходимл/З я/3С л: sin x f x л/ 3 Г dx n 1 , f x . n \ ド/ 3- dxJ COS2 X COS X J COSA:" 3 COS (Я/3) " g [ Y ^ T J lo :0'2,7\j . , f jx, . зх \ i . i Jt 2jt 4 t 5jx■lntg( T + f ) + lntgT= 厂 1n t g 可 *Следовательно, 1 = 2 -ln tg 万 ).1— ,.ハ n j Г л:2 arcsin л : ,1546. Вычислить / = \ 7 --—- 一 dx._ , V 1 + ズ2Д Подынтегральнаяфункция — нечетная, следовательно, / = ()•▲1547. Вычислить^ xdx как предел интегральной суммы,о1548.1549.1550.1551.Вычислить^ ^ dx как предел интегральной суммы,оiОценить интеграл ^ ズ(1— x)2dx.оп/2Оценить интеграл\ esin? Xdx.оОценить интеграл Г -----dx.Xл/2246

Вычислить интегралы:1552.У x21553.x dx1554.1556.1558.р (ЛІх\ - ^ d x . 1555-ien/2ÿ x^ d x .Jl/6^ cos ln ,v dx. 1557.sin2 X dx.i2 lu2Jtdx1559. \ cos Sx cos x dx.ex -ln :cos3л:s in 2xdx. 1561.\JIど41+COS x"1564.• y2 sin 2xズ2+ l (1565. \ x arctg x dx.10 Использовать свойствоной функции.1566. Доказать, чтогг\ smmx sin tixdx--( т и n 一 целые положительные числа).нечет- @ Использовать свойство четнойфункции.при т ф nfпри m — ti§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ1 . Основные понятия. Несобственным и интегралами называются:1 ) интегралыс бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функции.Несобственный интеграл от функции / (х) в пределах от а до + 00 определяетсяравенством+ со bf f (x) d x= lim [ f (x) dx.J Ь~> + GOJaaЕсли этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называетсясходящимся] если же предел не существует или равен бесконечности,—расходящимся.Аналогично,/ (x) d x = lim \ / (x) dx и \ / (ズ)d x = lim / (x) dx.247

Если функция f (х) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [а, Ь\ и непрерывнапри а ^ л : < с и с < Ьу то по определению полагаютb с - а ь .[ f (x) d x =lim ( / (x) dx - f lim \ f (x) dx,J os—0 J ß—0 Ja a ,J c + ßbНесобственный интеграл ^ / (д:) dx (где / (c )= оо, a < с < b) называется схоaдящимсяу если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся,если не существует хотя бы один из них.+ со1567. Вычислить несобственный интеграл ^ cos x dx (или устаноовить его расходимость).'Д Имеемьlim \ cos x d x ~ lim sin л:+ с Оb—: lim (sin b— sin 0)— lim sin b,b— > + x b~> + xт. e. предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится. ▲1568. ВычислитьА Найдемdx上dxx2*lirn lim (1 + -т. е. несобственный1569. Найтиинтеграл сходится. ▲f соСJdxdx dxД Подынтегральная ф ункция— четная, поэтому1+Л:2 J 1+Л:2 Тогда+ x Ьdxdxlimï + ズ2оb~ 1+д:2 ь^+lim arctg x lim arctg b~b-*-+ x :T 'оТакимобразом,dx-2 ~ n t т. e. несобственный интеграл сходится. ▲l+ x1570. Найти Ç— •J XЛ Подынтегральная функция f (х) = \ !х в точке л: = 0 неогрякичена, а потомуимеемi i\ — = lim 、— — lim Іп л: — Ііш (ln i — ln û ) = -fc o >^ ズ û-»-0 J ^ û->0 a a^-00 aт. e. несобственный интеграл расходится. ▲248

1571. Найти J хе~хг dx.оД Имеем+ ао b\ хе~х2 â x — lim \ хе~х2 d x ~Оlimb-^ + ^>I .デlim十 の-62=Т ’т.î. несооственный интеграл сходится. ▲Вычислить несобственные интегралы:+ 00 Оarctg x1572.Г+л:2 dx.dx1573._J 4 + Л:21574.x:Jdx1575.dxV x (l —x)1576.s1577. I x \n 2xdx. 1578.dxW + l ) (パ + 4)2. Признаки сравнения. При исследовании сходимости несобственных интеграловпользуются одним из признаков сравнения.1. Если функции f (,ѵ) и ф (х) определены для всех х ^ а и интегрируемы наот резке [а, А ]} где А ^ а , и если 0 ^ / (х) ^ ф (х) для всех а, то из сходи-+ СО + Xмости интеграла \ ф (ズ) dx вытекает сходимость интеграла 、 f (дг) dx, причем》 f (x) dx く 丨 ф (x) dx.aa2. (a) Если при x ~ оо функция f (x) ^ 0 является бесконечно малой по-+ »рядка р > 0 по сравнению с \/x t то интеграл ^ f (x) dx сходится при р > 1 ирасходится при р ^ \ .(б) Если функция f ( х ) ^ 0 определена и непрерывна в пр'Шежутке а ^ х < b иявляется бесконечно большой порядка р по сравнению с \/(Ь— л:) при x ^ b— 0,„ь ?т о интеграл \ f (ぶ) dx сходится при р < \ и расходится при р ^ 1.а1579. Исследовать сходимость интегралаЛ一%△ По определению

Допустим, что р > 1 ; тогда lim Л _/?+1 = 0. Значит, при р > 1 интегралЛ— + оо+ СОсходится. Пусть Ж І ; тогда lim А ~ р + 1= оо, т. е. интеграл \ — при 1Л— +00 J х рарасходится. ▲+ СО1580. Исследовать сходимость интеграла [ sin (x2) dx {интегралоФренеля) .Д Пусть х = У ~ т \ тогда \ sin (x2) dx — ^r-справа интеграл в виде суммы:л/2sin т0J V Tdr. Представим стоящийО Ѵ Т 0 ド т я/2 Ѵ ТПервое слагаемое есть собственный интеграл, так ка к lim — ^ — 0. а кот—о Ÿ х ~ ,второму применим интегрирование по частям, полагая а = \ ! У т, dv = sin т dx:sin т dx cos t cos t d r 1 P cos てd tJ ド1 K l , 2 J ^— —T 3n/2 n/2 я/2 r л/2+ согт » COS TПоследним интеграл сходится, так какI, а интегралr d x、 — сходитя/2+ сося. Поэтому Ç cfてсходится на основании признака (2а), а следовательно,У ド てданный интеграл также сходится. ▲+ ооdx1581. Исследовать сходимость интеграла J 1 + WiД Подынтегральная функция / (ズ) = 1 /(1 + ズю) в промежутке интегрирования+ соменьше, чем ф (х)= 1/д;10, а интегралГ dx\ является сходящимся. Следователь-1но, данный интеграл также сходится. ▲ьГ* イ 冗1582. Исследовать сходимость интеграла、^ —xjp (а < 心 ).Д По определениюЬЬ-еГ dx P dxlim(p— х)Р £-^о J (b—х)Р- ^ и г п ф - х ) ^--— Г 1іт8-Я + М -------Ц -r (b— a)-P + 1.P—1 £-0 ' —P + l ,250

Если p < 1,то Ііш Е"Я + 1 = 0; если же р > 1,то lim е 一 /7+1= оо; если, нако-£-►0е->-0нец, р = 1 ,тоdxlim■lim ln (b 一 ズ)e—oьdxСледовательно, при р く 1 интеграл てb—〒 сходится, а при1 一 расходится.▲1583. Исследовать сходимость интегралаcos2 Xdx.\ — х2Д Подынтегральная функция является бесконечно большой при х ■Представим ее в следующем виде:. , 、 cos2 X 1 COS2 X 1f (X)'-'V T T X ~хт. е. порядок этой бесконечно большой функции при х ~ 1 по сравнению с 1/(1—д)равен р==] /?=1ノ3 く 1 . Поэтому данный интеграл сходится на основании признака(26)тлг іп(і + ѵ3/ - ) ^1584. Исследовать сходимость интеграла、— ^ ~ ;~ ах.Д Подынтегральная функция f (х) в промежутке интегрирования положительнаи / (ズ) ~~>■оо при x ~ ► 0. Пользуясь теоремой об эквивалентных бесконечномалых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби; имеем1п(і + ^/х ) ~ Х 1/3, a 产 一 1 〜 sin x при x ト0, откудаlimx — С1/3=lim L -ズ— 0 Xт.е . f (д:) является бесконечно большой порядка р = 2/3 по сравнению с 1/х. Следовательно,по признаку (26) заданный интеграл сходится. ▲Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов:limi-2/31585. Ç ?-n- (1 +х) dx. 1586. dx. 1587. dx.1588.T wJ ( 1 — co s ~ \d x . 1589.\- \-x 2 dx.1590.oVdx1591.dxtg x ~ x§ 3. В Ы Ч И С ЛЕНИЕ ПЛО Щ АДИ ПЛОСКОЙ Ф И ГУ Р ЫПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (л:) [ / (л-) ^ 0],прямыми х = а и х = Ь и отрезком [а, Ь] оси Ох, вычисляется по формулеьS : f (x) dx.251

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у= f i (х) и у= І 2 (х) І / і (х) ^ І 2 W ]и прямыми х = а и х = Ь у находится по формулеbS == ^ [/2 (х) 一 / і (ズ) ] dx.aЕсли кривая задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), топлощадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x — atx = b и отрезком [а, Ь] оси Ох, выражается формулойр 1/5 = ^ ( 0 ^ (0 dt, ѵtxгде t-i и t2 определяются из уравнений а = х (t^ , b = x (/2) \у (t) ^ 0 приПлощадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярныхкоординатах уравнением р = р (Ѳ) и двумя полярными радиусами Ѳ = а,Ѳ = Р (а < ß), находится по формуле1592. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4 х — л 2и осью Ох.Д Парабола пересекает ось Ох в точках О (0; 0) и М (4; 0). Следовательно,4S = ^ (4x—x2)d x = 2х2 — ^ х 3о= 等 (кв. ед.). ▲1593. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у= (х— I)2и гиперболой x2— у2/2 = 1.Д Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместноуравнения этих кривых:x2— (ズ- ‘っ, ) = 1 ,или x4 一 4х3-\-4х2 — 4ズ+ 3 = 0.Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители:(х— 1)(х—3)(ズ2+ 1 )= 0 ,откуда Х і= \ , x2 = S и г/і — 0, = Таким образом,заданные кривые пересекаются в точках Л (1;0) и В (3; 4) (рис. 43). Следовательно,з1dx —[3 ^ 8 + ln ( 3 + 8 )] ln ( 3 + >^8) «4,58 (кв.ед.). ▲1594. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной однойаркой циклоиды x = 2 (t — sin り,у ~ 2 (1 一 cos t) (см. рис. 5) и осью Ох.252

Д Здесь dx = 2 ([ — cos t) dt, a t изменяется от ら= 0 до t2 =тельно,2Л2ЯS== ^ 22 ( I — cos t)2dt = 4 ^ (1— 2 cos / + cos2 1) dt =ооГ 1 1 1 2я= 4 t — 2 sin t-\~— / + 了 sin 2t o = 1 2 л (кв. ед.). ▲1595. Найти площадь плоской фигуры, ограниченнойтой р2 = 2 cos 20 (см. рис. 2).Л Четвертой части искомой площади соответствует изменение Ѳа потомуп /41 Г» л/45= 4- — \2 cos 2Ѳ = 2 sin 2Ѳ。 = 2 (кв.ед.). ▲оВычислить площади фигур, ограниченных заданными1596. у = — x2,x у -\- 2, = 0.1597. у = 16/х2, у = 17— x2 (I четверть).1598.ゲ = 4х3,у = 2 х \1599. ху = 20,х2 + у 2 = 41 (I четверть).1600. t/ = s in x y у = cosx, х = 0.1601. у = 0,2Ьх2у у = 3х— 0,5х2.1602. ху — 2, x2 一 6ズ+ ゲ = 0 ,у = 0} х = 4.1603.ズ= 1 2 cos / + 5 s in / ,у = 5 cos t — 12 sin t.1604. x = acos3Л ^/ = asin31.1605. p = 4/cos (Ѳ— я/6), Ѳ= я/6, Ѳ= п/3.1606. p = acos9, p = 2acos9.1607. p = sin 2 (Ѳ/2) (справа от луча Ѳ = л/2).1608. р = а sin ЗѲ (площадь одной петли).1609. р = 2 cos9, р = 1 (вне круга р = 1 ).Следовалемниска-от 0 до л/4,линиями:253

§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙЕсли кривая у = f (х) на отрезке [at b] — гладкая (т.е. производная y r = f r (х)непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формулеdx.При параметрическом задании кривой x = x ( t ) y t j ~ y (t) [x (/) и y ( i) — непрерывнодифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонномуизменению параметра t от і і до ら,вычисляется по формуле* 2Ç Ѵ~хг -\-у%dt.Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением р = р (Ѳ),а ^ Ѳ^ ß, то длина дуги равна2+ р'2 肌1610. Найти длину дуги кривой у2 = от х — 0 до 1 {у ^ О ).Д Дифференцируя уравнение кривой, найдем уг = (3/2) лЛ/2. Таким образом,1 一 _1 1 \ ^ 8— 3,,9 , 4 2 / . 9 \3/2. 1о 27 ノі2l + T x d x = ' 9"* 9 "зj { l + T x )78 ( 13'27 ( 8"/"Tä—i ) . ▲1611. Найти длину дуги кривой x ^ c o s '31, г/ — sin5/ от ~ = 0 до12 зх/2 •Д Найдем производные по параметру t: х — —5 cos4 t sin t, г/= 5 sin4 / cos t.Следовательно,254я/2 я/2J У (—5 cos4 t sin t)2 + (5 sin4 i cos t)%d/ = 5 j sin t cos t У sin6 /+ co s6 1 dt =о 0я/2 ____ я/2=тI/-134------、sin 2t / i + l cos2 2t dt = — 音 j V 1 + 3 cos2 2t d (cos 2t) =Іл/2J— ^ cos 2t Y 1+3 cos2 2 t ^___ - \ ln j —{1 (]A/ 3.COS Q__ Ci* 2t I 1/ 11+3 i cos2 2 Oj\ /) ]І п Ю )厂 31612. Найти длину дуги кривой p = sin3(Ѳ/3) от Ѳг = 0 до Ѳ2= л/2.

Д Имеем р, = s in 2 (0/3)、cos (Ѳ/3). Следовательно,^ л/2 厂 *_____________________ П/2sin6 ( sin2 ~ cos ] d 9 = ^ sin2y t i0 —т 卞о ' оöЯ/21 Г Л 20N 2Ѳ\ 1 し 3 . 2Ө1 я/2=_2 I ( l- I 一 c ocoss y J r f0 - - 2~ß (2л—3 У З)*)—T Sin ¥оВычислить длины дуг кривых:1613. y = \ns\nx от л: = я/З до х = п/2.1614. у = (2/5) А- У х — (2/3) l / l â между точками пересеченияс осью Ох.1615. у = х2/2 от х = 0 до х = 1 .1616. У ^ = \-~ ІП COS X ОТ Х = 0 ДО Х = JT/6.1617. y ^ c h x от х = 0 до x — 1.1618. д: = Р/3 — U у ^ і 2^г2 от t = 0 до ^ = 3.1619. х ^ ё cos t y y = ef s'm t от f = 0 до /==1пя.1620. A:= 8 s in f+ 6cos 入 у=^Ь sin t — 8cos^ от t = 0 до f =1621. x = 9 (/ — sin t), " = 9 (1 — cos/) (длину дуги одной аркициклоиды). "1622. р = Ѳ 2 от Ѳ= 0 до Ѳ= я.1623. p = asin0.1624. p-=öcos3(Ѳ/3) от Ѳ= 0 до Ѳ = я/2.1625. 1— cos0.§ 5, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА1 . Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может бытьвыражена как функция от х, т.е. в виде 5 = S (jc) ( a ^ x ^ b ) , то объем частит е л а , зак л ю ч е н н о й м еж д у п е р п е н д и к ул я р н ы м и оси Ох п л о скостя м и х ~ а и x ~ b tнаходится по формулеьF = ^ 5 (д:) dx,, а2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченнаякривой y ~ t ( x) и прямыми ï/ = 0, х ~ а , х = Ь , вращается вокруг оси Ох,то объем тела вращения вычисляется по формулеъ]/х= л ^ dx.аЕсли фигура, ограниченная кривыми у1= :f 1 (х) и ダ2 = / 2 (лг) [0 ^ f x (д:) < / 2 (л:)]и прямыми х = а, Ь, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращенияbJ {у і—уі) dx,a255

1626. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Офигуры, ограниченной кривой у2= (x— I)3 и прямой х ^ 2 (рис. 44).2 2AѴ = я J у2 dx = n ^ (x— \)3d x = ^ - n (x— l)4 _ = 士 л (куб. ед.). ▲i 11627. Найти объем тела, в основании которого лежит равнбедренный треугольник с высотой h и основанием а. Поперечноесечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента(рис. 45).Д Имеем | AB | = | ОС | = /і, | М Қ \ ~ \ DE |, \О Қ \ = х . Выразим площадьпоперечного сечения как функцию от х, для чего предварительно найдем уравнениепараболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих треугольников,а именно: |D 古 |/а = ( /і— x)/h, т.е. — x)/h = \ M K |.Положим I DE \ = mf тогда уравнение параболы в системе координат иКѵ4примет вид ѵ = т -------и2. Отсюда находим площадь поперечного сечения данноготела:т/2S = 2 ' f m~-.A.uA d u = ^ m 2t или S(x) = y * й .о 、Таким образом,ЛС-- S-----Наити объемы тел, - образованных - вращением вокруг оси Ох фигур,ограниченных- -линиями:-1628. у = ? + ⑴ ’ х2— 8у.1629. у2 = x,x2= у.1630. у ズ= 1 ,у^=0.1631. у = х2/2у и = хг/8.--s=h----------го213

1632. Найти объем тела, ограниченногоплоскостями х = 1 , x = 3, если площадь егопоперечного сечения обратно пропорциональнаквадрату расстояния сечения от началакоординат, а при х ^ 2 площадь сечения равна27 (кв. ед.).1633. Найти объем цилиндрического клинапо его размерам, указанным на рис. 46(задача Архимеда).1634. В цилиндрический стакан с водойРис. 46вложен параболоид вращения вершиной вниз.Основание и высота параболоида совпадают с основанием и высотойцилиндра. Найти объем оставшейся в стакане воды, если радиусоснования равен г, а высота равна Һ.§ 6. ВЫ ЧИСЛ ЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩ ЕНИЯЕсли дуга гладкой кривой y ~ f {х) ( а ^ х ^ Ь ) вращается вокруг оси Ох, топлощадь поверхности вращения вычисляется по формулеь _____5 ^ — 2л ^ у 1+ ゲ 2 dx,ノaЕсли кривая задана параметрическими уравнениями х = х (t)t и = у (і) (ら くто,2 _____5^ — 2^ [ y V x 2^ y 2dt,h1635. Наити площадь поверхности, образованной вращением вокругоси Ох дуги синусоиды r/ = sin2x от ズ= 0 до л: = л/2.Д Находим yf = 2 cos 2х; тогдаЛ/2 чSx = 2л ^ sm 2x У \-\-4 cos2 2х dx.оПроизведем замену переменной: 2 cos 2x = t^ —4 sin 2х dx = dt, .sin 2xdx= ( — 1/4) dt.Найдем пределы интегрирования no t: если ズ= 0 , то t = 2\ если х —я/2, тоt = —2. Таким образом,-2 , 2s = 2 n j ]Aiqrr2( 一 士 ) j y r + ^ d t =2 -2= 吾 [ 4 /ТТ^"2+ 去 ln G + ] ニ =( 2 士 卞 ミ ) = 吾 [ 2 V 5 + ІП 5 + 2)] (кв.ед.). ▲гіайти площади поверхностей, образованных вращением вокоѵгоси Ох дуг кривых:1636. г/ = 2 ch (х/2) от ^ = 0 до х = 2.1637. у = х3 от х = 0 до х = 1/2.257

