полнотекстовый ресурс

2) и = 中 (ズ) , где и — новая переменная. Формула замены переменной при такойподстановке:•J /№ W ] V W d x = ^ / (и) du._ 3 г"~1352. Найти интеграл \ 3■に dx.X2Д Произведем подстановку t = \ ^ х, т. e. x = t3. Эта подстановка приведетк тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не кореньиз нее. Найдем дифференциал dx = 3t2 dt. Отсюда получаемrs in ГЗ/2 ユin i d( = 3 Г s in /d / = - 3 c o s t+ C .•Отңет должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в результатинтегрирования t = \ / x t получимГ•sin Ѵ ~ х-dx = — 3 co s]/ ズ+ С .1353. Найти интеграл ^ (2л: + I) 20 dx.Д Этот интеграл можно найти и не производя замены переменной. Здесьдостаточно развернуть выражение (2д:+1)20 по формуле бинома Ньютона и применитьпочленное интегрирование. Однако этот прием связан с большим количествомвычислений. С помощью замены переменной можно сразу свести данныйинтеграл к табличному.Полагая 2л:+1= t f имеем 2dx = dt, т. e. dx = (\/2) dt. Отсюда получаемГ (2 л -+ іГ Л = 1 \ … 沿 = 士 士 21+ С = А (2 ズ+1)2і + С_ ▲Вообще, если интеграл ^ f (л:) dx является табличным, то интеграл ^ / (ax-]-b) dxможет быть легко найден с помощью подстановки ax-\-b = t.Например, применим эту подстановку к интегралу ^ sin (ax-\-b) dx. Имеемax-\-b = ty a d x ~ d t и dx = (\/a) dt. Следовательно,$ sin (ax-f- b) dx = J sin t ---- --- 丄 Ç sin t dt = -----!~cosВозвратившись к старой переменной, получаем$ sin (ax-j- b) d x = ------ cos (ax-\-b)-\-C.Аналогично можно показать, чтоj cos (ajc + Ь )ぬ : = 丄 sin (ад;+h) + C, Ç ぬ : = 丄 .е 似 + 办 + (Г и т. д.При нахождении интеграла \ f (ах-\- b) dx записи самой подстановки a x + b = tможно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, чтоd x = — d {ах-\- Ь). Таким образом,f (ах + b) d x = 一 F (ûjc+ ô) + C,где F — первообразная для211