полнотекстовый ресурс

5. Производная в данном направлении. Градиент функции. Производной функцииz = f (xt у) в точке М (х; у) в направлении вектора 1= М М 1 называетсяпределт - 1м ]мт ^ 0 \М) - р]іГо f ■ где р =в данном направ­Если функция / (х, у) дифференцируема, то производнаялении вычисляется по формулеl = X sina’где а — угол, образованный вектором 1 с осью Ох.В случае функции трех переменных u = f ( x ,у, г) производная в данном направленииопределяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид| = | C0Sa+| C0Sß+j C0SY)где cos a, cosß, cos у — направляющие косинусы вектора 1.厂 радиентом функции z = f( x , у) в точке М (х\ у) называется вектор с началомв точке М , имеющий своими координатами частные производные функции z:^ г= Ё > + |ьГрадиент функции и производная в направлении вектора 1 связаны формулойdz Лg7 = np;gradz.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функцииточке. Производная ^ в направлении градиента имеет наибольшееравное(S)Hail6=|grad"|= (I) +(|) •В случае функции u = f ( x , у, z) градиент функции равенв даннойзначение,grad и = — Ï-4-— ІЧ --Г -11264. Найти производную функции г = х2— у2 в точке M (1;1)в направлении вектора 1,составляющем угол а ^ 6 0 э с положительнымнаправлением оси Ох.^2 dzД Найдем значения частных производных в точке М : ^ = 2дг, — 2у,( ^■'] = 2 ,( き ) = —2. Так как cos a = c o s 60°=1/2, sin a = s in 6 0 ° = ) A 3 /2 , то\d x jM \ду J м宗 = 2 ■ノ= ж - 0 , 7 ▲1265. Найти производную функции и = xy2z3 в точке М (3; 2;1)в направлении вектора M N y где N (5; 4; 2).へ Найдем вектор M N и его направляющие косинусы: /W/V = 1 = ( 5 — 3) і ++ (4 — 2) j + (2 — 1 )к = 2і + 2j + k; cos et = 2 /}/"2 2 + 22 十 Р = 2/3; cos ß = 2/3;200