1638. x2/a2+ t f / b 2= \ .1639. x = t — sin t, y = 1 一 cos t (площадь, образованную вращениемодной арки).§ 7. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИПЛОСКИХ ДУГ И Ф И ГУ РПусть на плоскости хОу задана система материальных точек А і (х*і;у \)уА2 (х2;у2)у .. •,А п (хп\ уп) с массами т х, т 2, • • • ,т п. Статическим моментом М хэтой системы относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точекна их ординаты:k=.n= 2 m^yk'k=iАналогично (как сумма произведений масс точек на их абсциссы) определяетсястатический момент системы относительно оси Оу:k = rtМу= 2 mkxk*k —iМоментами инерции I х и І ѵ системы относительно осей Ох и Оу называютсясуммы произведений масс точек на квадраты их расстояний от соответствующейоси. Таким образом,За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принимаютсясоответствующие моменты условных масс, равномерно распределенных вдольэтих дуг и фигур с плотностью (линейной или плоскостной), равной единице.Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y = f(x )(а вычисляются по формулам6 ь ь ьМ х = f у dL; М у = ^ xdL\ I х = ^ у2 dL\ І у = 、х2 d“а а а агде dL = レ 1 dx— дифференциал дуги кривой.Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченнойкривой y = f (x)f осью Ох и двумя прямыми х — а и х = Ь, вычисляются поформуламb b b b= 备 Ç t/d S = ^ y 2 dx, M y = ^ x d S = ^ xy dxta a a ab b bВ этих формулах dS = y dx— дифференциал площади криволинейной трапеции.1640. Найти статический момент и момент инерции полуокружнэстиу = у г'2— x2 (— г く x く г、относительно оси Ох.Д Статический момент М х будем вычислять по формуле М х = \ у dLt гдеь258

dL = V l-\- y /2 dx, y ' = 一 x/Ÿ ~r2—x2. Тогда получимV r 2~ x 2 yd x = r ^ âx = 2f2Находим момент инерции относительно оси Ох:b г ____= r [ Y r 2^~x2 dx = 2r ( У г2— х2 dx,- г ОВведем подстановку ズ= rs in ら dx = r cos t dt; если x = 0t то t = 0\ если x = r tто t = л/2. Следовательно,я/21641.-b s m toI х — 2г Ç Ѵ~г2— г 2 sin2 t г cos t dt =о(1 + cos 2t)dt--' / + І 5іп2Л Я/2 が ‘оНайти момент инерции площади эллипса л: = асоз/,относительно оси Оу.аД Момент инерции площади эллипса относительно оси Оу равен / ^ = ^ x2 dS,_ о.где dS = 2ydx. Из параметрических уравнений эллипса находим dS — 2b sin t XХ а (— sin t) dt = —2ab sin2 t dt, откудаоо/ ѵ = 2 ^ a2 cos2 1(— 2ab sin2 1) dt = 一 4asb ^ sin2 1cos2 1 dt =я/2 л/2Л/2= + a 36 f ( l~ c o s 4 t) d t= ^ . ▲•01642. Найти статические моменты и моменты инерции дуги астроидыл: = a cos3/, y = ûsin3/, лежащей в I четверт и (рис. 47).Д В силу симметрии астроиды относительно координатных осей М х = М ѴіI х = Iу. Поэтому достаточно вычислить моменты относительно оси Ох. Для I четвертиимеем ^ д / 2 . НаходимdL = j / ~ + y f dt = За sin t cos t di,b я/2 jt/2 ît/2M ^ = f ydL = a-sin3 t»3a sin t cos t d t = - ^ — sin5 1оb Л'2 я/2I x — ^ y2 d L = j a2 sin61• 3a sin t cos t dt = ^ - a3 sin8 1 | = | a 3.a 0 0Итак, M x ^ M ÿ = (3/5)a2; / ズ= / シ= (3/8) a3. ▲259

Рис. 47 Рис. 481643. Найти момент инерции параболического сегмента, у которогохорда равна а, а стрелка относительно хорды равна h (рис. 48).Д Имеем | AB | = а, | ОС \ = Н. Уравнен ие параболы записывается в Еидеy = h — Nx2, где неопределенный коэффициент N можно найти, пользуясь тем, чтоточка В (а/2; 0) принадлежит параболе: 0 = /î — Na2/4, или ІѴ = 4 /і/а 2; следовательно,у = h — ^hx-ja2. Теперь находим искомый момент инерции:ATI1644. Найти статический момент и момент инерции дуги цепнойлинии у = -ү(ех/а-ү е -х/а), где113ûIゲA*I213û/^------so, 4/i ‘h---- тгX'azотносительно оси Ох.1645. Найти статический момент и момент инерции треугольникас основанием а и высотой h относительно его основания.1646. Найти момент инерции параболического сегмента,ограниченногопараболой び= 4 — х2 и прямой ひ= 3 ,относительно оси Ох.1647. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и bотносительно осей симметрии прямоугольника.1648. Найти полярный момент инерции круга диаметра d} т. е.момент инерции относительно оси, проходящей через центр кругаи перпендикулярной его плоскости.§ 8. Н А Х О Ж Д Е Н И Е КО О Р ДИ Н АТ Ц Е Н Т Р А Т Я Ж Е С Т И . ТЕ О Р Е М Ы Г У Л Ь Д Е Н АКоординаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой у :^ х ^ Ь ) выражаются формуламиьГь Г *XXwIIITгде dL = V \ + у ' 2 dx, a L — длина дуги.Координаты центра тяжести криволинейной трапеиин вычисляются по формуламb ь ь ьa a a aгде dS = y dx,a 5 — площадь фигуры.Т е о р е м ы Г у л ь д е н аT е о р е м а 1. Площадь поверхностиt полученной при вращении дуги плоской260

кривой вокруг оси,лежащей в плоскости этой кривой а не пересекающей ее, равнадлине дуги кривой, умноженной на длину окружности’ описанной центромтяжести дуги.Т е о р е м а 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокругоси, не пересекающей ее а расположенной в плоскости фигуры, равен произведениюплощади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяж е сти фигуры.1649. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линииy = ach {х/а) ,—Д Так как кривая симметрична относительно оси Оу, то ее центр тяжестилежит на оси Оу, т. е. д: = 0. Остается найти у. Имеем у ' = sh (х/а) ; тогда dL =\-\-sh2 (x/a) dx = ch (x/a) dx\ длина дугиaaL = ^ V \-{-y '2 dx = 2 ^ c h d x = 2a sh ~ -2ash 1•- a 0Следовательно,a ch2 三 dx = -т-г \ ch2 - i dx -2a sh 1 J a sh 1 J a 2 sh 1 оa , 2xsha(2 + sh 2): G T f l 1 + T Sh2j = —4—shl ~ 1Л8Я'1650. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченнойдугой эллипса x = acos t, у = b s\n t , расположенной в I четверти,и осями координат.Д В I четверти при возрастании х от 0 до а величина t убывает от л/2до 0; поэтомуfl - о- 1 Г 1X - ^ ху dx = ~ J aco sZ .6 sin Z (— ß sin t) dt0 л/2Л/2 r/2п^һ P Qp'b 1\ S \n4 cos t dt = ^ 4 r S i n 40л/2оa2b— 3S *Воспользовавшись формулой площади эллипса S = nab9 получим x -(4a2b)/(3nab) = (4 a)/(3 я).Аналогично находимu 0о=25 1 у2 dx = ^S S ^ sin21 (— f l sin t) dt--0 я/:城 C ひ 一 cos2 t) d (cos t)= —nab J nТаким образом, л: = 4а/(3л), г/= 46/(3я). ▲0 4bcos/ — cos3 1 i = 5— .O Jjt/2 Зл1651. Найти площади поверхностей и объемы колец (торов),образованных вращением круга (х— а)2+ (у 一 6)2く , 2вокруг осей Охи Оу (а ^ Г у г).А Если круг вращается вокруг оси Ох, то центр тяжести круга отстоит отоси вращения на расстоянии Ь\ поэтому площадь поверхности, согласно первой261

теореме Гульдена, равна Sx = 2 т • 2пЬ = 4л26г, а объем, согласно второй теоремеГульдена, равен Ѵх — лг2• 2лЬ = 2л2Ьг2.Если же вращение производится вокруг оси Оу, то расстояние центра тяжестикруга от оси Оу равно а. Тогда Sy = 2лг• 2яа = 4л2аг, Ѵу = яг2 • 2ла = 2к2аг2. ▲1652. Пользуясь теоремой Гульдена, найти координаты центратяжести четверти круга х2+ г /2^ г 2.Д При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объемкоторого равен ]/ = (1 /2 ). (4л/3/3) = 2я 厂 3/3. Согласно второй теореме Гульдена,V = (лл2/4) • (2пу) . Отсюда у = 2Ғ/(я2г2) = 2. 2лг3/(3я2г 2) = 4г/(3л). Центр тяжестичетверти круга лежит на оси симметрии, т. е. на биссектрисе I координатногоугла, а потому х = у — 4г/(3я). ▲1653. Найти координаты центров тяжести полуокружности у === I г2— x2 и полукруга, ограниченного этой полуокружностью иосью Ох.1654. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченнойлиниями х = 0, х = п/2у у = Q, у = cos х.1655. һ а и т и координаты центра тяж ести параболического сегмента,ограниченного линиями ÿ = 4 — х2, у = 0.1656. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды х == a cos3t y ÿ = asin31 (в I четверти).1657. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченнойлиниями у ^=2х— х2у у = 0.1658. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченнойлиниями ズ= 0 ,х = л/2, у = 0, y = s\nx.1659. Пользуясь теоремой Гульдена, найти объем тела,образованноговращением полукруга радиуса г вокруг касательной, параллельнойдиаметру.1660. Пользуясь теоремой Гульдена, доказать, что центр тяжеститреугольника отстоит от его основания на одну треть высоты.% Найти объем тела, полученного вращением треугольника вокруг основания.1661. Пользуясь теоремой Гульдена, найти объем тела, полученногопри вращении прямоугольника со сторонами 6 и 8 вокруг оси,проходящей через его вершину перпендикулярно диагонали.§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ И ДАВЛЕНИЯРабота переменной силы X = f(x ), действующей в направлении оси Ох наотрезке [х0і хг] } вычисляется по формулеА ~ \ f (x) dx.ХоДля вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласнокоторому давление жидкости на площадку равно ее площади S, умноженной наглубину погружения Һ, на плотность р и ускорение силы тяжести g 、т. е.262P ==pghS,1662. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть

пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н онарастягивается на 1 см?Д Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на х м, равнаX — kx. Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если д:= 0,0і м,то ズ = 1 Н; следовательно, k = 1/0,01=100 и Х = ЮОд:. Тогда0,04: Ç Ю0лг^л: = 50л;20,04=0,08 Д ж .1663. С помощью подъемного крана извлекают железобетоннуюнадолбу со дна реки глубинои 5 м. Какая работа при этом совершается,если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром1 м (рис. 49)? Плотность железобетона 2500 кг/м3, плотность воды1000 кг/м3.Д Высота тетраэдра Һ = У 6/3 м, объем тетраэдра V ~ Ѵ 2/12 м3.надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равенВесЯ = (1 /12)./'2-2500.9 ,8 — (1 /1 2 )./'^ .1 0 0 0 .9 ,8 = 1225 VI (Н),поэтому работа при извлечении надолбы до момента появления на поверхностиводы ее вершины составляет ノЛ0= 1225 / 2 (5 — / і) =1225 У 1 (5 — /"(З /З ) ^ 7227,5 (Дж).Теперь найдем работу А і при извлечении надолбы из воды. Пусть вершинатетраэдра вышла на высоту 5 + у ; тогда объем малого тетраэдра, вышедшего изводы, равен 3 У З ^ /в , а вес тетраэдраСледовательно,2500.9’8 ド】 — ( ‘ К з Ѵ 1000-9,8.р ІУ) = - 12h'24 500,~ Ï2~ V~2- 9 800 лГ- , 9 800 „ „ ,V 2 - 1 s— 3(/3 У 8 d y =121225Ѵб/зо(1225 / " 2 + 3675 V I у^) dy =ѵ*б/з2082,5 (Дж).Рис. 50Отсюда А = А0-\-Лі == 7227,5 Д ж + 2082,5 Д ж = 93Ю Д ж = 9,31 кД ж .263

1664. Найти работу, совершенную при выкачивании ВОДЫ изкорыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а, радиус г(рис. 50).Д Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине х и имеющегодлину а, ширину т = 2 у г г2— х2, и толщину dx’ равенdV ^=atn dx = 2a У г2 一 x2 dx.Элементарная работа, совершаемая при поднятии этого слоя воды наравна dA = 2pgax У г'1〜 x 2 dx, где р — плотность воды. Следовательно,высоту X,--2pga \ x У г2— x2 dx = — pga Т ( , 2- が 2 о = У ^ 31665. Водопроводная труба имеет диаметр 6 см; один конец еесоединен с баком,в котором уровень воды на 1 м выше верхнегокрая трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти силу давления назаслонку.Д Заслонка представляет собой круг радиуса 0,03 м. Разобьем площадьэтого круга на элементы — полоски, параллельные поверхности воды. Площадьодного такого элемента, находящегося на расстоянии у от центра, равна (с точностьюдо бесконечно малых высшего порядка) dS = 2 — у2 dy. Найдем силудавления, испытываемую этим элементом:dP = 2 p g (\fi3 —y)(здесь p = 1000 кг/м3). Следовательно,зdy= 19600 (1,03 — ï/) Y 9 — y2 dyP = 19 600 ^ (1,03 — (/) > ^ 9 ^ 2 ^ =- 3=19600 [ 1’03 ( 音 j arosin | ) + 去 (9 一 ゲ ) 3/= 9 800-9,27л ä 0,09я H. ▲1666. Найти силу давления воды на вертикальную стенку в формеполукруга, диаметр которого 6 м и находится на поверхности воды(рис. 51). Плотность воды р =1000 кг/м3.Д Дифференциал силы давления на элементарную площадку выразится так:dP = 2pgx У 9 — x2 dx= 19 бООд:У 9— x'2 dx.Отсюдазз19 600 み := — 一 ズ2)3/2 176 400 Н = 176,4 кН . ▲1667. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическомбаке высотой /г = 3,5 м и радиусом основания г = 1,5 м, наего стенки,если р = 900 кг/м3.Д Элемент силы давления на поверхность стенки в выделенной полоскевыразится так: dP = pg-2nrx dx. ОтсюдаhP = 2nrpg ^ xd x = nçigrh2 = 9f in • 1,5*3,52»900 H =161 700л Н = 161,7я кН . ▲264

1668. Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинкадлиной а и шириной b (а > ö), если она наклонена к гѳризѳнтальнойповерхности жидкости под углом а и ее большая сторона находитсяна глубине h (рис. 52)?Д Площадь выделенной на глубине х элементарной полоски равна dS == (a/sin a) dx. Следовательно, элемент силы давления dP = (ал-p^/sin a) dx (p —плотность жидкости). Отсюда находимh + b sin аx dx 一 apg 1sin a sin a - 2h+.b sin (2 sin al(h2-j-2b/i sin a + ö2 sin2 a )— h2]=almb s in OLРис. 531669. Наити силу давления на пластинку,имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями a и Ь ивысотой Һ、погруженную в жидкость на глубину с (рис. 53).Д Площадь элементарной полоски выражается так: dS = (û -[- 21) dx, где I == Ф 一 а) (х— с)!(21і) (/ определяется из подобия треугольников). Следовательно,=Pg •pgах- i b—аx3 -7ГѴ 了сх^]c + h^ - c h + ^-(a + 2 b )PS-1670. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды изконического сосуда, основание которого горизонтально и расположенониже вершины, если радиус основания равен г и высотаравна Һ.1671. Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость.Какую работу надо совершить при этом, если длина цистерныравна ау а диаметр равен d?1672. С помощью каната подъемным краном из воды поднимаюткамень конической формы. Найти работу, совершаемую при полномизвлечении камня из воды, если вершина конуса находилась на265

поверхности воды. Радиус основания конуса 1 м, высота 3 м, плотность2500 кг/м3.% Здесь Р (у) =14700 + (9800/27) лг/3, где Р выражается в ньютонах.1673. Чугунный прямой конус высотой 0,4 м и радиусом основания0,4 м находится на дне бассейна, наполненного до краев не 中 'тяным маслом. Найти работу, которую надо совершить при извлеченииэтого конуса из бассейна, если плотность чугуна рх= 7220 кг/м3,а плотность нефтяного масла р2= 890 кг/м3.ф Здесь Р (у) равна весу конуса без веса нефтяного масла, вытесненногожается в ньютонах.1674. Цилиндрический баллон диаметром 0,24 м и длиной 0,8 мнаполнен газом под давлением 2 кПа. Какую работу надо совершитьпри изотермическом сжатии газа до объема, в два раза меньшего?1675. В жидкость с плотностью р погружена треугольная пластинкавершиной вверх. Найти силу давления жидкости на пластинку,если основание треугольника равно а, высота равна Һ. Вершинатреугольника расположена на поверхности.1676. Найти силу давления бензина,находящегося в цилиндрическомбаке высотой Л = 4 м и радиусом г = 2 м (р = 900 кг/м3),на стенки бака на каждом метре глубины.1677. В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинкадиаметром d, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давленияжидкости на пластинку.Составляя соответствующие интегральные суммы и производяпредельный переход, решить следующие задачи:1678. Найти массу стержня длины 1 м,если линейная плотностьстержня меняется по закону 0 = 20ズ + 0,15ズ2, где х — расстояние отодного из концов стержня, в м; ô — в кг/м.1679. Скорость точки меняется по закону ѵ = 100 + 8^ (где ѵвыражается в м/с). Какой путь пройдет эта точка за промежутоквремени [0,10]?1680. Точка движется по оси Ох, начиная от точки M (1 ;0 ),так, что скорость ее равна абсциссе. Где она будет через 10 с отначала движения?1681. Скорость точки изменяется по закону ѵ = 2(6 — t) (где ѵвыражается в м/с). Каково наибольшее удаление точки от началадвижения?§ 10. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ1 . Гиперболические функции. Гиперболическими функциями называются функции,определяемые следующими равенствами:266p2§s где Р выраshxех — е_хгиперболический синус.

ех -\-е~лch X -2~-гиперболический косинус.th x -cth X :sh x ex 一 e~ch x 它 ズ+ ど—лchx ex -{-e~'xshx ех 一 е"-гиперболический тангенс,- гиперболический котангенс.Гиперболический косинус『является четной функцией, т. e. ch (— ズ)=сһ(дг),а гиперболические синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями:sh (— х) = 一 sh X、th (— x) = — tg x, cth (— x) = 一 cth X.Полезно иметь в виду, чтоsh 0 = 0 ,ch 0 = 1 , ch2 x— sh2 x = 1,th x c th x = z ].Г рафики гиперболическихфункций y = shxt y = c h x иy — i\\x изображены соответственнона рис. 54—56.Рис. 55Г рафик гиперболического косинуса называется цепной линией. Цепная линияявляется линией провисания тяжелой нити, подвешенной в ДЕух точках.Производные гиперболических функций находятся по формулам(sh х)г ch x, (ch ズ),= sh дг, (th x)f = 1 /ch2 xf (cth x)r = — 1/sh2 x.При интегрировании гиперболических функций используются формулы^ sh x dx==ch x-\-C t^ ch x dx = sh x-{-C tC dx , -, Г dx: th ズ+ C ,-cth x + C .ch2xsh2 x2. Обратные гиперболические функции. Для гиперболических функций sh х,ch x, th x, cth x обратные гиперболические функции определяются с помощью следующихформул:arsh ln У^х2-\- \) ( 一 оо く ズ < + оо)— гиперболический ареа-синус,arch х = ± 1п(д:+ У x2— і ) ( х ^ 1) — гиперболический ареа-косинус.arth x :•In(I д: I < 1) — гиперболический ареа-тангенс9ДГ+ 1arcth x = マ ln , (I д: I > 1) 一 гиперболический ареа-котангенс.2 x—1Производные обратных гиперболических функций находятся по формулам(arsh ху — - 】-----, (агсһд:), = 土 . ^У 1+ л:2V л:2 — :1(arth ху(arcth ху г=.-x1х 2— іОбратные гиперболические и обратные тригонометрические функции связанымежду собой следующими соотношениями (в комплексной плоскости):arsh ズ= — i arc sin xi; arch x = i arccos л:,arth дг = — i arc tg xi; arcth ;c = t arcctg xi.2G7

1682. Доказать справедливость равенстваsh (x + ß) = sh л: ch а + ch x sh а.Д По определению гиперболического синуса имеемßX + а_ß —(x + o) ßX • ßd__ 己 一 xsh (ズ+fl)Так как ех = ch дг+ s h x t е~х = ch ^ — sh x t ^fl = ch a + sh a, e~a = ch a — sh a, то, . , . (ch a: + sh 尤 ) (ch a + sh fl) — (ch x — sh x) (ch a — sh a)sh (x + a ) ----------------------------------------тў------------------------------------- •Выполнив алгебраические преобразования, получаемsh (ズ+ fl) = sh ズch a + ch д: sh a. ▲1683. Выразить ch {х-\-а) через гиперболические функции аргументовx и а.Д Продифференцировав по х равенствоsh (jc+ û) = sh x ch a + ch л: sh a,получаем ,ch (ズ+fl) = ch л: ch fl + sh a: sh a. ▲1684. Выразить sh2x и ch 2x через shx и chx.Л Имеемsh 2x = sh (x-\~x)= sh X ch X + ch X sh Xy ch 2x = ch (х + дг)=сһ Д:сһ A:+ s h X sh Xyt. e. sh 2л: = 2бҺ xch x; ch 2x = ch2 A:+ s h 2A:. ▲1685. Выразить ch2x и sh2x через ch 2л:.Д Решив систему уравненийотносительно ch2 x и sh2 ズ, получаемch2 лг= (ch 2ズ+ l)/2,j ch2 x + sh2 ^ = ch 2xt^ ch2 x 一 sh2 ズ= 1sh2 д:= (ch 2x 一 l)/2. ▲1686. Выразить гиперболические функции ch xi и sh x i мнимогоаргумента через sinx и cosa:.Д Находим^ Xi = eXi- ^ - Xi = i . ^ r z f ^ = isin X, ch,/ = ^ + ^ = c o s , .Итак, sh xi = i sin x t ch xi = cos x. ▲1687. Выразить тригонометрические функции sin xi и cos х і мнимогоаргумента через shx и сһ^.Д Подставив в формулы sh хі = і sin x и ch xi = cos x (см. задачу 1686)хі вместо x, получим sh x i2 = i sin xi, ch xi2 = cos x iy t. e. sin xi = — K- j ,Y) == i sh x, cos xi = ch (—x) = ch x. Итак, sin xi = i sh x t cos д:/ = сһ x ▲1688. Какая линия определяется параметрическими уравнениямиx = ach t y x = a sh / при a > О?268Д Исключим из этих уравнений / ,для чего из х2 вычтем у2:x2 一 у2 = а2 (ch21— sh2 t), т. еө x2—у2= а 2.

