полнотекстовый ресурс

Найти экстремумы функций!1307. z :1309. г--:ху2(1— х — у).:4 — (х2 + у2) 2/3.1308. z = x3-\-у9 — 15ху.1310. z = (x2 + y2) (е -^ 2+у2)— 1).1311. г : (ß—х) (ß—у) (х ~\~у- -а).2. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функциив замкнутой области. Условным экстремумом функции z = f (х,у) называетсяэкстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаныуравнением ф (х, у) = 0 (уравнение связи).Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычныйэкстремум так называемой функции Лагранжа u = f (х, у) + Яф (x, y)t где 入 一 неопределенныйпостоянный множитель.Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:0,作 ,") = 0.Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные x, у vlД ля того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутойобласти, надо:1 ) найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислитьзначения функции в этих точках;2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующихграницу области ;3) из всех найденных значении выбрать наибольшее и наименьшее.1312. Найти экстремум функции г у при условии, ЧТО X И усвязаны уравнением 2х-{-Зу — 5 = 0.Д Рассмотрим функцию Лагранжа и = ху-{-Х (2х-\-Зу -ии мс 一:у+2 入 ,диd'y ニл :+ 3 入 . Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)( у + 2 入 = 0 ,■! % + з 入 = о ,ダ ー 5 = 0находим Х = — 5/12, л: = 5/4, г/= 5/6. Нетрудно видеть, что в точке (5/4; 5/6) функцияz = x y достигает наибольшего значения 2тах = 25/24. ▲1313. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадьюS найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.Д Пусть x и у 一 катеты треугольника, a z — гипотенуза. Т ак ка к z2 = x2-\-y2tто задача сводится к нахождению наименьшего значения функции х2-]-у2 приусловии, что х и у связаны уравнением ху/2 = 5, т. е. ху—2S = 0. Рассмотрим функциюu = x 2Jr y2-\-'k{xy— 2S) и найдем ее частные производныеш = 2 х+ 1 у' ^ 2у+кх-Так к а к ズ> 0, у > 0, то из системы уравненийполучаем решение 入 = —2, х = у = У ^ 2S,206f 2ズ+ 入 夕 = 0 ,•j 2y-\-}jc = 0y( a^//2 = *Sズ