полнотекстовый ресурс

Находим длины векторов gi = /2, g2 = ^ — 5/2/4 и g 3=\t4t=y%' {ё2і=У1 — 4 / + Ю/2;3:! _ 斜 ^ / 彳 ( t — 斜 ^ し ^ り . + .оТаким образом, векторы e i= gi/| gi | = 5 /2, е2 = g2/| Ü2 \ = V^ 3 (4— 5t2) tез = бз/| 1= 3 _ \2t-\- IO/2, образуют ортонормированный базис. ▲585. При каком значении 入 базис, образованный векторамиб і = + e_j, あ ニ e! + 人 e2 + e3 卞 e4,あ = e! + e2+ Â e 3 + e4,g4 == е і + е2 + е з + ^ е 4 , я в л я е т с я о р т о г о н а л ь н ы м ? Н о р м и р о в а т ь э т о т б а з и с .А Из условия (е/, е^) = 0 (при і Ф k) получаем уравнение Х + 人 + 1 + 1 = 0.Следовательно, 人 = — 1 и g i= — еі + е2 + ез + е4, §2 — ез — е2 + ез4~е4, §з == еі + е2 — е3 + е4, g4 = еі + е2 + е3— е4, | g /1= F 1+ 1+ 1+ 1= 2.Таким образом, векторы е; = 0,5 (— еі + е2 + е3 + е4), е^=0,5 (е і 一 е2 + е3+ е 4),б у = 0 , 5 (ех + е2 — е3 + е 4) , е : = 0 , 5 (еі + е2 + е3 — е4) образуют ортонормированныйбазис. ▲586. При каких значениях а и р базис, образованный векторамие1 =-3 ei + ^ ^ e 2+ße3, e '= - b ^ . ei + ße2+ 2 -е3, ej=ßei + ; e 2 +1— OLH----- тг— e3, является ортонормированным?Д Из условий Je". j = 1 , (е;,= 0 (при і ф k) получим систему уравненийі а 2 + (1 — a)2 + 9ß2 = 9,( а (1 一 а) + 3 (1 — а) ß + 3aß = 0.Из последнего уравнения находим ß = — а (а — 1)/3. Подставив это значениеР в первое уравнение, имеема 2 + (1— а )2 + а 2 (1 — а 2)2 = 9 ; 1— 2 (1 — сс) а + а 2 (1— а )2 = 9 ; (1— а + а 2)2 = 9.Так как 1— а + а 2 > 0 при действительных значениях а, то 1— а -|-а 2 = 3, т. е.а 2 — а — 2 = 0. Следовательно, а і = — 1,а 2 = 2, р х = 一 2,3, ß2 = 2/3.Итак, получаем два ортонормированных базиса:J еі + | ち 一 吾 е3’ е(2і) = -з e i - 3-e2- - i e3,2 1 2ザ = — 了 ei — ~ e 2 t ез»e m = _ e i — l - e 2 + | - e 3 l ザ = 一 士 e i + | e 2 + 舌 e 3 , e = - = - e x - f j e . - l e 3 . А2. Ортогональные преобразования. Линейное преобразование А евклидова пространстваназывается ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведениелюбых двух векторов х и у этого пространства, т. е. (Ах, Ау) = (х, у). Длинавектора х при этом не изменяется, т. е. | Ах | = | х |. Таким образом,( x , у ) ( А х , А у )| х | . | у П А х | . | А у 1 -Из последнего равенства следует, что ортогональное преобразование А не изменяетугла м е ж д у любыми д в у м я Еекторами х и у.130