Кривая x -—у2 = а2 является равносторонней гиперболой, асимптотами которойслужат прямые у ~ ± х. Данная кривая является правой ветвью этой гиперболы,так как х = а ch t > 0 при любом t (рис. 57). ▲1689. Точка М лежит на правой ветви равносторонней гиперболыл* = асһ t, y = a s h t. Из точки М опущен перпендикуляр M N наось абсцисс и эта же точка соединена отрезком ОМ с началом координат.Из вершины А гиперболы восставлен перпендикуляр А К допересечения в точке К с отрезком ОМ (рис. 58). Доказать, чтоJNM I = sh /, \ON \:a = c h tt | A K |:a = th t.Д I N M I :a = y :a = s h t y \ ON \:a = x :a = c h t,I Л/С|:а = | ^ М | : | 0 ^ | = (| N M \:a )!(\ O N \:a )= s h "c h 之 = th Л ▲1690. Точка M лежит на правой ветви равносторонней гиперболыx = a c h t, y = a s h t. Вычислить площадь гиперболического сектора,ограниченного ветвью гиперболы, осью абсцисс и отрезком ОМ(рис. 59).А Имеем S = S0^dx — a s h i d ty откудаxi ~ S a n m ==~ ХУ— ^ У dx. Так как a: = û ch t, y = a s h tf тоt ,S = 士 û2 sh / .ch t — a- f sh2 t dt = a2 sh t • ch t — 丨 (ch 2t — I) dt =, b o1 1 n2 a2t= ; û 2 sh 2 t - ^ - a 2 sh 2t + ^ r t = - ^ - .4 4 2 2Таким образом, t = 2S/a2. Итак, аргумент t гиперболических функций можнорассматривать как частное от деления удвоенной площади гиперболического сектораОЛМ на квадрат действительной полуоси. ▲1691. Найти производные функций:1 ) у = \ п (chx + y rc\\2x + 1 );2 ) у = 5 sh3(л:/15) + 3 sh5(х/15);3) у = 2 arctg (th (х/2)); 4) y = ih x — 吾 th5jc + + t h 5x;5) y = arcctg (1/sh x)\ 6) ÿ = ln th (л:2/4).at2G9

1692. В какой точке цепной линии у = с\\х касательная образуетс осью абсцисс угол а = л/4?1693. Исследовать на экстремум функцию у = ch (х/2)— 1.4)1694. Н а й т и : 1)[shx s'm xdx; 5)x2chxdx\ 2) * Г sh4 ^ dx\ 3 ) 广 thy ch.4 sh (x/2)dx; 6) J sh3 (ズ/З) ch2(ズ/3) dx.ch3 (x/2)1695. Вычислить определенные интегралы.ln (l+ V 了 ) ln 2 ln 31 ) f '^ 4 - s h ^ '; 2) j ^xdx-, 3) I xchxdx^о о 01696. Выразить sh (x— а) и ch (л:— a) через гиперболические функцииаргументов x и а.1697. Выразить th (х-\-а) и th (х— а) через th x и tha. Найти th 2х.1698. Выразить через сһл; гиперболические функции половинногоаргумента sh (х/2), ch (х!2) и th (х/2).1699. Привести к виду,удобному для логарифмирования, выраженияshx ± sh у, ch Л:± ch у, t h x ± th y.1700. Выразить shx и сһл: через th (х/2).1701. Представить произведения гиперболических функцийsh ^chÿ, sh ぶshy, ch л: c h " в виде сумм.1702. Вычислить площадь, ограниченную кривой у = shx и прямымих = \п 5 , у = 0.1703. Найти длину дуги кривой у = ach (х/а), заключенной междупрямыми ズ= 0 ,х = а.1704. На кривой x = a c h t, y = a s h t даны точки М и N, соответствующиезначениям / = и t = t 2(tx < t2). Вычислить площадьсектора O M N•1705. Какая линия определяется уравнениями x = a/ch t, у == fe th если а > 0, й > 0?1706. Какая линия определяется уравнениями д:= сһ2 y = sh2t?1707. Дано sin a = th t. Выразить cos a и tg a через L1708. Упростить выражение(cosx c h y -\-is \n x s h у)2 — (cos x s h y + is m x cos y)2.1709. Упростить выражение (x c h t-{-y s h t)2— (ズsh f + у c h /)2.1710. Доказать тождества:(ch Л:+ sh n = ch ПЛ:+ SU nx\ ch nxパ (ch A:+ s h x)n — (ch X — sh x )noll І -- Q •(ch Д;-}•х)п + (с^ X — sh х)п •1711. Используя равенства shn x = ^ ~ — ; chn x = ~ -доказать, чтоch3ズ= j ch 3jc + ch ズ, sh5л: = sh 5x 一 jg sh 3ズ+ 鲁 sh x.dx;

Г Л А В АX ïЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ§ 1 . Л И Н Е Й Н Ы Е Н Е РА В ЕН С Т ВА И О БЛАСТЬ Р Е Ш Е Н И ЙСИСТЕМЫ Л И Н Е Й Н Ы Х НЕРАВЕНСТВПусть задано линейное неравенство с двумя переменными х± и х2сі\Х\ + 0,2^2 + b > 0. (1)Если величины х± и х2 рассматривать как координаты точки плоскости, то совокупностьточек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (1),называется областью решений данного неравенства. Областью решений неравенства( 1 ) является полуплоскость.Для того чтобы установить, какая из двух полуплоскостей соответствуетнеравенству (1), достаточно привести это неравенство к виду х2 /гхх + 1 илик виду ズ2 < 々ズ1 + ム В первом случае искомая полуплоскость лежит выше прямойаххі + а2х 2 + ^ = 0, во втором — ниже ее. Если же а2 = 0, то неравенство приводитсяк одному из видов Хх ^ Іі или х1 ^ Һ, т. е. полуплоскость лежит справаили слева от прямой Х і= Іі.В случае же, когда задана система неравенств, С а11Х1+Ö12ズ2 + わ1>0,I а21Х1 + й22 ズ2+ 办 2 > 0 ,/f)\где m — конечное число, получим пересечение конечного числа полуплоскостей,образующее многоугольную область D. Область D называется областью решенийсистемы неравенств (2). Эта область не всегда бывает ограничена, она может бытьи неограниченной и даже пустой. Последний случай имеет место тогда, когдасистема неравенств (2) противоречива. Могут быть также случаи лишних неравенств,входящих в совместную систему и определяющих прямые, не имеющиес областью D общих точек. Такие неравенства можно исключить.Область решении обладает важным свойством— она является выпуклой、т. е.вместе с любыми своими двумя точками содержит и весь соединяющий их отрезок.Прямая, которая имеет с областью по крайней мере одну общую точку, притомтак, что вся область лежит по одну сторону от этой прямой, называется опорнойпо отношению к этой области.Аналогично истолковывается геометрически и система неравенств с тремяпеременными:a\ l xl + fl12 ズ2+ 013 ズ3 + み1 > 0 ,a21X\ -|- Ü22x2 + ß23ズ3 + 办 2 > 0 ,(3)Здесь каждое из неравенств выполняется для одного из полупространств, на которыеразбивает все пространство соответствующая плоскость. Система неравенств (3)представляет собой пересечение полупространств, т. е. многогранную область решениисистемы неравенств.1712. Найти полуплоскость, определяемую неравенством 2хл++ Зл:2— 1 2 < 0 .2 7 1

Д Заменяя знак неравенства на знак точного равенства, получим уравнениепрямой 2хг Зх2~~12 = 0 или х2 = ( 一 2/3) л:і + 4 (рис. 60). Приведем данное неравенство:к виду д:2 ^ ( 一 2/3) л:і + 4. Следовательно, искомая полуплоскость расположенаниже прямой л:2 = (—2/3) д:і + 4. À1713. Какую полуплоскость определяет неравенство 2хг— Зх2 ^ 0?Д Заменяя знак неравенства на знак точного равенства, получим уравнениепрямой 2хх — 3ズ2 = 0 или х2 = (2/3) Х\у проходящей через начало координат. Изнеравенства 2хг — Зх2 ^ 0, т. е. х2 ^ (2/3) х1} вытекает, что искомая полуплоскостьрасположена ниже прямой х2 = (2/3) Х і (рис. 6 1 ).^1714. Найти область решений системы неравенств х х 一 1 ^ 0 ,ズ2 1 > 0,Xi -j- x2 — 3 > 0, — бХі — 7x2 + 42 > 0.Л Пяти заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости,образующее треугольник АОВ (рис. 66). Неравенства (г) и ⑶ могут быть исключенытак как неравенство (д) определяет граничную прямую, не имеющую с треугольникомАОВ общих точек, а прямая, определяемая неравенством (г), имеетодну общую точку с треугольником и является опорной. ▲1719. Найти область решений системы неравенств хх > 0, х2 ^ 0,Хз ^ 0 , ズi + ズ2 — 丨 ^ 0, + х2 Зх3 ^ 0.Рис. 62жен ных на рис. 62. Приведем данные неравенства к виду ズ1 > 1 , дг2 ^ 1,ズ1 + 3, х2 ^ (—6/7) д:і + 6 . Штриховка показывает те из полуплоскостей,которые служат областями решений соответствующих неравенств. Областью решенийсистемы неравенств является выпуклый четырехугольник. ▲1715. Найти область решении системы неравенств хх ^ 0, х1-\-х2 —— 2 0, Х і— ズ2 + 1 ぐ 0, Х і 2.А Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнениячетырех прямых: ^ = 0, хі~\~х2 一 2 = 0, хг 一 ズ2+ 1 = 0 ,х1 = 2, изображенных нарис. оЗ. Приведем данные неравенства к виду х і ^ 0, х2 ^ — ズі + 2, ^ + 1*Xi ^ 2. Областью решений системы неравенств является неограниченная выпуклаяфигура. ▲A Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнениячетырех прям ы х:ズі 一 1 = 0 ,х2 一 1 = 0 ,хі~\-х2 一 3 = 0 и 6ズ1 + 7ズ2— 42 = 0, изобра-1716. Найти область решенииX i ""j- Зл^2 3 , ズі _ ~х2+ 1く 0.системы неравенств х 1 > 2,Д Построим соответствующие прямые. Из рис. 64 видно, что не существуетни одной точки, общей для всех трех полуплоскостей. Это означает, что областьрешений «пустая» и заданная система неравенств несовместна. ▲1717. Найти область решений системы неравенств 2х1— х2^ — 2,х1— х2 — 2, х 1 1 , 2х1— х2 3.Д Эта система неравенств не имеет решений. Геометрически это означает, чтоне существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяют всем неравенствамданной задачи (рис. 65). ▲1718. Найти область решений системы неравенств 3х1— х2^ 0 (а),ズi — ズ2< 0 ( 6 ) ,2 ^ + a:2< 6 (b ), л:! < 2 (г), 3ろーズ2> — 4(д).272д Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравненияплоскостей Х\ = 0, х2 = 0, = 0, xi~j~x2 — 1 = 0 ,Зл:і - |- ^2 — З^3 = 0, которые изображенына рис. 67. Областью решений системы неравенств служит выпуклыйчетырехгранник ABOCD. ▲1720. К а к расположена полуплоскость,координаты точек которойудовлетворяют неравенству хг— ズ2— 1 0 ^ 0 ?Найти область решений системы неравенств:1721.хг х 2 — 5 ^ 0 , Х і— х2 — 5 ^ 0 , х 1 ^ 7.1722. х1 一 5ズ2+ 5 > 0 ,x1+ 3^2 — 3 ^ 0 , ^ 5.1723.ろ> 3 ,ズ2> 0 ,х1-\-х2^ .0 .1724. хг — ズ2+ 1>0, 2хг + х2 一 7 ^ 0 , х±— 2х2-J-4^ 0.1725. х2> 0 (а ), 4;^— ろ > 0 ( 6 ), х2< 6 (в), 4хх + х2< 4 0 (г),х х 一 ズ2 + 8 > 0 (д) •1726. х г ^ 0, х2 ^ 1, ズ3> 0 , ズ1 + ズ 2 + ズз — 5 ^ 0 .17 2 7 •ズ:ぐ 4, 2,v2— ズз > 0,ズ2 + ズз ぐ 3 , ズi > 0, 0.10 Ko 1174 273

§ 2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯЗадача линейного программирования заключается в изучении способов отысканиянаибольшего или наименьшего значений линейной функции при наличиилинейных ограничений.Функция^ наибольшее или наименьшее значение которой отыскивается, называетсяцелевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых достигаетсянаибольшее или наименьшее значение, определяет так называемый о п ти ­мальный план. Всякая же другая совокупность значений, удовлетворяющаяограничениям, определяет допустимый план (решение).Пусть ограничения заданы совместной системой т линейных неравенств с ппеременными:( 011^1 + 012^2 + " • + а1ПХП^ ^ІіI 0 2 1^ 1 + fl22ズ2 + •.•+ а2пхп ^V ^ т і ^ і ^т2^2 ^ т п ^ п ^ ^ т %Среди неотрицательных решений этой системы требуется наити такое решение,,при котором линейная функция (целевая функция)принимает наибольшее (наименьшее) значение или, как говорят, максимизировать(минимизировать) линейную форму L.Покажем, как решается указанная задача геометрическим методом, для чегоограничимся рассмотрением совместной системы линейных неравенств с двумя итремя переменными. Пусть, кроме того, задана линейная функция L = СіХі + с2х2 + с0.Найдем среди множества точек (хі\ х2) из области решений совместной системынеравенств такие, которые придают заданной линейной функции наименьшее (наибольшее)значение. Для каждой точки плоскости функция L принимает фиксированноезначение L = L î. Множество всех таких точек есть пряма я СіХі+ с2х2 -і~с0== L uперпендикулярная вектору С (сі;с2), выходящему из начала координат. Если этупрямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора С,то линейная функция L = С\Хі + с2х2 + с0 будет возрастать, а в противоположномнаправлении — убывать. Пусть при движении прямой L в положительном направлениивектора С она впервые встретится с многоугольником решений в его вершине,тогда в этом положении L f прямая L становится о п о р н о й , и на этойпрямой функция L принимает наименьшее значение. При дальнейшем движениив том же направлении (положительном) прямая L пройдет через другую вершинумногоугольника решений, выходя из области решений, и станет также опорнойпрямой 乙 2; на ней функция し принимает наибольшее значение среди всех значений,принимаемых на многоугольнике решений.Таким образом, минимизация и максимизация линейной функции L = Сі Хі ++ с2х2 + с0 на многоугольнике решений достигаются в точках пересечения этогомногоугольника с опорными прямыми, перпендикулярными вектору С (Сх;с2).Опорная прямая может иметь с многоугольником решений либо одну общую точку(вершину многоугольника), либо бесконечное множество точек (это множество естьсторона многоугольника).Аналогично, линейная функция трех переменных L = С\Хі + с^х2 + + с0принимает постоянное значение из плоскости, перпендикулярной вектору С (сх; с2; с3).Наименьшее и наибольшее значения этой функции на многограннике решенийдостигаются в точках пересечения этого многогранника с опорными плоскостями,-перпендикулярными вектору С (сх;с2; с3). Опорная плоскость может иметь с многогранникомрешений либо одну общую точку (вершину многогранника), либобесконечное множество точек (это множество есть ребро или грань многогранника).1728. Максимизировать линейную форму L 2х\ + 2х^ при ограничениях:Зхх— 2 л:2 ^ — 6, Зх1-{-х2'^Зу Ху_ ^ 3.Д Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим областьрешений по уравнениям прямых — 2д:2 + 6 = 0, Зд:! + х2 一 3 = 0, Хі = 3 (рис. 68).274• • i

Областью решений неравенств является треугольник M N P . Построим вектор С (2; 2).Тогда опорная прямая при выходе из треугольника решений пройдет через точкуР (3;15/2), а потому в точке Р линейная функция L = 2хі + 2х2 принимает наибольшеезначение, т. е. максимизируется, и L max = 2-3 + 2» (15/2) = 2 1 . ▲1729. Минимизировать линейную функцию L = \2xt + 4х2 приограничениях: х 1-\-х2^ 2 у х х ^ 1 /2 , х2^ 4, — л:2^ 0 .Д Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим областьрешений, ограниченную прямыми х 1 ~\~х2 = 2, х±= 1/2, x2 = 4t хх— х2 = 0. ОбластьРис. 68 Рис. 70решений 一 многоугольник MNPQ (рис. 69). Строим вектор С (12; 4). Опорная'прямая проходит через точку М (1/2; 3/2)— это первая точка пересечения многоугольникарешений с прямой L при перемещении этой прямой в положительномнаправлении вектора С. В точке Лі линейная функция L = 12х і-^-4х2 принимаетнаименьшее значение L mln = 12*(1/2)+ 4*(3/2) = 1 2 . ▲1730. Найти наибольшее значение функции L = x t + 3x2-{- Зх3 приограничениях:ズ2 +ズ З< 3 , — л:2^ 0 , л:2^ 1 , Зхі + х2 ^ 15.Д Построим область решений системы неравенств по уравнениям плоскостей:尤 2 + ズ3 = 3 ,ズ1— ズ2 = 0,ズ2= 1,3ズ1 + ズ2= 15. Областью решений является многогранникM NPQRS (рис. 70).Построим вектор С (1 ;3 ; 3). При перемещении опорной плоскости в положительномнаправлении вектора С она выйдет из многогранника решений в точкеN (4; 3; 0). Поэтому в точке N линейная функцияL = X \-\-Зд:2 + За:з примет наибольшее значение, т. е.1731. Найти наибольшее значение функцииL = dxx 一 6^ 2 2 л:з при ограничениях: 3 ^ ++ 3 ぶ2 + 2ズ з 6, x L-j- 4x2 + Sx3 ぐ 8.A Построим область решений системы линейныхнеравенств, взяв плоскости Зд:1 + Здг2 + 2д:3 = 6, л^ ++4^2 + 8 ズз = 8 , ズ1 = 0 , х2 = 0, х3 = 0. Эта область естьмногогранник MNOPR (рис. 71). Построим векторС ( 3 ;— 6; 2). При перемещении опорной плоскости в положительномнаправлении вектора С она выйдет из мно­Рис. 71гогранника решений в точках ребра M R . Следовательно, наибольшее значениеданной функции принимается в точках отрезка M R. Убеждаемся в этом, подставивкоординаты точек М (2; 0; 0) и R (16/11;0; 9 /1 1 )в линейную форму L ; получимL (М )= 6 , L (R) = 6. ▲10 275

