полнотекстовый ресурс

§ 4. ПОРЯДОК КАСАНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХЕсли кривые y = f(x) и у = (Ç(х) имеют общую точку М (л:0; і/0), т.е. yQ=5= f (х0) = ф (л:,)), и касательные к указанным кривым, проведенные в точке М (х0;ダ0), не совпадают, то говорят, что кривые у = / (х) и у — (р (ぶ)пересекаются в точке М .Условие пересечения этих кривых в точке М (х0; у о) таково:f レо) = ф(ズ0),ff (Ч) Ф Ф' W.Если же эти кривые имеют общую точку М (л-0; у0) и касательные в этойточке к обеим кривым совпадают, то говорят, что кривые касаются в точке М .Условие касания кривых в точке М (л:0; у0) таково:Если, наконец,/ ( ^ о ) = ф ( ^ о ) . Г Ы = ф / ( ^ о ) */(дг0)=ф W» 厂 (ズо) = ф '(ズо),/ " (ズо)=ф "(ズ“),… ,/(л)(^) = ф(и)Ы *н о ^ + ( х 0 ) ф ( « + ! ) (л:0) , г о п р и н я т о г о в о р и т ь , ч т о в т о ч к е М ( х 0 ; у 0 ) к р и в ы еij — f (х) и у = ц> (х) имеют касание п-го порядка.Если 2, то кривые у = f (х) и у = (х) в точке М (х0\ у о) имеют не толькообщую касательную, но и одинаковую кривизну.1 1 1 9 . К а к о й п о р я д о к к а с а н и я и м е ю т к р и в ы е у = е ~ х и х у = 1 / ев т о ч к е х = 1 ?А Пусть / (х) ~е~х, ф (х) = \'(ех). Найдем последовательные производныеэтих функций: / ; (х) = — е_х ,f" (х)=е_х,(pf (х) = 一 l/(ex2)t (х)= 2 /(ех3) .........Теперь вычислим значения данных функций и их производных в точке х = \;(1). Следовательно, ука­Таким образом, / (1) = ф (1), "(l) = q/(1),но f ,r (1) Фзанные кривые имеют касание первого порядка. Д1 1 2 0 . П р и к а к о м в ы б о р е п а р а м е т р а а к р и в а я у = е ах и м е е т в т о ч к ех = 0 к а с а н и е п е р в о г о п о р я д к а с п р я м о й у = 2 х - { - \ ^Д Пусть f (x) = е ах и ф (л:) = 2 x -j-1.Для того чтобы указанные линии имелив точке х = 0 касание первого порядка, необходимо выполнение равенств / (0)=ф (0)и 广 (0) = ф, (0), т.е. еа,° =2*0 -j- 1 и ае^ = 2. Отсюда а~2. ▲О п р е д е л и т ь п о р я д о к к а с а н и я з а д а н н ы х к р и в ы х :1 1 2 1 . у = 1 + c o s j c и у — 2 — x 2 в т о ч к е х = = 0 .1 1 2 2 . t / = s i n 2 x и о с и О х в т о ч к е х = 0 .1 1 2 3 . Ц е п н о й л и н и и у = J r e ' ~ x ) / 2 и п а р а б о л ы у = 1 + 0 , 5 л * 2в т о ч к е х = 0 .1 1 2 4 . О к р у ж н о с т е й х 2 - \ - у 2 = 2 у и х 2 - \ - у 2 = в т о ч к е х = 0 .1 1 2 5 . П а р а б о л ы у = х ^ w о с и О х в т о ч к е л: = 0 .П 2 6 . у = \ п ( \ - \ - х ) и п а р а б о л ы у = х — х г в т о ч к е х = 0 .§ 5. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТАИ ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯПространственную кривую можно задать параметрическими уравнениямих ~ х (t), у = у (t) ,2 = 2 (/) или векторным уравнениемr = x(t) i + //(0 j + 2 (/)k .Последнее уравнение определяет переменный вектор г как вектор-функциюскалярного аргумента t ’ т.е. г = г (/). Кривая, заданная уравнением г = г (/), называетсягодографом переменного вектора г.185