полнотекстовый ресурс

кривой вокруг оси,лежащей в плоскости этой кривой а не пересекающей ее, равнадлине дуги кривой, умноженной на длину окружности’ описанной центромтяжести дуги.Т е о р е м а 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокругоси, не пересекающей ее а расположенной в плоскости фигуры, равен произведениюплощади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяж е сти фигуры.1649. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линииy = ach {х/а) ,—Д Так как кривая симметрична относительно оси Оу, то ее центр тяжестилежит на оси Оу, т. е. д: = 0. Остается найти у. Имеем у ' = sh (х/а) ; тогда dL =\-\-sh2 (x/a) dx = ch (x/a) dx\ длина дугиaaL = ^ V \-{-y '2 dx = 2 ^ c h d x = 2a sh ~ -2ash 1•- a 0Следовательно,a ch2 三 dx = -т-г \ ch2 - i dx -2a sh 1 J a sh 1 J a 2 sh 1 оa , 2xsha(2 + sh 2): G T f l 1 + T Sh2j = —4—shl ~ 1Л8Я'1650. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченнойдугой эллипса x = acos t, у = b s\n t , расположенной в I четверти,и осями координат.Д В I четверти при возрастании х от 0 до а величина t убывает от л/2до 0; поэтомуfl - о- 1 Г 1X - ^ ху dx = ~ J aco sZ .6 sin Z (— ß sin t) dt0 л/2Л/2 r/2п^һ P Qp'b 1\ S \n4 cos t dt = ^ 4 r S i n 40л/2оa2b— 3S *Воспользовавшись формулой площади эллипса S = nab9 получим x -(4a2b)/(3nab) = (4 a)/(3 я).Аналогично находимu 0о=25 1 у2 dx = ^S S ^ sin21 (— f l sin t) dt--0 я/:城 C ひ 一 cos2 t) d (cos t)= —nab J nТаким образом, л: = 4а/(3л), г/= 46/(3я). ▲0 4bcos/ — cos3 1 i = 5— .O Jjt/2 Зл1651. Найти площади поверхностей и объемы колец (торов),образованных вращением круга (х— а)2+ (у 一 6)2く , 2вокруг осей Охи Оу (а ^ Г у г).А Если круг вращается вокруг оси Ох, то центр тяжести круга отстоит отоси вращения на расстоянии Ь\ поэтому площадь поверхности, согласно первой261