полнотекстовый ресурс

§ 2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯЗадача линейного программирования заключается в изучении способов отысканиянаибольшего или наименьшего значений линейной функции при наличиилинейных ограничений.Функция^ наибольшее или наименьшее значение которой отыскивается, называетсяцелевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых достигаетсянаибольшее или наименьшее значение, определяет так называемый о п ти ­мальный план. Всякая же другая совокупность значений, удовлетворяющаяограничениям, определяет допустимый план (решение).Пусть ограничения заданы совместной системой т линейных неравенств с ппеременными:( 011^1 + 012^2 + " • + а1ПХП^ ^ІіI 0 2 1^ 1 + fl22ズ2 + •.•+ а2пхп ^V ^ т і ^ і ^т2^2 ^ т п ^ п ^ ^ т %Среди неотрицательных решений этой системы требуется наити такое решение,,при котором линейная функция (целевая функция)принимает наибольшее (наименьшее) значение или, как говорят, максимизировать(минимизировать) линейную форму L.Покажем, как решается указанная задача геометрическим методом, для чегоограничимся рассмотрением совместной системы линейных неравенств с двумя итремя переменными. Пусть, кроме того, задана линейная функция L = СіХі + с2х2 + с0.Найдем среди множества точек (хі\ х2) из области решений совместной системынеравенств такие, которые придают заданной линейной функции наименьшее (наибольшее)значение. Для каждой точки плоскости функция L принимает фиксированноезначение L = L î. Множество всех таких точек есть пряма я СіХі+ с2х2 -і~с0== L uперпендикулярная вектору С (сі;с2), выходящему из начала координат. Если этупрямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора С,то линейная функция L = С\Хі + с2х2 + с0 будет возрастать, а в противоположномнаправлении — убывать. Пусть при движении прямой L в положительном направлениивектора С она впервые встретится с многоугольником решений в его вершине,тогда в этом положении L f прямая L становится о п о р н о й , и на этойпрямой функция L принимает наименьшее значение. При дальнейшем движениив том же направлении (положительном) прямая L пройдет через другую вершинумногоугольника решений, выходя из области решений, и станет также опорнойпрямой 乙 2; на ней функция し принимает наибольшее значение среди всех значений,принимаемых на многоугольнике решений.Таким образом, минимизация и максимизация линейной функции L = Сі Хі ++ с2х2 + с0 на многоугольнике решений достигаются в точках пересечения этогомногоугольника с опорными прямыми, перпендикулярными вектору С (Сх;с2).Опорная прямая может иметь с многоугольником решений либо одну общую точку(вершину многоугольника), либо бесконечное множество точек (это множество естьсторона многоугольника).Аналогично, линейная функция трех переменных L = С\Хі + с^х2 + + с0принимает постоянное значение из плоскости, перпендикулярной вектору С (сх; с2; с3).Наименьшее и наибольшее значения этой функции на многограннике решенийдостигаются в точках пересечения этого многогранника с опорными плоскостями,-перпендикулярными вектору С (сх;с2; с3). Опорная плоскость может иметь с многогранникомрешений либо одну общую точку (вершину многогранника), либобесконечное множество точек (это множество есть ребро или грань многогранника).1728. Максимизировать линейную форму L 2х\ + 2х^ при ограничениях:Зхх— 2 л:2 ^ — 6, Зх1-{-х2'^Зу Ху_ ^ 3.Д Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим областьрешений по уравнениям прямых — 2д:2 + 6 = 0, Зд:! + х2 一 3 = 0, Хі = 3 (рис. 68).274• • i