полнотекстовый ресурс

д Найдем корни данного многочлена: л:3— х2 — х -\-1 = 0 или (х— У)2(л:+ 1)= 0,т е. х\ = х2 = 1 ,л*з = — 1.Так как f (— 1)= / (1)=0, то по теореме Ролля Г Wимеет корень в интервале ]— 1, 1[.Найдем корни производной: (х) = Зха — 2х —一 1= 0,т. е. Хі = — 1/3, х2 = \. Таким образом, между корнями функции — 1 и Iсодержится корень производной, равный — 1/3. ▲1000. На дуге AB кривой у = 2х— х2 найти точку М у в которойкасательная параллельна хорде AB, если А ( 1;1)и В (3; 一 3).Д Функция у — 2х— x2 непрерывна и дифференцируема при всех значениях х.По теореме Лагранжа между двумя значениями а = 1 и Ь = 3 существует значениех = іу удовлетворяющее равенству у (Ь)— у (а) = (b — à) у' (g), где y f = 2 — 2х.Подставив соответствующие значения, получим у (3) — у (1 )= (3 — 1)у' (J);(2.3— З2) — (2.1— 12) = (3— 1)• (2—2ミ); —4 = 4(1— . Отсюда ^ = 2, у (2) = 0.Таким образом, точка М имеет координаты (2; 0). ▲1001. На дуге AB кривой, заданной параметрическими уравнениямих = = ^ у у = Р ' найти точку М , в которой касательная параллельнахорде AB, если точкам А и В соответствуют значения t = 1и t = 3.Д Угловой коэффициент хорды AB равен — ,а угловой коэ 中 фицнентx (о) — дг (1 jкасательной в точке М (при / = равен " ;マ^ ~, где x\ = 2 ty = 3t2.x t ( ь )Для определения § по теореме Коши получаем уравнение^ / ( З ) - ^ ( І ) У і (^) ТТГІП 2 7 -1 ЗР 13 3 tт. е. § = 13,6. Найденное значение | удовлетворяет неравенству 1 < | < 3.Пс-дставив значение ^ ^ в параметрические уравнения кривой, получаемх = 169,36, " = 2197/216. Итак, искомая точка М (169/36; 2197/216). ▲1 0 0 2 . П р е д с т а в и т ь ф у н к ц и ю f ( х ) = \ / х в в и д е м н о г о ч л е н а п я т о йстепени относительно двучлена х — 1.Д Вычислим значения функции / (д^) = х 1^3 и ее производных до пятогопорядка включительно при а = 1:/ ( 1 ) = 1 , 厂 (ぶ)= (1/3) л:"*2,3, f r (1)= 1 /3 ; Г (л*)=■= — ( 2 / 9 ) д Г 5 / 3 , Г ⑴ = 一 2 / 9 ; Г (л:) = ( 1 0 / 2 7 ) л Г 8 / 3 , f , " ( 1 ) = Ю / 2 7 ; / ІѴ ( х ) =( 8 0 / 8 1 ) д; 一 1 1 / 3 , / І Ѵ ( 1 ) = — 8 0 / 8 1 ; /ѵ (л:) = ( 8 8 0 / 2 4 3 ) д:- 1 4 / 3 , / ѵ ( 1 ) = 8 8 0 / 2 4 3 .Следовательно, по формуле Тейлора получимV %= 1 + マ (ズ 一 1)— 。. 之 !(х — 1)2+ 27-3!(ズ— り3г _ 8Г4Г (Х~ 1)4 + Ш ^ Г ( ^ - 5)5 + ^5,где1 < レ ズ . ▲1 0 0 3 . П р е д с т а в и т ь ф у н к ц и ю f ( х ) = а х ( а > 0 ) в ивд е м н о г о ч л е н ат р е т ь е й с т е п е н и о т н о с и т е л ь н о х .А Имеемf( x ) = a xt / ( 0) = 1,У (дг) = а х I n а , У ( 0 ) = I n а ,Г (х )= а ^ 1 п 2а, Г (0 ) = 1п2 а,f f , f ( x ) = a x \ n 3 a t f , , f ( 0 ) = l n 3 а уf 1' (x) = ax ln4 a,f lv (Ox)= ln4 a*aQx>1C9