полнотекстовый ресурс

488. Из каких элементов состоит линейное пространство с базисом1,/, t2, . . . ,і п~гу t n, если сложение элементов и умножениеэлемента на действительное число понимать в обычном смысле?489. П оказать, что множество всех матриц второго порядка являетсялинейным пространством четвертого измерения.490. Показать, что матрицы ^ 、0 0ノ,е2 q o J ,ез = (з 0) ,е4= 、0 4ノ образуют базис линейного пространства, рассмотренногов задаче 489.4 9 1 . П оказать, что элементы (1 ;1 0 ) и е2 = ( 1 0 ; 1 ) линейногопространства, рассмотренного в задаче 468, являются базисными.Н айти координаты вектора х = (2; 3) в этом базисе.Д Так как ln 1•ln 1—ln Ю-ln 10 云 0,то векторы ei и е2 линейно независимы(см. задачу 48り. Пусть любой вектор У = (Ліі Пг) представлен в виде линейнойкомбинации векторов еі и е2. Покажем, что существует такая пара чисел (À; ц),для которой выполняется равенство у == Àex + fie2, илиlO^-l^).Следовательно, ド ニlg т]і, 入 = lg т]2. В частности, x ^ ei lg3 + e2 lg 2. Таким образом,(lg 3;lg 2) — координаты вектора х в базисе еь е2. ▲492. Показать, что за базис n-мерного пространства, рассмотренногов задаче 479, могут быть приняты векторы ех = (1 ;1 ;1 ;...,1 ;1),е2= (0;1;1;...•;1;1), е3 = (0; 0;1;• • •;1;1),• • е" 一 1==(0; 0;0 ; • • • ; 1; 1) , = (0; 0; 0; • • •; 0; 1).@ Рассмотреть векторы е ,1 ^ е 1 — е 2, е; = е2 —е3, •••, = е„_і — еи, е'п = еп .4 . Изоморфизм линеиных пространств. Рассмотрим два линейных пространстваи R ' . Элементы пространства R будем обозначать через x, у, z, ..., а элементыпространства Rr — через x ' у', z',… .Пространства R и R r называют и з о м о р ф н ы м и , если между их элементами х,у, X、 у 1 можно установить такое взаимно однозначное соответствие х ^ х '; уу\при котором х + у х' + у', Àx ҺС (X—любое действительное число). Следуетотметить важную теорему, с помощью которой легко устанавливается изоморфизмконечномерных линейных пространств: для того чтобы два конечномерныхпространства R и R' были изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы ихр а з м е р н о с т и б ы л и о д и н а ко в ы м и .493. Даны два линейных пространства R и R 1. Элементами пространстваR являются всевозможные дифференцируемые функцииаргумента t 、обращающиеся в нуль при / —0. Элементами же пространстваR ' являются производные функций, принадлежащих пространствуR . Доказать, что пространства R и R , изоморфны.Д Пусть /х (/), / 2 (/), ,3(0, •••—функции пространства R , a ф і(/), ф2 (/),фз (/), • • • — функции пространства R ' . Из того, что эти функции снабжены индексами,не следует делать заключение, что R и R , — счеіные множества.іПусть Ф/ (0 — /t* (0 ;тогда // (0 = ^ ф/ ( t) dt. Таким образом, между элементаоми линейных пространств R и R f (доказательство их линейности предоставляембы пол нить самостоятельно) установлено взаимно однозначное соответствие.108