полнотекстовый ресурс

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторыеиз них кратные, т. е. знаменатель разлагается на множители первой степении некоторые из них повторяются.1420. Найти интеграл j (а-_ ^з~ |Л.1+ 3 ) dx.Д Множителю (x— I)3 соответствует сумма трех простенших дробей --------j-pВ с■|--------- 「 ,а множителю дг+З — простейшая дробь . Итак,(ぶ 一 1)JC2 +С , D(л:— 1)3 (ズ+ 3) (л:— I)3 丁 (x— +Освободимся от знаменателя:л:2 + і = л (х + 3 ) + В (х— 1) (л:+ 3 ) + С (л:— I) 2 (x + 3 )-\-D (х— \)3.Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и 一 3. Полагаяズ= 1 , получаем 2 = 4Л , т. е. Л = 1 /2 . При х = — 3 имеем 10 = —64D, т. е.D = 一 5/32.Сравним теперь коэффициенты при старшей степени дг, т. е. при д:3. В левойчасти нет члена с х3, т. е. коэффициент при х3 равен 0. В правой части коэффициентпри x3 равен C + Z). Итак, C + D = 0, откуда С = 5/32.Остается определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь еще одноуравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов приодинаковых степенях х (например, при х2) или придав х какое-нибудь числовоезначение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможноменьше. Полагая, например, х = 0, получаем\ = 3 A - 3 B + 3 C - D , или i = | _ 3 ß + 碧 + А , т. е. ß = 音 .Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет видх2+ \ _ 1 3 5 5(jc— 1)3 (л: + 3) 2 (x— り3 十 8 {x— I)2 十 32 (л;— 1 ) 32(ズ + 3) •Таким образом, получимГ х2+ \ r f 1 Г dx 3 Г dx 5 Г dx 5 С dxJ ( ^ - і ) 3(^ - 3 ) х =~ 2 ) (ズーi)3 十 (ズーi) 2 十 恧 一1 3 5 . x — \4 (x— \)2 一 "8(jc— 1 ) 十Тогдаニл у ч а й 3. し реди корней знаменателя имеются простые комплексные корни,разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.dx1421. Найти интеграл [ хъ-Д Разложим знаменатель на множители:x 5 一 х2 = х2 (х3— \) = х2 (х— 1)(л2 + л:+ 1)._ J ___ _____________ 1 А В f С _ _ D x + EХЪ— X2 — X2 (х— 1)(д:2 + Д:+ 1 ) X2 X X— 1 Л2 + Д:+ 1Освобождаемся от знаменателя:224\ = А ( х - \ ) ( х 2 + х-\-\) + Б х(х — \) (х2- \-х + \) ++ Сх2 (x2-\-x -\-\)-\-(D x + E ) x2 (дг— 1).