полнотекстовый ресурс

Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти \ хех dx,применимеще раз интегрирование по частям. Полагаем и = х , d v = e x dx; тогда du == dx, ѵ ~ е х иx2ex dx -~-x2ex - 2 ( ズ^ " 一 J exd x sj = x 4 x— 2xex-ir 2e^-\-C=ex (x2~ 2 x + 2 ) + C.1389. Найти интеграл I = \>ex sm xdx.Д Пусть u = e x , dv = sin xdx\ тогда du = e x dx, v = — cos x. Следовательно,- —t -ex cos x-4- \ ex cos xdx.Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, таккак интеграл не упростился. Попробуем, однако, еще раз проинтегрировать почастям. Приняв и = е х , d7J = cos xdx, откуда du = е х dx, u = sin x, получаемI = 一 ех cos х-\-(ех sin x — / ) ,т.е. I = —ex cos A^+e^.sin x — I .Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой частиснова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неиззестныминтегралом I . Из этого уравнения находимех2 / = ~ ех cos х-\-ех sin х, т.е. I = ~ 2 (sin х — cos х) + С.В окончательном результате мы прибавили к найденной первообразной функциипроизвольную постоянную. ▲1390. Найти интеграл [ V а и 一 x2 dxt если а > 0.x dxД Положим и — Ÿ от— x2, du = dx, откуда du = ------ — , ѵ^=х. Следо-У а2 — x2вательно,У а2 ~ х 2 dx = x У а2 一 х2 一 ^ ド ミ - = х У а2— д;2— J й- ~ : dx’илиОтсюда получаемт. e.Г (/" а2— x2 с іх = х У а2— х2 ^ У а2 一 хг dx-\-a2 arcsin — .J り аへ2 У а2— x2 dx = x l^ a 2— ズ2 + a2 arcsin 三 ,f У a- —x2 dx = ү x y^a2—arcsin —+ C ▲1391. Вывести рекуррентную формулу для интегралаД Заданный интеграл можно преобразовать так:, _ С dx 1 Г а2 + х2~ х 2п= ] (x°- + a2)fi~" J T^2+ û2)ri_ 1 f dx 1 Ç x-xd x _ 1 J 1 г .. xdxa2 J (a:2+ û 2), 卜 1 a2 J (Ar2-j-û 2) ^ ~ a2 , 卜 1—a2J л.—レ2 十 а2рdx(x2-\-a2)n '217