полнотекстовый ресурс

§ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1 . Ортогональный базис. Базис еь е2, • • • ,е„ евклидова пространства называетсяо р т о г о н а л ь н ы м , если (еハ еた) = 0 при і Ф k .Справедлива следующая теорема: во в ся ко м евклидовом п р о с т р а н с т в е и м е е т с яо р т о г о н а л ь н ы й б а зи с . Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов,то этот базис называется о р т о н о р м и р о в а н н ы м . Д ля ортогонального базисаеі,е2, •••, еп выполняются равенства(е. е ь ) ~ І ° ПРИ け k,(も , З Д - j j при i = k .Если в /г-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис fi,f 2, • • • ,f n,то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированныи базисЛюбой вектор x евклидова пространства, заданный в ортонормироваином базисе,определяется равенствомХ = і і е1 + ?2е2 + • • • +Длина вектора х находится по формуле] x I = + ^2 + • • • + te«-Два вектора х = ^ е ! + g2e2 + . . . + gnert и у = тііеі4-г].2е2+ . . . + r i nen линейнонезависимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда^і/Л і= І 2/Ц2 = • • • = Inhn-Условие ортогональности векторов х и у имеет видЁіЛі + Ё2Л2 + • • • + іпЧп = о.Угол между двумя векторами х и у находится по формулеcoS(p = ___ І 1Л1 + + • • • + ІпУ]п________ •V й + Й + …+ 段 .ド Лі + Л гЧ - • • • + Л/ТВ следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространстваобозначается через еІУ е2, •••, е„.576. Найти длину вектора х = — 2е2 + 2е3— е4.577 • Нормировать вектор x = + 2 К 2 е。+ 3 К 3 е3 + 8е4+ ЪѴ 5е- •— / — 2 /7 3 /7 6 / 7 \ °578. Д ана матрица А = 丨 、 6/7 —2/7 3/7 ) перехода от ортонор-м и р о ванного базиса еА, е2,е3 к базису е і, е^, е 公 Д о к а з а т ь , что базисe“ e“ ез— ортонорм ированн ы й .5 7 9 . Н о р м и р о в а т ь в е к т о р х = е х s i n 3 а + е 2 s i n 2 а c o s а + е 3 s i n a c o s a ++ е 4 c o s а .580. Определить угол между векторами х = е1у г7-}-е21/Г5 ++ е3 К З + е4 и y = ej V 7 + е2 У 5.581. Найти нормированный вектор,ортогональный векторам х == З е г — е2— е3— е 4, у = e t — 3 e 2- f е3 + е 4> z = e i + e 2— Зе3 + е 4.582. При каком значении X векторы х = 入 eL+ 入 е2 — е3 — 入 е4 иу = е1— е24-Яе3— е4 имеют одинаковые длины?128