1732. Найти наибольшее значение функции L = + Зх2 при ограничениях:х1+ 4х2^ 4 1 а + х2^ 2 .1733. Минимизировать функцию L = x± 一 х2 при ограничениях:3 ^ x i + x2^ 7 f 1 ^ л : 2^ 4, хг ^ 4.1734. Найти наибольшее значение функции L = Зхг — 4х9 приограничениях: х ±— 2х2^ 6, л:і + 2х2> 0 , х1^ 6.1735. Найти наибольшее значение функции L = — + 2х2 приограничениях: х1— 8х2 ^ 10, х1-\-х2'^ 1 , хг — 5х2^ — 5, Зх±++ 10jc2 < 3 0 .1736. Найти наибольшее значение функции Ь = 8хг— 2х2 приограничениях: Зх1-{-4х2^ 18, Зхг — х2^ 3, х2^ 6, 2х±~{-х2^ 18,4хі — х2 ぐ 24.1737. Минимизировать линейную форму L = — 2хх— х2 + Зх3 приограничениях: х1+ х2^ 2 , 3 ^ + >:2^ 6 , х3^ 3.1738. Найти наибольшее значение функции L = x1-\- 2х2+ Зх3при ограничениях: Хх + х2^ 3, х1-{-х2— х3 ^ 0, Зхг + Зх2— х3^ 0.1739. Найти наибольшее значение функции L = 1 Ол:! + х3 приограничениях: Зхг + 2х2 + ^ 6, 2>х1— З.г2+ хя ^ 6, х3 ^ 3.§ 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД1 . Понятие о симплекс-методе. Решение основной задачи линейного программированиягеометрическим методом является наглядным в случае двух и дажетрех переменных. Для случая же большего числа переменных геометрическийметод становится невозможным. Так называемый симплекс-метод принадлежит кчислу аналитических методов решения основной задачи линейного программирования.Система ограничений в вычислительных методах обычно задается системойлинейных уравненийf^-11-^І + びІ2ズ2 + • . . + ^ ІП ^ П =みÏ,“ 21ズ1+ ^22-^2 + • • . + “ 2/2ズ/Z== ^2» (J )^ml^l + 0/л2ズ2+ • . • + атпХп = Ьти среди неотрицательных решений системы уравнений (1) надо найти такие, которыемаксимизировали бы линейную функциюL = С\Х\ + С2Х2 + • • • + спхп + с0.Выразим xlt x2f •• •, xr ( г ^ т ) через остальные переменные:f Xi = aif r+ixr+i + ••• + CiinXn^i>• X2= a2, Г+ l-^r+l + . + СІ2пХп + ^2, . /04xr = ar , r+ i^ r+ i+ . . . cirnXn-\~ bftгде b [ ^ 0 , 62 ^ 0, . . Dr ^ 0 . Если ограничительные условия заданы неравенствами,то их можно преобразовать в равенства путем введения новых неотрицательныхпеременных, так называемых балансовых (выравнивающих). Например,в неравенстве а1Х і-\-а і2х2-{- • •. -\-апхп ^ b достаточно добавить к левой частинекоторую величину хп+1 ^ 0 и получится равенстводі ズ1 + 。2ズ2+ • • • Jr anxn~\~xn + i ==^)*Ограничительные условия могут задаваться и смешанным образом, т. е. неравенствамии уравнениями, тогда указанным путем их можно свести только куравнениям. Переменные (неизвестные) x2t •• ” х г называются базисными, а27G

весь набор {^ і, х 2, . . . ,л:г} — базисом, остальные переменные называются свободны.пи^система ограничений (2) называется системой, приведенной к единичному базису.Подставляя в линейную форму L вместо базисных переменных их выражениячерез свободные из системы (2),получим厶 =70 + 7 尸 + 1ズ/* + 1 + . . . + 7 / 2 ズ《.Теперь, полагая все свободные переменные равными нулю, найдем значениябазисных переменных: хг = b[, х2 = Ь2, . • -, xr = bfr. Таким образом, решение (Ь\,Ьо, . . . , Ьп 0,.. • ,0) системы является допустимым — оно называется базисным.Для полученного базисного решения значение линейной формы L B = ү 0. Решениезадачи с помощью симплекс-метода распадается на ряд шагов, заключающихсяв том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б ' с такимрасчетом, чтобы значение 乙 б уменьшалось или, по крайней мере, не увеличивалось,т. е. Lg, ^ Lb.Идею метода проследим на конкретных примерах.1740. Максимизировать линейную форму L = —ズ4+ ズ5 при ограничениях:хг + х4— 2ズ5 = 1,х2— 2л:4+ х 5= 2, x3rj-3x4+ x5= 3.Д Данная система уравнений-ограничений совместна, так как ранги матрицысистемы/1 0 0(о 1 0\0 0 1и расширенной матрицы/ 1 0 0 10 1 0 —2ч0 0 1 3совпадают и равны 3. Следовательно, система уравнений совместна и три переменные(базисные) можно линейно выразить через две свободные переменные.Выразим, например Хі, х2 и х3 через х4 и х ь, т. приведем систему к единичномубазису:Линейнѵю форму L = — ズ4 + ズ5 выразим через свободные переменные х4 и х5(в данном примере L уже выражена через х4 и хъ). Теперь при х4 = 0 , ズ5 = 0найдем значения базисных переменных: = 1 , х2 = 2, дг3 = 3. Таким образом,первое допустимое решеі ение системы уравнений есть хг = \ , х2 = 2, л*3 = 3, д:4 = 0,ズ5 = 0,или (1,2 ,3, ,0, 0) При найденном допустимом решении линейная форма Lимеет значение 0,т. е. L i = 0.Теперь попытаемся увеличить значение Ь г \ увеличение х 4 уменьшит L i, таккак перед х4 стоит отрицательный коэффициент, а увеличение х5 дает увеличениеи Ьг. Увеличим поэтому х5 так, чтобы x if х2, х3 не стали отрицательными, оставивд:4=:0. Из второго уравнения системы (*) следует, что хъ можно увеличить до 2.Таким образом, получаем следующие значения переменных: хх = 5, х2 = 0, д:3= 1,ズ4 = 0,х 5 = 2 или (5,0, 1,0,2).Значение линейной формы L при этом допустимом решении равно L 2 = 2, т. е.при втором шаге оно увеличилось.Далее, примем за свободные переменные х2 и ズ4,т. е. именно те переменные,которые в новом решении имеют нулевые значения. С этой целью из второгоуравнения системы (❖) выразим хъ через х2 и и получим х5 = 2 一 x2~j-2x4.2 77

Тогда{Xï — 5— 2ズ2 ~f- 3 尤 4,'ズ3 = 1 + ズ2— 5лг4,x 5 = 2 - x 2 + 2xitL = 2—X2 -}~-^4*Для увеличения значения L будем увеличивать дг4. Из второго уравнениясистемы ( 冶 *) видно, что при условии неотрицательности х 3 значение х4 можнодовести до л*4= 1/5. При этом условии новое допустимое решение есть х± = 28/5,л-2 = 0, д:3 = 0, х4= 1/5, х5 = 12/5 или (28/5, 0, 0 , 1/5, 12/5). Значение линейнойформы при этом L 3= 11/5.Выразим теперь xlf x4t х5 через свободные переменные х2 и х3:ひ*)( ズі = 28/5 — (3/5)л:з — (7/5)л:2,< ズ4 = 1 /5 — (1/5)ズ3 + (1/5)ズ2,I хь= \2 /5 - ( 2 /5 ) х3-( 3 /5 ) х2, ( 料 *)L = 1 1 /5 — (1/5)а"з — (4/5)л:2.Так как в последней линейной форме обе свободные переменные входят с от -рицательными коэффициентами, то наибольшее значение L достигается при дг2 = 0,л:з = 0. Это означает, что решение (28/5, 0,0 ,1 /5 ,12/5) является оптимальными ムтах = 11/5. ▲1741. Максимизировать линейную форму L = x2-{-x3 при ограничениях:х1— х2+ х3= 1 у х2 — 2х3-\-ха= 2.Д Система уравнений-ограничений совместна, так как ранги матрицы системыуравнений и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, двебазисные переменные можно выразить линейно через другие две свободные. Примемза свободные переменные х2 и х3. Тогда/ І і = 1 + ズ2_ X3t\ х^ = 2— ズ2 + 2ズ3,.ム= ズ2 + ズ3.При ズ2 = 0 и х3 = 0 базисные переменные х1 = 1, дг4 = 2, т. е. имеем первое допустимоерешение (1,0, 0,2) и Ьг = 0. Увеличение L можно осуществить при увеличениид:з до 1 . Тогда при ズ3= 1 ,х2 = 0 значения базисных переменных д:і = 0,ズ4 = 4. Новое допустимое решение (0, 0,1,4) и L 2 = 1 .Выразим теперь х3 и х4 через Хі и х 2:/ х3 = 1_ ズ1 + ズ2,I ズ4 = 4 — 2ズ1 + ズ2,L —1—Xi —2x2 *Увеличение L возможно при увеличении х2. Увеличение же х2 не ограничено,судя по последней системе уравнений. Таким образом, .L будет принимать всебольшие положительные значения, т. e. Lmax = -(- оо. Итак, форма L не ограниченасверху, а потому оптимального решения не существует. ▲1742. Задана система ограничений:х1+ х2+ 2х3—х4= 3 ,ズ2+ 2х4= 1н линейная 中 орма ム= 5 ズ1— х3. Найти оптимальное решение, минимизирующеелинейную форму.Л Эту задачу можно было бы свести к задаче нахождения максимума функции乙 і = — ム,т. е . ムі = 一 бдгх+дгз, но это не обязательно. Рассуждая аналогичнопредыдущему, ее можно решить, не сводя к максимизации. Данная системауравнений совместна, так как ранги матрицы системы и расширенном матрицыодинаковы и равны 2. Следовательно, систему уравнений можно, например, пе-278

реписать так::2 — 2ズз + 3ズ4 多:1 一 2ズ4,lO—11ズз + 15 ズ 凄 》Здесь за базисные переменные приняты хг и ズ2, а за свооодные х3 и хл. Прид:з = 0 и jc4 = 0 первое базисное решение есть д:і = 2, x2~ \ t ズз = 0 , ズ4 = 0 или( 2 , 1,0, 0), а /^ = 10. Уменьшение линейной формы L вызывается увеличениемズз,так как перед х3 в форме L стоит отрицательный коэффициент, причем увеличениеズз возможно только до 1,а значение дг4 = 0 остается. Если примем дг3 = 1,то л:! = 0, ズ2= 1,д:з = 1, ズ4 = 0 или (0, 1, 1, 0) — второе базисное решение, прикотором L 2= — 1.Выразим х2 и х3 через новые свободные переменные Хі и х^:( ズ2 = 1— 2ズ4,\ ズз= 1— (1/2)ズi -ト(3/2)ズ4*L = 一 1+ (1112)хх — (3/2)д:4.Теперь уменьшение значения формы L зависит от увеличения х4 до д:4 = 1/2(при этом Х2 неотрицательно), а значение л:і = 0 остается. В этом случае имеемновое допустимое решение a:x = 0, х2 = 0, хз = 7 / 4 , ズ4 = 1 /2 или (0, 0, 7/4, 1/2),при котором L = 一 7/4.Выразим х3 и х4через свободные переменные хх и х2:f ズз = 7/4 — (1 /2)xj — (3/4)ぶ2,\ x i = î / 2 — (l/2 )x 2tL = - 7 / 4 + ( ll/ 2 ) x 1 + (3/4)x2.Так как дальнейшее уменьшение значения формы L невозможно из-за положи-^ тельности коэффициентов при хг и х2, то допустимое решение задачи (0, 0,7/4, 1/2)является оптимальным. Наименьшее значение L равно — 7/4. ▲1743. Максимизировать линейную форму L = 2л:! — х4 при следующейсистеме ограничений:( ズі + ズ2 + 5ぶз = 20,j ズ2 + 2ぶ4 > 5 ,V _ ズ1+ ズ2+ ズ3く 8.А Так как система ограничений задана смешанно, то приведем ее к системеуравнений, введя новую неотрицательную переменную хъ в левую часть второгоусловия с отрицательным коэффициентом, а х6 — в третье условие с положительнымкоэффициентом. Тогда получим систему уравнений( ズі + ズ2+ 5ズ3= 20,j ズ2 + 2 ズ4 — A:5 = 5,V 一 xi _ ズ2 + ズ3 + ズ6= 8.Приведем эту систему к единичному базису, выбрав за базисные переменные хих2} х3 (в силу того, что ранг матрицы системы равен 3):ズі = 15 + 2ぶj _ ズ5,ズ2 = 5— 2ズ4 + ズ5 , ズ3 = 28 — Xq. ( 法 )Линейная форма тогда примет вид L = 30 + 3л:4— 2лг5. При д:4 = 0, л:5 = 0,х6 = 0 базисные переменные имеют значения хх = 15, х2 = Б, x3 = 28t т. е. перЕоедопустимое решение (15, 5, 28,0, 0, 0); при этом L i = 30.Для того чтобы значение L увеличилось, необходимо увеличивать ズ4, так какэта переменная входит в выражение для L с положительным коэффициентом.Увеличение же дг4 возможно до х4 = 5/2— это видно из второго условия системыограничений (*). При ズ4 = 5/2,д:5 = 0 , ズв = 0 значения других переменных таковы:д:! = 2 0 , ズ2 = 0, х3 = 28 т. е. получим второе допустимое решение (20, 0,279

28,5/2, 0,0), и линейная функция L примет вид L = 75/2 一 (3/2)x2 — (1 ß )x btа при втором допустимом решении ее значение равно Ь2 = /Ъ/2.Теперь, поскольку коэффициенты при переменных в L отрицательны, увеличениезначения L невозможно. Следовательно, L max = 75/2 = 37,5. ▲1744. Д л я изготовления изделий двух видов имеется 100 к гметалла. Н а изготовление одного изделия I вида расходуется 2 к гметалла, а изделия I I вида — 4 кг. Составить план производства,обеспечивающий получение наибольшей прибыли от продажи изделии,если отпускная стоимость одного изделия I вида составляет3 руб., а изделия II вида— 2 руб., причем изделий 1 вида требуетсяизготовить не более 40,а изделий II вида — не более 20.Д Пусть изготовлено изделий I вида и х2 — II вида. Тогда имеем следующиеограничения на переменные х і и х2:f ズi く 40,< ズ2 < 20,I 2 x 1-\-4x 2 = 100.Целевая функция имеет вид L = 3jc2 -|- 2х2. Преобразуем смешанную систему ограниченийв систему ограничений в виде уравнений, введя новые переменные х3 и х4:Ранг матрицы этой системыі -^і хз ~ 40,ズ2+ ^4 * =20,v Х~і + 2x2 " ニ50.равен 3. Выберем за базисные переменные хІУ x2t х3 и перейдем к единичномубазису:( х±=^ Ю + 2х4,< х2~20— x4f. I ズз = 30— 2л:4.Первое допустимое решение получится при ズ4 = 0,хг = 10, х2 = 20, х3 = 30. Приэтих значениях переменных 乙 = 70. Увеличения значения целевой функции можнодостигнуть путем увеличения х4 до 15, судя по третьему уравнению. Тогдапри ズ4= 1 5 , ズі = 40, ズ2 = 5, х3 — 0 имеем L — 130. Второе допустимое решение(40,5, 0,15); = — х3, х3 = 5 + (1/2) х3> х4 = 15 — (1/2) xSr L=130 — 2х3‘ Коэффициентпри х3 в целевой функции отрицателен, а потому дальнейшее увеличениеL невозможно. Следовательно, оптимальное решение Хх = 40, х2 = 5 и L raax — 130. ▲2. Симплексные таблицы. Систему ограничений сведем к единичному базису:ズі + .. • + ß i,, + i жг + і + ,.. + Я іп х п = Ь х ^+ . •. + ü i, r + 1 + , . . + Clin Xn = -ズ, + . • . + “ , ,r+ 1 ぶ/*+ i + • • • + “ /■/! ^ ГУa линейную форму L 一 к виду280L + + i ズ;* + i + . . . + Y 产 ゾ + • . .+Y77 〜 = (1)

В виде таблицы эти данные можно іредставить так:БазисныепеременныеСвободныечлены Xi Xr ^r + x x i x nズ1 bi 1 0 0 аъ r + 1 Oll Clin.............. * • * * . _ ' 'Х і b i 0 0 ai ’ /- + 1 «// . . .…b r 0 0 a r^ r + l G ". a r nL Yo 0 0 0 Уг + 1 y j * • * УпРавенство ( 1 ) будем называть приведенным (к свободным переменным) выражениемдля функции L, а коэфициенты y j — оценками (индексами) соответствующих свободныхпеременных x j.• 1 . Выбирают разрешающий столбец ар из условия: оценка < 0 и хотя быодин элемент а(р > 0.2. Выбирают q-ю разрешающую строку из условияi min р} р > 0.3. Производят пересчет элементов разрешающей q-й строки по формуле^qk ~ ^gk/^qp (々- О , 1,•,. ,4. Вычисляют элементы всех остальных строк (при k Ф р) по формулеСледует иметь в виду основную теорему симплексного метода, которую приведембез доказательства.Т е о р е м а . Если после выполнения очередной итерации:‘ 1) найдется хотя бы одна отрицательная оценка и в каждом столбце стакой оценкой окажется хотя бы один положительный элемент, т . е. > 0 длянекоторых k 、и а,-^ > 0 для тех же k и некоторого і, то можно улучшить решение,выполнив следующую итерацию;' 2) найдется хотя бы одна отрицательная оценка, столбец которой не содержи т положительных элементов, т . е. < 0, < 0,для какого-то k и всех і ,т о функция L не ограничена в области допустимых ргшвний (Lmax 今 оо);3) все оценки окажутся неотрицательными, т . е. для всех k ’ тодостигнуто оптимальное решение.1745. Наити наименьшее значение линейной функции L. = 7 Xi ++ 5^2 на множестве неотрицательных решений2хі + 3x2 + ズз = 19,2ズі + х2-\- Хі = 13,системы уравнений3ズ2 + ズ5 = 15,3ズi 十 ぶГ)-281

Д Ранг матрицы системы уравнений/ 2 3 1 0 0 0,f 2 1 0 1 0 01 о 3 0 0 1 0\ з 0 0 0 0 1равен 4. Ранг расширенной матрицы также равен 4. Следовательно^ чешре переменные(базисные) можно выразить через две (свободные), т. е.( Хз — 19 — 2ズ1— 3ズ2,'—13--2ズ1---ズ2,— 15— 3ズ2» .Кстати, линейная форма L — 7хі + 5х2, или L — — ьх2 = 0 уже выражена черезхе = 18 — Зхі.эти же свободные переменные. Имеем исходную таблицу (та б л .1).Таблица 1БазисныепеременныеСвободныечлены ズi Хг Xz ズ4 ズs •Veズ3 19 2 3 I 0 0 0ズ4 13 2 1 0 1 0 0ぶ5 15 0 3 0 0 1 0: -しА 18 3 0 0 0 0 1L 0 — 7 — 5 0 0 0 0Таблица 2БазисныепеременныеСвободныечлен ы ズi ズ2 Хз Xé ズ5 ズ《ズ3 4一2 0 1 0 — 1 0ズ4 8 2 0 0 1 —1/3 0ズ2 5 0 1 0 0 1/3 0ぶ9 18 3 0 0 0 0 1L 25 一 7 0 0 0 5/3 0282

Таблица 3Свободныечлены ズi ち Хг ズ4 ズ8 ズ8'' х і 2 1 0 1/2 0 - 1 / 2 01/ Хі- 一4 0 0 一 1 1 2/3 0ズ2 5 0 1 0 0 1/3 0ズ6 12 0 0 一 3/2 0 3/2 1L 39 0 0 7/2 0 — 11/60T af5л и ц a 4БазисныепеременныеБазисныепеременныеСвободныечлены Хі А Xt x* x»Хі 5 1 0 — 1/4 3/4 0 0Хь 6 0 0 —3/2 3/2 1 0Х2 3 0 1 1/2 - 1 / 2 0 0Хб 3 0 0 3/4 —9/4 0 1L 1 50 0 0 1 3/4 11/4 0 0Выясняем, имеются ли в последней строке (индексной) отрицательные оценки.Таких чисел два:—7 и —5. Берем, наприм ер,—5 и просматриваем столбецдля x2f в этом столбце имеем три положительных элемента 3,1 ,3 . Делим на этичисла соответствующие свободные члены: 19/3, 13/1,15/3,из полученных частныхнаименьшее есть 15/3. Следовательно, разрешающим является элемент 3, стоящийна пересечении строки для хъ и столбца для х2. Выделим зту строку и этотстолбец рамками. Новый базис состоит из х3, ズ4,х2у хв. Для составления следующейтаблицы умножим выделенную строку т а б л .1 на 1/3, чтобы получить наместе разрешающего элемента 1, и полученную таким образом строку пишем наместе прежней. К каждой из остальных строк прибавляем вновь полученную, умноженнуюна такое число, чтобы в клетках столбца для ズ2 появились нули, и пишемпреобразованные строки на месте прежних. Этим завершается I итерация.Теперь все рассуждения повторяются применительно к табл. 2, т. е. выполняемI I итерацию. Новый разрешающий элемент, находящийся на пересечениистроки для х3 и столбца для xlt есть 2. Переходим к следующей таблице.283

