полнотекстовый ресурс

нателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правойчастях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительноискомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом,придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовыезначения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождениюинтегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.Случай 1 . Знаменатель имеет только действительные различные корни,т. е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.1419. Найти интеграл Ç ズ2 作 +6 -dx.(x— 1)(х— 2) (х— 4)Д Так как каждый из двухчленов х — 1,х —2, х 一 4 входит в знаменательв первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представленав виде суммы простейших дробей I типа:Ь ズ2 + 2ズ+ 6 Л , ß 丨 С(х — 1)( х — 2) (х 一 4) x — 1 丁 ぶ 一 2 丁 欠 一 4.Освобождаясь от знаменателей, получим ,х2 + 2х + 6 = А (х— 2) (х—4 )+ В (дг— 1) (а:— 4)+ С (д:— 1)(д:— 2).(*)Следовательно,х^ + 2х + е = А (л:2—6л:+8) + 5 (л:2 — 5дг+4) + С(л:2—3ズ+ 2).Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:^2 + 2 л ;+ 6 = (Л + Б + С)а:2 + (— 6Л — 5 5 — З С )л;+ (8Л + 4Б + 2С).Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений( л ß С = 1 ,イ — 6Л — 5ß — ЗС = 2,I 8Л + 4Б + 2С = 6,из которой найдем Л = 3 , В = — 7,С = 5.Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид_ х 2 + 2х + 6 ___ _3___ 7 , _ 5(х— 1) (х — 2) (^ — 4) 一 x — 1 х —2 х — ^ 'Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе. Послеосвобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколькосодержится в системе неизвестных, в данном случае— три частных значения.Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнямизнаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобожденияот знаменателя мы получили равенство (*). Действительными корнями знаменателяявляются числа 1 ,2 и 4. Положим в этом равенстве x = \ t тогда12 + 2.1+6 = Л(1—2)(1—4)+ß(l —1)(1—4) + С(1 —1)(1-2),откуда 9 = ЗЛ, т. е. А = 3 . Полагая х = 2, получаем 14 = —2В, т. е. В = —7;полагая д: = 4, имеем 30 = 6С, т. е. С = 5. В результате получились те же значения,что и при первом способе определения неизвестных.Таким образом,「 ^ + 2д: + 6 .dx = 3 [ J ^ L _ 7 ^ + 5 r d xJ (х — 1)(ズ _ 2) (х — 4) 0 x — 1 J x — 2 j x — 4=3 1п ] x — 1 I 一 7 ln I х — 2 1+ 5 ln I x — 4 | + С = ln — ~ " (ご、プ )I \х~^)+ С.223