полнотекстовый ресурс

(3 — 入 ) (2 — X )( l — 入 ) — 8(2 — 入 ) = 0 ; 2 — 入 ) ( 入 2 — 4 入 + 3 — 8) = 0),(2 — 入 )( 入 2— 4A.— 5) = 0; 入 i.= 2, %2 = — 1, 入 з = 5.Определяем собственные векторы, соответствующие найденным характеристическимчислам. Для определения координат собственных векторов получаем трисистемы линейных уравнений:1) 入 = 2 , 2 ) 人 = 一 1, 3 ) 人 = 5 ,( g i + 2 g 2 = 0 , ( 4 ^ + 2 g 2 = 0 , ( — 2 g i + 252 = 0 ,^ 2 i i + 2 | 3 = 0 , \ 2 E 1 + 3 g 2 + 2 1 s = 0 , { 2 i 1 - 3 | 2 + 2 g 3 = 0 ,V — 5з = 0; \ 2 含 2 + 2ミ3 = 0, V 2^2— 4^з = 0;答 i = 2c, І 2 = ~ с , | з = — 2с, Һ = с, І 2 = — 2с, 1^ = 2с, gi = 2cf g2 = 2ct | 3 =u = с (2ei— е2 — 2ез), ѵ = с (е! — 2е2 + 2ез)\ w = с (2еі + 2е2 + ез),■с,ei — -ß (2ei — eg — 2е3); = ү {е± — 2е2 + 2е3) ; e'ß :(2еі + 2е2 + е3).Матрица ортогонального преобразования имеет вид/ 2/3 1/3 2/3 、В = ( — 1/3 一 2/3 2/3 •4—2/3 2/3 1/3 ノФормулы преооразования координат таковы: х± =Х-2 = — (1/3) х'л— (2/3) % + (2/3) = 一 (2/3) ベ + (2/3) x r2-j- (1/3) xこ. Следовательно,f = 2x /1z~ x ,2z + Ъ х ^. ▲5 9 6 . П р и в е с т и к к а н о н и ч е с к о м у в и д у к в а д р а т и ч н у ю ф о р м уf = 6л*і + 3xt + + 4ろ ズ 2 + 4 x ^ 3 — 8 х 2х 3 .а2з = —4. Решив характе­А Здесь ац = 6у ß22 = 3, а3з = 3, а12~ 2 у а13 = 2,ристическое уравнение= 0 ,находим характеристические числа = Л2 = 7, Я3 = —2.При 入 = 7 приходим к системе( — ミi + 2 ç 2 + 2 ミз = 0 ,*{ 2 ^ — 4 ^ 2 一 4 ミ3 = 0 ,I ぬ — 4い 4g3 = 0,которая сводится к одному уравнению = + Решение этой системы можнозаписать в виде ^)1 = 2а-\-2Ь, ^2 = а, ^3 = Ь. В результате получаем семейство собственныхвекторов и = 2 (а + 6) ei + ae2 + öe3, зависящее от двух параметров а и Ь.При %= —2 получаем систему( 8 | і + 2 ^ 2 + 2 ^ з = 0 ,■{ 2 ミх+ 5 含 2 — 4|з = 0,ч — 4 ミ2 + 5 5 з = 0 .Решив, например, два последних уравнения, имеем §і/9 = ^ / ( ― 18) = ?з/(—'18),или g i = — ?г/2 = — Ь /2; І і = с, g2= — 2с, g3= — 2с. Таким образом, получимоднопараметрическое семейство собственных векторов ѵ ^ с (ех— 2е2—2е3).Из семейства собственных векторов и = 2 (a + ô ) ex- f ае2 + 6е3 выделим двакаких-нибудь ортогональных вектора. Полагая, например, а = 0, b = l f получимсобственный вектор и1 = 2еІ + е 3. Подберем параметры а и b так, чтобы выполнялосьравенство (u, U i)= 0. Тогда получим уравнение 2-2 (a + ö )-fö = 0, т. е.4а+ 5ö = 0. Теперь можно принять а = 5, Ь = — 4; отсюда находим дпугой собственныйвектор рассмотренного семейства: щ = 2 ^ + 5е2 一 4е3.Итак, мы получили три попарно ортогональных вектора: Ui = 2еітЬе3,u2= 2ei + 5e2 — 4ез, v = e i— 2e2 — 2ез. Собственные векторы Ui и u2 соответствуют134