То же повторим применительно к табл. 3. Здесь разрешающим являетсяэлемент 2/3, находящийся на пересечении строки для л*4 и столбца для х ъ. Переходимк табл. 4.Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, мы получилиоптимальный план (5,3,0, 0,6, 3) и наибольшее значение линейной формы Lесть ^тлх ~ ▲Н айти оптимальные неотрицательные решения, минимизирую ­щие линейную форму:1 7 4 6 .1748.Хі - 一 2х2 Хз = 1 ,Xj— f- Х4 = 2,L> ズi — Л"з •ムズ1_-f- X2 — X3 — х^ — 2,Х-2 — ニ=1,L = 2ズ3 — ぶ2.1747.1749.= 2-f- 2хз — л*4,Л" 2= I + ズ3— 2ズ4’— .Y3 -J- x4ï■L= ズ1 + ズ2.4xi + 3x2 + л:з — 180,4x2 + 9xs+ 1 2 : = 900,L = 12ズ1 + 5ズ2 十 3ズ3.( ズ1+ ズ4+6ズ6= 9’1750. \ Зх! + лг2 — 4x3-j-2xG= 2,\ ズ1 + 2 ズ3~|~ズ5+ 2ズ6= 6.L = X i — ズ2 Ч■ズ3 + ズ4 ズ5 一 ズ6*неотрицательные решения, максимизирую­Н а й ти оптимальныещие линейную форму:( ズ1 + ズ2 + 5ズ3 = 20,1 7 5 1 . \ х2 + 2 х4 ^ 5 ,、 ズ1 + ズ2_ ズ3 > 8 ,ムニ =2ズi —]-ズ4.1 7 5 2 .f Xi — + 3ズ3 さ — 1’^ ‘ ズ1— ズ2 一 Л'з ^ 一 1,し — Х\ — 2х^ — иХз •1753. Производственная мощность цеха сборки составляет 120изделий типа А и 360 изделий типа В в сутки. Технический контрольпропускает в сутки 200 изделий того или другого типа (безразлично).Изделия типа А вчетверо дороже изделий типа В. Требуетсяспланировать выпуск готовой продукции так, чтобы предприятиюбыла обеспечена наибольшая прибыль.1754. Для изготовления изделий двух видов склад может отпуститьметалла не более 80 кг, причем на изделие I вида расходуется2 кг, а на изделие II вида — 1 к г металла. Требуется спланироватьпроизводство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль,если изделий I вида требуется изготовить не более 30 шт.,а изделий II вида не более 40 шт., причем одно изделие I видастоит 5 руб., а II вида — 3 руб.1755. Для откорма животных употребляют два вида кормов; стоимость1 кг корма I вида — 5 коп., а корма II вида — 2 коп. В каждомкилограмме корма I вида содержится 5 ед. питательного веществаАу 2,5 ед. питательного вещества 5 и 1 ед. питательного2S4

вещества 5, а в каждом килограмме корма I I вида соответственно3,3 и 1,3 ед. Какое количество корма каждого вида необходиморасходовать ежедневно, чтобы затраты на откорм были минимальными,если суточный рацион предусматривает питательных едиництигга А не менее 225 ед., типа Б — не менее 150 ед. и типа В — неменее 80 ед.?3. Понятие о вырожденном решении. При рассмотрении симплексного метолапредполагалось, что Ь{ > 0 (см. с. 276) как в исходной системе, так и в системах,получаемых после очередных итераций. Если же в некоторых уравнениях свободныечлены Ьі = 0’ то в соответствующем этой системе опорном решении базисныепеременные, относительно которых эти уравнения разрешены, принимают нулевыезначения. Опорное решение, в котором хотя бы одна из базисных переменных принимаетнулевое значение, называется вырожденным решением, а задача линейногопрограммирования, имеющая хотя бы одно вырожденное решение,— вырожденкойзадачей. Применяя в этом случае последовательные итерации, мы можем вернутьсяк ранее встречавшемуся набору базисных и свободных переменных, т. е. появляетсятак называемое зацикливание в схеме расчета. Приведем правило для устранениязацикливания (мы не касаемся теоретического обоснования этого правила,ясляющегося специальным вопросом так называемой проблемы вырождения).Если на каком-либо этапе расчета возникает не опреде ле н нос ть в выборе разрешающейстроки, т . е. оказывается несколько равных минимальных отношенийb-Jaip, то следует выбирать т у строку, для которой отношение элементов следующегостолбца к разрешающему является наименьшим. Если при этом снозаоказываются равные минимальные отношения, то составляют отношения элемен^шоз следующего столбца, и т а к до тех пор,пока разрешающая строка не определитсяоднозначно.1756. Максимизировать линейную форму L = 4х5 + 2хв при ограничениях:х1+ х5-\-х(. ^ 1 2 1 х2+ 5х5— х6= 30, + Хр— 2хб— 6, 2x4- f+ 3 ズ5— 2хв = 18, хх ^ 0, ろ > 0 ,ズ3> 0 ,х4 ^ 0, х5^ 0, х6> 0 .Д Исходной системе соответствует опорное решение (12, 30,6,9,0, 0) изначение L = 0. Ниже приводится последовательность итераций симплексногометода:И с х о д н а я т а б л и ц аХіbi4 2ぶi ズ2 も ズ5 ズвb i! a ipxl 12 I 12ズ2 30 1 5 - , 6 — 1/5ズ361 11 11 !—26 —2ズ4 18 2 3 —2 6 —2/3L 0 ~~4 —2285

I итерацияX i 6 1 — 1 3 2ズ2 0 —5 9 0 —5/9ズ5 6 1 1 —2ズ40 一 3 21一40 —3/4L 24 4 — 10II и т е р а ц и яXi 6 1 5/4 —3/2 24/5x21 i0 7/4 —9/2i0ズ5 6 一 1/2 1 1ぶ6 0 —3/4 1/2L 24 —7/25I I I и Т e p а Д и яЧ 6 一 5/7 1 12/7)i tx3 0 4/7 1 — 18/7ズ5 6 2/7 —2/7 1ズ6 0 3/7 — 10/7 1L 24 2 —4286

IV итерацияズ4/ 7/2 7/12 1 —5/12 ]Хз 9 3/2 — 1/2 1ぶ5 7 1/6 1 i /в I5 5/6 — 1/6 1L 38 7/3 V 3 丨 丨1 1После I итерации получили систему, разрешенную относительно базисных переменныхх і , х2і ズ4,ズ5,которой соответствует опорное решение (6, 0,0,0,6,0)и значение L i — 24. II и I I I итерации не изменяют опорного решения и значенияム2= 乙 3 = 24 и только IV итерация дает оптимальное решение (0,0,9,7/2,7/5)и L max = 38. В данной схеме расчетов зацикливание не появилось, хотя в течениетрех итераций мы как бы «топтались на месте», менялись только базисные и свободныепеременные. В рассмотренном примере в исходной таблице оказалось триравных наименьших отношения: Ь^/а^ъ — bs/a ^ — = 6. Поэтому, пользуясьправилом устранения возможного зацикливания, берем отношения элементов следующегоза свободным столбца: а2в/а25 = ~~ 1/^, Озб/аз» —— 2, ü4G/a45 = 2/3.Наименьшим оказалось отношение а3в/аВ5 ~ — 2. Следовательно, третья строкадолжна быть взята в качестве разрешающей и т.д. (см. таблицы). ▲1757. Максимизировать линейную функцию L = 2х^ + при* ограничениях: .~ х3 = 6 , —х±+ (3/2) х2+ х4= 9, —хх 5х2+丁 ズг, 30, + Xq+ = 1 2 , $ 0 , ズ2> 0, ズз $ 0, ズ4 $ 0, ズ5> 0,х6> 0.§ 4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИКаждой бадачей линейного программирования можно сопоставить определеннымобразом с ней связанную другую задачу, которая называется двойственнойпо отношению к первой.Так, если исходная задача (задача I) линейного программирования состоитв м и н и м и з а ц и и линейной функции L ~ с іХ 1-\-с2х2~і- . * * -\-cnxnt когда заданыограничения в форме неравенстваі \ хх~ \ ~ .-. ~\~аіп хп ^ bi,a2l Xl~\^a22X2 ~{~ . .. + a2nXn ^ b2 ,» • • « # « 19«\ ат Ӏ х1~\~ат2х2~{~ *. * л^атп хп ^ bmпри условии неотрицательности (Ä — 1 , 2 ,. . . ,/г), то с ней связана двойственнаязадача (задача I'), состоящая в том, что требуется м а к с и м и з и р о в а т ьлинейную функцию T = b1y1Jr b2y2-\- *. • ~^bmy m при условии ограниченийапУі + ^ 2іУ2 + • • • + О-тпіУт .аі2Уі Л~а22Уч~\~ . • • ат іУ т ^ с2ік^іпУі ^2пУ2 • * ' キ QтпУт く і Спи неотрицательности г// ^ 0 (і = 1 , 2,. . . ,т).Заметим, что в задаче I и в двойственной задаче V матрицы^аі і °12 *, . аІп \ , а1І а2І . • . Gml 'а2І Ö22 • . • а2п ] и = 1 Û12 °22 • . • аГП2\^ т і • • _атп / 、ロ «• » О/287

составленные из коэффициентов при переменных, получаются друг из друга траітспонированием.В правых частях системы ограничений каждой задачи стоят коэффициентылинейной функции, взятой из другой задачи. В системе ограниченийзадачи I (минимизация) все неравенства типа « > » , а в системе ограничений задачиI ' (максимизация) все неравенства типа « < » • Понятие двойственности являетсявзаимным, т.е. если задачу Г записать в форме, аналогичной задаче I ,тодвойственной к ней скажется исходная за;іача I. Поэтому задачи I и I7 называютсявзаимно деойственными или взаимно сопряженными. Доказывается, чтоLm\n = ТтаХУ а также, что необходимым и достаточным условием оптимальностирешений любой пары двойственных задач является равенство L (х) = Т (у), гдеx и у 一 допустимые решения задач I и V .1758. Дать геометрическую интерпретацию следующих взаимнодвойственных задач:Исходная задача (I): найти неотрицательные значения (xlt дг2)из условий х 1 + 2х2^ 4 у x L— х 2^ — 1 и минимизации линейной ф ункцииL = Злгх -)- 2х2.Двойственная задача (Г): наити неотрицательные значения (уи у2)из условий Уі + У2^ 3 у 2ух— у и максимизации линейной функцииТ = 切 】 一 у2、ts Построим систему ограничений задач I и И. В точке Р (2/3; 5/3) достигаетсяминимум линейной функции L, т.е. Lmin = 3*(2/3)-j-2*(5/3)= 16/3, а в точкеPf (5/3; 4/3) — максимум линейной функции Т ,т .е . Т тах = 4*(5/3)— 4 /3 = 16/3(рис. 72). ▲1759. Исходная задача (I): найти неотрицательные значения(xlf х2), минимизирующие линейную функцию L = 3x1-]-2x2, еслидана система ограничений 7х1+ 2х2'^ 14, 4хх + 5л%^20. Составитьдвойственную задачу н решить ее.1760. Исходная задача (I): найти неотрицательные значения(ズい х2)у максимизирующие линейную функцию L — 4х2 присистеме ограничений 4 ^ 4 -3 ^ 2 ^ 2 4 , 3ズ1+ 4ズ2^24. Составить двойственнуюзадачу и решить ее.1761. Исходная задача (I): найти неотрицательные значения(xlt х2), минимизирующие ліінейную функцию L = Зхг + Зх2 присистеме ограничений Ъхѵ— 4х2 ^ —2,х1+ 2х2^ 6 . Составить двойственнуюзадачу и решить ее.§ 5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА4 巧Рис. 72Одной нз типичных задач линейного программирования является так называемаятранспортная задача. Она всзникает прл плаиировании наиболее рацнснальныхперевозок грузов. В одних случаях зто означает определение таксго288

плана перевозок, при котором стоимость последних была бы минимальна, а в других — более важным является выигрыш во времени. Первая задача получила названиетранспортной задачи по критерию стоимости, а вторая 一 транспортнойзадачи по критерию времени.Первая задача является частным случаем задачи линейного программированияи может быть решена симплексным методом. Однако в силу особенностейэтой задачи она решается проще.Пусть в р пунктах отправления находятся соответственно а2, . • • , арединиц однородного груза, который должен быть доставлен q потребителям в количествахbi, b2y . . . у bq единиц. Заданы стоимости перевозок единицы грузаиз і-го пункта отправления k-му пункту потребления. Обозначим через ^ О(/ = 1 , 2 , . . . , р\ 々= 1 ,2,• • . ,q) количество единиц груза, перевозимого из і-госклада ん-му потребителю; тогда переменные х і^ должны удовлетворять следующимq ' Рограничительным усл о в и я м :1 ) 2 xik = a i (^ = = 1 ,2 , . . . , р)\ 2) vi k z=bkた= i i = i(fe = 1 , 2 , … , q)\ 3) 0. Суммарные затраты на перевозки равны L = CnXn Jr-)-Сі2дгі2+ • • • -\~CpgXpq. Следовательно, требуется найти pq переменных дг/た,удовлетворяющихуказанным условиям и минимизирующих целевую функцию ム.Решение такой задачи разбивается на два этапа:1 ) определение исходного опорного решения レ2) построение последовательных итераций, т. е. приближение к оптимальномурешению.1 . Определение исходного опорного решения. Пусть мы имеем таблицу исходныхданных задачи. Исходное опорное решение будем строить по так называемомуправилу «северо-западного угла».Заполним вышеуказанную таблицу, начиная с левого верхнего угла, ДЕигаясьдалее или по строке вправо, или по столбцу вниз. В клетку (1, 1 ) занесем меньшееиз чисел ûi и Ьі, т.е. агп = min {ах, Ь ^.Если öl > Ьі, то Хц = Ьі и первый столбец «закрыт», т.е. потребности первогопотребителя удовлетворены полностью. Двигаемся далее по первой строке,289

записывая в соседнюю клетку (1,2) меньшее из чисел a i— bi и Ь2’ т.е. х і2 === min {a i— bi, b2}.Если же b2 > ai, то аналогично «закрывается» первая строка и далее переходимк заполнению соседней клетки ( 2 , 1 ) , куда заносим х2і — m in {а2, — û i}.Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока на каком-то этапе не исчерпываютсяресурсы ар и потребности bq.1762. В двух пунктах отправления Л и ß находится соответственно150 и 90 т горючего. В пункты І, 2, 3 требуется доставитьсоответственно 60, 70 и 110 т горючего. Стоимости перевозки тонныгорючего из пункта А в пункты 1 ,2 ’ 3 составляют соответственно 6,10 и 4 руб., а из пункта В — 12, 2 и 8 руб. Составить оптимальныйплан перевозок горючего так, чтобы общая сумма транспортныхрасходов была наименьшей.Таблица 1Д Запишем исходные данные в т а б л .1 . Заполнение начнем с клетки (1, 1):Хіі = шіп (!50, G0)^ 6 0 , первый столбец закрыт. Переходим к клетке (1,2): х12 == min {150— 60, 70} = 70, второй столбец закрыт; далее, переходим к клетке (1 ,3 ):Ххз —пііп {150 — 60 — 7 0 , 110} —20. Так как в третьем столбце оказался остаток,равный 90, то переходим к заполнению клетки (2, 3),куда заносим л*23 = т іп {9 0 ,90} = 90. Поскольку остатки по строке и столбцу равны нулю, опорное исходноерешение построено. Этому плану соответствуют затраты в количестве L = 6 • 60 -j-+ 10.70 + 4.20 + 8.90=1860 руб.В правиле «северо-западного угла» не учитывается величина затрат с ^ , апотому исходное опорное решение часто может быть далеким от оптимального.Применяют также прием «минимального элемента》, в котором учитывается величинаСік, В этом случае построение исходного опорного решения начинают с клеткис наименьшей величиной сひ,в данном примере— с клетки (2, 2), где с22 =— 2 (табл. 2). В эту клетку заносим ж2а^=шіп {a2, む2} = min {90,70} = 70.Таблица 2290

Остатки по строке и столбцу записываем в соответствующие клетки строкии столбца остатков. Столбец Ь2 закрыт. Теперь переходим к клетке (1,3), таккак после с22 = 2 наименьшим является с13 = 4. В клетку (1,3) заносим х13 == шіп {ах 一 bi, /?з} = шіп {150— 60, 110} = 90. Затем переходим к клетке (1,1):;cn = min { fli,Ьі} = т іп {1 5 0 ,60} = 60. Наконец, переходим к клетке (2, 3),в которуюзаносим x23 = m in{a2— ö2, ^з} = гпіп {90— 70,110} = 20.Применяя это правило, мы получили другой вариант исходного опорногорешения, при котором затраты L = 6.é0 + 4 .90 j2 . 7 0 + è .20=1020 пүб.} т.е. суммазатрат ближе к оптимальному плану.2. Построение последовательных итераций. Получив исходное опорное решение,перейдем теперь к построению новых опорных решений, улучшающих другдруга: для этого применим метод потенциалов.Итак, после построения исходного опорного решения все переменные разбитына две группы: — базисные и xpq— свободные; линейные функции стоимостиперевозок выразятся через свободные переменные так:^ = 2 ХР^ • ⑴PQДля нахождения коэффициентов урд при свободных переменных сопоставимкаждому пункту отправления Л/ некоторую величину и/ ( і — \, 2, .. . f т ) , которуюназовем потенциалом пункта Л/, и каждому пункту назначения В j величинуv】— потенциал пункта B j. Свяжем эти величины равенствомгдес^і — стоимость перевозки одной тонны груза из пункта в пункт В г. Доказывается,что совокупность уравнений = составленных для всех базисныхпеременных, составляет совместную систему линейных уравнений, причем значениеодной из переменных можно задавать произвольно, и тогда значения остальныхпеременных находятся из системы однозначно. Обозначим для свободных переменныхсумму соответствующих потенциалов через cpq, т.е. up -\~vq — Cpq, иназовем ее косвенной стоимостью (в отличие от данной стоимости cpq). Тогдакоэффициенты при свободных переменных в соотношении ( 1 ) определяются с помощьюрзВвНСТВЗ У pq ==z Сро — Сpq.Если все величины ypq неотрицательны, то исходное решение является оптимальным.Если же среди ' них имеются отрицательные, то переходим к следующемубазису путем увеличения члена с отрицательным коэффициентом, оставляядругие переменные равными нулю.Воспользуемся изложенными общими понятиями и продолжим решение задачи1762. Мы получили исходное опорное решение (следуя правилу «минимальногоэлемента»): лгц-^60, х12 = 0, х13 = 90, х2і ~ 0 , 尤 22 = 70, х23 = 20, L = 1020. Длянахождения потенциалов необходимо решить системуっ + = = « i + r 3 = c13 = 4, u2-jr v2 = c22==^> ü2~\-v3==c.23 = S.Значение одного из неизвестных зададим произвольно, например U i= LТогда i'i — 5, і'з ~ 3, ü2 — 5, i'2 = — 3. Далее вычисляем косвенные стоимости с、:Ci2 = Ui-\-V2~ 一 2, “ 2 + 1,1=10.Подсчитаем теперь разности ypq — cpq— cpq:Yl2 = ^12 —с12 ~ 10— (—2)=12, Y21=^21—C21=12 —10 = 2,Следовательно, выражение L через свободные переменные имеет вид L == 1020-1-12^2 + 2x21. Среди коэффициентов при переменных в правой части нетотрицательных. Значит, исходное опорное решение является оптимальным. Такимобразом, правило «минимального элемента» сразу дает оптимальное решение.Решим теперь эту же задачу при условии, что исходное решение полученопо правилу «северо-западного угла», т. e. хи = 60," х12 = 7 0 , ズ13 = 20, x23~ 9 0 t291

L = 18G0. Для нахождения потенциалов необходимо решить систему" І + 【'I = C il= 6,Иі + L'2 = Cj_2 = ⑴ ,Wi-f- — ^13 — 4, W2 + こ,3 = С2З = 8.Полагая «j = 1 , получим i \ = 5, v2 ~ 9, vs = 3, w2 = 5.Вычисляем косвенные стоимости cpq\Cn = U2Jr V1= 10, C22 = «2 + ^2= I4-Подсчитаем теперь разности ypq~ cpq— c'pq\Y21—=^21—C21 12 —10 - = 2,^22== C22 — C22 2 —14 12.Следовательно, выражение L через свободные переіменные имеет вид L == 1860 + 2x21— 12х22. Среди коэффициентов при переменных в правой части естьотрицательный при х22, следовательно, можно попытаться уменьшить L, увеличивл*22 (сохранив нулевое значение ズ21) . Положим ズ22 = 入 . Поскольку суммы значенийнеизвестных по строкам, и столбцам должны остаться неизменными, нужно произвестиследующий балансовый пересчет:60 7 0 ~ . \........ —> 20 + 入tX

1763. На двух складах А я В находится по 90 т горючего.Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты ], 2, 3соответственно стоит 1,3 и 5 руб., а перевозка одной тонны сосклада ß в те же п у н к т ы — соответственно 2,5 и 4 руб. В кажды йп у н кт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего.Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортныерасходы будут наименьшими.1764. В резерве трех железнодорожных станций А, В ц С находятсясоответственно 60,80 и 100 вагонов. Составить оптимальныйплан перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба,если пункту № 1 необходимо 40 вагонов, № 2 — 60 вагонов, № 3—80 вагонов и № 4 — 60 вагонов. Стоимости перегонов одного вагонасо станции А в указанные пункты соответственно равны 1,2,3,4 руб., со станции В — 4 ,3 ,2, 0 руб. и со станции С — 0, 2, 2 ,1 руб.1765. Завод имеет три цеха А, В, С и четыре склада № 1,2,3,4. Цех А производит 30 тыс. шт. изделий, цех В — 40 тыс. шт.,цех С — 20 тыс. шт. Пропускная способность складов за то жевремя характеризуется следующими показателями: склад № 1— 20тыс. шт., склад № 2 — 30 тыс. шт., склад № 3 — 30 тыс. шт., склад№ 4 — 10 тыс. шт. Стоимости перевозки 1 тыс. шт. изделий из цехаЛ в склады № 1,2,3,4 соответственно равны 2,3,2,4 руб.;из цеха В — 3, 2,5 ,1 рубご,а из цеха С — 4, 3,2,6 руб. Составитьтакой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку90 тыс. шт. изделий были бы наименьшими.1766. На трех складах Л, В у С находится сортовое зерно соответственно10, 15,25 т , которое надо доставить б четыре пункта :пункту № 1— 5 т ,№ 2— 10 т, № 3—20 т и № 4 — 15 т. Стоимостидоставки одной тонны со склада А в указанные пун кты соответственноравны 8 , 3 , 5 ,2 руб.; со склада В — 4 , 1, 6 ,7 руб. исо склада С — 1, 9, 4 ,3 руб. Составить оптимальный план перевозкизерна в четыре пун кта , минимизирую щ ий стоимость перевозок.

