полнотекстовый ресурс

Следовательно, центр сферы— точка С (1/2;— 1 ;0 ),а ее радиус г = 1/2. ▲346. Составить уравнение сферы, проходящей через точки А (1;2 ; —4), В (1;—3;1)и С (2; 2; 3), если ее центр находится в плоскостихОу.Д Так как точки А, В и С принадлежат сфере (х— а)2-\-(у— b)2-{-(z^ с)2 = г2уцентр которой находится в плоскости хОу (откуда с = 0), то их координаты должныобращать искомое уравнение в тождество; поэтому получаем уравненияОтсюдаили(1— め 2+ (2— わ)2+ (— 4)2 = 广 2, (1— û)2 + (— 3— の 2+ l 2 = r2,(2— û)2 + (2— の2+ 32 = 厂 2.(1— а)2 + (2—6)2+ 16 = ( l — a)2 + (— 3 — Ь)2+ 1 ,(1— fl)2 + (2 — わ)2+ l 6 = (2 — fl)2 + (2 — &)2 + 9,(2ー 6)2_ ( — 3 — 6)2 = — 15,т.е. 10^=10;(1 一 а)2 — (2— а)2 = — 7,т.е. 2а = —4,Итак, а = 一 2, b = 1• Следовательно, центр сферы — точка С (—2;1;0). Далее,находим г2 = (1— a)2-f-(2 一 6)2+ 16 = ( 1 + 2 ) 2 + ( 2 l)2+16 = 2è. Таким образом,искомое уравнение имеет вид (ズ+ 2)2 + { " — 1)2 + 22 = 26. А347. Найти координаты центра и радиус окружности/ ( ズ 一 3)2 + 0/ + 2)2 + ( г - 1 ) 2 = 1 0 0 ,1 2х — 2у— 2 + 9 = 0.Д Из центра сферы С (3;— 2 ;1 ) опустим на плоскость 2х— 2у— 2 + 9 = 0перпендикуляр, уравнения которого можно записать в виде(ズ 一 3),/2 = (у + 2 )/(-2 ) = ( z - 1 )/(-1 ) Н(в качестве направляющего вектора этого перпендикуляра можно взять нормальныйвектор заданной плоскости).Теперь найдем координаты точки пересечения прямой (ч:) с плоскостью2х — 2у — 2 + 9 = 0. Эта точка и есть центр окружности, являющейся сечениемсферы данной плоскостью.Записав уравнения прямой в параметрическом виде х== 2 ^ 3 , ^ = — 2t — 2,z = — t -\-1 и подставив x, у , z в уравнение плоскости, получим2(2/ + 3) —2(— 2/ —2) —(— ^+1)+ 9 = 0, т. e. t = ~ 2 .Следовательно, х = 2 (—2) + 3 = — 1,у = — 2 (—2) — 2 = 2,z = — (—2)+1=3,т.е. центр окружности находится в точке С (—1;2; 3).Найдем теперь расстояние d от центра сферы С (3;—2 ;1 )до плоскости2х — 2у — 2 + 9 = 0:à 2.3 + 2.2—1+9 fiド 22 + 22+ 1 . •Радиус окружности г определится из равенства r 2 = R2— d2, где R — радиус сферы;таким образом, г2= 100 — 36 = 64, т.е. г = 8. ▲348. Определить координаты центров и радиусы сфер, заданныхуравнениями:1)(х+1)2+ (" + 2)2+ 2 2= 25; 2) х2+ г2 一 む + 6 " ++ 2г — 2 = 0; 3) 2x2 + 2y2 + 2z2+ 4y — 3z + 2 = 0- 4) x2+ y2+ z2 = 2x\5) x2+ y2-г z2 = \z — 3.349. Как расположена точка Л1(1;—1;3) относительно сфер:1 )(x— 1)2 + (г/ + 2)2 + г2= 19; 2) x2 + y2 + z2— x + y = 0; 3) х2+ у2++ г 2— 4х + г/— 2г = 0?64