полнотекстовый ресурс

43 4. О п р е д е л и т ь р а н г м а т р и ц ы А435. Определить ранг матрицыные миноры.437. Определить ранг матрицы Абазисные миноры.и наити ее§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ т ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С п НЕИЗ­ВЕСТНЫМИДана система т линейных уравнений с п неизвестными+ ズ2 + ••• + ^іп^п ~ ^І»^21*^11~ ^22^2 + •••+ ^2П^П = ^2»(J)^ m l ^ l + “ /л2 ズ2 + • • • + a т п Хп = bm :Р е ш е н и е м этой системы называется совокупность п чисел ( х х \ х 2', . . х*„), которые,будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравненияв тождества. Система уравнений называется с о в м е с т н о й , если она имеетхотя бы одно решение (д:і ;х 2\ . . . ; х п ). Если же система не имеет ни одногорешения, то она называется н е с о в м е с т н о й .Совместная система называестя о п р е д е л е н н о й , если она имеет только одно решение,и н е о пределенной, если она имеет больше одного решения.МатрицыОь°2і1п2«•12-О -О436. Определить ранг матрицы h найти ее базисназываютсясоответственно м а т р и ц е й и р а с ш и р е н н о й м а т р и ц е й с и с т е м ы (1).Для совместности системы (1)необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицыэтой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронеке р а — Капе л л и). Итак, система (1) совместна тогда и только тогда, когдаг (Л)= г (Лх) = ニ/*. В этом случае число г называется рангом системы (1).Если Ьх — Ь2 = . . . = Ьт = 0 , то система линейных уравнений ( 1 ) называетсяо д н о р о д н о й . Однородная система уравнений всегда совместна.Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (т. е. г = п ) , то системаявляется определенной.Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система —неопределенная.Остановимся на последнем случае. Итак, предположим, что система(1)совместна, причем г < п. Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А.Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой строки являютсякоэффициентами при г неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти гнеизвестных назовем базисными неизвестными рассматриваемой системы уравнений.Остальные п — г неизвестных системы (1) назовем свободными неизвестными.Выделим из системы (1) систему г уравнений, среди коэффициентов которыхсодержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделеннойсистеме оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободныенеизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим88