полнотекстовый ресурс

Д Полагая tg (лг/2) = /, получим2 dtdx(а2 b2) —(a2—b2y cos x(a2+ b 2) - ( a ^ - b 2)- \ + i2dtdt(a2 + ô2) (1+ P) —(o2 —…( 卜 t2) ~ a42+b^d (at) 1 . ai \x *arctg — + C = arctg(at)2-\- b2 ab•ab , f tg2 + C.Универсальная подстановка tg(x/2) = t во многих случаях приводит к сложнымвычислениям, так как при ее применении sin х и cos х выражаются через tв виде рациональных дробей, содержащихВ некоторых частных случаях нахождение интегралов вида ^ R (sin x, cos x) dxможет быть упрощено.1 .Если R (sin x, cos х) 一 нечетная 中 ункция относительно sin дг, т. е. если尺 ( 一 sin x、cos x)= — R (sin Xy cos x),то интеграл рационализируется подстановкойcos x = t.2. Если R (sin x, cos x) — нечетная функция относительно cos xf т. е. еслиR (sin x , — cos x )= — R (sin x, cos x), то интеграл рационализируется с помощьюподстановки sin x = t.3. Если R (sin Ху cos jc) —четная функция относительно sin х и cos х у т. е.если R (— sin x, 一 cos x) = R (sin xt cos дг), то к цели приводит подстановка Xgx = t.m ТТ » Г (sin дс+ sin3 д:) dx1474. Наити интеграл \ -------cqs 2у- . — •Д Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаемcos x = t. Отсюда sin2ズ= 1 — t2,cos 2x = 2 cos2a:— 1= 2 t 2— 1, dt — — sin^dズ.Таким образом,Г (sin x + Sin3 X) dx r (2 — t2) (— dt) С (t2 — 2) dtJ cos 2jc — j 2/2—1 —J 2/2 一 1 —Следовательно,—2 丨 J 2/2—1 货 Ü 2 J : 2 J 2t2— d t \t 3 C d U V 2 ) _ t 3 —1| , ハ= 了 - 巧 J \ Т Ѵ Т Г і\ +Csin дг-1-s in 3 x) dx 1 ^ ,^ = т с05д:- ^ 7 1 1пŸ 2 cos x — 1 + C.Ÿ 2 cos x -\-1Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записанв виде [ R* (sin2 Ху cos x) sin x dx. ▲1 /I-7C U « С(cos3 Д:-|-С085д:) dx1475. Наити интеграл \ - 一 一 —9 -,~ т-г- •r J Sin2 A:+S in4 XА Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса.Поэтому применяем подстановку sin x = t\ тогда cos2 x — 1 一 sin2 1 一 t2tcos x dx = dt. Следовательно,Г (cos3 x + cos5 x) dx _ Г cos2 ズ(1+ cos2 x) cos xdxf (1— t2) (2 — t2) dtJ S ill2 A:+ S in 4 ズ _ J + 一 j •235