полнотекстовый ресурс

Расстояние точки М от прямой у =ских соображений (р и с .1):-1/4 найдется из простых геометриче-Так как по условию равенство | M F | = | M N | выполняется для любой точки М ,лежащей на искомой линии, то уравнение этой линии можно записать в видеТ.илиУ ズ2+ い- т ) = " + Т ,т. е. у = х \ иЛиния, определяемая уравнением у = х2,называется параболой. ▲39. Составить уравнение множества точек,произведение расстоянийкоторых от точек Ғ ±(а; 0) и Ғ2 ( 一 а; 0) есть постоянная величина,равная а2.Д Возьмем на искомой кривой произвольную точку М (х; у). Ее расстоянияот точек F i (a i;0) и F 2 (— a; 0) составляют r 1= V ( x — a)2 + ^ 2,r^ — Y (^ + û)2+ ï/2.Из условия задачи следует, что гіГ2^=а2. Такимобразом, искомая кривая имеет уравнениеУ (л;—а)2-\-у2 • У (лг + а)2+^/2 = а2.Приведем это уравнение к рациональному виду:(х2 + а2 + ゲ 一 2ах) (х2 + а2 + г/2 + 2ад:) = а4,(х2 + а2+ ダ2)2 — 4а2л:2 = а4,или, наконец,(х^-\-у2)2 = 2а2 (х2— у2).Найденная кривая называется лемнискатой. ▲40. Составить уравнение лемнискаты в полярных координатахи построить кривую./ \ В уравнении (д:2-)-г/2)2 = 2а2 (х2— у2) (см. предыдущую задачу) переходимк полярным координатам по формулам х = р cos Ѳ, у = р sin Ѳ. Тогда получим(р2 cos2 Ѳ+ р2 sin2 Ѳ)2 = 2а2 (р2 cos2 Ѳ— p2 sin2 Ѳ), или p2 = 2a2 cos 2Ѳ.Это— уравнение лемнискаты в полярных координатах.Построим кривую. Разрешив уравнение относительнор, находим р = ± а У ^"2 cos 2Ѳ.Из того, что в правой части равенства стоит двойной знак 《 土 》, а также из того,что уравнение не меняется при замене Ѳ на — Ѳ, заключаем, что лемниската расположенасимметрично относительно осей Ох и Оу. Исследуем форму лемнискатыдля I четверти, т.е. для случая 0, ( Х Ѳ く я/2. Для этих значений р и Ѳимеем р = а 2* У cos 2Ѳ. Нетрудно видеть, что Ѳ может изменяться тольков промежутке от 0 до л/4. Таким образом, соответствующая часть кривой заключенамежду полярной осью и лучом Ѳ = я/4. Если Ѳ= 0, то p = û У 2. С возрастаниемѲ от 0 до л/4 величина р убывает до значения р = 0.Приняв во внимание соображения симметрии, мы можем построить лемнискату(рис. 2). ▲11