О Т В Е Т ЫГлава I4 . 1 ) 8 ; 2) 3. 5 .1 ) 1 /2 ; 2) —9/4. 6. М (7). 7. С(1), D(3). 8. С (—9), D (—1).1 6 .1 )1 3 ; 2) 3 .1 9 . 5. 2 0 .( — 1 ;8 ) ,( 1 ;9 ) ,(3 ;1 0 ). 2 1 .5 = 0, т • 土 точки Л, В. Слежат на одной прямой. 22. D (17; 12). 23. С (_1 0 ; —7). 24. У 53, У 82, У 185.25. 24 кв. ед. 29. А (4; я/6); В (3; — я/2); С (4 / 2 ;_ Зя/4) ;_D (2; — л/4);£ ( 2 У 2 ; 4я/3); F (1\ я). 30. А ( 0 ; 1 0 ) ; ß ( — / Г ; — / Г ) ; С (0; 0) ;D ( , 2 7 2 ; — /" 2 /2 ) ; Е ( - Ѵ 2 І 2 \ 一 у Т / 2 ) ; F ( - V "2 /2; | ^ 2 /2 ) .3 1 . \^~pi + p !— 2ріРг cos ( Ѳ і -Ө2). 32. 5. 33. A4î (p; — Ө). 34. M i ( р ; 冗 」「Ө).3 5 .1 ){(3 ; 7я/6), (5; — л/3) и (2; 5я/6); 2) ( 3 ; — я/б), (5; —2я/3) и (2; л/6).36. М і (р; я — Ө). 44. у = 2х— 1,5. 45. Биссектриса I и I I I координатных углов.46. Биссектриса I I и IV координатных углов.^ 4 7 . ズ2+ ゲ 一 2х— 2у = 0. 48. 3ズ2 ++ 2ху + Зу2— 4х 一 4t/ = 0. 49. р = а. 50. Ѳ= а. 5 1 .p = acos0. 57. Прямая у = 2х.58. x2la2-\-y2/b2= 1 (кривая называется эллипсом). 59. х2/а2_ у2/Ьг = \ (криваяназывается гиперболой) . 60. Отрезок прямой Aß, где А (1;0), В (0;1).6 1 . ズ2, 3+ ダ2/3 = ß 2/3. 62. x = a (t sin Z+cos /), y = a (sin t — t cos t) (кривая называетсяэвольвентой круга). 6 7 . 1 ) х-\-2 у 一 2 У ъ = 0 ; 2) у = (— \/2) х -\-У 5 ;3) д:/(2/ ' S " ) ノビ5 = 1 ; 4 ) (і іУ ъ ) х + ( 2 і У 1 > ) у — 2 = ^. 6 8 .1 3 5 ' 69. 54 кв. ед.70. Нет. 72. У З х -{-у — \ = 0 . 73. л :+ (/— 4 = 0. 74. Зх— 2у = 0, 75. x + t / — 7 = 0.7 6 . ズ+ 3 = 0, ^/ + 4 = 0 . 77. х -\-у — 5 = 0, x-\-y-\-S = 0. 99. t g a = 27 / 11.100. x _ y = 0, Ъх-{-Зу— 26 = 0, Зд: + 5^— 26 = 0. 101. 14л:+ 14y— 45 = 0, 2x— 2 y ++ 35 = 0. 102. 3x — r/+ 1 4 = 0, x — 5i/— 14 = 0, x + 2y = 0. 103. a:— 2 = 0,y — 7 = 0.104. 4,4. 105. 2,4. 106. m = 4. 107. х — у = 0, лг + 5^/— 14 = 0, 5ズ + " — 14 = 0.108. я /6. 109. (0; 5) и (4; 3).110. (7/8; 0) и (—27/8; 0 ).1 1 1 . 13л:+6г/— 82 = 0,3ズ+ 切 一 23 = 0,S =31,5 кв. е д . 112. Зх 一 2у = 0, 5ズ キу + 6 = 0. 113. 5jc+4 = 0.114. 5ズ+ 8 " + 1 1 = 0 . 1 1 5 . 5у + 2 = 0. 116. 17л:+11グ= 0 . 1 1 7 . х + у + \ = 0 .118. х = ау у = Ь. 119. х = \ \ у = х. 120. 30。. 121. ф = 53°8/ . 122. Ъх— З у + 2 = 0.123. кв • 一 ед. 125. В (1 ;3 ),С ( i l ; 6 ) .1 2 6 .1 ) A:/4-f_t//6 = 1 ;2 ) х/4 ( / Т — 1) +У/(—б) (|/"2 + 1 ) = 1 ; 3 ) х/( 一 4) 2 - j- l) + г//6 (У ^2 一 l ) = 1 .1 2 7 . Зх— Ау —— 9 = 0, Зл:— 4 "+ 1 6 = 0, 4лг + 3у — 37 = 0 или 4л: + 3 г /+ 13 = 0. 134.1)а = 4,b — —3, г = 5; 2) а = —5, 6 = 2, г = 0; уравнение определяет точку; 3) a = 2,b = —7, r 1= — 1; уравнение не имеет геометрического смысла (мнимая окружность).135. t g 9 = —2,4. 136. (л:+1)2 + (^— 1)2 = 5. 137. (л:_3)2 + ( " — 4)2 = 25.138. д: = 3,2. 139. Зл: — 切 + 8 = 0, 4 ズ_ З у + 7 = 0. 140. (х — 2)2 + у2= \ 6 .142. (4;1,8); ( 4 ; — 1,8); (—4; 1,8); (—4; — 1,8). 143. Ь2/а. 144. 4х + З у + \2 = 0.145.16л:2 + 2Ъу2 = 41. 146. Точка М 一 вне эллипса; точка N — на эллипсе; точкаР — внутри эллипса. 147. ^ = sin (a /2). 148. M (—5; 7 ).1 4 9 . Зх2-\-Зу2~~2ху —一 2х 一 2у— 1 = 0 . 1 5 0 .ズ2/3 + ゲ /4 = 1 . 151. Искомая кривая— эллипс. Если направитьоси координат по сторонам прямого угла (точка А лежит на оси Ох), тоуравнение этого эллипса 9х2 十 36 以 2 = 4а2. 155. х2/9 — 分 2/8 = 1. 156. х2/3 — у2/5 = 1.157. (—4; 一 3 ) .1 5 8 . л:2/6 4 + г/2/48 = 1. 159. Гх2— у 2 = 8/225. 160. е = 2 /Ѵ З .1 6 1 .( 一 8, 0 ).1 6 2 . х2/А — г/2/ 12=1. 163. 6 и 14.166. Правая ветвь гиперболы^ 2_ ^ 2/3 =1> 169. у2 = ^х. 170. М і (2; 4) и М 2(2; 一 4).171. у2 = 4х, у2 = —4а:.172. у = ± 2 yr 2 x. 173. у "= Ѵ ~ 2 х . 174. Ш (0;0), (18; —24). 175. у'^= х,tg a = 8/15. 179. (3; 2).180. (8 ; —6). 1 8 3 .1 )0 1 ( 1 ; 2), р = — 1/4; х,г = — ( I/2) у ';2) 0 ! ( 1 ; 3); р = -1 /2 ; х 'г = ~ і / - 3) Ог (1/16; 1/8), р = —1/8; ^ = ( - 1 /4 ) ^ ;4) Оу ( 1 ; —2 ),/7 = 1 /2 ; у '2= х '. 1 8 4 .1 ) л:Ѵ = 1/8; 2) х 'у '=13/9; 3) х 'у ' = —6/5;4) хгуг= \ / 2 . 187. Окружность (х— \/2)2-\-(у 一 \ /3)2= 1 .188. Эллипс л;,2/2 5 + グ 2バ6 = 1 ;новое начало 0 , ( 1 ; — 1).189. Гипербола х ,2/4 — у/2/9 = 1 ; новое начало О '(》; 3).190. Точка О' ( 2 ; 1 ) .1 9 1 , Мнимый эллипс х ,2/( 一 1 ) + 夕 ' 2バ 一 1/4)= 1 ; xf = x t294

yr = у - { - 1 .1 9 2 . Г ипербола ゲ 2— x r2 = 1 ; новое начало Of (3; 0 ).1 9 3 . Параболаx r2 = — ゲ ;новое начало Or (1 ;5 /2 ). 194. Прямые х = 2 и х = 4. 195. Мнимыепрямые. 205. Совокупность двух параллельных прямых 5 х -\-у -\-1 = 0 и 5х ++ у — 1 = 0 . 203. Совокупность двух слившихся прямых ズ+ " + 1 = 0 . 204. Совокупностьдвух пересекающихся прямых 2х 一 3 r/+ 1 = 0 , 4х— Зу— 1 = 0 .2 Ö 5 .ズ〃2/30 + ゲ 2/5 = 1. 206. x,,2/9 — y,,2ß 6 = \ . 207. уп2 = —2 х \ 210. х = 1/2,у = \ / 2 . 211. Система противоречива (решений не имеет). 212. х = а-\-Ь, у = а 一 b.213. Система неопределенная (имеет бесчисленное множество решений: х остаетсяпроизвольным, а у — 一 (3/2) х - \- 1/12. 214. x = y = z = t. 215. a; = cos а, у = sin ос.216. x = 2tt y = t y 2 = 2/. 222. 0. 223. 2. 224. 2 (ad— bc). 225. x = \ t y = 2, 2 = 3.2 2 6 .ズ= 0 , y = 0, z = —2. 227. x = 0,t y = 0, z = 0. 228. x = î f y = 2 tf z = —St.229. x = 1, y = 一 1, 2 = 0. 230. x = t , y = t t z = — t.Глава II234. C (5/3; 11/3; 13/3), D (1/3; 13/3; 17/3). 236. M (3 ;1 ;3 ). 237. Пополам.238. M (0; 0 ; 17/8). 239. M (16; 一 5; 0). 246. Ä M = (b + ^ c )/(l+ X). 248. ax = 0,av = 2, az = —2. 249. + 1• 2 5 1 .a = 3/5; cos et — 1/3, cos ß = cos ү = 2/3.252. I M iM | = 7; cosoc = 2/7, cos ß = —6/7, cos ү = 3/7. 253. b = —2j + 5k илиb = — 2j — 5k. 254. M (—4; 4; 4 |^ 2 ) . 255. a0 = (1/3) i — (2/3) j — (2/3) k. 268. —96.269. arccos (17/50). 270. m = 1 .2 7 1 . 547. 272. Л = coscp = 5 •273. ( 士 1 /|/1 T ) (i — 3j + k). 274. c = i + k или c = (l/3) (—i + 4j — k). 275. 20/3 и20/7. 276. rö = 7 i4 -7 j-j-7k. 279. Нет, так как компланарные векторы не могутбыть попарно перпендикулярными. 280. а X b = 一 17i + 7 j— k. 2 8 1 .65/2 кв. ед.282. 4. 284. 20 куб. ед.; 4 Y 510/17,Глава I I I2 9 6 .1 ) { х + у — г — 2 ) ! У г = 0 ; 2) —3/(5 У 2 ) х — (\ / ^ 2 ) t/+ 4 /(5 j / ' I ) z —一 7/(5 |^ 2 ) = 0. 297. d = 13/}/ 29; начало координат и точка М 0 лежат по разныестороны от плоскости. 298. d = 7 У ~5 /3. 2 9 9 .1 ) ズ+ " + г — 5 = 0, 2) 2х + 2 у++ 2 — 6 = 0. 300. 7ズ 一 11" 一 г — 15 = 0. 301. М (5; 5; 5). 302. 4х— З і/ + 12г— 169=0.303. 5^/+4г = 0; 5а:— Зг = 0; 4ズ+ 3^/ = 0. 304. ^х-\-Ъу— Тг 一 27 = 0. 3 0 5 .ズ/2 ++ ダ/ 2 + г/( 士 / Т ) = 1. 306. 60°. 307. д: + 7г/+10г = 0. 308. x — z = 0. 309. х + у ++ 2— 3 = 0. 310. 5л: + 2г/+52— 9 = 0. 311. \ г 2 х + у + г — Ъ= 0. 1312. む + 3ダ 一—2z— 1 = 0 . 313. (A1D2 — A 2D x) x + (B iD 2 — В2Ог) y + (CXD2 — D jQ ) 2 = 0.314. x — y-\-2 = 0. 315. arosin (5/6). 327. Ъу-\-Ъг — 64 = 0, д:= 0 (yOz) ; 5x-\-5z 一— 2 = 0, y = 0 (xOz)\ Ъх— 5 ^ + 62 = 0, 2 = 0 (хОу). 328. (jc+ l)/5 = (i/— 3)/2 = z /l.329. cos a = 6/7, cosß = 3/7, cos ү = 2/7. 3 3 0 .(ズ 一 1)/V"2 = (У + 2 )パ = (г— 3)/( 士 0 .331. (л:— 5)/l = ( r /+ l) /3 = (2 + 3)/(— 11). 332. M (0; 7; —2). 333. (л:— 3)/(— 1 )== y /Ъ = (z 1)/2; x/2 = [y — 7)/(—2) = (2 -j- 2)/3. 334. x = —3 t— 1, " = 6# + l,'z = t + 2. 335. Б /'ЗО /б. 336. (x — 3)/3 = ( y + 1 )(—5) = (2 — 2)/(—2). 337. cos ф == 20/21. 338. x!0 = y /\= z l2 . 339. (x — 4)/2 = ( y ~ \) / \ = ( z + 2)/(—2). 340. x/2 == ( t / - 2 ) / ( - l ) = ( z - l) / 0 . 341. ( x - 1 ) /2 = ( t/- 1 ) /( - 3 ) = (z - 1)/2. 342. x j\ == は 一 2)/(— 1 ) = (z— 1)/(— 1).343. х ~ Ъ у — 2 г + 11=0. 344. jcバ ー 10) = 一 3 ,4)ハ3 == (2— 5,2)/19. 3 4 8 .1 )C (— 1 ; —2; 0),r = 5; 2) C (2; —3 ; — 1), r = 4; 3) C (0; 一 1;3/4), r = 3/4; 4) С (1 ;0 ; 0), r = 1; 5 ) C (0; 0; 2), r = \ . 3 4 9 .1 ) Внутри сферы;2) вне сферы; 3) на сфере. 350. (х— 2)2-\-(у 一 1)2+ ( г + 2)2 = 9. 3 5 1 .(х— 1)2 ++ (у— 1)2= 16, 2 = 0. 352. С (4; 4; —2); г = 8. 3 5 6 . 1 ) Круговой цилиндр;2) эллиптический цилиндр; 3) гиперболический цилиндр; 4) параболическийцилиндр; 5) параболический цилиндр; 6) параболический цилиндр; 7) круговойцилиндр; 8) ось аппликат х = 0, у = 0\ 9) биссектральные плоскости х = г иx = — z ; 10) плоскости у = 0 и у = х. 3 5 7 . 1 ) x2 + z2 = 9y у = 3 (окружность);2) у2_ ズ2= 1 ,z = 1 (гипербола); 3) z2— у2 = 0, х = 0 (две прямые). 3 5 8 .1 )у2ІЬ2\ -+ z2/b 2—x2/a2 = 0- 2) x2/a2 + z2/a2— y2Jb2 = 0; 3) x2/a2+ y 2Jb2— z2/c2^ 0 .295

361. む 2 + 4"2 — (г — 2)2 = 0. 362. x2— " 2= 1 ,г = 1 ; г + 1 = л :2, у ~ 1 ; у2 = 1 — г,ДГ= 1 ; у 2 一 ズ2 = 1 , Z = —1.363. 1 ) Гиперболический параболоид; 2) конус с вершинойв начале координат. 364. 3z = 2x2-\-y2. 3 6 5 . ズ2/9 + ゲ /5 ギ

всех многочленов не выше ti-й степени. 501. х = еі + 2е2 + 3ез + 4е4. 502. х = еі ++ h + е з + . • • + е,і. 504. = в^б» = = ß^2> 含 4 = Y 含 з’ ^5 = 505. Нет,так как имеет место равенство еі + е2 + е3 = 0, которое невозможно в силу линейнойнезависимости базисных векторов еь е2 и ез. 506. Может лишь в том случае,если этим элементом является нуль-вектор. 508. Пересечением является множествоэлементов х12 = (0; 0; | 3; g4), Уі2 = (0 ;0; т]3;г)4), z±^g= (0; 0; g3; t 4), ....Сумма совпадает с пространством R. 509. d (Ri) = St d (R2) = 3, d (R3) = 2,d ェ ( 尺 4) = 4 . 510. Нет. 513. R3 — множество постоянных величин, — множествомногочленов вида c0i^ + c 1t2-\-c2t + c3. 5 1 4 . 尺 3 — множество всех векторов, параллельныхоси Ох, a R^ = R. 516. Множество всех четных функций образует подпространство,а множество нечетных — нет, так как произведение двух нечетныхфункций есть четная функция. 517. Нет, так как любой вектор 入 а не принадлежитэтому множеству, если X— иррациональное число. 522. k = 3; fi = (— 1 ;0 ;1 ;0; 0), f2 = ( — 1 ;0 ; 0 ; 1 ; 0 ) , î3 = ( 0 ; 一 1/2; 0; 0 ; 1 ) ,f = (— сг — c2; —0,5сз; ci\c2; c3). 526. Да. 527. Нет, так как равенство 丨 a + b (a + b) = а .а + б .Ь не выполняется,если ab Ф 0. 528. Лишь в том случае, если х0 = 0. 529. Лишь при а = 0./ а 0 0 • ... — ,0 1 0 0 \a 0 ...0 0 1 '530. Да. 533.538. ЗА — 2В = Е.( °0 0 0\ о 0 0 ...( 1 一 1 —1544. = :( —1 1 —1).545. A- 1=А..547. ß =2£cosa .\ 一 1 一 11 ノ548. Линейное преобразование А не имеет обратного, так как |Л|=0./ Л1\ ノ549. АЛ ~ -22 = (Л ~ 1)2= q j . 550. При Х = —2. 5 5 2 .1 ) Если а т= ß, то 入 і = а,u = C ie i, k = ß,v = c2e2; 2) если а = ß, то Xi = X2 = oc, u = с іе і + с2е2. 553. Xi == Яг = 2, и ニ=Ci(ei + e2). 5 5 4 .1 ) Если b 泠 0,то линейное преобразование не имеетсобственных векторов; 2) если Ь — 0, го Я і= Я 2 = а, и = сіеі + с2е2. 5 5 6 . 入 = 2 ,и = с і (ei — е3) ; 人 = 3 ,v = c2 (ei— e2 + e3) ; 人 = 6 ,w = c3 (e! + 2e2 + e3). 5 5 8 . 人 = 一 1,и = Сіі + С2】. 560. X —1,и (еі + е2 + ез + е4) ; 人 = 一 1,v = С2 (е^ — ^ + ез— е^.561. Х = а + р + ү, и — с (ei 4-е2-г е 3). 563. (х,у) — общая стоимость всех изделий,выпускаемых заводом. 565. Да. 566. Нет, так как не выполняются условия 2°и 3°, если À < 0. 567. Да. 569. arccos (1/я). 573. Д а .—576. 丨 х ! = 5. 577. х /|х | ==(1/15) ех + (2 У "2!\Ъ ) е2 + ( |^ 3 /5 ) е3 + (8/15) е4 + ()/'5 /3 ) е5. 579. х — нормированныйвектор. 580. ф — я/З. 581. 士 0,5 ^ + 62 + 63 + 64). 5 8 2 . 人 = 士 1.587. Да.588. Да. 589. При 入 = 士 1.590. Да, так как векторы Аеь Ае2 и Ае3 образуютортонормированный базис. 591. Да. 598. xf2/2\ -\-у'2/ 3 = 1.5 9 9 . л:,2/16— グ 2/4 = 1.6 0 0 .ズ' 2/44 + ゲ 2/4 = 1 .Глава VI606. п = 4. 607. 0 = 0,16%. 608. 0 = 0,0005%. 609. 0 = 0,022%; п = 4; S == 8765 士 0,1 м2. 6 1 7 .1 ) [ —2, 0 [U ] 0, 2J; 2) [0, 4】;3) ] — оо,0 [U ] 0,+ оо [;4) х ^ :п ( 2 п + 1 ) /4 , n Ç Z; 5) ] — оо, - 2 ] U [2 ,+ о о [; 6 ) ] 1 / 3 ,+ оо [; 7) [0 ,2 [•6 1 8 . 1 ) [ 1 , + оо [; 2) ] — оо, 0 [ (J ] 0, + оо [; 3) [— 4 , 4]; 4)] — оо, 3 [; 5) [ 一 2 ,4];6) ] 0 , 1 ] . 6 1 9 . 1 ) Нечетная; 2) четная; 3) ни четная, ни нечетная; 4) четная;5) ни четная, ни нечетная; 6) четная; 7) нечетная. 6 2 0 . 1 ) 2я/5; 2) 6я; 3) я;4) л. 657. 1/2. 6 5 8 . 一 1.659. 1/6. 660. —2. 661. 一 sin а. 662. tn/n. 663. sec2 х0.664. — У 2/4. 665. 1/2. 666. оо. 667. 2. 668. 3/4( 6 6 9 .— 1/4; 670. 1/2. 671.3.672. У Т /4 :. 673. 25/9. 674. 1/2. 675. т . 6 7 6 .1 ,' если x ~ )> + о о ; — еслил:— — оо. 677. (а— с)/2. 678. 0. 679. 0. 680. In 5. 681. ln (8/7): ln (6/5). 682. 2683. ln 5. 684. 1/4. 6 8 5 .1,если x —•>- + 0 ; — 1,если x ~ ►—0. 686. + 00. 687. 2688. 0. 689. Не существует. 690. 5/4. 691. ln a. 692. e. 693. e3. 6 9 4 .1/6695. ln (5/4). 6 9 6 .1 .6 9 7 . —3. 698. 0. 699. 1/2. 700. е Ч 7 0 1 .У 7 . 702. еа- ь703. Ÿ~ë. 708. y 〜 x, 709. 2. 710. 1/2. 711. a = o(ß). 712. a 〜 ß. 713. а 〜 ß714. 1/3. 715. 9/4. 716. — 1/2. 717. 一 1/2. 718. — 1/2. 7 1 9 .1 .7 2 0 . 9/25297

