полнотекстовый ресурс

Если дифференцируемая функция z = f (х,у) достигает экстремума в точкед |0 (л:э; у0), т о ее частные производные первого порядка в этой точке равнынулю , т . е.àf (х0, Уо)__0 àf (х0, у0) _ пдх ’ ду(необходимые условия экстремума).Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарнымиточками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.Пусть М 0 (х0; уо) — стационарная точка функции z = f (х} у). ОбозначимЛ—が/ (ぶо, Уо) D—が/ (ズо,Уо) p _ d2f (ル,г/о), 一 дхду ’ — ~д і2— "и составим дискриминант А = АС— В2. Тогда:если А > 0, то функция имеет в точке М 0 экстремум,а именно максимумпри Л < 0 (или С < Ô) и минимум при Л > 0 (или С > 0);если А .< 0,то в точке М 0 экстремума нет (достаточные условиян аличия или о т с у т с т в и я экстремума);если Д = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).1305. Найти экстремум функции z = x2-{- ху + у 1— Зл:— &у.Д Находим частные производные первого порядка: — = 2 х - \-у — 3, ^ =^=х-\-2у— 6. Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находимстационарные точки:12x4- //— 3 = 0, л л 0{ . 0 г ハ откуда х = 0 ,у = 3; М (0; 3).\ x + 2y — 6 = 0 tНаходим значения частных производных второго порядка в точке М :d2z d2z __0 d2z tдх2 — , ду2 ,дх дуи составляем дискриминант Д = А С _ ß 2 = 2.2 — 1=3 >0; А > 0. Следовательно,в точке М (0;3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этойточке 2min = —9. ▲1306. Найти экстремум функцииг = ү(47;~ x —у) ( у + f ) •Д Находим частные производные первого порядка:dz 1 2 , 47 02 1 1 , 4 7Ш ^ ~ Т 2 У~ 1 - Х+ Т ' ^ ~ Ү У~Т2Х + Т -Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находимные точки:47I む + г/= 1 8 8 ,I - T2ÿ_T-v+T=0,j — 士 " — 士 АГ+ 芽 =0,\ A-+6ÿ=141.стационар-Отсюда л* = 21, " = 20; стационарная точка М (21; 20).о 一 が2 2 d2zНайдем значения вторых производных в точке A i: — — , - ^ - = :С/л"* «Э (У1/'л= 2 " ’ ~дх~ду= ~ І 2 • Тогда А = АС — В 2 = ( 一 2 ,3 )( 一 1 / 2 ) — (— 1 /1 2 )2 = 1/3 —一 1/144 > 0.Т ак как Л く 0, то в точке ルÎ (21;20) функция имеет максимум: г тах = 282.Д205