полнотекстовый ресурс

Находим характеристические числа = 4 , 入 2 = 9. Полагая = 4, для определениясоответствующего собственного вектора получаем систему уравненийI І і + 2 忘 2 = О,\ 25і + 4|2 = 0.Отсюда g x = — 2g2;полагая ^2 = —а, находим ^ = 2 а и гх = а (2 і— j). Нормируявектор Гх,имеелі е і=(2/ У 5 ) i —(1 / ド 5 ) j.Полагая X2 = 9 , для определения второго собственного вектора получаем системууравнений{ 2ти— г]2 = 0.Отсюда іі2 = 2г]|; и r 2 = ß (i + 2j). Нормируя, определяем е2 = ( \ / У 5) і ++ ( 2 / У 5) j. Легко проверить, что скалярное произведение е і.е 2 = 0, т .е . векторыеі и е2 ортогональны.Используем собственные нормированные ортогональные векторы для построенияматрицы преобразования координатОтсюдаぬ —х ^ ( 2і Ѵ ъ ) х ' - \ - { \ І \ г Ъ ) у ' , ÿ = ( - l / / 5 ) х ' + 2! ( Ѵ ъ ) у ' .Найденные для х и у выражения подставим в уравнение кривой:て^ ズ, + て^ グ 丫 + 八 マ ^ ガ + ‘ ゲ V — ‘ ? + * ÿ ' ) +^ 5 ' ]/Т ” ノ 1 V К У f f ノV V 5+ & { ~ ^ х'+ т г у') 一 3 2 ゲ 5 ß |+ 六 ゲ ) +80 = 0’откуда после раскрытия скобок и приведения подооных членов получим4 х '2 + 9ゲ2— ~ X ' — ~ 1/, + 80 = 0.5 у 5Заметим, что в преобразованном уравнении коэффициентами при х,г и у 'гоказались (как и следовало ожидать) характеристические числа 入 ]_ и À9_. Перепишемуравнение в видеіб. х Л + 9 ( у ^ - .V ノ 1 V Ѵ 5Выражения в скобках дополним до полных квадратов:ИЛИ4 ん,2 і ハ 丄 丄А / ,2 16 , , 64 64ヽ . л ハ .9 ( У — ' V ア У + 7 — 1 ) + 8 0 = 0,V ] / Т 5 5 ノ 1 V |А 5или окончательно4 卜 古 ) 2 冲-+ 9( ゲ—^ Г ) 2—? + 8。= 0,Произведем параллельный перенос осей координат, полагая х " = х ' — \ ) Y 5,i f = у ' — Ъ іУ 5; получаем 4ズ〃2 + 9グ2 = 36, или ズ,/2ノ9 + ダ,2/4 = 1 (каноническоеуравнение эллипса). ДѴ ъ=36.作ズ' +83