721. (ln 5*ln 4)/(ln 3-ln 6). 7 2 2 .1,6. 726. x = 2 — точка скачка. 727. x = î , x = 5 —точки разрыва II рода. 728. Разрыв II рода. 729. х = 0 — точка устранимогоразрыва. 7 3 0 .ズ= 3 — точка скачка; х = 5 — точка разрыва II рода;ズ= 0 — точкаустранимого разрыва; л: = я/2-)-л/г (n Ç Z) — точки разрыва II рода. 731. х = \ іх = 2— точки устранимого разрыва. 732. х = —2,х = —3 一 точки разрыва II рода;х = 一 1— точка устранимого разрыва. 733. Функция непрерывна в бесконечномпромежутке ] — оо, + оо [ . 7 3 4 . 1 ) Функция непрерывна; 2) имеет одну точкуразрыва II рода; 3) имеет две точки разрыва II рода. 7 3 5 .1 ) Функция непрерывна;2) имеет две точки разрыва II рода; 3) имеет четыре точки разрываI I рода.Глава V II739. уг = 一 2/ズ3. 740• ゲ = 2 ゾ(3 ) . 7 4 1 . = 5 cos x 一 3 sin x. 742. y r == 5 tg 2ズ. 743. yr = — exl(ex + \ ) 2. 744• ゲ = 2 パ .2л:.ln 2. 7 7 1 . グ = 一 21/л;4.272. i / = 773. y r = x 2 У~х (1— Л:2)2. 774. y ’ = — x2eへ 775. i / = 9x2 \nx.ln (8/9). 777. yr ^ x 2cosx. 7 7 8 .グ = 6 (ズ 七 1)/(2ズ2 + 3 吐 . 779• ゲ == 一 З х /У 1—Зх2. 780. yr = arccos (х/2). 7 8 1 .yr = 1/(2 Y x ) arcsin Y x . 782. t / == — cos x. 783. yr = — cos2 (x/S) sin (x/3). 784. y r = cosec (2ズ+ l)/2. 785. yr =?== 1/cos x. 786. y r = 2 sec6 2x. 787. t/f = 1 /(2 У х ) sin2 У x cos5 У x . 788. y r == бд:/У 9x4 + 1 .789. y r = a2 , x2. 790. y f = —2 sec2 x!Ÿ ~ig x (4 tg x -{-1).791. yr = c tg 3 (x/2). 792. y f = \/(x У 4x2^ - \ ) . 793. yr = \ ! V a 2 — x2. 794. y r == 1/(2 7 9 5 . ゲ = 6 ズ2/( 1 + ズ6). 796. t/= 6 s g n x/(x2-\-9). 797. j f == —2e-x sin2e -x . 798.ゲ = :— 1/(2 Ÿ 1— д:2). 799.ゲ = —6ノ[(ズー1 )(лг—2 )(ズ 一 3 )(ズ 一 4)].800. yr — 3esin2 2X sin бд: sin2 З^. 8 0 1 . y r = —24 ln sin д;-ctg xj(^ ln4 sin x — 9).802. yr = sec x. 803. t / = cosec x. 8 0 4 .ゲ ド 2*^ 80&. yr = \ 0/[x (л:5+ 2)]. 8 0 6 .ゲ == 2 sin дг/(1 + cos x)2. 807. y r = cos x/(\ -f- sin2 л:). 808. у, = cosec2 (x/2) ctg (д:/2).8 0 9 . ゲ = (2/ズ)cos2 (ln ズ) . 8 1 0 . ゲ = 5 ズ4 ln (ズ5+ 3). 8 1 1 .y r = — х!{\ х \ У Ъ— л:2 ).812. уг = У~х2 + 2ах-\-^. 813. і / = 0. 814. yf = (mx + п) / ^ 2 + 2ал:+р.8 1 5 .ゲ = 1/(1— т х 2)3^2. 816. yr = 4 x cos2 д:. 817. t/f = —2 cosec3 x. 818. yr =cos ズln sm A: 819 y r= ç)x sin2 ズcos Л:. 820. y r= 2 氏 x У 1+ ズ2). 821• і / = 2ex sin2 パ .(1 + ln sin x)28 2 2 .ゲ = 2 /( ズ2 + 2ズ+ 2)2. 823. yf = \т г x. 824. і / = (]n sin V x ) l{ 2 У"х cos2 V "x ).825. ^ = 2 (1 + ln x))(xx x~x) . 826. yr = 1/sin5 x. 827. yr = cos4 лг/sin x. 828. y r == 1/(3 sin x-\-4 cos л: + 5). 829. yr = cos x tg 3 sin x. 830. yf = 1 /[x 2 (x_ 1 ) ] .831. і / = М [х ( х + \) (x + 2)]. 832. y f = 4 x tg 22x. 833. у, = —2 е Ч ү' 1 一 一 . 834. t f == (ln ln ln x)/(x ln x). 835. yr =2e2x (1— 2x)l(x-\-e2x)2. 836. y’ = 2 (ln x-\- 1)/(л;2 \n2x— 1).8 3 7 .グ = 3 / ( 1 + л:2). 838. yr = {e2 sin л cos A:);sin (e2 sin x/2 ). 839. yf = asin 2x.840. y, = 3 sec2 x sec4 tg x. 8 4 1 . y r = ( 一 l /л:2) arctg x. 842. y' = ( 一 5/x6) ln x.8 4 3 . グ 〒 ( 1 / ] / 2ズ+ 1 )ln (2ズ+ 1).844. yr = sec д: tg д:ln sec x. 845. yr ===_ 2 е ^ / у г \ — e ^ . 846• ゲ = 3.2cos3ズー3 COSJ^ s in 3 x .ln 2 . 8 4 7 . ゲ = ( が .2 以 /34つ XX ln (32e/81). 8 4 8 .ゲ = 0 . 849. yf = x cos 2x. 850. y f = 2ex2x (х4 + д:2+ l)/(^ 2+ l) 2.851. = ズcos ズ/sin2 x. 852. y, = (l /]/~ x) tg 2 Ÿ~ x. 853. yf = x2/(x^ — a4). 854. yr == — む , / / ' ズT f T : 855• ゲ = e 0,5tg2ズsinA:tg 2A:. 856. ^ = 8д:3/(1 + л :8). 857. yr == x e - (2x2 ln x + 2 ln лг+1). 858. ^ = 0 ,5 ln 2 Ÿ 2^/(1— 2^). 859.ゲ = _ ln 2Ц2х ln2 л:).860. yr= (m x-\-n)iy^— x2-j-2ax~l~ß. 861. y f= (2 /ln 2) ctg x. 862. yr= z \/{У x2-\-9 ln a).863. y '= x ^ sm x ( ■ド^ 3- ^ M X ) . 864. yr = 8 (x — l f / ( x + l ) 5. 865. y' =- ( l n 2 + 忐 - A - み ) . 亂 ゲ = - " ( ぃ ば 取 ) .8 6 7 . グ = a ^ cos (/г ln ズ) . 868. yr = (x tg л;+1п cos д:) sec2 (x tg л:+ 1п cos x) x sec2 x.869. y r = 一 x sin л:* ln (л: cos x — sin x). 870. yr = 3 cos3 (xex 一 ex)»xex . 8 7 1 .yr —=- 2 ( 1 - 2 ^ ) / ( 1 1 - 2 . ï 2[ ^ I = T 2)- 872. ^ = | _ ; l l l X ^ °Q[ 873.298

f W при f(x ) > 0, , _ / 3 при л: > 5/3’ ", 一 J e* при x > 0 ,■f, (x) при f (x) < 0. . 一 \ —3 при x < 5/3. . — \ — e~x при л:く 0.I 一 2 при x < 0,876. y f = \ 0 при 0 くズ < 2, 877. y r = 2хех sin х. 878. y r = (х cos х):^ 2 при x > 2.:Ÿ~(x sin л: + cos х)2 + 1 . S79. — хх + 1 ln x (ln д:— l)/ex . 8 8 0 .ゲ = (ctg лг.іп cos ズ++ tg x -ln sin д:)/1п2 cos x. 8 8 1 .y f = n x n~ 1l(2 У x2n + l ) . ,882. y r = — (log^ e)2/x.883. yr = 0 . 884. y ' = 1/2. 885. y r = 0 . 886. y r = x x (1-j-ln x). 887. y f = x~ x *2X-x2XУ .(\п 2 -\-2 х -х — \ — \п х). 888. y '= 2xXn X~ x \n x. 889. y '= x2 V x + ^ _ y(x 一 l) 3 у Ъх 一 1X I — 卜 9 ( 二 ^ - ― 1 • 893, (arcsec x)r = l/(x Y x1— l),(aracosec x)f == — \/(x У x2 — f). 894. 4 cosec2 x. 898. yf = (x2 — y)/(x— y2). 8 9 9 .ゲ = 一 (Лх +-j- By D) j (Bx -{-Су E ). 9 0 0 .ゲ = ズ/(3タ) . 901.yf = y (y— x ln y)/x (x— y ln x ).902. yr= —(y cos лг+ s in y)/(x cos f/+ sin x). 903. t / = —(ex 一 у-2хУ -\п2)/(еУ 一 д>2ズタ• ln 2).904. y r = 2 x . 905. y f = y /x . 906. y' = 一 уЦ2х In x). 907. у ' = — (2л: sin у — ゾ3 sin x — 2)::(x2 C0Sï/ + 3ï/2 COSA:— 3). 909. — ctg t. 9 1 0 .パ . 911. 2 V ~ ä e 'V a . 912. cth t.914. а = я/4; y = x + \ . 917. y — y0 = (— y0/p) (x— x0). 918. x - y - { - \ = 0 .919. x -\-y — 1=0; x — y = 0 . 920. x — " + 2 — я /2 = 0 ; x -\-y — я /2 = 0 . 921. Зх—у—4=0;л' + 3グ— 28 = 0. 923. л/4. 924. Зх — 8 f / + Ю — 6 ln 2 = 0; 32ズ+ 12у— 15 — 64、ln 2 = 0.925. x c h k — 1 = 0 . 926. tgcp = 2/3. 927. я/4. 928. я/4; Зл/4. 929. t g ç ^ S ,tg ф2 = — 3.930. я/2. 933. 1,76 м/Ь. 934. x t = у / а. 939. я — arctg (1/3). 940. tg со = ф;если ф ~ ^оо, то со~кл/2. 941. я/2+ф . 942. 0. 943. arctg (l/m ). 944. я — arotg (125/64).950. —44/(ズ + 5)3. 951. у,г= \ п х . 9 5 2 .ゲ = 2 f l — 入 2. 953. yn = xsm Зх.€54. t f = \ i V x2-j-a2. 955. 4 ^ | = — ^ cosec4 . 956.- ^ = —4 ^ 7 ^ 7 ^ .959. _ 1/3 м/с2. 960.ゲ " = 1/(ズ+ l)4. 961.ゲ "= (2 ln x — 3)/x3. 962. y " , =105ド 2ズ+3.963. y " ' = Ash2X. 964. = ご 7. •2f n + 1) ド 1 .9 6 5 .966. г/(«)= — 1?5• 2«- cos (2x + nn/2). 9 6 7 .が ⑴ = [2ズ + (— 1)«.2_” ln« 2. 968. t / n^=^ n! U ; ニ f ~ . 96». ф п,= к пепх. 970. yW = cos(x + m ß h 9 7 1 .g =dx(— 1 ) « ~ . 972. у і и = у ^ = . . . = 0 . 982. d y = y 49— x2dx. 983. d y = - ズ2 — 362p2л:dx (rlx\2 My\3934. d y = th (x/2) dx. 985. d y = ^ - j - ^ - . 986. d y = ln x dx, ,d ^ y -987. d2!r = ._ x (dx、2 . 988. Д(/ = — , Ax t 、, d y = — ~ . 989. Aw = 0, 0401;y (ズ2 + 4)3/2 ^ X (jc-fA x) y X2 ^办 = 0,04. 990. 34,04 м3. 991. л /4 + 1/13. 992 . 0,811. 993.1,035. 994. 0,078.995. 1,9938. 1007. g = 5/2. 1008. - ■• 一 + (х ~ У°)2_

= y(e) = e. 1064. " max= ダ ⑴ = l/]/" e, ут [п= у (—\) = — \ l V e. 1065. ym\n=y (l)= 0 .1066. J/nûn= У ⑶ = 0, ^/max = У (^) ~ 1 0 6 7 .ジmin = W⑴ = ~~1* 1068. î/max ^= (я — 12 + 6}/* 3)ハ 2," т іп= ( 5 я — 12— 6 ド 3)/12. 1069.ダmax= e 3/2, t/min = e~3(2.1070. г/наим = 2, "наиб = 66. 1071.(0; 4) и (0; —4).1072. 25 км; 8 ч 15 ми 分 ‘1073. 5 /" 2 , ЗѴ~2. 1074. 1/4,//4. 1075. У = 2л/3/ " 3/27. 1076. У = (5/3)ド 5 7 [ ^ .1077. На расстоянии 9 км от А. 1078.125 м. 1079. а / У 2 . 1083. Выпукла на] — оо, 一 2[, вогнута на ] —2,+ о о[. 1084. (4; 20). 1085.(1;0).1086. Точек перегибанет. Î091. х = 0; у = 2х. 1092. дг = 0; у = —Зх. 1093. у = х — 6 .1 0 9 4 . у ==0,5л:+л: и у = 0,Ьх. 1095. у = 0 ,Ъ п х~\-1 и у = — 0,5 ш :+ 1 . 1088. D (у) = ] 一 оо-|-оо[; (функция четная и периодическая с периодом я. Возрастает на \nkn /2 -\-n k[f убывает на ]я/2 + я々,я + л々[; ут \п = у (nk) = 0, tjmax~ y (л/2 + nk) = 1々ÇZ. Кривая вогнута на ]— я/4 + л^, л/4 + л^[ и выпукла на ]я 4 + л:々,Зя/4~і~я々[точки перегиба (— я/4 + я た;1/2) и (я/4 + л々;1/2),々ÇZ. 1099. D (у) = ]— оо, + оо[функция нечетная. Убывает на ] 一 оо, — 1 [и на ]1 ,+ о о [, возрастает на ]— І , 1[Ут\п = У (— 1 ) = —2, //max = f/(l) = 2. Кривая вогнута на ]— со, 0[ и выпукла на]0, + оо[; точка перегиба (0; 0).1100. D (у) ~ ] \ , + о о [•’ асимптоты х = 1, у = 0.Убывает во всей области определения. Кривая всюду вогнута. Экстремумов иточек перегиба н е т . 1101. D (у) = ]— оо, 0 [ (J ] 1 , асимптоты ズ= 0 , х = \ tу = 0. Возрастает на ] — оо, 0[, убывает на ]1, + о о [. Кривая всюду вогнута.Экстремумов и точек перегиба нет. 1102. D (у) = ]— оо, —2 [U ] _ 2,2 [(J]2, + о с [;функция нечетная; асимптоты х = — 2, х = 2, у = х. Возрастает на ] — оо, —2 У 3[и на ]2 }^ 3,+ 00[, убывает на ]—2 \^ 3,—2[, ]—2, 2[ и на ]2, 3[; "min == " ( 2 f З) = 3}А 3,утах = у (—2ү~ З) = —3 }^ 3. Кривая выпукла на ]— оо, 一 2|jи на ]0, 2[, вогнута на ]—2, 0[ и на ]2, + о с [; точка перегиба (0; 0).1103. D (у)== ]0, + о о [; асимптота у = 0. Возрастает на ]0, е2[, убывает на ]е2, + о о [; утах == у (е2) ~ 2/е. Кривая выпукла на ]0, е8ゾ3[ и вогнута на [е8^3, + о о [; точка перегиба(е8/3\ 8е~4/3/3). 1104. D (y) = ]~ oo, + оо[. Убывает на ]— оо, 1/4[, возрастаетна ]1/4, + о о [; ут -т = у (\/4) = —27/16. Кривая вогнута на 1— о о ,1/2[ и на]1 , + о о [,выпукла на ]1 /2 ,1 [;т о ч к и перегиба (1 /2 ; 一 1 ) и (1 ;0).1105. D (у) === [ 0,+оо[. Убывает на ]0 , 1/3[, возрастает на ]1/3, + о о [; ут \п==У (1 /3 )== —2/(3 У 3). Кривая всюду вогнута.1106. D (у) = ]— со, + о о [; асимптота у = х.Убывает на ]— оо, 0 [,возрастает на ]0, + о о [; ут \п = У (0) = І • Кривая всюдувогнута.1107. D (у) = ]— оо, + о о [; функция нечетная; асимптоты у = — 1 и у = 1.Возрастает на ]— оо, -j-oo [. Кривая вогнута на ]— оо, 0[ и выпукла на ]0, + о с [;точка перегиба (0; 0).1108. D (у) = ]— оо, + о о [,асимптота у = 0 . Возрастает на] — оо, 1[,убывает ]1 , + о о [; і/тах= г/ (1)=е. Кривая вогнута на ]— о о ,1— У 2/2|и на ]1 + ド 2/2, + о о [, выпукла на ] 1— У 2 /2 ,1 + Y 2/2[; точки перегиба(1 + ]/" 2/2; Ÿ~e) и (1— 2/2; ү~е). 1109. D (/,) = ]— oo, 2 [[j]2 , + o o [; асимптотыx = 2 и y = x-\-4. Возрастает на ] 一 оо, 2[ и на ]б, + о о [, убывает на ]2, 6[;f/min = г/(6) = 27/2. Кривая выпукла на ]— оо, 0[, вогнута на ]0, 2[ и на ]2, ~)-со[;точка перегиба (0; 0).1114. 尺 = 25/3. 1115. R = (4a/3) cos (Ө/2). 1116. k = l/ ( e / " 2 ) .1117. (2; 2).1118. Окружность ミ2+ г)2= 1 . 1121. Первый.1122. Первый.1123. Третий.1124. Первый. 1125. Третий. 1126. В т о р о й .1128. Окружность ズ2 + 22= l ,у = \ . 1129. Прямая, проходящая через начало координат и образующая с осямикоординат равные у г л ы .1130. Прямая, параллельная оси Oz и проходящая черезточку ( 1 ; 1 ; 0 ) . 1 1 3 1 . Равнобочная гипербола, лежащая в плоскости xOz.1134. (i + k) sh 2 /-f-j ch 2 / . 1135. 0.1136. 3 (t2 — 2t5) i + (5/4 — 2/) j. 1138. x/(— \) == (y— \)/0 = (z — n y r 3 /2 )/yr 37 2x— 22ダ" 3 + 3л = 0. 1139. 71^(0; 0 ;—1)иМ 2 (2/3; —8/9; — 1/27). 1140. 70。23へ 1141. х / \ = ( у — 1 )/0 = (г — У 2 /2 )/1 ,x + z —— У 2/2=0. 1142. (x — \) /2 = (y + l)/0 = (z — 1)/1.1143. (x— \);2 = (y — l)/3 = (z — 1)/4.1144. arccos (l4/(3 /"2 9 )). 1146. d s = V a 2+ b 2 dt. 1147. /і = 2 / " 3 я . 1148. v =cfrd^r= — 一 3i sin ^ + 3j cos / + 4k, yj = —2 = —3i cos t — 3j sin / . 1149. v |^=i = i ++ 2j + 3k, w レ=1 = 2j + 6k. 1 1 5 1 .t = (5/13) i — (12/13) j sin f +(12/13) k cos t.3C0

