полнотекстовый ресурс

хп + ^«1Приведем разложения некоторых функций по формуле Маклорена:^ 2 т + 1尺 2,л+і = (— 1 产 +1cos Өл*.(всюду 0 < 0 < 1).^ 2 /л + 2°"V ' ( 2 / n + 2 )!;, m (m— l) (m— 2) a ,1 2] 3 ! 九 , 1+ m ( m — 1 ) . • ■tm 一 ( n 一 01 X t l J ^ _ •m (m— 1)...(m — n)xn + 1 (1 + Өл: 产 一 《- 1( Й 7 ! ) !9 9 6 . В ы п о л н я е т с я л и т е о р е м а Р о л л я д л я ф у н к ц и и f (л :) = х 2 ^ ■一 6 ズ+ 1 0 0 , е с л и а = l y & = 5 ? П р и к а к о м з н а ч е н и и | ?Д Так как функция f (х) непрерывна и дифференцируема при всех значениях хи ее значения на концах отрезка [ 1,5] равны: / (1) = / (5) = 95, то теорема Ролляна этом отрезке выполняется. Значение g определяем из уравнения f f (х) = 2х— 6 == 0 , т. е. ^ = 3. А9 9 7 . В ы п о л н я е т с я л и т е о р е м а Р о л л я д л я ф у н к ц и и f ( х ) = 8 х — х 2 ,е с л и а = 0 } 6 = 8 ? П р и к а к о м з н а ч е н и и | ?Д Функция f (х )= \ / Ъ х —x2 непрерывна при всех значениях х и имеет производную厂 (х) = (8 ~ 2 х )І(з У (8л:—x2)2) при л: 9É 0, л: 8, т. е. дифференцируемав интервале ]0, 8[. Кроме того, f (0) = f (8) = 0. Таким образом, теорема Ролля наотрезке [0, 8] выполняется; действительно, 广 (ズ)= 0 при л:= ^ = 4. Д998. Дана функция f (х) = \ / \ х 一 8)2. Пусть а = 0, Ь = 16. Тогда/(0) = /(16) = 4. Однако производная f r (х) = 2/(3 \ / х 一 8) не обращаетсяв нуль ни в одной точке интервала ]0 ,1 6 [. Противоречит лиэ т о т е о р е м е Р о л л я ?А Нет, так как в точке х = 8 интервала ]0,1G[ производная не существует,и условия теоремы Ролля нарушены. ▲9 9 9 . П о к а з а т ь , ч т о п р о и з в о д н а я м н о г о ч л е н а f ( х ) = х 3 — х 2 — х -\ -1имеет действительный корень в интервале ]— 1 , 1[.