полнотекстовый ресурс

Точ«а х0, в которой f r (х0) = 0, называется стационарной точкой. Точки,в которых / г, (л:) = 0 или / / (х) не существует, называются критическими точками.Не всякая критическая точка является точкой экстремума.ÇC0 - n х 0 ; + / 7Рис. 31f(x0+h]^ o ~ h X o «r0+/7 o:Рис. 32Достаточные усл'овия экстремума.Правило 1. Если х0— критическая тонка функций f (д:) и при произвольномдостаточно малом h > 0 выполняются неравенства f f (х0— Һ) > 0,/' (х^ + h) < 0 ,то функция f (х) в точке х0 имеет максимум', если же (ズ0—h) < 0, f f (ズ0 -{-h) > 0,то функция f (х) в точке х0 имеет минимум.Если знаки f r (х0 一 h) и f r (х0-\-h) одинаковы, то функция f (х) в точкеэкстремума не имеет.Правило 2. Если ] ' (jc0) = 0 , (ズ0) ф 0,то функция f (х) в точке х0 имеетэкстремум, а именно максимум, если /〃(ズ0) < 0, и минимум;если f " (ズ0) > 0.Правило 3. Пусть f r (х0) = 0 , Г (х0) = 0, /(«-D (х0) = 0, / (п) (д:0) Ф 0.В этом случае функция f (х) имеет в точке х0 экстремум, если п 一 четное числоуа именно, максимум при /(⑴(ズ0) < 0 и минимум при f(n) (х0) > 0. Если же п 一нечетное число, то функция f (х) в точке х0 экстремума не имеет.Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции f (д:) на отрезке[а, 6] нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках,принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее).1045. Д а ны точки ズ= 3 , х — І у х = — 1,л: = 0,5. В ка ки х из перечисленныхточек ф ункция у — х 3 — З х 2 возрастает? Убывает?Д Найдем производную у’ = 2>х2 — 6х. Имеем:если х = 3у то уг = 9 > 0------функция возрастает;х = 1 » уг —— 3 < 0 — » убывает;х = 一 1 » グ = 9 > 0 — 》 возрастает;ズ= 0 ,5 » ゲ = — 2 , 2 5 < 0 — » у б ы в а е т . ▲1046. Найти интервалы возрастания и убывания функции у == х(1 + V х).Д Находим ^ = 1 + (3/2) x 1 Z2. Так как производная положительна в промежутке[0, + о о [,то функция возрастает во всей области определения. ▲1 0 4 7 . Н а и т и и н т е р в а л ы в о з р а с т а н и я и у б ы в а н и я ф у н к ц и и у == x — 2 s i n Ху е с л и 0 ^ х ^ 2 я .Д Найдем производную: уг = 1 — 2 cos х. Очевидно, что уг > 0 ъ интервале]я/3, 5л/3[ и ゲ < 0 в интервалах ]0, я/3[ и ]5л/3, 2л[. Таким образом, в интервале]л/3, 5л/3[ данная функция возрастает, а в интервалах ]0, л/3[ и ]5л/3, 2л[—убывает. ▲1 0 4 8 . И с с л е д о в а т ь н а э к с т р е м у м ф у н к ц и ю у = ( х — 5 ) е х .Д Находим производную: у' = (х— 4) ех . Приравниваем ее нулю и находимстационарную точку: ех (;с—4) = 0, д: = 4; у ' (4—Һ) = 一 һе^~һ < 0, у' (4 + /і) == һ е '^ һ > 0. Согласно правилу 1 заключаем, что в точке д: = 4 функция имеетминимум і/тіп = — е4. ▲175