полнотекстовый ресурс

7 2 0 . l i m ~ ^ {\ + x)3^ l — • 7 2 1 . l i m (5a - i l ( 4 rx- J )(1 + ^ ) / ( 1 + д :)2 — 1 a—0(3rx—- l) ( 6a _ l )722. lim 匕 8 + 3ж~ А .ズ—о у 16+ 5ズ 一 2• Разделить на 2 числитель и знаменатель.§ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИФункция / (ズ) называется непрерывной в точке а, если:1)эта функция определенав некоторой окрестности точки а\ 2) существует предел lim / (л:); 3) этотх->апредел равен значению функции в точке а, т. e. lim f (x) = f (а).х - ^ аОбозначая х — а = Ах (приращение аргумента) и f (л:)— / (а) = А/у (приращениефункции), условие непрерывности можно записать так: lim А у ~ 0 , т. е. функцияА х - * - о/ (х) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечномалому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращениефункции.Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала,сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаясяграничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точкенарушается условие непрерывности функции.Если существуют конечные пределы lim f (x) = f (а— 0) и lim f (x)=f(a-jr0),X—^Q - 0 Х—^-О. + 0причем не все три числа / (a), f (а— 0),/ (а-J-0) равны между собой, то а называетсяточкой разрыва I рода.Точки разрыва I рода подразделяются,в свою очередь, на точки устранимогоразрыва (когда f (а— 0) = /(а + 0) 夫 f (а), т. е. когда левый и правый пределыфункции в точке а равны между собой, но не равны значению функции вэтой точке) и на точки скачка (когда / (а — 0) # / (а + 0), т. е. когда левый "иправый пределы функции в точке а различны); в последнем случае разностьf (а + 0) 一 f (а— 0) называется скачком функции в точке а. Точки разрыва, не являющиесяточками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точкахразрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функциянепрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывнаяво всех точках, где делитель не равен нулю.7 2 3 . П о к а з а т ь , ч т о п р и х = 4 ф у н к ц и я у — --------- и м е е т р а з р ы в .へ Находим lim ------ = —оо, lim ----- - = -[_00* Таким образом, функция приД:^ 4 -0 X 4 Л:-^4+0 X — 4x ^ 4 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х = 4является точкой разрыва II рода (рис. 26). ▲7 2 4 . П о к а з а т ь , ч т о п р и х = 4 ф у н к ц и я i / = a r c t g — ^ и м е е т р а з р ы в .Д Если ズ ^ 4 — 0,то1/(ズ 一 4) ► 一 оо и lim у = — л /2. Если же х ~ ^ 4 + 0 ,ズ _>4_0то \/(х — 4) ~ >-+ со и lirn у = п/2. Итак, при х ~ ^4 функция имеет как левый,х->4 + 0так и правый конечный предел, причем эти пределы различны. Следовательно,х = 4 является точкой разрыва J рода— точкой скачка. Скачок функции в этойточке равен л/2 — (— л/2) = п (рис. 27). ▲149