полнотекстовый ресурс

Г Л А В А VОСНОВЫ Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы§ !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВАІ. Основные понятия. Рассмотрим такое множество R элементов x, у, z, ..в котором для любых двух элементов xÇ :R и у Ç:R определена сумма х + у g ^ идля любого элемента и любого действительного числа Я определено произведениеÀxÇ R.Если сложение элементов множества R и умножение элемента этого множествана действительное число удовлетворяет следующим условиям:1°. х + У — У + х;2°. (x + y) + z = x + (y + z);3°. существует такой элемент (нуль-элемент), что х + 0 = х для любого4°. для каждого элемента существует элемент такой, что x -f-y = 0(з дальнейшем будем писать у = — х, т. е. х + (— х) — 0);5°.1-х = х;6°. X (fix) = (Àfx) x;7°. + x = Xx-j- [ix;8°. к (x-j-y) = Хх+^У,то множество R называется л и н е й н ы м (или в е к т а р и ы м ) п р о с т р а н с т в о м , а элементыx, у, z, ••• этого пространства — в е к т о р а м и .Например, множество всех геометрических Еекторов является линейным пространством,так как для элементов этого множества определены действия сложенияи умножения на число, удовлетворяющие .сфсфму л и ровак нйш 'условиям.Р а з н о с т ь ю двух векторов х и у линейного п.р.ѳ£т.ра-йсіша «азьшается такойвектор v этого пространства, что у + ѵ = х. Разность векторов х и у обозначаютчерез x — у, т. е. х — у — ѵ. Л егко доказывается, что х — у = х - } ~ (— у).Справедливы также следующие теоремы:1. В каждом линейном пространстве существует т о л т о один нульэлемент.2 . Д л я к а ж д о г о э л е м е н т а л и н е й н о го п р о с т р а н с т в а с у щ е с т в у е т т о л ь к о о д и нпротивоположный элемент.3. Для каждого элемента выполняется равенство 0-х = 0.4. Для любого действительного числа \ и выполняется равенство 入 .0 = 0.5. Из равенства 入 х = 0 следует одно из двух равенств: Х = 0 или х = 0.6. Элемент (— 1) -х является противоположным для элемента х.461. Имеется множество всевозможных систем действительныхчисел d ,ミ2, • • . ,E«)у (лi > Л2» •. • ,Цп) » (ці» Ь2,• • • ,も”),. . . . Суммадвух любых элементов определяется равенством | 2; . . . ; Нп) ++ Oll;^ 2;•.ぺ (?1 + Лі;Ê2 + T)2; •••; ln + Цп)^ а произведениелюбого элемента на любое число — равенством X ( ^ ; ミ2; •••; gn) == ( Ц і; 入 | 2; •••; Доказать, что это множество является линейнымпространством.А Обозначимх = ( І 1;?о;•••; У = (Г]!;Г]2; Т1„), z = ( し;し; し),Проверим выполнение сформулированных выше условии 1° — 8°.т I 0. Х + У = ( ё і + ЛГ’ _ І 2 + 化 ;… ;し + ” 《) ,y + X = ( » ] 1 - i- Ç 1 ;Г ]2 -г ё 2 ; ” /1+ Sn),2°. х + У == ( ^ і+ т ]і ;Ег + 'Пг;… ; + り《) ,У+ z = (り1+ し ;г |2 + Ç2; • • - » ЦпЛ- чп i Sn)» ,/",(х — y) -f- Z = ( һ -Ь Лі + £ і;І 2 +Л-2 + S-2;… ;l/J + + Cri),X + (У + Z) = ( I l + Пі + Sli&2 + ^ 2 + & ;•••; + + Таким образом, (x + y) + z = x 十 (y + z)103