1152. t = —(1/3) j + ( 2 / * 2/3) k. 1161. (2 /3 ) 丨 + (2/3) j + (l/3 )k . 1162. (1/3) i —— (2/3)] + (2 /3 ) k. 1163. (—2/3) i 屮 (1/3) j + (2/3)k. 1164. 2/27. 1165. 2/27.1166. X — 2V + 2Z — 2 = 0. 1167. 2X — V — 2Z — 7 = 0 . 1168. 2Х + 2Г + Z — 19 = 0.Глава V III1174. x2 y2 ^ 1— часть плоскости вне единичного круга с центром в началекоординат.1175. Часть плоскости внутри круга х2-\-у2 < 1.1178. Полоса междупараллельными прямыми х - { - у ^ 1 и х - \ - у ^ — 1.1177. Концентрические кольцап /2 ^ :х2-{-у2^ :0, 5 я /2 > ズ2 + " 2 > Зя/2,. . . . 1 1 7 8 . у > х — полуплоскость, лежащаявыше биссектрисы у = х. 1179. Полуплоскость 0.1180. Шар х2 у2 г2< а2.1181. Часть пространства вне конуса х2-\-у2 — г2 = 0. 1182. Часть пространствавнутри шара х2 + і/2 + 22 < 1 ,за исключением начала координат.1183. Часть пространстванад плоскостью д: + г / + г = 0, включая эту плоскость. 1184. Семействопараллельных прямых 2 х -\-у = С . 1185. Семейство прямых у = С х .1186. Семействопрямых у = е2Сх, или у = Сгх (С > 0).1187., Семейство парабол y = cY ^~x.1188. Семействоравнобочных гипербол ху = С (при С ^ 0); совокупность координатныхосей Ох и Оу (при С = 0 ) . 1189. Семейство плоскостей x -\-y -\-3 z = C . 1190. Семействосфер x2 z2 = С. 1191. Семейство двуполостных гиперболоидов х2— у2 —— z2 = C (при С > 0); семейство однополостных гиперболоидов х2— у2 — z^ = C(при С < 0); конус x2— у2— 22 = 0 (при С = 0 ).1 1 9 7 .り" ° ° J か1-3ズ+ 2 . 1198.2х2â T1200.=2р sin4 Ѳ,dzдх2 卜 3 卜 4’ f y ^ y -дг ---Zаѳ :4p2 sin3 Ѳcos Ѳ . 1199 du 2x 1 duдх— у2 у • dy —— — ехУ(х2^-У2)( \ x 3-\-3xy2).диdu _du 2y2du1201.1202. pX./y. duд^~У'1сÖ2— 厂 ,dxw= -----ô еХ/У ! -z/y dudz 2xy dz= -------e 一 zly • 1203.vdzdx (l + X2)2 + y2ä T1~И2dz1204. 6x2 (ズ3+ " 2) e(x3+" 2)2,(1 + ぶ2)2+ fдх| = 切 (ズ3+ ゲ)み 3+ゲ)2.du1 2 0 5 . 石 = ( y — z) (2x 一 у 一 г), (x — z) (x _ 2 " + г ) , — у) (— y -{-2z — x).WЪхг + 2уг - х у1206. д^ = (6ズ 一 у) うひdu( 切 — д:)е3л;2+2 卜 A 1207. =хгехУг sin — -f, あw— ßXyz cos У(xdx + ydy)2 (x dy— ydx)1209. p. 1214. dz1215. dz =XXズ2 + " 2x2 sin (2y/x)1216. 2 (xd x-\-y dy) cos (x2 + y2).1217.dz = хУ (• dx-{-\n x dy1218. du =1 /âx-\-. . yày1219. dz—ex [(x cos ジ 一 sin y) dy-\-(siny +Vx2-\-y2 \ x + > ^ 2+ 沪 ノ+ cos y -\-x s in y) dx] . 1220. dz==ex+y {[ (ЛГ + 1) cos ダ(sin x + cos л:) ] dx -f-_2dx 丄 2 cos y dy+ [x (cos y — sin y )-\-(y -\-1)sin x] dy}. 1221. dz- 1222. du--a:2+ 4 sin2 y + 4 .= ехУ^ (yz dx -\-xzdy-\- xy dz). 1223. 1,08. 1224. —0,03. 1225. 1,013. 1226. 3,037.1227. 1,05. 1232. 6 (x + y ). 1233. — sin (x + y). 1234. —4 cos (2x + 2y)/sin2 (2x + 2u).1235. 0.1236. x (x-\-2y)l(x-{-y)2. 1237. ij (2 — y2) cos xy— xy2 sin xy. 1238. sin y XXcos(A:+cos г/).1239. [ 幽 )2— (dが 】 一 ^ ^ . 1240— cos (X+ y ) (d x+ d y)\1241. аеУ [еУ sin (ал: + е^) — cos (ах+еУ)]. 1242. 4.1244. 2[(dx)2 — dxdy + (dy)2].1249. ехУ [(г/ d x + x d y ^ + 2 dx dy].1250.• 125К —l ( y dx—xdy)(dx)\301

1252. 6 dx dy dz. 1253. (4y dx 一 Зх dy)3 (dy)3. 1254. ех+У (dx-\-dy)b. 1257, 4/sin 2x.1258. 2ズ(3ぷ+ 2)/(ズ2 + 3ズ+ l) 2. 1259. -^ - = 2x cos xf ~f^ — x (2 cos x 一 x sin ît).讓 . 0.1 26!. f = 4 g , | i = 4n. 1262. | = f 顏 . ( 荃 レ i .1269. 去 . 1270. 1271. \gradu]M = \lrl;cos a = —ズ0/,0 ^ 2 + C . 1414. (1/2) XХіп(л:2— 4л: + 7) + С. 1415. (5/2) In (л:2 + Юл:+ 2 9 ) — 11 arctg (л:+5)/2 + С.1416.(1 / 10)1 n (5x2 + 2л; + 1 ) + (2/5) a r et g (5л: + 1)/2+ C. 1417. x /【8 (a:2 + 2)2] ++3^/[32 (*2+ l) ] + ( 3 V"2/64) arctg {x l\^ 2 ) + C. 1418. ( л : - 7)/【8 い2 + 2ズ+ 5)] ++(1/16) arctg ( jt+ l) /2 + C . 1428. —(2/3) ln | ズ 丨 + (5ノ3 )ln | л: — 3 | + C. 1429.302

—(l/2” n ( 科 je + l)+ 3 ln I x + 2 |+ (l/]/'3 )a rc tg (2 x + \)IV ^ + C . 1430. i/[2 (jc — i) ” ++ 2 In I x — 1 I -|- 3 In I x — 2| + C. 1 4 3 1 .(1/12) ln | x — 2 | — (1 /24) ln -f- 2x + 4 )—— 1/(4 V "3 ) arctg (л:+ 1 ) //" 3 + С. 1432. (31/108) ln | л:— 3 ] + (29/108) ln | Л.- + 3 | ++ (2/9) ln (ж *+9) — (1/54) arotg (x/3 )+ C . 1433. (1/4) ln | хЦх— 2) \ ~ ( x — \)l[2 x (x ~一 2)] + C. 1434. (1/16) [ln (ж2+ 1)/(л:* + 9 ) ] + (1/8) a r c tg f— (1/24) arctg (д:/3) + С.1435. (1 /4) ln [(х2 + 4)/(л:2 + 2л: + 5)] + (1/8) arctg (лг/2) + (7/32) arotg (л:+1)/2 + С.1436. (1/2) [arctg (x — l) + arotg ( x + 1 )]+ C . 1437. лг+(9/2) ln | ズ 一 3 | —(1/2)XX ln | jc— 1 l + C. 1438. х2/2+7л;+(75/2) ln U — 5 | — (1/2) Іп іл -— 1 l + C. 1439. x ++ (1/2) ln 丨 (x — 2)/( 尤 +2> 丨 ーarctg (x/2) + C. 1440. Зх+ ln | л; | + 2arotgA:+ C .1442. (1/32) ln \ex — 2 |13 (e* + 2)7 + (3/16) ln (e2* + 4) — (3/16) arctg (e*/2) — x + C.1443. (5/6)1n 10 _ 1I + (16/5)1n (2e^ + 1 )+ ( 11/20)1n (е2л + 1)— (7/5) arctg е^—Зх+С.1453. — / Т ^ ^ 7 2 _ ^ / і — 2д:— 21п | ン 1ニ 五 一 l | + C. 1454. (6/5) ン л:し 2 / ^ ++ 6 ン x — 6 arctg \ / лг+С. 1455. In | x—0 ,5 + ]/" ズ2—x_ 1 | + C . 1456. arcsin(;c + 1)::3+C . 1457. — —л:2+4л:+5+13 arcsin (л:—2)/3+C. 1458. 3 ド л:2+ л :+ 2 + 0 ,5 1 п 丨 ズ++ 0 ,Ъ + У л;а + л :+ 2 | + С. 1459. Y х;(х + 2) + С. 1460. — arcsin[(;r + 1)::{х 1^3)] + С. 1461. \ п \ х + Ѵ ^ \ л \ + Ѵ ^ \ п + С-1462. 一 (ズ/2 + 5 ) | ^ — х2 + 4 л :+ 13 arosin (х— 2 )/2 + С . 1466. з Қ у ^ х + і ) ++ l n U / ( ^ + l ) 3] + C. 1467. 4 V ] A x + l Г ( 1 /5 ) ( /'1 + і) 2-( 2 /3 ) ( ^ " 1 + l ) ++ 1 ] + C . 1468. (1/6) ln [(/ 't~g2jc + 0,4| + C. 1525. 0,5cos2a:(1—2 lncosA:)+ C . 1526. 0,5sin (a;2+4a:+ 1 )+ C .1527. — 0,5(A:/sin2A:+ ctg л:) + C. 1528. 2 (x — 2) } / T + ^ _ _ 2 1n [ ( у Т + ^ —— O A / 'I T ^ + O J + C . 1529. x \n (л:2 + л:)-1-1п U + l l - x + C. 1530. — l /ズー— arotg x-\-C. Ш 1 . (xj2) (cos ln x + s in ln x)-\-C. 1532.12 { jc ++ l n [ ( | / x 一 l ) 2/ \ / a:] } + C . 1533. eaxl (a2 + ß2) ] (a sinßjt — ß cos бд:) + С .1534. [eaA:/(a 2 + ß2)] (ß sin fjX-\-a cos ß^) + C. 1535. [\!(ab)\ arctg [(Ь/а) tg ^ ]-(-C ,1536. tg x — ctg x-\-C . 1537. 0,5 [arctg x -\-x j(\ + ^ 2)] + C .Глава X1547. 1/2^1548. e— \. 1549. 0 < / く 4/27.—1550. л / 2 < / < е я / 2 . 1551.0く/ ^"2/15. 1553. я/8. 1554. e— Y~e. 1555. ее — е. 1556. ( 一 / 2 — 1)/2.1557. (ІпЗ— 1)/2. 1558. In 1,5. 1559.0. 1560. 2/5. 1561. я/2. 1562. ln (4/3).1563. (ел/2 — \)/2. 1564. 0.1565. л /2 — 1. 1572. я 2/8. 1573. л/4.1574. 256/15. 1575. л, 1576. + оо. 1577. 1/4. 1578. л/6. 1585. Расходится.30 3

1586. Сходится. 1587. Расходится. 1588. Сходится. 1589. Расходится. 1590. Сходится.1591. Расходится. 1596. 4,5 (кв. ед.) 1597.18 (кв. ед.). 1598. 2/15(кв. ед.). 1599. (41/2) arcsin (9 /4 1 )+ 20 In 0,8 (кв. ед.). 1600. У 2— 1 (кв. ед.)160Î. 8 (кв. ед.). 1602. (9я/4)— ^ 2 + 4 2 — (9/2) arcsin (1/3) (кв. ед.)1603. 1б9я (кв. ед.). Î604. (3/8) ла2. 1605. 8 У~3/3 (кв. ед,). 1606. (3/2) ка 21607. (Зя— 8)/32 (кв. ед.). 1608. яа2バ 2. J6G9. тс/3+ 3 /2 (кв. ед.)1613. (1/2) іпЗ. 1614. (20/9) Ѵ Щ 1615. 0,5 「 广 3 + ln (1 +1616. (1/2) ІпЗ. 1617. sh 1 ^ 1,17. 1618.12. 1619. У ~ 2 (л — \). 1620. 5л1621.7 2 . 1622. [(я 2+ 4) | /'д 2 + 4 ~ 8 ]/3 . 1623. па. 1624. а (2п + 3 У~3)/81625. 8.1628. Юя (5я + 8)/5 (куб. ед.). 1629. 0,3л (куб. ед.). 1630. я(е 2+ 1 ),た(куб. ед.). 1631.4л/35 (куб. ед.)- 1632. 72 (куб. ед.). 1633. 2a2h /3.1634. лг2һ/21636. л(е2—е 一 2+ 4) (кв. ед.). 1637. 61л/1728 (кв. ед.). 1638. 2тсЬ [Ь + (а2/с2)ХX arcs in (с/а)],где с2 = а2 — Ь2. 1639. 64я/3 (кв. ед.). 1644. М х ~ а 2 (е2 —е_2 + 4)/8І х = аэ (е—е ~ ^ (е^+е- 2+ 10)/24.1645. M a= a h 2/6; I a= a h 3/\2 , 1646. / х = 1628/1051647. / х = а^3/12; I у = а3Ь/\2. 1648. / Q= nd4/32. 1653. х = 0,у = 2г/л (для полуокружности); х = 0, у = 4г/(3ті) (для полукруга). 1654. х ~ ( п — 2)/2, у = я/81655. x — 0, г/ —8/5.1656, х = у = 2a/S. 1657. х ~ - \ , ダ= 2/5. 1658. л := 1, у = л/81659. л г3 (Зд — 4)/3. 1661. 480л (куб. ед.). 1670. яр^г2/га/4. 1 6 7 1 .npgad3jS' 1672. 51450я Д ж . Î673. 547,8л Д ж . 1674. 50,7 Д ж . 1675. pgah2/31676. 17,64я кН ; 70,56л; кН ; 158,76л; кН ; 282,24л кН . 1677. pgJid3/81678.150 кг. 1679. 1400 м. 1680. х = е^. 1681. 36 м. 1691.1)ゲ = sh2) і / = s h 2 (х/15) ch3 (х/15); 3) у ' ~ 1/ch x; 4) y f = 1/сһ6л:; 5) y r = 1 /сһ x6) y ^ x / s h (x2/2). 1692. M [lnC l + l / ' 2); / 2 j . 1693. ym\n = 0 при x==01694.1)x2 sh x —2x ch x 2 sh x C; 2 ) (1/32) sh 4x — (1/4) sh 2x -{-6x C3) 2arctg }A ch ズ 一 1+ C ; 4 ) (1/2) (ch x sin^ 一 sh x cos л:) + С; 5) th 2 (x/2)-{-C\6) (3/5) ch5 (л:/3) — ch3 (x/3) + C. 1695. り я/6; 2 )In 2 — 0,6; 3) 2(2 ІпЗ — 1)/3.1696. sh (x — a) = sh л: ch û — ch x s h a ; ch (x — a) = ch л: ch a ~~ sh x sh a.1697. th (x-\-a) = (th ズ+ th a)/(l + th x th a); th (x— a) ~ (th x 一 th a)/(l — th л: th a);th 2x = 2 th x /(l + th 2 ズ) . 1698. sh (x/2) = 士 } ^ ( c h x ~ l)/2; ch (x/2) = K ( c h T + 7 j/2 ;t h (ズ/2) = 土 ]^ (ch x — l)/(ch x-\- J). 1699. 2sh0,5 (x 土 " ) -ch0,5 (x 干 " ) ,2 ch 0,5 (x + y )XXch 0,5 (x — " ) , 2 sh 0,5 {x-\-y) sh 0,5 (x ~ ~ " ) , sh (л; ± y)/(ch x ch y). 1700. sh л:===2 th (x/2)/[1— th2 (ぶ/を) ] ; ch x = [1 + th 2 (x/2)]/[1— th 2 1701.0,5 [s li(ぶ+ " ) 十+ sh (x—y)\\ 0,5 [ch \x-j-y) + ch (x—y)\\ 0,5 [ch (x -^ y )—ch (x—y)\. 1702. 8/5 (кв. ед.).1703.1,Ma. 1704. a2 (t2— ら)/2. 1705. Дуга эллипса, расположенная над осьюабсцисс. 1706. Луч прямей х — у — 1 = 0 , расположенный в I четверти.1707. cos ос = 土 l/ch tg c c = ± s h ^ 1708.1.1709. x 2— y2.Глава XI1720. Ниже прямой хг 一 х2 — 10 = 0. 1721. Треугольник. 1722. Неограниченнаяобласть. 1723. Пустая о б л а сть .1724. Точка (2; 3).1725. Областью решенийявляется трапеция, неравенство (д) можно исключить. 1726. Треугольная пирамида.1727. Трехгранная призма. 1732. L max = 1 0 при Х і~ 4 , х2 = 2. 1733. L m-ln== —4 при Хх = 0, л:2 = 4.1734. L max = 1 8 при = 6, ズ2 = 0. 1735. Lmax = 2 приХу ^ 0, л:2 = 1 .1 7 3 6 . L max = 48 в каждой точке отрезка AB, где А (6; 0), В (7; 4).1737. Lmjn = —4 при Хх — 2, х2 = 0, х3 = 0. 1738. L max = 3 3 при Хх — О, х2= 3 ,х3 = 9. 1739. L max = 20 при х1= 2 , х2 = 0, х3=^0. 1746. (0, 1 , 3,0); L = —3.1747. (3/2, 0,0, 1/2, 11/2); L=^3/2. 1748. (О, 3, 1,0); L = — 1.1749. (О, 50,30,215/6); L = 340. 1750. (О, 5,3/2,0,0, 3/2); L = 一 5.1751. L = ooA 1752. (О, 4/5,1/5); L = 一 11 ノ5.1753. (80,120); l max = 440. 1754. (20, 40); Lmax = 220. 1755.1-5 кгкорма I вида ; 50 кг корма II вида. 1757. (5, 7, 9 , 7/2, 0, 0) ; L max = 38.1 7 5 9 . 乙 min = 86/9; (10/9, 28/9); Г тах = 86/9; (7/27, 8 /2 7 ).'1 7 6 0 . L max = 216/7;(24/7,24/7); Г т іп - 216/7; (8/7, 1/7). 1761. Lmin = 78/7; (10/7, 16/7); T 纽 = 78/7;(27/14, 3/14). 1763. L m\n = 510 руб.; Х ц = 30, = 60, х2і = 30, x 23 = è0.1764. L m\n = 280 руб. Оптимальный план: x12 = ~ лг33 = 60, лг23 = 20, х 31 = 40.1765. L mjn —395 руб. Оптимальный план: Хц = 25, ^із = ^з2 —20, хѴ2 = л:2і = 5 ,ぶгз 二 35.1766. / mi n = 140 руб. Оптимальный план: хи = х2г = 1 0 , х2з = -^зі== -ѵ34 = 5, х33= 15.